Themenerläuterung Ähnlich dem Kapitel Quadratische Pyramiden geht es in diesem Kapitel um regelmäßige Pyramiden mit anderen Grundflächen als einem Quadrat. Es kommen dreiseitige, fünfseitige, sechsseitige und achtseitige Pyramiden vor. Die Aufgabenstellung entspricht der aus Kapitel Quadratische Pyramiden. Die wichtigsten benötigten Formeln 1. Satz des Pythagoras Ist im rechtwinkligen Dreieck die Hypothenuse (= längste Seite) und und die beiden Katheten, so gilt: bzw. bzw. bzw. 2. Die trigonometrischen Formeln Die Hypothenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel, um den es geht, gegenüber liegt. Die Ankathete ist die Kathete, die an dem Winkel, um den es geht, anliegt. 3. Regelmäßige Dreieckpyramide 3.1 Volumen, Oberfläche und Mantel Das Volumen einer gleichmäßigen Dreieckspyramide errechnet sich aus! & # % mit # 3 (Fläche eines " ' gleichseitigen Dreiecks), ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe der Pyramide. Der Mantel der Pyramide errechnet sich aus ) " %, ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks. Die Oberfläche der Pyramide errechnet sich aus *#) mit # & ' 3 und )" %, ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks.
3.2 Höhe der Pyramide sind, lässt sich die Höhe % ermitteln: a) aus dem Volumen über %! + & ", ist b) über die Seitenkante und der Höhe % der Grundfläche mit %, - " %. mit % 3, ist Seitenkante der Grundfläche. c) über die Höhe % / eines Seitendreicks und der der Höhe % der Grundfläche mit %,% / -! % ". mit % 3, ist 3.3 Höhe der Seitendreiecke der Pyramide Je nachdem, welche Werte vorgegeben sind, lässt sich die Höhe % / der Seitendreiecke ermitteln: a) aus dem Mantel über % / 0 ", ist b) über die Seitenkante der Pyramide und der Seitenkante der Grundfläche mit % /, -. c) über die Höhe % der Pyramide und der Höhe % der Grundfläche mit % /,% -! % ". mit % 3, ist 3.4 Länge der Seitenkante der Seitendreiecke sind, lässt sich die Länge der Seitenkante der Seitendreiecke ermitteln: a) über die Höhe % der Pyramide und der Höhe % der Grundfläche mit,% - % ". mit % 3, ist b) über die Höhe % / der Seitendreiecke und der Seitenkante der Grundfläche mit,% / -..
4. Regelmäßige Sechseckpyramide 4.1 Volumen, Oberfläche und Mantel Das Volumen einer gleichmäßigen Sechseckpyramide errechnet sich aus! " # % mit # " 3 (Fläche eines regelmäßigen Sechsecks), somit & % 3. ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe der Pyramide. Der Mantel der Pyramide errechnet sich aus )3 %, ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks. Die Oberfläche der Pyramide errechnet sich aus *#) mit # " 3 und )3 %, ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks. 4.2 Höhe der Pyramide sind, lässt sich die Höhe % ermitteln: a) aus dem Volumen über % + & ", ist b) über die Seitenkante eines Seitendreiecks und der Länge der Grundfläche mit %. c) über die Höhe % / eines Seitendreicks und der Höhe 1 eines Teildreieckes der Grundfläche %,% / 1 mit 1 3, ist 4.3 Höhe der Seitendreiecke der Pyramide sind, lässt sich die Höhe % / der Seitendreiecke ermitteln: a) aus dem Mantel über % / 0, ist " b) über die Seitenkante der Pyramide und der Seitenkante der Grundfläche mit % / c) über die Höhe % der Pyramide und der Höhe 1 eines Teildreiecks der Grundfläche mit % / % 1 mit 1 3, ist Seitenkante der Grundfläche.
4.4 Länge der Seitenkante der Seitendreiecke sind, lässt sich die Länge der Seitenkante der Seitendreiecke ermitteln: a) über die Höhe % der Pyramide und der Länge mit %, ist Seitenkante der Grundfläche. b) über die Höhe % / der Seitendreiecke und der halben Länge mit,% / -., ist 5. Regelmäßige -Eckpyramide Die nachfolgenden Regeln und Formeln werden beispielhaft an einer 5-Eckpyramide erläutert. Grundlage der Betrachtung ist dabei die Grundfläche, die ja aus einem regelmäßigen -Eck besteht. Wie du aus der Grafik erkennst, ist die Grundfläche des -Ecks in kongruente Dreiecke unterteilt. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, das heißt, ist die Grundeite und 1 sind die beiden gleich langen Schenkel jeden Dreiecks. % ist die Höhe dieser Dreiecke. 3 ist der Spitzenwinkel und ist der Basiswinkel. Wenn du nun die Spitzenwinkel zusammenzählst, müssen ja 360 herauskommen, denn einmal um die Mittelpunkt herum entspricht ja 360. Aus dieser Gesetzmäßigkeit heraus kannst du in jeder Eckaufgabe sofort die Größe der Winkel und 3 bestimmen, denn es gilt: 3 "78!98 :; Hast du die Winkel bestimmt, steht der Berechnung der Seitenlänge 1 sowie der Grundflächendreieckshöhe % nichts mehr im Wege. Berechnung von 1: < => =; 1 => =; oder 1,% -. Sinussatz Satz des Pythagoras Für letzteres benötigst du jedoch zuerst die Berechnung von %.
Berechnung von % : % CDE > A B & Weiterhin ermöglicht dir dies jetzt auch die Berechnung der Fläche des regelmäßigen Ecks. Die Fläche eines einzelnen Teildreiecks ist: F G<=H! 1 3 trigonometrischer Flächeninhalt oder F G<=H! % Und hieraus dann die Fläche des Ecks: F :JH F G<=H 1 3 bzw. F :JH F G<=H % 5.1 Volumen, Oberfläche und Mantel Das Volumen einer regelmäßigen Fünfeckpyramide errechnet sich aus! " # % mit # 1 3 (Fläche eines regelmäßigen -Ecks), somit: 7 1 3 %. Alternativ # % somit: 7 % %. ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe der Pyramide. Der Mantel der Pyramide errechnet sich aus ) %, ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks. Die Oberfläche der Pyramide errechnet sich aus *#) somit: # 1 3 und ) %. Alternativ: # % und ) %. ist Seitenkante der Grundfläche, % ist die Höhe eines Seitendreiecks. 4.2 Höhe der Pyramide sind, lässt sich die Höhe % ermitteln: a) aus dem Volumen über % 7 + 7 +, alternativ %. < & =; A b) über die Seitenkante eines Seitendreiecks und der Länge der Grundfläche mit % 1. c) über die Höhe % / eines Seitendreicks und der Höhe % eines Teildreieckes der Grundfläche %,% / % mit % CDE >, ist
4.3 Höhe der Seitendreiecke der Pyramide sind, lässt sich die Höhe % / der Seitendreiecke ermitteln: a) aus dem Mantel über % / 0, ist b) über die Seitenkante der Pyramide und der Seitenkante des -Ecks mit % /, -. c) über die Höhe % der Pyramide und der Höhe % eines Teildreiecks der Grundfläche mit % /,% % mit % CDE >, ist Seitenkante der Grundfläche. 4.4 Länge der Seitenkante der Seitendreiecke sind, lässt sich die Länge der Seitenkante der Seitendreiecke ermitteln: a) über die Höhe % der Pyramide und der Länge 1 der Seitenkante eines Teildreiecks der Grundfläche mit % 1, 1 => =;. b) über die Höhe % / der Seitendreiecke und der halben Länge mit,% / -., ist
Übungsaufgaben im Stil der Abschlussprüfung Aufgabe A1 Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben: 14,8 O (Seitenkante) %12,3 O (Höhe) Berechnen Sie die Oberfläche * der Pyramide. Lösung: *499,5 O Aufgabe A2 Gegeben ist eine regelmäßige dreiseitige Pyramide mit 7,8 O (Seitenkante) % 7,1 O (Höhe der Seitenfläche) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. Lösung: 41,1 O " Aufgabe A3 Das Volumen einer regelmäßigen sechsseitigen Pyramide ist 133,8 O " groß. Die Körperhöhe % ist 7,3 O lang. Berechnen Sie die Größe der Mantelfläche ) der Pyramide. Lösung: )114,8 O Aufgabe A4 Die Zeichnung zeigt einen zu einem Parallelogramm umgelegten Mantel einer regelmäßigen achtseitigen Pyramide. Es gilt: )267,8 O S21,6 O Berechnen Sie den Neigungswinkel T der Seitenkanten zur Grundfläche der Pyramide. Für das Volumen einer zweiten Pyramide mit derselben Grundfläche gilt: 2216,0 O ". Berechnen Sie die Körperhöhe dieser Pyramide. Lösung: T56,2 %47,2 O
Hinweis zu den Lösungen In den Graphiken stellen grüne Linien, Werte und Flächen vorgegebene Werte, rote Linien, Werte und Flächen gesuchte Werte und blaue Linien, Werte und Flächen zu ermittelnde Zwischenwerte zur Erreichung der Endergebnisse dar. Lösung A1 Detaillierte Lösung: Für die Oberfläche der Pyramide benötigen wir den Flächeninhalt der Grundfläche, diese ist ein regelmäßiges Fünfeck, sowie den Flächeninhalt einer Seitenfläche, jede Seitenfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck. Lösungsschritte: 1. Berechnung des Flächeninhalts der Grundfläche. Hierzu benötigen wir den Winkel und die Strecke. Die Strecke ermitteln wir über den Satz des Pythagoras aus den gegebenen Seiten und. 14,8 12,3 67,75 8,23 Der Winkel errechnet sich aus: 72. Über die trigonometrische Flächenformel des Dreiecks erhalten wir den Flächeninhalt der Grundfläche über: 8,23 72 161,0 2. Berechnung des Flächeninhalts des Mantels der Pyramide aus fünfmal dem Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Hierzu benötigen wir die Strecke sowie die Seitenhöhe. Die Strecke ermitteln wir über den, denn im Teildreieck der Grundfläche gilt:! " # 2 2 8,23 36 9,67 ; 2 Die Höhe ' des Seitendreicks berechnen wir nun über den Satz des Pythagoras aus der bekannten Strecken und der noch unbekannten Strecke (. Für ( gilt: )* +! # ( )* 8,23 )*36 6,66 ', - (,12,3-6,66 Satz des Pythagoras ',195,6514,0 Der Flächeninhalt eines Seitendreiecks ist nun:. /0' 1 ' 1 9,67 1467,69. Die Mantelfläche der Pyramide ist also 2 5. /0' 5 67,69338,45
3. Addition von Grundfläche und Mantelfläche ergibt Oberfläche der Pyramide. 3-2 161,0-338,45499,45 Die Oberfläche der Pyramide beträgt 499,5 )4. Lösung A2 Lösungslogik Mit 5 67# 1 benötigen wir bei gegebener Höhe den Flächeninhalt der Grundfläche. Bei einer dreiseitigen Pyramide ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Kantenlänge. Die Strecke ( halbiert den Dreieckswinkel 60. Berechnung der Strecke über den Satz des Pythagoras mit gegebenem und '. Berechnung der Strecke ( über die Höhenformel eines gleichseitigen Dreiecks. Berechnung von über die Flächenformel eines Dreiecks. Berechnung von (8 über den 930. Berechnung der Höhe der Pyramide über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Volumens der Pyramide. Klausuraufschrieb : 1; 60 gleichseitiges Dreieck : ( : ( < ',7,8 7,1 Satz des Pythagoras ( 10,433,23 6,46 ( ( 33,23 35,60 : 1 ( 1 6,46 5,618,01 (8 : 9> +!8! " (8 ( 9> 3,23 930 1,86 ( : < ' (,7,1 1,86 Satz des Pythagoras,46,956,85 5 67# : 5 67# 1 1 18,01 6,8541,12 Die Pyramide hat ein Volumen von 41,1 )4.
Lösung A3 Lösungslogik Mit 5 67# 1 und der gegebenen Höhe der Pyramide kann der Flächeninhalt der Grundfläche berechnet werden. Bei einer sechsseitigen regelmäßigen Pyramide ist die Grundfläche ein Sechseck, welches in sechs gleichseitige Dreiecke aufgeteilt werden kann. Jedes dieser sechs Dreiecke hat 1 der Grundfläche als Flächeninhalt. Über die Flächeninhaltsformel für ein gleichseitiges Dreieck kann somit als auch ( berechnet werden. Damit ist es möglich, die Seitenhöhe ' über den Satz des Pythagoras zu berechnen. Hieraus wiederum ergibt sich der Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Der Mantel der Pyramide ist dann 6 mal der Flächeninhalt eines Seitendreiecks. Klausuraufschrieb : 5 67# 1 3; @ ABC 55,0 +. E/F :. E/F 1 1 55,09,16 :. E/F (" G G E HIJ 4,6 1,; D, 3 Fläche gleichseitiges Dreieck G K,1 21,16 ( : ( ( 3 Höhe gleichseitiges Dreieck ( G, ' : ', - (,7,3-3,98 Satz des Pythagoras ' 69,168,32. EL' :. EL' 1 1 4,6 8,3219,136 2 67# : 2 67# 6. EL' 6 19,136114,816 Die Pyramide hat eine Mantelfläche von 114,8 )4.
Lösung A4 Lösungslogik Eine achtseitige Pyramide hat 8 Seitenflächen als gleichschenklige Dreiecke. Über die gegebene Mantelfläche 2 und die Länge M lässt sich ' ermitteln. Aus der gegebenen Länge M errechnet sich. Berechnung des Innenwinkels > und N. Berechnung der Höhe ( über den 9 N. Berechnung von über den Satz des Pythagoras. Berechnung der Strecke über den Satz des Pythagoras. Berechnung des Winkels O über den Tangens aus und. Berechnung der Grundfläche des Achtecks. Berechnung der Höhe der zweiten Pyramide.
Klausuraufschrieb ' :. 6(#(PPQPRS#(TT M :M ' F D,; Q 1, : Q 1, G G >: > 45 ; N ; ( : 9 N! " (! " U( V " 22,5 Achteck +! ( ; 9 N,D U(, 6,52 :, (,12,40 6,52 Satz des Pythagoras,111,2510,55 : < ( -W ( X,6,52-2,7 Satz des Pythagoras 49,807,06 O: 9O + 1, # D, O 9 Y1 Z1,4943[56,2 : 8 1 ( acht Einzeldreiecke 8 1 5,4 6,52140,832 : 5 67# 1 3; @ ABC \ 1 1G,; 47,2051 Der Neigungswinkel O der Seitenkante zur Grundfläche beträgt 56,2. Die zweite Pyramide hat eine Höhe von 47,2 )4.