Epistemologische Betrachtungen zu [S4, S5]

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1 WOLFGANG LENZEN Epistemologische Betrachtungen zu [S4, S5] Zusammenfassung Die zahlreichen modallogischen Systeme zwischen den Standardkalkülen S4 und S5 werden vom epistemologischen Standpunkt aus untersucht, indem Notwendigkeit wahlweise als Wissen bzw. als Überzeugt-sein gedeutet wird. Dabei stellt sich heraus, dass unter gewissen andernorts begründeten Voraussetzungen über epistemische Logik S4.4 als Logik der wahren Überzeugungen aufgefasst werden kann, während die Systeme S4.3.2 und S4.2 als Logiken für solche Leute erscheinen, die das Schema Wissen = wahre Überzeugung nur eingeschränkt für ganz spezielle rein doxastische bzw. rein epistemische Sätze akzeptieren. S4.2 ist dabei allem Anschein nach die Logik des Wissens. Abstract The numerous modal systems between S4 and S5 are investigated from an epistemological point of view by interpreting necessity either as knowledge or as (strong) belief. It is shown that granted some assumptions about epistemic logic for which the author has argued elsewhere the system S4.4 may be interpreted as the logic of true belief, while S4.3.2 and S4.2 may be taken to represent epistemic logic systems for individuals who accept the scheme knowledge = true belief only for certain special instances. There is strong evidence in favour of the assumption that S4.2 is the logic of knowledge. I In den vergangenen zwei Jahrzehnten ist das Feld der modallogischen Systeme zwischen S4 und S5, kurz [S4, S5], sowohl vom syntaktischen als auch vom semantischen Gesichtspunkt aus in Ausführlichkeit untersucht worden. 1 Mehrere Kalküle wurden dabei sogar als adäquat nachgewiesen, d.h. als widerspruchsfrei und vollständig relativ zu einer von Fall zu Fall passend definierten Semantik. Eine inhaltliche Deutung der durch die jeweiligen Systeme charakterisierten Modalitäten steht jedoch noch weitgehend aus. Man weiß zwar z.b., dass der Priorsche Kalkül D (=S4.3.1) denjenigen Notwendigkeitsbegriff charakterisiert, demzufolge eine Aussage bzw. Proposition genau dann notwendigerweise wahr ist, wenn sie jetzt wahr ist und in Zukunft immer wahr sein wird vorausgesetzt die Struktur der Zeit ist diskret (im Falle einer kontinuierlichen Zeit wäre das System S4.3 einschlägig); und verwandte Zeit- Deutungen haben Prior und Zeman in [19] bzw. [25] auch den Modalitäten von S5, S4, S4.2 und S4.4 beizulegen versucht. Von einer intuitiv befriedigenden Interpretation kann man in den drei letztgenannten Fällen jedoch kaum reden. S4.4 wird beispielsweise so als logic of the end of the world charakterisiert: Das heißt: One pictures an angel appearing, golden horn in hand, and announcing, I am about to blow this horn, and when I do, the world will end; time will pass into eternity, and at that instant all eternal truths will be realized; The angel lifts the horn to his lips, and the instant just before he blows it is the instant for which S4.4 is expressive of the time sequence. 1 Die Literatur zu [S4, S5] hat sich im erwähnten Zeitraum so inflationär entwickelt, dass das Erstellen einer vollständigen Bibliographie wahrscheinlich den Umfang dieses Aufsatzes annehmen würde. Ich möchte deshalb nur die folgenden Arbeiten erwähnen, die semantische Untersuchungen zu Systemen aus [S4, S5] enthalten. Es liegen Semantiken vor für die Systeme S4.01 in [7], für S4.04 in [8] und [5], für S4.2 in [10], für S4.3.2 in [27], [8] und [5]. Definitionen der jeweiligen Kalküle werden im Laufe dieser Arbeit nachgereicht. Ich setze voraus, dass der Leser mit den Grundzügen der Modallogik vertraut ist. 1

2 α is necessary (i.e. Lα) means If the instant for which Lα is being evaluated is the one instant in time then α is true at that instant and at every instant in eternity as well; if the instant for which Lα is being evaluated is one of the instants of eternity, then α is true at every instant of eternity. 2 So pittoresk diese Beschreibung auch ist, zu einem tieferen, intuitiven Verständnis des Kalküls S4.4 trägt sie wohl wenig bei. Deshalb ist es sicher angebracht, dem Kalkül S4.4 ebenso wie einigen anderen Systemen aus [S4, S5] eine neue inhaltliche Deutung zu verleihen. Als erster Schritt dazu sollen die alethischen Modalitäten epistemisch, genauer: Notwendigkeit als Wissen interpretiert werden. An die Stelle des sonst üblichen Notwendigkeitsoperators bzw. L soll deshalb der (ohne Personenindex versehene) Operator W treten, so dass Wp den Sachverhalt symbolisiert, dass eine gewisse nicht näher festgelegte und im Folgenden stets konstant gehaltene Bezugsperson a weiß, dass p. Das Ausgangssystem S4 enthält dann neben einer Standard-Axiomatisierung der Aussagenlogik die nachstehenden Axiome(nschemata) und Regeln: A5 A6 A7 RN Wp p W(p q) (Wp Wq) Wp WWp p Wp A5 besagt bei der intendierten Deutung, dass nur Wahres gewusst werden kann, was trivial ist. A6 entspricht einem Konjunktionsprinzip der Art, dass jemand, der sowohl weiß, dass p, als auch weiß, dass q, damit zugleich weiß, dass p und q. Auch dieses Prinzip dürfte intuitiv außer Frage stehen. Das Iterationsaxiom A7: Wer weiß, dass p, weiß auch, dass er dies weiß - ist dagegen in der einschlägigen Literatur ebenso heftig umstritten wie die (epistemisch gedeutete) rule of Necessitation, RN, die der Bezugsperson a eine Art logischer Allwissenheit in der Form auferlegt, dass a von jedem tautologischen Sachverhalt (z. B., dass es jetzt regnet oder nicht regnet) wissen muss, dass er besteht. Die Übernahme von A7 und vor allem von RN involviert eine Idealisierung des normalen Wissensbegriffs, über deren Rechtfertigung ich mich im Rahmen dieser Arbeit nicht näher auslassen kann. Ich habe andernorts (vgl. [16], Abschnitt 3.2) dafür argumentiert, dass eine solche Idealisierung unumgänglich ist, wenn man überhaupt so etwas wie epistemische Logik betreiben will. Deshalb setze ich fürs Folgende mit Hintikka voraus, dass die Logik des Wissens mindestens so stark ist wie Lewis S4. 3 Andererseits muss sie sicher schwächer sein als der Kalkül S5, der aus S4 durch Ersetzen von A7 durch A8 Wp W Wp entsteht. Dieses zweite Iterationsprinzip ist im Gegensatz zum ersteren nämlich unhaltbar: Als z. B. Kolumbus die West- indischen Inseln erreichte, wusste er nicht, dass er in Indien gelandet war, denn Indien hatte er ja gar nicht erreicht. Angesichts seiner Überzeugung, er hätte Indien erreicht, darf man freilich nicht erwarten, er hätte gewusst, dass er nicht wusste, in Indien zu sein. Die potentiellen Kalküle für eine epistemische Aussagenlogik sind also irgendwo zwischen S4 und S5 4 zu suchen - aber wo genau? Bis dato sind nicht weniger als ein Viertel Hundert 2 [25], S Charakteristisch für den bedauerlichen Zustand, dass moderne possible-worlds-semantiken normalerweise keine intuitive Deutung der zu interpretierenden Modalbegriffe liefern, ist auch die folgende Bemerkung A. Hazens, mit der er seine neugefundene S4.2-Semantik vorstellte: I leave to more imaginative members of the philosophical community the task of finding an intuitive interpretation for this system. ([10], S. 528) Ich werde dieser Aufforderung im Folgenden nachkommen. 3 [11], S. 83; in neuerer Zeit scheint Hintikka jedoch zu der Ansicht zu neigen, dass die epistemische Logik überhaupt nicht den Charakter einer Lewis-Modallogik hat, da die Regel RN ihm inakzeptabel erscheint. Vgl. dazu die Diskussion in [16], Abschnitt Genauer müsste man hier sagen, dass der adäquate Kalkül epistemischer Logik eine Erweiterung von S4 sein muss, die jedenfalls schwächer ist als S5. Gegenüber den Systemen die echt zwischen S5 und S4 liegen, wären 2

3 verschiedener Systeme aus [S4, S5] bekannt, die aus S4 durch Hinzufügen eines oder mehrerer Axiome der nachstehenden Liste entstehen: Γ1 W Wp (W W p W W Wp) Ł1 W(W(p Wp) p) (W W Wp p) N1 W(W(p Wp) p) ( W Wp p) L1 p (W W Wp Wp) L1.2 (Wp Wq) (W W W(Wp Wq) W(Wp Wq)) G1 W Wp W W p D2 W(Wp Wq) W(q Wp) F1 W(Wp q) ( W Wq p) R1 p ( W Wp Wp) Z1 W W p (W W q ( W (p q) W W (p q))) Angesichts der Komplexität der meisten Axiome lässt sich ohne weiteres wohl kaum entscheiden, welche davon als epistemologische Prinzipien akzeptierbar sind und welche nicht. Γ1, Ł1, N1, L1.2, und Z1 sind dermaßen unübersichtlich, dass es schwer fällt, sie überhaupt in die Umgangssprache zu übersetzen. Aber selbst die einfacheren Axiome L1, G1, F1 und R1 widersetzen sich einer direkten, nur vom gesunden Menschenverstand geleiteten Analyse, weil die Wahrheitsbedingungen für W Wp und für W W Wp, also dafür, dass (a weiß, dass) a nicht weiß, dass a nicht weiß, dass p, mehr als vage erscheinen. Der folgende Exkurs soll unserer diesbezüglichen Intuition auf die Sprünge helfen. II Epistemische Logik wird im Allgemeinen als die Logik der beiden Begriffe wissen und glauben episteme und doxa aufgefasst. Von daher liegt es nahe, neben den obigen Wissenslogiken auch Glaubenslogiken in Betracht zu ziehen. Da eine ausführliche Diskussion der Probleme doxastischer Logik den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, muss ich mich freilich mit den folgenden knappen Hinweisen begnügen, die ich in [14], [16] und [17] vgl. auch die verwandte Darstellung in [13] detailliert begründet habe: Anders als im epistemischen Fall hat man es in der doxastischen Logik nicht nur mit einem Grundbegriff zu tun. Das weite Feld doxastischer Ausdrücke enthält u. a. die Terme glauben, für möglich halten, überzeugt sein und für ausgeschlossen halten, zwischen denen offenkundig die folgenden Beziehungen bestehen: Es für ausgeschlossen zu halten, dass p, bedeutet dasselbe wie davon überzeugt sein, dass nicht-p; es für möglich zu halten, dass p, bedeutet dasselbe wie es nicht für ausgeschlossen zu halten, dass p; wer davon überzeugt ist, dass p, der glaubt auch, dass p, aber man kann umgekehrt glauben, dass p, ohne davon überzeugt zu sein, dass p. Symbolisiert Ap, Np, Mp, Gp in dieser Reihenfolge den Sachverhalt, dass unsere Bezugsperson a es für ausgeschlossen hält, dass p, davon überzeugt ist, dass p, es für möglich hält, dass p, bzw. glaubt, dass p, so gilt also: Ap N p, Mp N p und Np Gp, nicht aber Gp Np. Obwohl die durch G und N erfassten doxastischen Einstellungen durch subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriffe definiert werden können (vgl. dazu [13], [14] und [16]), so sind sie doch im Rahmen einer doxastischen Logik als irreduzible Grundbegriffe aufzufassen, für die auch jeweils verschiedene logische Gesetze gelten. Uns soll hier jedoch nur die N-Logik interessieren, die im folgenden Kalkül DS5 zusammengefasst ist: DA5 Np Mp deshalb eigentlich auch die sogenannten K-Systeme in Betracht zu ziehen, die nicht in S5 enthalten sind. Es wird sich weiter unten jedoch herausstellen, dass diese Kalküle unter der hier vorgenommenen epistemischen Deutung ohne Interesse sind. 3

4 DA6 DA7 DA8 DRN N(p q) (Np Nq) Np NNp Mp NMp p Np Das doxastische Pendant zu A5, das Unfehlbarkeitsprinzip DA5 Np p Wenn jemand davon überzeugt ist, dass p, so gilt auch p, wird also zu dem unproblematischen Prinzip DA5 abgeschwächt, demzufolge niemand etwas zugleich für sicher und für ausgeschlossen halten kann. DA6 entspricht wiederum einem Konjunktionsprinzip der Art, dass jemand, der sowohl von p als auch von q überzeugt ist, damit zugleich auch überzeugt ist, dass p und q. 5 Und in den Iterationsgesetzen DA7 und DA8 kommt schließlich zum Ausdruck, dass man sich seiner jeweiligen doxastischen Einstellung stets sicher ist, dass man also, wenn man etwas für möglich bzw. für sicher hält, zugleich davon überzeugt ist, dass man es für möglich bzw. für sicher hält. Diese Prinzipien scheinen intuitiv außer Frage zu stehen, während bezüglich der Regel DRN wiederum gilt, dass die dadurch erzielte Idealisierung des umgangssprachlich vorgegebenen Begriffs des Überzeugtseins unerlässlich ist, wenn man überhaupt so etwas wie doxastische Logik betreiben will. Fürs Folgende setze ich jedenfalls voraus, dass DS5 der adäquate Kalkül für die Logik der Überzeugungen ist. Doxastische Logik kann unsere Probleme epistemischer Logik selbstverständlich erst dann lösen helfen, wenn geeignete Brückenprinzipien zwischen wissen und überzeugt sein zur Verfügung stehen. In der einschlägigen zumeist angelsächsischen Literatur wird z. B. die entailment theses diskutiert, derzufolge aus wissen, dass p folgt glauben, dass p. In der Form Wp Gp hat sie zu einigen Missverständnissen Anlass gegeben (vgl. [16], Abschnitt 2.2), auf die ich hier jedoch nicht näher eingehen möchte, da bei näherer Betrachtung sich sogar die logisch stärkere Variante B1 Wp Np als intuitiv unproblematisch erweist. In der Tat könnte doch ein Zeitgenosse, der uns weismachen wollte, er wüsste, dass p, sei sich aber nicht sicher, dass p, nur das gleiche mitleidige Kopfschütteln erwarten wie eine Frau, die behauptete, sie sei mit einem Junggesellen verheiratet. B1 sollte wirklich außer Frage stehen, so dass wir im Folgenden EDS4.5 := S4 + DS5 + B1 als intuitiv unproblematisches Basissystem für eine gemischt epistemisch/doxastische Logik voraussetzen können. Die im Theäthet diskutierte (und zurückgewiesene) Bestimmung von episteme als alethes doxa gewinnt nun im Lichte von B1 neues Interesse. Zwar wird man Sokrates darin Recht geben, dass ein x-beliebiger wahrer Glaube z. B. dass es morgen schneien wird noch längst kein Wissen darstellt, dass also p (Gp Wp) inakzeptabel ist; aber die verschärfte Konzeption von Wissen als wahrer Überzeugung, B2 p (Np Wp), ist durchaus ernsthafterer Erwägung wert, ja in neuerer Zeit von verschiedenen Autoren akzeptiert worden. (Vgl. etwa [2] und [13].) Es gibt allerdings mindestens zwei Gründe, die ernsthaft gegen B2 sprechen. Zum einen zählt eine wahre Überzeugung im Allgemeinen dann nicht als Wissen, wenn sie objektiv nicht hinreichend begründet war: Wer etwa davon überzeugt ist, am nächsten Samstag im Lotto zu gewinnen, weil eine Wahrsagerin ihm dies prophezeit hat, dem würden wir 5 Dieses Konjunktionsgesetz gilt nicht für den schwachen Glaubensbegriff Gp. Vgl. dazu [13], [14], [16] und [17]. 4

5 normalerweise selbst dann ein Wissen absprechen, wenn die Prophezeiung sich bewahrheiten sollte, denn eine Wahrsagung ist objektiv, d. h. statistisch gesehen, kein verlässlicher Grund für das Wahrgesagte. Zum zweiten ist aber selbst eine begründete wahre Überzeugung nicht automatisch schon ein Wissen, wie E. Gettier in seinem berühmt gewordenen Aufsatz Is Justified True Belief Knowledge? nachdrücklich klargemacht hat. 6 Angesichts dieser Bedenken ist es vielleicht nicht unpassend, die Verfechter von B2 radikale Erkenntnistheoretiker zu nennen. Im nächsten Abschnitt wollen wir untersuchen, welcher epistemische Kalkül für sie maßgeschneidert ist. III Ein radikaler Erkenntnistheoretiker so wie er gerade getauft wurde akzeptiert neben B2 natürlich auch B1 und A5, also die folgende Definition: DEF 1 Wp:= p Np. Seine epistemische Logik ergibt sich deshalb aus der doxastischen Logik in dem Sinne, dass er solche und nur solche epistemischen Prinzipien akzeptiert, die sich in DS5 mit Hilfe von DEF 1 ableiten lassen. Übersetzt man nun die weiter oben aufgelisteten 10 Erweiterungsaxiome von S4 in doxastische Prinzipien, so ergibt sich: SATZ 1 In DS5 zusammen mit der Definition 1 sind die Axiome Γ1, Ł1, N1, L1, L1.2, G1, D2, F1, und R1 beweisbar. Beweis. Da das charakteristische Axiom von S4.4, R1, bekanntlich 7 jedes andere der in Satz 1 aufgeführten Axiome logisch impliziert, reicht es aus, die Herleitbarkeit von R1 in DS5 + DEF 1 zu zeigen. Eliminiert man in R1 sämtliche Vorkommnisse von W gemäß DEF 1, so ergibt sich die Formel p ( ( (p Np) N( (p Np))) p Np), die man nach einigen einfachen aussagenlogischen Umformungen als äquivalent mit M(p Np) Np erkennt. Nach DA8 gilt aber Np N Np, also N Np Np, d. h. MNp Np, und damit erst recht M(p Np) Np. Ein radikaler Erkenntnistheoretiker wird somit einen Kalkül epistemischer Logik akzeptieren, der mindestens so stark ist wie S4.4. Um nun darüber hinausgehend zu zeigen, dass S4.4 tatsächlich die Logik für radikale Erkenntnistheoretiker ist, muss noch nachgewiesen werden, dass sich aus DS5 mit Hilfe von DEF 1 tatsächlich nur solche epistemischen Prinzipien herleiten lassen, die zugleich Theoreme von S4.4 sind. Ein solcher Nachweis setzt freilich die Definierbarkeit von N durch W im Rahmen von DS5 voraus, d. h. genauer: die Existenz einer dort beweisbaren Äquivalenz von Np mit einem Ausdruck, der doxastische Terme nur in der Kombination q Nq (d. h. Wq ) enthält. Nun gibt es leider keine logische Subtraktion, die es allgemein gestatten würde, eine logische Äquivalenz der Form A B C wie eine arithmetische Gleichung nach einem der Konjunktionsglieder aufzulösen ; speziell kann man DEF 1 nicht dazu benützen, Überzeugt-sein umgekehrt als Wissen minus Wahrheit zu definieren 8. Es gilt jedoch, glücklicherweise: 6 Siehe [6]; in [16], Abschnitt 2,3 wird eine Übersicht über die äußerst umfangreiche neuere Literatur zum Gettier-Problem gegeben. Vgl. auch F. v. Kutschera s Ausführungen in [13], Abschnitt 4.1, wo allerdings das durch Gettiers Beispiele verdeutlichte Scheitern der klassischen Definition des Wissens als Argument für eine True Belief Analyse gewertet wird. 7 Dies ist ein Wissen, das sich erst nach und nach im Laufe der vergangenen 2 Jahrzehnte akkumuliert hat, und dessen Erwerb somit ausgedehntes Literaturstudium erfordert. Die wichtigsten Arbeiten dazu sind [12], [21], [24], und - für die neuesten Entwicklungen - [7] und [15]. 8 Ein ähnlicher Definitionsversuch findet sich in [1], S. 189, wo sinngemäß gesetzt wird Np := W( p). sei dabei eine ausgezeichnete Satzkonstante, die intuitiv als a irrt sich ( x is mistaken ) zu deuten ist. Nach dieser Feststellung ist a also genau davon überzeugt, dass p, wenn a weiß, dass wenn er sich nicht irrt p der Fall ist. 5

6 SATZ 2. In DS5 ist Np beweisbar äquivalent mit (p Np) N (p Np), d. h. in DS5 + DEF 1 gilt Np W Wp. Beweis. Aus der Tautologie p (Np (p Np)) gewinnt man mit DRN und DA6 Np (NNp N(p Np)), also mit DA7 auch Np N(p Np), und daraus mit DA5 Np M(p Np), (*); aus der Tautologie Np (p Np) erhält man analog mit DRN und DA6 N Np N (p Np), also aussagenlogisch M(p Np) MNp, (**); aus DA8 gewinnt man unmittelbar MNp Np, zusammen mit (**) also M(p Np) Np, mit (*) deshalb aussagenlogisch das gewünschte Np (p Np) M(p Np). Definiert man nun (im Rahmen epistemischer Logik) DEF 2 Np := W Wp 9, so lässt sich zeigen SATZ 3 DS5 + DEF 1 ist deduktiv äquivalent mit S4.4 + DEF 2. Beweis. 10 A) Aus Satz 1 und Satz 2 ergibt sich unmittelbar, dass das S4.4 Axiom R1 sowie die Definition 2 in DS5 + DEF 1 beweisbar sind; die übrigen epistemischen Axiome A5, A6 und A7 erhält man sofort aus DEF 1, aus DA6 und aus DA7. Also gilt DS5 + DEF 1 S4.4 + DEF 2. B) Umgekehrt ergibt sich: i) Gemäß A5 gilt Wp p; ebenfalls aufgrund von A5 gilt aber auch Wp W Wp, also Wp p Np; p Np Wp folgt unmittelbar aus R1. Also ist DEF 1 in S4.4 + DEF 2 herleitbar. ii) Aus R1 folgt bekanntlich 11 das charakteristische Axiom von S4.2, G1: W Wp W W p, also die Formel Np Mp, d. h. das doxastische Axiom DA5. iii) Nach G1 gilt (*): W W Wp W W Wp; aus A7, A6 und RN ergibt sich W Wp Wp, mit RN also W( W Wp Wp), und daraus mit A6 (**): W W Wp W Wp; aus (*) und (**) folgt aussagenlogisch W Wp W W Wp, d. h. Np WNp, also gemäß i) erst recht Np NNp, d. h. DA7. iv) Aus A7 folgt unmittelbar W W p WW W p, also Mp WMp, und daraus mit i) erst recht Mp NMp, d. h. DA8. v) Aus A6 folgt Wp Wq W(p q), daraus mit RN, A6 und A7 Wp W Wq W W(p q), also aussagenlogisch W W(p q) (W Wq Wp), und daraus mit RN und A6 schließlich (+): W W W(p q) (WW Wq W Wp); nach iii) gilt allgemein Np WNp, also insbesondere Bacon ergänzt diese Definition durch die umgekehrte Festlegung von a weiß, dass p durch a ist davon überzeugt, dass p, und a irrt sich nicht : Wp := Np. Dies führt aber zu Ungereimtheiten. Erstens sind in den von Bacon zugrunde gelegten epistemischen bzw. doxastischen Systemen die aus beiden Definitionen folgenden Äquivalenzen Wp W( p) bzw. Np N( p) nicht beweisbar. Zweitens folgt im Rahmen der hier betrachteten Kalküle S4 und DS5 (die Bacon als idealistisch abtut) aus der Beweisbarkeit von N(p p) und W(p p) die Beweisbarkeit von, also auch die beweisbare Äquivalenz von Wp und Np! Aber auch unabhängig von der zweiten Definition bleibt die erste für sich genommen wenig plausibel. Bacons Erörterungen machen nämlich klar, dass die fragliche Konstante im Sinne von a irrt sich nie, d. h. im Sinne des Unfehlbarkeitsprinzips Nq q, verstanden werden muss. Deshalb liegt inhaltlich (nicht formal) eine zirkuläre Definition, d. h. eben keine Definition vor. 9 Man könnte alternativ auch setzen DEF 2*. Np := W W Wp. Satz 2 und Satz 3 würden dann entsprechend gelten. Die Bedeutung dieses Ergebnisses für die Kalküle S4.04 und S4.03 wird weiter unten in Abschnitt VI diskutiert. Eine weitere Alternativdefinition von N ist: DEF 2** Np := W(p Wp) W p. Auch hierfür würden Satz 2 und 3 entsprechend gelten; der weiter unten folgende Satz 4 wird für DEF 2** jedoch falsch. 10 Satz 3 ist in einer ähnlichen, nicht epistemisierten Form schon in [24], SS , als Äquivalenz zwischen S4.4 und einem Kalkül bewiesen worden, der bei Zeman QS4.4 heißt und unserem DS5 entspricht. 11 Dies ergibt sich z. B. unmittelbar aus der in [15] bewiesenen Äquivalenz zwischen G1 und der Substitutionsinstanz R1.1: Wp ( W W Wp W Wp) von R1. 6

7 N(p q) WN(p q), d. h. N(p q) W W W(p q); zusammen mit (+) und A7 folgt also N(p q) (W Wq W Wp), also aussagenlogisch N(p q) (Np Nq) d. h. DA6. vi) Die Gültigkeit der Regel DRN ergibt sich unmittelbar aus i) und RN. Also gilt S4.4 + DEF 2 DS5 + DEF 1. Die Bedeutung des hiermit bewiesenen Satzes 12 lässt sich knapp auch so ausdrücken: Wenn DS5 den adäquaten Kalkül für die Logik der Überzeugungen darstellt, so stellt S4.4 den adäquaten Kalkül für die Logik der wahren Überzeugungen dar. Damit hat neben den Zeit logiken S4.3.1 und S4.3 zumindest schon ein weiterer Kalkül aus [S4, S5] eine intuitiv befriedigende Deutung gefunden, und mit Satz 3 bestätigt sich zudem die von Hintikka in [11] geäußerte Vermutung: the logic of true belief is not that of S4 (o.c., p. 83). Seine weitere Annahme: the logic of real knowledge [ ] is, as far as I can see, exactly tantamount to S4 (ibid.) wird dagegen im nächsten Abschnitt widerlegt werden, wo zwei Kalküle schwächer als S4.4 aber jedenfalls stärker als S4 sich als Logiken für weniger radikale Erkenntnistheoretiker herausstellen werden, und wo einer offenbar den Kalkül für wirkliches Wissen darstellt. 13 IV Der Beweis dieser Behauptungen kann selbstverständlich nicht in der Weise erfolgen, dass die fraglichen Kalküle zusammen mit DEF 2 als äquivalent mit gewissen Abschwächungen von DS5 + DEF 1 nachgewiesen werden, denn die Definition 1 steht für weniger radikale So-undso-Erkenntnistheoretiker ja gerade nicht mehr zur Verfügung. Diese müssen wissen und überzeugt sein zunächst anscheinend als nicht aufeinander reduzierbare Grundbegriffe hinnehmen, die lediglich mittels des Brückenprinzips B1 miteinander verbunden sind. Doch wer als Nicht-Radikaler die Definition von Wissen als wahre Überzeugung ablehnt, braucht noch lange nicht die umgekehrte Definition von überzeugt sein als nicht wissen, dass man nicht weiß zurückzuweisen. Denn es wird sich weiter unten zeigen, dass letztere Definition aus gewissen epistemologischen Prinzipien ableitbar ist, die wesentlich schwächer sind als B2 bzw. DEF 1, und die mir insgesamt für jeden noch so skrupulösen Erkenntnistheoretiker akzeptabel erscheinen. Man beachte nun, dass gemäß Satz 3 der epistemische Kalkül S4.4 + DEF 2 nicht nur mit dem doxastischen System DS5 plus der kritischen DEF 1 deduktiv äquivalent ist, sondern auch mit der Erweiterung des in Abschnitt II eingeführten doxastisch/epistemischen Basissystems EDS4.5 um das genau so kritische Brückenprinzip B2: S4.4 + DEF 2 EDS4.5 + B2 Die gesuchte Charakterisierung gewisser Teilkalküle S4.x von S4.4 als Logiken für So-undso-Erkenntnistheoretiker wird deshalb auf entsprechende Äquivalenzbeweise der Form S4.x + Def. 2 EDS4.5 + B2.x hinauslaufen, wobei die B2.x Abschwächungen von B2 darstellen, die genau die jeweilige So-und-so-Eigenschaft charakterisieren. 12 Aufgrund von Satz 3 kann man auch eine neue, einfache Semantik für S4.4 angeben, die sich unmittelbar aus der DS5 Semantik ergibt, die von Kutschera in [13] wie folgt konstruiert: DS5 ist vollständig und widerspruchsfrei relativ zur Menge aller Modell-Strukturen <W, R, V>, bei denen R eine (weder reflexive, noch symmetrische, jedoch) transitive Relation auf W ist, für die zusätzlich gilt: ijk(irj irk jrk). Die S4.4 Modalität, die nun vorübergehend durch symbolisiert sei, muss also interpretiert werden durch die Bedingung: V i (α) = gdw. V i (α) = w und V j (α) = w für alle j mit irj. Diese Bestimmung ist wesentlich einfacher als jene von G. N. Georgacarakos, der in [5] die S4.4 Modell-Strukturen dadurch charakterisierte, dass R neben der Reflexivität und Transitivität die Bedingungen der Konvergenz, ijk(irj irk 1(jR1 kr1)), sowie der fernen Symmetrie, ijk(irj jrk (i = j krj)) erfüllen muss. 13 M. E. Byrd hat in [3] behauptet, dass anders als Hintikka meint wahrer Glaube und Wissen die gleiche interne Logik haben. Auch diese Behauptung wird natürlich im Folgenden widerlegt. 7

8 Hierfür kommen nun offensichtlich nur solche Kalküle S4.x in Frage, in denen tatsächlich N definierbar ist, d. h. für die zusammen mit DEF 2 die Theoreme von EDS4.5 beweisbar werden. Dabei gilt: SATZ 4 Der doxastische Opertor N ist in einem epistemischen Kalkül S4.x genau dann definierbar in dem Sinn, dass S4.x + DEF 2 EDS4.5, wenn x Beweis. Eine Inspektion des Beweises von Satz 3 macht unmittelbar klar, dass das S4.4- Axiom, R1, nur dazu benötigt wurde, um DEF 1 herzuleiten, während die Ableitung der Theoreme von DS5 sowie von B1 in den Teilen i) bis vi) des Beweises mit dem schwächeren S4.2-Axiom G1 auskam. Also gilt für jedes System S4.x mit x 2, dass S4.x + DEF 2 EDS4.5. Andererseits macht die Ableitung von DA5 in Teil ii) des erwähnten Beweises auch klar, dass man angesichts von DEF 2 ohne G1 nicht auskommt, d. h. G1 ist tatsächlich notwendig für die Herleitung von EDS4.5. Die Kalküle für So-und-so-Erkenntnistheoretiker werden also irgendwo in dem durch das nachstehende Diagramm illustrierten Bereich zwischen S4.2 und S4.4 S4.4 S4.3.1 S4.2.1 S4.3.2 S4.3 S4.2 zu suchen sein, wobei definiert ist: S4.2.1 := S4.2 + N1; S4.3 := S4 + D2; S4.3.1 := S4.3 + N1 und S4.3.2 := S4 + F1. Um die durch diese Systeme bestimmten So-und-so-Eigenschaften handfest zu machen, betrachten wir zunächst einige besonders nahe liegende Abschwächungen von B2. So wie im Rahmen doxastischer Logik zwar nicht das widerintuitive Unfehlbarkeitsprinzip DA5, wohl aber dessen Abschwächung N(DA5), d. h. N(Np p) beweisbar ist 15, so wird man zunächst B2 vielleicht durch N(B2), d. h. durch N(p (Np Wp)) zu ersetzen geneigt sein. Dieses Prinzip ist doxastologisch äquivalent mit dem kürzeren Brückenprinzip: B2.1 Np NWp, das besagt, dass jemand, der davon überzeugt ist, dass p, zugleich überzeugt ist, er wüsste, dass p. B2.1 kann sicher eine gewisse intuitive Plausibilität für sich in Anspruch nehmen, wenngleich vom umgangssprachlichen Standpunkt aus das etwas schwächere B2.2 Np GWp, 14 In S4 gibt es bekanntlich (vgl. [12], S. 48) genau 14 verschiedene, d. h. nicht äquivalente Modalitäten, nämlich p, p, Wp, W p, W W Wp, W W W p, W Wp, W W p, W W p, W Wp, W W W p, W W Wp, W p und Wp. Legt man nun in Verallgemeinerung zu Satz 4 fest, dass der doxastische Operator N im Rahmen eines epistemischen Kalküls S4.x definierbar ist, falls es eine Modalität Y gibt, so dass in S4.x plus der Definition Np := Y alle Theoreme von EDS4.5 beweisbar werden, so gilt wiederum, dass x 2 sein muss. Es ist allerdings denkbar, dass es komplexere epistemische Ausdrücke (wie z. B. das Definiens von DEF 2** weiter oben) gibt, für die N in einem System schwächer als S4.2 definierbar würde. Eine systematische Untersuchung dieser Frage wird durch die Tatsache stark behindert, dass es in den Kalkülen unterhalb von S4.2 bekanntlich unendlich viele verschiedene Modalausdrücke (einer einzigen Satzkonstanten p) gibt. Vgl. dazu [18]. 15 Aus N(Np p), d. h. M(Np p), folgt nämlich einerseits M p, d. h. Np, andererseits aber auch MNp, also mit DA8 Np, insgesamt also ein Widerspruch. 8

9 wenn jemand davon überzeugt ist, dass p, so glaubt er, dass er weiß, dass p, d. h. die Gleichsetzung von Überzeugt-sein mit Zu-wissen-glauben 16 noch nahe liegender erscheinen könnte. 17 Wie immer man sich bezüglich B2.1 und B2.2 entscheiden mag, außer Frage steht jedenfalls das noch schwächere Prinzip, dass jemand, der davon überzeugt ist, dass p, nicht davon überzeugt sein kann, dass er nicht weiß, dass p, B2.3 Np MWp. Aus diesem Grunde möchte ich jeden, der zumindest B2.3 akzeptiert, einen realistischen Erkenntnistheoretiker nennen. Von dieser realistischen Position unabhängig ist die im Folgenden näher erläuterte Position des Vereinfachers, der zwar als Nicht- Radikaler die generelle Gültigkeit von B2 bestreitet, dieses Prinzip jedoch für gewisse rein doxastische bzw. rein epistemische Sätze akzeptiert, für Sätze also, bei denen alle Satzkonstanten der zugrunde liegenden aussagenlogischen Sprache im Bereich eines epistemischen oder doxastischen Operators liegen. In einer ersten Form verschafft der Vereinfacher sich Reduktionsprinzipien für die Ausdrücke wissen, dass man überzeugt ist, wissen, dass man für möglich hält und wissen, dass man nicht weiß durch die nachstehenden 3 Substitutionsinstanzen von B2: Np (NNp WNp) Mp (NMp WMp) Wp (N Wp W Wp). Die ersten beiden sind doxastologisch mit den Prinzipien B2.4 Np WNp bzw. B2.5 Mp WMp äquivalent, die in Verschärfung zu den Iterationsgesetzen DA7 und DA8 besagen, dass wir stets Kenntnis unserer eigenen doxastischen Einstellung haben, d. h. wenn wir etwas für möglich bzw. für sicher halten, dann auch immer wissen, dass wir es für möglich bzw. für sicher halten. Und das dritte aufgeführte Reduktionsgesetz ist unter der Voraussetzung von B2.3 mit dem Prinzip B2.6 N Wp W Wp äquivalent, demzufolge jemand, der davon überzeugt ist, er wüsste nicht, dass p, auch wirklich weiß, dass er nicht weiß, dass p. Sowohl B2.4 als auch B2.5 als auch B2.6 scheinen intuitiv wieder außer Frage zu stehen. Verstehen wir deshalb unter einem realistischen Vereinfacher jemanden, der sowohl Realist als auch Vereinfacher im Sinne der obigen Festlegungen ist, so gilt: SATZ 5 S4.2 ist die Logik für realistische Vereinfacher. Beweis. Man beachte zunächst, dass die für realistische Vereinfacher charakteristischen Brückenprinzipien B2.4, B2.5, B2.6 sowie entweder B2.1 oder B2.2 oder B2.3 sich im Rahmen von EDS4.5 reduzieren lassen auf B2.3 und zum Beispiel B2.4. Unter der Voraussetzung von B2.3 folgen aus B2.4 nämlich die beiden übrigen Vereinfachungsgesetze B2.5 und B2.6, was man wie folgt einsieht: 16 Die Umkehrung von B2.2 folgt mit den zusätzlichen Prinzipien Gp G p und Np Gp wie folgt: mit GWp hat man GNp, also G Np, also auch N Np, d. h. MNp, aus dem DA8 folgt. 17 Wenn man von jemandem behauptet, er glaube zu wissen, dass p, so behauptet man sicher, dass er davon überzeugt ist, dass p. Man benutzt diese Wendung freilich meistens in Situationen, wo man gleichzeitig zum Ausdruck bringen will, dass man selber weiß, dass der Betroffene nicht weiß, dass p, weil p eben nicht der Fall ist. Zu wissen glauben ist also oft im Sinne von überzeugt sein, aber nicht wissen zu verstehen. 9

10 (i) nach DA8 gilt Mp NMp, nach B2.4 NMp WNMp, also Mp WNMp; ferner gewinnt man aus DA8 und DA5 NMp Mp, daraus mit RN und A6 WNMp WMp, also insgesamt Mp WMp, d. h. B2.5. (ii) Nach B2.3 gilt N Wp Np, gemäß RN und A6 also WN Wp W Np; außerdem gilt nach B2.4 N Wp WN Wp, also N Wp W Np; ferner folgt aus B1, RN und A6 W Np W Wp, also insgesamt N Wp W Wp, d. h. B2.6. Andererseits sind nun unter der Voraussetzung etwa des Vereinfachungsprinzips B2.5 die verschiedenen Realismusprinzipien B2.3, B2.2 und B2.1 im Rahmen von EDS4.5 miteinander äquivalent, denn B2.3 impliziert B2.1: Aus NWp folgt mit B2.5 W NWp, daraus mit B1, RN und A6 W WWp, mit A7, RN und A6 also W Wp, und daraus mit B1 N Wp; insgesamt haben wir somit NWp N Wp, d. h. MWp NWp, woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. Die gemischt epistemisch/doxastische Logik eines realistischen Vereinfachers ist demnach gleich EDS4.5 + B2.3 + B2.4. Für den Nachweis von Satz 5 ist deshalb die Äquivalenz dieses Systems mit dem rein epistemischen Kalkül S4.2 zu zeigen. Nun enthält nach Satz 4 S4.2 + DEF 2 das Basissystem EDS4.5 ; ferner gehen die Brückenprinzipien B2.3 und B2.4 mittels DEF 2 jeweils in das rein epistemische Gesetz G2: W Wp W W Wp über, das bekanntlich (vgl. etwa [4]) mit dem charakteristischen Axiom von S4.2, G1, äquivalent ist. Also gilt: S4.2 + DEF 2 EDS4.5 + B2.3 + B2.4. Umgekehrt bleibt nur zu zeigen, dass sowohl DEF 2 als auch das Axiom G1 in EDS4.5 + B2.3 + B2.4 herleitbar sind. Nun folgt aber aus B2.3 unmittelbar Np N Wp, mit B1 also Np W Wp und aus B2.4 ergibt sich Np W Np, daraus mit B1, RN und A6 auch Np W Wp, d. h. W Wp Np, also insgesamt Np W Wp, d. h. DEF 2. Mit DEF 2 ergibt sich die Herleitbarkeit von G1, W Wp W W p, also von Np Mp, trivialerweise aus DA5, so dass Satz 5 vollständig bewiesen ist. Da die den realistischen Vereinfacher auszeichnenden Prinzipien B2.3 und B2.4 intuitiv außer Frage stehen, kann man auf Grund von Satz 5 feststellen, dass die Logik des wirklichen Wissens nicht wie Hintikka meint genau gleich S4, sondern mindestens so stark sein muss wie S4.2. Ein weiteres Argument dafür, dass S4.2 tatsächlich die ( vernünftige ) Logik des Wissens repräsentiert, folgt am Ende des nächsten Abschnitts. V Kommen wir nun zum Kalkül S4.3.2, der zwischen S4.4 und S4.2 angesiedelt ist. Aus seinem charakteristischen Axiom F1: W(Wp q) ( W Wq p) lässt sich zunächst auch dann keine anschauliche, erkenntnistheoretische Position herauslesen, wenn man es mittels (der dort zulässigen ) Definition 2 in das gemischt epistemisch/doxastische Prinzip W(Wp q) (Nq p) überträgt. Was soll das schon heißen, dass wenn a davon überzeugt ist, dass q, und wenn p außerdem falsch ist, a dann wissen muss, dass q wahr ist oder dass er nicht weiß, dass p? Da die erkenntnistheoretische Relevanz dieses Prinzips alles andere als einsichtig ist, wollen wir uns lieber klar machen, was für inhaltlich wohlbestimmte Positionen zwischen dem radikalen und dem realistisch vereinfachenden Epistemologen überhaupt eingenommen werden können. Da der erstere das Schema B2 für sämtliche Sätze, der letztere dagegen nur für alle atomaren rein epistemischen bzw. rein doxastischen Sätze gelten lässt, bleiben theoretisch noch die folgenden sechs Positionen von Interesse: P1 P2 P3 P4 B2 gilt für alle molekularen rein doxastischen Sätze; B2 gilt für alle molekularen rein epistemischen Sätze; B2 gilt für alle molekularen rein doxastischen und rein epistemischen Sätze; B2 gilt für alle doxastischen Sätze; 10

11 P5 P6 B2 gilt für alle epistemischen Sätze; B2 gilt sowohl für alle doxastische als auch für alle epistemische Sätze. Diese Positionen sollen dabei als über B2.3 und B2.4 hinausgehende Zusatzforderungen verstanden werden, wie überhaupt die unproblematische Geltung der beiden letzteren Prinzipien während dieses ganzen Abschnitts vorausgesetzt wird. Man erkennt nun leicht, dass gilt: SATZ 6 Die Position P1 ist mit der Einstellung des realistischen Vereinfachers, die Positionen P4- P6 mit der des radikalen Erkenntnistheoretikers äquivalent. Beweis. A) Mit P4 gilt insbesondere ( p Np) (N( p Np) W( p Np)) und ( p Np) (N( p Np) W( p Np)); da aus p aussagenlogisch ( p Np) ( p Np) folgt, hätte man deshalb Np N( p Np) N( p Np), also insgesamt p (Np W( p Np)) und p (Np W( p Np)), woraus sich dann B2: p (Np Wp) ergibt. B) Ähnlich kann man mit dem aus P5 folgenden Prinzip ( p Wp) (N( p Wp) W( p Wp)) wegen der aussagenlogischen Gültigkeit von p ( p Wp) folgern, dass B2 dann ebenfalls gelten muss. C) Die Gültigkeit von B2 unter der Voraussetzung von P6 ergibt sich aus A bzw. B trivialerweise. D) Ist α ein beliebig komplexer rein doxastischer Satz, so lässt er sich zunächst aussagenlogisch äquivalent in eine konjunktive Normalform α der Gestalt (α 11 α 1n1 ) (α 21 α 2n2 ) (α m1 α mnm ) mit m 1, n j 1 für alle j = 1,, m transformieren, bei der die α ij nun sämtlich atomare rein doxastische Sätze der Gestalt α ij = Nβ ij oder α ij = Mγ ij sind. Gemäß den Reduktionsprinzipien für realistische Vereinfacher B2.4 und B2.5 gilt also für alle i, j: α ij Wα ij. Deshalb folgt aus (α i1 α ini ) für alle i = 1,, m Wα i1 Wα ini und daraus epistemisch-logisch W(α i1 α ini ). Also folgt aus α entsprechend W(α 11 α 1n1 ) W(α m1 α mnm ), und daraus wiederum epistemisch-logisch Wα. Also gilt auch α Wα, d. h. die Gültigkeit von P1 ergibt sich schon aus den realistischen Prinzipien B2.4 und B2.5. Aus Teil D) des Beweises von Satz 6 folgt unmittelbar, dass die restlichen Positionen P3 und P2 zusammenfallen müssen. Es gilt jedoch nicht, dass P2 (=P3) ebenfalls zur Position des realistischen Vereinfachers oder des radikalen Erkenntnistheoretikers führt. So kann man aus den realistischen Prinzipien B2.1-B2.6 beispielsweise nicht die Gültigkeit von B2 für den rein epistemischen Satz (Wp Wq) herleiten, was man sich folgendermaßen klarmacht: Mit (Wp Wq) N(Wp Wq) hat man zunächst unmittelbar ( Wp Wq) ( NWp NWq); obwohl nun aus Nα keineswegs allgemein N α folgt, so gilt doch unter Voraussetzung von B2.5, wie beim Beweis von Satz 5 gezeigt wurde, NWp N Wp; also hat man ( Wp Wq) (N Wp NWq) und damit ( Wp N Wp) (Wq NWq) (Wq N Wp) ( Wp NWq); im Fall des ersten Disjunktionsglieds folgt nach B2.6 W Wp; im zweiten und dritten Fall ergibt sich nach A7 WWq; im letzten Fall: ( Wp NWq) kann jedoch mit den vorliegenden Prinzipien nicht auf die gewünschte Konklusion W( Wp Wq) schließen. Wer das Prinzip B2 für beliebige rein epistemische Sätze gelten lassen will, muss deshalb mindestens B2.7 (Wp Wq) (N(Wp Wq) W(Wp Wq)) als zusätzliches Reduktionsprinzip akzeptieren. Tatsächlich gilt jedoch, dass B2.7 auch das einzige zusätzliche Prinzip ist, das man für die Position P2 (bzw. P3) benötigt: SATZ 7 Die Gültigkeit von P2 (=P3) folgt aus den Prinzipien B2.3, B2.4 und B

12 Beweis. Ist α ein beliebig komplexer rein epistemischer Satz, so kann man ihn zunächst wiederum in seine konjunktive Normalform α der Gestalt (α 11 α 1n1 ) (α 21 α 2n2 ) (α m1 α mnm ) überführen, bei der die α ij nun atomare rein epistemische Sätze der Form Wβ ij bzw. Wγ ij sind; betrachten wir nun ein beliebiges Konjunktionsglied der Normalform, (α i1 α ini ): k dieser n i Atome werden dabei positive Modalitäten der Form Wβ sein (j = 1,, k; 0 k n i ); die übrigen dagegen negative der Form Wγ i (i = 1,, n i -k); man kann die Disjunktion (α i1 α ini ) also äquivalent umordnen in (Wβ 1 Wβ k ) ( Wγ 1 Wγ ni-k ); nun ist ( Wγ 1 Wγ ni-k ) aussagenlogisch äquivalent mit W(γ 1 Wγ ni-k ), also epistemisch-logisch äquivalent mit W(γ 1 γ ni-k ) = Wγ für γ := γ 1 γ ni-k. Gilt nun sowohl α als auch Nα, also insbesondere (Wβ 1 Wβ k ) Wγ und N(Wβ 1 Wβ k Wγ), so auch (Wβ 1 Wβ k ) Wγ und NWβ 1 NWβ k N Wγ, da aus NWβ i gemäß B2.5 wiederum N Wβ i für alle i = 1,, k folgt. Aus Wβ i folgt mit A7 WWβ i, also erst recht W(Wβ 1 Wβ k Wγ); im Falle Wγ und NWβ i ergibt sich diese Konklusion mit B2.7, im Falle Wγ N Wγ dagegen mit B2.6. Insgesamt hat man also (Wβ 1 Wβ k Wγ) N(Wβ 1 Wβ k Wγ) W(Wβ 1 Wβ k Wγ). Da dies analog für alle übrigen Konjunktionsglieder der Normalform gilt, folgt somit α (Nα Wα ), d. h. die Gültigkeit von P2. Nennt man einen Vertreter von Position 2 bzw. 3 einen starken Vereinfacher, und beachtet man, dass wie in [15] bewiesen wurde das rein epistemisch geschriebene Prinzip B2.7, also R1.2 (Wp Wq) ( W W(Wp Wq) W(Wp Wq)) mit dem charakteristischen Axiom vom S4.3.2, F1, äquivalent ist, so folgt aus den Sätzen 5 7 unmittelbar der SATZ 8 Der Kalkül S4.3.2 ist die Logik für starke Vereinfacher. Mit den Prinzipien B2.1 B2.7 scheinen wir alle nahe liegenden, intuitiv einigermaßen anschaulichen Abschwächungen von B2 schon erschöpft zu haben. Deshalb lassen sich die übrigen Kalküle aus dem weiter oben graphisch illustrierten Bereich zwischen S4.2 und S4.4, die theoretisch ebenfalls Logiken für So-und-so-Erkenntnistheoretiker hätten darstellen können, nicht näher inhaltlich charakterisieren. Zwar kann man z. B. sagen, dass die durch den (epistemisch betrachteten) Kalkül S4.3 ausgedrückte Vereinfachungshaltung stärker ist als die eines Realisten und schwächer als die des starken Vereinfachers, doch ist es offensichtlich nicht möglich, diese Position inhaltlich konkret zu bestimmen. Dies gilt auch für die beiden restlichen Kalküle S4.3.1 und S4.2.1; das dort neu hinzukommende Axiom N1, bzw. dessen doxastisch/epistemische Leseart: W(W(p Wp) p) (Np p), drückt nämlich im Antezedens eine dermaßen undurchschaubare Bedingung aus, dass man auf ein intuitives Urteil über die hierin sich ausdrückende epistemologische Position wohl verzichten muss. Da die Systeme S4.3 und S4.3.1 jedoch die eingangs erwähnte alternative Deutung als Zeit logiken besitzen, ist dies kein weiterer Mangel. Vom epistemischen Standpunkt aus kann man lediglich feststellen: Da S N1 bekanntlich den vollen Kalkül S4.4 ergibt (vgl. etwa [23]), ist N1 als Differenz zwischen B2 und B2.7 einzig für radikale Erkenntnistheoretiker akzeptierbar. Welchem Kalkül dürfen wir nun letztendlich das Attribut die Logik des Wissens zuschreiben? Nach den Ausführungen in Abschnitt IV muss es sich um ein System zwischen 12

13 S4.2 und S4.4 handeln; nach den Erkenntnissen in Abschnitt III fällt S4.4 als zu stark aus; nach dem gerade Ausgeführten kommen die Kalküle S4.2.1 und S4.3.1 ebenfalls nicht in Frage. Also bleiben nur S4.2 und S4.3.2 übrig. Nun zeigen aber die Überlegungen zu P2, dass das den starken Vereinfacher auszeichnende Prinzip B2.7 lediglich dazu dient, den Schluss von ( Wp NWq) auf W( Wp Wq) zu rechtfertigen. Da wir separat weder von Wp auf W Wp noch von NWq auf WWq schließen können, scheint aber B2.7 ein intuitiv wenig gerechtfertigtes Ad-hoc-Prinzip darzustellen, so dass insgesamt die Vermutung, dass S4.2 (und nicht S4.3.2) die Logik des Wissens darstellt, gut bestätigt ist. VI Ich möchte nun abschließend noch einige Betrachtungen zu den restlichen Kalkülen aus [S4, S5] und dessen Umfeld anstellen. Als einzige echte Erweiterung von S4.4, die echt in S5 enthalten ist, haben wir den Kalkül S4.6 bzw. S4.9, also S4.4 + Z1 bzw. S4.4 + (W W q W Wq) ( W Wp Wp), (vgl. dazu [26]). Vom epistemisch/doxastischen Standpunkt aus ist diese Erweiterung intuitiv untragbar, denn die letztere Formel lässt sich angesichts der Definierbarkeit von N in S4.4 in das doxastische Prinzip (Mq Nq) (Np p) übersetzen, das als Disjunktion des Unfehlbarkeitsprinzips DA5 und des gleichermaßen unakzeptablen Prinzips der Allüberzeugtheit, (Nq N q), seinerseits unakzeptabel erscheinen muss. Die Inadäquatheit dieses Prinzips wird alternativ auch klar, wenn man das mit ihm äquivalente Axiom Z1 zunächst in die gemischt epistemisch/doxastische Formel Mp Mq W (p q) M(p q), und danach in das rein doxastische Gesetz transformiert: p q Mp Mq M(p q), welches umgangssprachlich besagt: Wenn jemand es sowohl für möglich hält, dass p, als auch für möglich hält, dass q, dann hält er es auch für möglich, dass p und q, vorausgesetzt, dass tatsächlich p und q. Nun gilt für den Begriff des Für-möglich-haltens sicher kein allgemeines Konjunktionsgesetz der Form Mp Mq M(p q), was aufgrund der Tatsache evident ist, dass man es z. B. gleichzeitig für möglich halten kann, dass es am nächsten Tag regnen wird, als auch für möglich halten kann, dass das Gegenteil hiervon eintritt. Und das folgende Gegenbeispiel belegt, dass die obige Einschränkung dieses Konjunktionsprinzips immer noch intuitiv unhaltbar ist: Hans ist davon überzeugt, alle Schwäne seien weiß. Er erfährt, dass sein Freund Max sich einen Vogel als Haustier zugelegt hat. Er glaubt (und hält es deshalb a fortiori für möglich), dass es sich dabei um einen Raben handelt; da er Maxens ausgefallenen Geschmack kennt, hält er es aber auch für möglich, dass dieser einen Schwan gekauft hat. Mit p := Maxens Vogel ist schwarz und q := Maxens Vogel ist ein Schwan gilt dann insbesondere Mp Mq M(p q). Der Zufall (sprich: der Konstrukteur des Beispiels) hat es aber so eingerichtet, dass p q, d. h. dass Maxens Tier tatsächlich ein schwarzer Schwan ist. Also p q Mp Mq M(p q)! Vom epistemischen Standpunkt aus muss das Axiom Z1 und damit neben dem gerade besprochenen System S4.6 = S4.9 = Z9 auch jeder weitere Kalkül Z1 Z8 der so genannten Z-Familie zurückgewiesen werden Für eine Definition der verschiedenen Z-Systeme siehe [22]. Unsere Untersuchung hat streng genommen nur jene Z-Systeme als inadäquat erwiesen, in denen N definierbar ist, also nur die Kalküle Z4-Z9, die S4.2 als Subkalkül enthalten, sowie die Erweiterungen V1 und V2 von Z9 (vgl. [21], Abschnitt 2.3). Aufgrund der 13

14 Ähnlich schaut es in der benachbarten K-Familie (vgl. [20]) aus. Das schwächste K- System, K1, ist definiert als S4 plus, beispielsweise Kb W W p W Wp. Wenn p z. B. die Aussage symbolisiert, dass beim nächsten Wurf mit einer vorliegenden Münze Kopf auftreten wird, so gilt aber mit dem Autor als Bezugsperson sowohl W W p als auch W Wp: ich weiß nämlich, dass ich nicht weiß, ob Kopf oder ob Zahl kommt; da wissen, ob p üblicherweise durch W p := Wp W p formalisiert wird, gilt also mit W W p W( Wp W p), also W Wp W W p. Unter der vorliegenden epistemischen Deutung ist das System K1 also ebenso abzulehnen wie die übrigen Kalküle der K-Familie, 19 so dass nur noch jene Systeme aus [S4, S5] zu betrachten bleiben, die nicht gleichzeitig im Bereich zwischen S4.2 und S4.4 liegen. Da haben wir z. B. den Kalkül S4.04, der aus S4 durch Hinzufügen des Axioms L1 p (W W Wp Wp) entsteht. Die strukturelle Analogie zwischen den Axiomen R1 und L1 könnte die Vermutung nahe legen, dass das System S4.04 sich als Logik für jene unorthodoxen radikalen Erkenntnistheoretiker charakterisieren ließe, die sich auf die in Anm. 8 erwähnte Alternativdefinition von überzeugt sein als wissen, dass man nicht weiß, stützen: DEF 2* Np := W W Wp. Angesichts der in [15] bewiesenen Beziehungen wäre der Kalkül S4.03 := S4 + L1.2 entsprechend die Logik für unorthodoxe starke Vereinfacher, währen die unorthodoxen realistischen Vereinfacher lediglich S4 selber akzeptieren könnten. Doch diese Vermutungen sind nicht haltbar. Man kann sich zwar zunächst leicht klarmachen, dass in DS5 (unter der Voraussetzung von Definition 1) DEF 2* beweisbar ist, so dass da S4.04 Teilkalkül von S4.4 ist gilt: DS5 + DEF 1 S DEF 2*; und umgekehrt kann man mit L1 und DEF 2* die Definition 1 sowie die Axiome DA5, DA6 und DA7 herleiten. Für den Beweis von DA8, das nunmehr die Gestalt annimmt: W W Wp W W W W W Wp, benötigt man jedoch das charakteristische Axiom von S4.2, G1. Da S4.04 plus G1 aber schon S4.4 ergibt, zeigt sich hier noch einmal, dass auch bei alternativer Definition von N der Kalkül S4.4 die Logik für radikale Erkenntnistheoretiker bleibt. Aufgrund der Resultate von Zeman ([24], Abschnitt 3) kann man den Kalkül S4.04 höchstens irreal wie folgt charakterisieren: S4.04 wäre die Logik für radikale Erkenntnistheoretiker, wenn statt des zweiten doxastischen Iterationsprinzips DA8 lediglich die Abschwächung DA8*: Mp MNMp gelten würde. Da vom doxastologischen Standpunkt aus freilich keinerlei Veranlassung besteht, DA8 derart einzuschränken, ist S4.04 samt seiner Erweiterung S4.1.2 := S N1 im Rahmen unserer Betrachtungen ohne Interesse. Dieses Urteil trifft schließlich auch auf die Kalküle S4.02 := S4 + Ł1 und S4.01 := S4 + Γ1 zu, die als Subsysteme von S4.1 := S4 + N1 für epistemischlogische Zwecke irrelevant sind. Nach so vielen negativen Befunden seien zum Abschluss die positiven Hauptresultate unserer Untersuchung noch einmal graphisch durch das folgende Diagramm illustriert: Untersuchungen in [9] darf man jedoch die drei restlichen Systeme Z1 Z3 unter der vorliegenden epistemischen Deutung ebenfalls als unakzeptabel verwerfen. 19 Man kann sich leicht klarmachen, dass z. B. das stärkste K-System K4 := S4.4 + Kb im Sinne von Satz 3 äquivalent mit jenem doxastischen Kalkül ist, der über DS5 hinausgehend noch das Axiom der Allüberzeugtheit : Np N p, enthält. Dies erhellt noch einmal die doxastisch/epistemische Inadäquatheit der K-Systeme. 14

15 Epistemische Epistemisch/doxastische Doxastischer Kalküle Kalküle Kalkül S4.4 + DEF 2 EDS B2 DS 5 + Def. 1 S DEF 2 EDS B2.3 + B2.4 + B2.7 S4.2 + DEF 2 EDS B2.3 + B2.4 Literaturverzeichnis [1] Bacon, J. Belief as relative knowledge, in The Logical Enterprise, hrg. v. A. R. Anderson, R. M. Marcus and R. M. Martin, Yale University Press, 1975, SS [2] Blau, U. Glauben und Wissen. Dissertation, München [3] Byrd, M. E. Knowledge and true belief in Hintikka s epistemic logic, Journal of Philosophical Logic 2 (1973), SS [4] Dummett, M. A. and E.J. Lemmon Modal Logics between S4 and S5, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 3 (1959), SS [5] Georgacarakos, G. N. Semantics for S4.04, S4.4 and S4.3.2, Notre Dame Journal of Formal Logic 17 (1976), SS [6] Gettier, E. Is justified true belief knowledge?, Analysis 23 (1963), SS [7] Goldblatt, R. I. A new extension of S4, Notre Dame Journal of Formal Logic 14 (1973), SS [8] Goldblatt, R. I. Concerning the proper axiom for S4.04 and some related systems, Notre Dame Journal of Formal Logic 14 (1973), SS [9] Goldblatt, R. I. A study of Z modal systems, Notre Dame Journal of Formal Logic 15 (1974), SS [10] Hazen, A. Semantics for S4.2, Notre Dame Journal of Formal Logic 13 (1972), SS [11] Hintikka, J. The modes of modality, Acta Philosophica Fennica 16 (1963), SS ; abgedr. in J. Hintikka Models for Modalities, Dordrecht-Holland: D. Reidel, 1969, SS Die Seitenangaben beziehen sich auf die letztere Fassung. [12] Hughes, G. E. and M. J. Cresswell An Introduction to Modal Logic, London: Methuen & Co., [13] Kutschera, F. Einführung in die intensionale Semantik, Berlin: de Gruyter, [14] Lenzen, W. Probabilistic interpretations of epistemic concepts, 5th International Congress of LMPS, London, Ontario, Canada, 1975, Contributed Papers, SS. IV [15] Lenzen, W. On some substitution instances of R1 and L1, Notre Dame Journal of Formal Logic 19 (1978), SS [16] Lenzen, W. Recent work in epistemic logic, Acta Philosophica Fennica 30, Issue 1 (1978). [17] Lenzen, W. Glauben, Wissen und Wahrscheinlichkeit, erscheint voraussichtlich 1979, Wien: Springer Verlag. [18] Makinson, D. C. There are infinitely many Diodorean modal functions, Journal of Symbolic Logic 31 (1966), SS [19] Prior, A. N. Past, Present and Future, Oxford University Press,