1. Wahrheitswerte. Boole sche Funktionen; der Typ bool; logische und relationale Operatoren; Kurzschlussauswertung.

Transkript

1 1 1. Wahrheitswerte Boole sche Funktionen; der Typ bool; logische und relationale Operatoren; Kurzschlussauswertung.

2 Boole sche Funktionen 2 Boole sche Funktion f : {0, 1} 2 {0, 1} 0 entspricht falsch. 1 entspricht wahr. x y AND(x, y)

3 Boole sche Funktionen 2 Boole sche Funktion f : {0, 1} 2 {0, 1} 0 entspricht falsch. 1 entspricht wahr. x y OR(x, y)

4 Boole sche Funktionen 2 Boole sche Funktion f : {0, 1} {0, 1} 0 entspricht falsch. 1 entspricht wahr. x NOT(x)

5 Vollständigkeit 3 AND, OR und NOT sind die in C++ verfügbaren Boole schen Funktionen. Alle anderen binären Boole schen Funktionen sind daraus erzeugbar. x y XOR(x, y)

6 Vollständigkeit 3 AND, OR und NOT sind die in C++ verfügbaren Boole schen Funktionen. Alle anderen binären Boole schen Funktionen sind daraus erzeugbar. x y XOR(x, y) XOR(x, y) = AND(OR(x, y), NOT(AND(x, y))

7 Vollständigkeit Beweis 4 Identifiziere binäre Boole sche Funktionen mit ihrem charakteristischen Vektor.

8 Vollständigkeit Beweis 4 Identifiziere binäre Boole sche Funktionen mit ihrem charakteristischen Vektor. x y XOR(x, y)

9 Vollständigkeit Beweis 4 Identifiziere binäre Boole sche Funktionen mit ihrem charakteristischen Vektor. x y XOR(x, y) Charakteristischer Vektor: 0110

10 Vollständigkeit Beweis 4 Identifiziere binäre Boole sche Funktionen mit ihrem charakteristischen Vektor. x y XOR(x, y) Charakteristischer Vektor: 0110 XOR = f 0110

11 Vollständigkeit Beweis 5 Schritt 1: erzeuge die elementaren Funktionen f 0001, f 0010, f 0100, f 1000 f 0001 = AND(x, y) f 0010 = AND(x, NOT(y)) f 0100 = AND(y, NOT(x)) f 1000 = NOT(OR(x, y))

12 Vollständigkeit Beweis 6 Schritt 2: erzeuge alle Funktionen durch Veroderung elementarer Funktionen f 1101 = OR(f 1000, OR(f 0100, f 0001 ))

13 Vollständigkeit Beweis 6 Schritt 2: erzeuge alle Funktionen durch Veroderung elementarer Funktionen f 1101 = OR(f 1000, OR(f 0100, f 0001 )) Schritt 3: erzeuge f 0000 f 0000 = 0.

14 Der Typ bool 7 Repräsentiert Wahrheitswerte. Literale true und false. Wertebereich {true, f alse} bool b = true; // Variable mit Wert true

15 bool vs int: Konversion 8 bool kann (leider) überall dort verwendet werden, wo int gefordert ist und umgekehrt.

16 bool vs int: Konversion 8 bool kann (leider) überall dort verwendet werden, wo int gefordert ist und umgekehrt. bool int true 1 false 0

17 bool vs int: Konversion 8 bool kann (leider) überall dort verwendet werden, wo int gefordert ist und umgekehrt. bool int true 1 false 0 int bool 0 true 0 false

18 bool vs int: Konversion 8 bool kann (leider) überall dort verwendet werden, wo int gefordert ist und umgekehrt. Viele existierende Programme verwenden statt bool oft nur die int-werte 0 und 1. Das ist schlechter Stil, der noch auf die Sprache C zurückgeht. bool int true 1 false 0 int bool 0 true 0 false

19 Logische Operatoren 9 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Logisches Und (AND) && 2 6 links Logisches Oder (OR) 2 5 links Logisches Nicht (NOT)! 1 16 rechts bool ( bool) bool R-Wert ( R-Wert) R-Wert

20 Relationale Operatoren 10 Symbol Stelligkeit Präzedenz Assoziativität Kleiner < 2 11 links Grösser > 2 11 links Kleiner gleich <= 2 11 links Grösser gleich >= 2 11 links Gleich == 2 10 links Ungleich!= 2 10 links Zahlentyp Zahlentyp bool R-Wert R-Wert R-Wert

21 DeMorgan sche Regeln 11!(a && b) == (!a!b)!(a b) == (!a &&!b)

22 DeMorgan sche Regeln 11!(a && b) == (!a!b)!(a b) == (!a &&!b)! (reich und schön) == (arm oder hässlich)

23 Präzedenzen 12 Binäre Arithmetische Operatoren binden stärker als relationale Operatoren und diese binden stärker als binäre logische Operatoren. 7 + x < y && y!= 3 * z

24 Präzedenzen 12 Binäre Arithmetische Operatoren binden stärker als relationale Operatoren und diese binden stärker als binäre logische Operatoren. (7 + x) < y && y!= (3 * z)

25 Präzedenzen 12 Binäre Arithmetische Operatoren binden stärker als relationale Operatoren und diese binden stärker als binäre logische Operatoren. ((7 + x) < y) && (y!= (3 * z))

26 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x!= 0 && z / x > y

27 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 1 x!= 0 && z / x > y

28 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 1 true && z / x > y

29 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 1 true && z / x > y

30 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 x!= 0 && z / x > y

31 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 false && z / x > y

32 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 false

33 Kurzschlussauswertung 13 Logische Operatoren && und werten den linken Operanden zuerst aus. Falls das Ergebnis dann schon feststeht, wird der rechte Operand nicht mehr ausgewertet. x hat Wert 0 x!= 0 && z / x > y Keine Division durch 0