A Erste Übungseinheit

A Erste Übungseinheit A.1 MATLAB Die Übungen beginnen mit einer Einführung in die Rechen- und Programmierumgebung MATLAB (steht abkürzend für MATrix LABoratorium ). Dieses Programm ist inzwischen auch in der industriellen Praxis ein Standardwerkzeug für technisch-wissenschaftliche Berechnungen. Für viele numerischen Aufgaben bietet MATLAB Lösungsfunktionen und Methoden zur Visualisierung. Gleichzeitig ist es eine moderne Programmiersprache, in der Sie eigene Anwendungen entwickeln können. Die Übungen sollen Ihnen eine rasche Einführung geben. Umfang dieser Übungseinheit: Die allererste MATLAB-Sitzung, Minimalversion: Programmaufruf, Grundrechnungsarten, Standardfunktionen, Sitzung speichern, Programm beenden. Auswerten von Formeln. Funktionsgraphen. A.2 Der Anfang Sie lernen hier einfache arithmetische Berechnungen wie Sie Variablen Werte zuweisen wann Sie in Rechenausdrücken Klammern setzen müssen Format-Optionen für die Ausgabe am Bildschirm MATLAB-Befehle in einer Skript-Datei zu speichern MATLAB zu verlassen. An MATLAB-Befehlen und -Operatoren verwenden Sie: + / ˆ sin cos log exp... format ; quit Grundrechnungsarten elementare Funktionen Ausgabeformat einstellen Ausgabe unterdrücken MATLAB beenden Starten Sie MATLAB auf den Rechnern des Übungsraumes wie übliche MS- Windows-Anwendungen durch Doppelklick auf das MATLAB-Zeichen. Sobald die 90

MATLAB-Benutzeroberfläche (MATLAB Desktop) am Schirm erscheint, sind Sie bereit für die erste Lektion. Fürs Erste arbeiten wir nur in der Command Window (mittleres Fenster). Um die weiteren Fenster im rechten und linken Bereich (Current Directory, Workspace, Command History) kümmern wir uns später. Wenn die MATLAB-Benutzeroberfläche anders aussieht vielleicht hat jemand vor Ihnen das Layout verändert dann stellen Sie über die Menüpunkte Desktop Desktop Layout Default die voreingestellte Oberfläche wieder her. Fangen Sie an und geben Sie die folgenden Befehle ein. Was Sie eintippen sollen, ist durch vorangestelltes >> markiert. Darunter folgt die Antwort von MATLAB (das, was Sie auf dem Schirm sehen sollten, nachdem Sie die Eingabetaste gedrückt haben). >> 3 2 ans = 1 >> ans ans = 1 >> zwa=ans+ans zwa = 2 >> y=2ˆ2 + log (pi ) sin (zwa ) ; >> y y = >> 5.0409 Geben Sie 3-2 ein. Das Resultat wird unter dem Standard-Namen ans (wie eins, oder answer, je nach Muttersprache) gespeichert. Sie können das Resultat unter der Bezeichnung ans jederzeit wieder abrufen...... oder in weiteren Rechenausdrücken verwenden. Sie koennen den Wert eines Ausdrucks auch einer Variablen zuweisen. Beachten Sie: Die Unterlagen zeigen MATLABs reservierte Schlüsselwörter fett gedruckt; selbst gewählte Variablennamen sind in Normalschrift gesetzt. Vergleiche: ans, zwa. Sie berechnen 2 2 + log(π) sin(2). Ein Strichpunkt am Ende unterdrückt Ergebnis-Ausgabe und Zeilenvorschub. MATLAB erinnert sich trotzdem an y. Sie können den Wert von y jederzeit abrufen, indem sie einfach y eintippen 91

>> theta=acos( 1) theta = 3.1416 MATLAB kennt trigonometrische Funktionen. Das ist der Arcus Cosinus von -1 (IM BOGENMASS!!!) >> help elfun Elementary math functions. Trigonometric. sin Sine.... MATLAB kennt eine große Menge sogenannter elementarer Funktionen. Sie können so eine Liste verfügbarer Funktionen aufrufen. Zu jeder einzelnen Funktion lässt sich weitere Hilfe anfordern. Versuchen Sie, über die verschiedenen Möglichkeiten der MATLAB-Hilfe herauszufinden: Wie heißt die Funktion csc mit vollem Namen, und wie ist sie definiert? A.2.1 Anzeigeformat einstellen >> format short e >> theta theta = 3.1416 e+000 Das Anzeigeformat von Gleitkommazahlen lässt sich über die format-anweisung steuern. Es folgen noch weitere Beispiele. A.2.2 Eingabe wiederholen, frühere Befehle kopieren Wenn Sie sich irgendwo vertippen und die Eingabe wiederholen müssen, brauchen Sie nicht alles erneut eintippen. Sie können mit der Taste früher eingegebene Befehle hereinholen und gegebenenfalls korrigieren. Wenn Sie den oder die ersten Buchstaben eines früheren Befehls eingeben und dann tippen, erinnert sich MATLAB und vervollständigt jene Befehle, die mit diesen Buchstaben begannen. Sie können auch aus dem Fenster rechts unten, der Command History, Befehle mit Rechtsklick-Copy kopieren und mit Rechtsklick-Paste in das Command-Window einfügen. Noch schneller geht Rechtsklick-Evaluate Selection oder Markieren- F9 92

>> format long >> theta theta = 3.14159265358979 >> format long e >> theta Geben Sie den Befehl format long e nicht direkt ein, sondern drücken Sie die Taste und ergänzen Sie nur den vorigen Befehl format long. Versuchen Sie auch Kopieren oder direkte Auswertung aus dem Command History-Fenster. theta = 3.141592653589793 e+000 A.2.3 Notbremse >> 0:10000 ans = Columns 1 through 13... 0 1 2 3 9990 9991 Columns 9997 through 10001 Dieser Befehl erzeugt eine lange Liste. Er dient hier nur als Beispiel für eine Anweisung, die den Schirm mit Unmengen von Output vollramscht. Solche Befehle sollten Sie einen Strichpunkt abschließen. Dann werden intern die Berechnungen durchgeführt, aber Bildschirmausgabe unterdrückt. 9996 9997 >> >> 0:10000; >> So ists besser. Wenn aber doch einmal versehentlich eine Anweisung nicht und nicht enden will: Die Strg C -Taste beendet die laufende MATLAB-Berechnung. Sie können damit auch begonnene Befehlszeilen löschen. Wenn MATLAB auch auf Strg C nicht reagiert, lässt es sich nur mehr über den Windows Task Manager stoppen. Dann ist aber die gesamte Sitzung mit allen bisher berechneten Werten verloren. 93

A.2.4 Danke, hamma wieder was gelernt, bis zum nächsten Mal! >> quit Servus und Baba! Das ist die korrekte Art, sich von MATLAB zu verabschieden. Sie können auch, wie bei jedem Windows-Programm, über die Menüleiste (File Exit MATLAB) oder durch Klick auf die Schließen - Schaltfläche aussteigen. A.2.5 Übungsbeispiele Die Übungsaufgaben zeigen Ihnen noch etwas mehr über arithmetische Operationen, Exponentialfunktion, Logarithmen, trigonometrische Funktionen und komplexe Zahlen. Arbeiten Sie die folgenden Beispiele, soweit möglich, durch und tragen Sie die Ergebnisse in den vorgesehenen Feldern ein. Aufgabe 1 Die format-funktion: Damit steuern Sie das Ausgabeformat numerischer Werte in der Command-Window. Sie beienflussen nur die Anzeige, nicht die interne Genauigkeit, mit der MATLAB die Werte speichert. Die Anweisung format allein setzt das Ausgabeformat auf die Standardeinstellung, fünf Ziffern. format type setzt das Format auf den gewünschten Typ gemäß der untenstehenden Tabelle. Wert für type bewirkt zum Beispiel bank Euro und Cent 3.14 short 5-stellige Festkommazahl 3.1416 short e 5-stellige Gleitkommazahl 3.1416e+00 long 15-stellige Festkommazahl 3.14159265358979 long e 16-stellige Gleitkommazahl 3.141592653589793e+00 rat (Näherungs-) Bruch 355/113 compact unterdrückt Leerzeilen loose mit Leerzeilen zur besseren Lesbarkeit Berechnen Sie die Werte in der folgenden Tabelle. Tragen Sie die Ergebnisse (im angegebenen Format) ein. Die Quadratwurzel x kann man mit den Befehlen sqrt(x) oder x^0.5 berechnen. 2 π 10 bank short short e long long e rat 94

Aufgabe 2 Weitere arithmetische Operationen: Berechnen Sie 2 5 2 5 1 (1 1 2 5 ) 1 3 5 1 ( 5+1) 2 1 Aufgabe 3 Exponentialfunktion und Logarithmus: Die mathematischen Funktionen e x, log x und log 10 x berechnet man als exp(x), log(x) bzw. log10(x). Achtung! MATLAB bezeichnet mit log(x) den natürlichen Logarithmus. Taschenrechner nennen die zuständige Taste üblicherweise ln x. Berechnen Sie e 3 log(e 3 ) log 10 (e 3 ) log 10 (10 5 ) e π 163 x aus 3 x = 17 Drücken Sie aus der Gleichung 3 x = 17 die Unbekannte x aus (erster Schritt: Gleichung logarithmieren) und errechnen Sie das Resultat. Aufgabe 4 Trigonometrie: MATLAB kennt die sechs Winkelfunktionen Sinus, Cosinus, Tangens, Cotangens, Secans und Cosecans als sin, cos, tan, cot, sec, csc. Die entsprechenden Arkus-Funktionen (Umkehrfunktionen) heißen asin, acos, atan usw. Genauso funktioniert es für Hyperbelfunktionen: sinh, cosh, tanh,... und asinh, acosh, atanh,... Berechnen Sie sin π 6 cos π tan π 2 sin 2 π 6 + cos2 π 6 = (Wenn Sie sin 2 x als sin^2(x) eintippen, folgt eine Fehlermeldung!) cosh 2 x sinh 2 x = x = 10 x = 100 Es gilt allgemein: cosh 2 x sinh 2 x = 1 Haben Sie eine Erklärung, warum Matlab in einem der Fälle offensichtlich falsch rechnet? Aufgabe 5 95

Komplexe Zahlen: MATLAB erkennt die Buchstaben i und j als die imaginäre Einheit 1. Die komplexe Zahl 2+5i können Sie als 2+5i oder 2+5*i eingeben. Die erste Variante interpretiert MATLAB immer als komplexe Zahl; die zweite nur wenn i nicht vorher ein Wert zugewiesen wurde. Dasselbe gilt für j. Berechnen Sie 1+3i 1 3i = Berechnen Sie für x = π 4 e ix = cos x + i sin x. linke und rechte Seite der Eulerschen Formel Lassen Sie exp(pi/2*i) und exp(pi/2i) auswerten. Können Sie sich die unterschiedlichen Ergebnisse erklären? Aufgabe 6 Prioritäten setzen: Bei zusammengesetzten Rechenausdrücken gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung: 2+3 4 = 14 Ausnahme: negatives Vorzeichen kommt vor Punktrechnung: 2 3 = 6 Bei gleichrangigen Operatoren Auswertung von links nach rechts: 4/3 6/2 = 4 Potenz hat höchste Priorität: 5+4 3ˆ2 = 41 Mit Klammern ist alles anders: 4/(3 6)/2 = 0.1111 ((5+4) 3)ˆ2 = 729 Wie werden die folgenden Ausdrücke ausgewertet? Begründung? Schreiben Sie die Terme in der üblicher Weise mit Klammern an. 3 2ˆ4/8 3 2 4096ˆ0.5/2ˆ3ˆ2 2ˆ 2 96

3 + + 2 A.3 Speichern von Befehlen in einer Skript-Datei Wenn Sie bis jetzt emsig gearbeitet haben, wollen Sie vielleicht auch Ihr Werk abspeichern. Das Fenster links unten, die Command History, hat alle Befehle soweit getreulich bewahrt. Scrollen Sie durch die Befehle der Command History. Sie sehen alle von Ihnen eingegebenen Befehle. Wenn Sie weiter in die Vergangenheit zurückscrollen, finden Sie durch Datum- und Zeitangabe gekennzeichnet Befehle früherer Sitzungen. Sie lassen sich durch Anklicken öffnen oder schließen. Angenommen, Sie wollen einige Befehle von zwei Übungsaufgaben speichern. Gehen Sie so vor: Markieren Sie (Klick!) den ersten Befehl; halten Sie die Umschalttaste gedrückt und scrollen sie in der Befehlsliste nach unten; markieren Sie (Klick!) den letzten Befehl. Die markierten Befehle sind nun dunkelblau hinterlegt. Recktsklick Create M-File. Es öffnet sich ein Fenster des Editors. Lassen Sie sich vorläufig nicht von den Farbmarkierungen verwirren, und auch nicht von den Meldungen, die der Editor zeigt, wenn Sie den Mauszeiger auf so eine Markierung hinbewegen. Löschen Sie unnötige Zeilen. Empfehlenswert ist, Kommentare (beginnen mit %) einzufügen. Ihre Datei könnte dann so aussehen: Speichern Sie Ihre Befehle in der Windows-üblichen Weise (Menü File Save as...) als Datei am besten gleich direkt auf einen mitgebrachten USB-Stick. MATLAB Skript-Dateien bekommen dabei automatisch den Typ -.m. 97

Mit dem Start-Symbol oben in der Menüleiste können Sie ihre Befehle als Skript- M-Datei starten. Das wirkt so als würden Sie die Befehle direkt ins Command Window eingeben. Die entsprechende Ausgabe erscheint im Command Window. A.4 Funktionen vom Typ y = f(x) zeichnen In diesem Abschnitt sollen Sie lernen, mit der Anweisung plot einfache Funktionsgraphen in der xy-ebene (Die MATLAB-Hilfe spricht von linear 2D-plots ) zu erstellen. Arbeiten Sie das folgende Beispiel durch. Es sollen die Graphen zweier Funktionen, y = 3 cosx und z = log x für den Definitionsbereich 0 < x 25 gezeichnet werden. >> x=linspace (0.1,25,50) x = Columns 1 through 7 0.1000 0.6082 1.1163 1.6245 2.1327 2.6408 3.1490....... Columns 43 through 49 21.4429 21.9510 22.4592 22.9673 23.4755 23.9837 24.4918 Column 50 Damit erzeugen Sie einen Zeilenvektor x, der 50 äquidistante Werte im Intervall [0, 1; 25] enthält. Entsprechend lang ist der Output am Schirm. 25.0000 >> x=linspace (0.1,25,100); >> y = 3 cos (x ) ; >> plot (x, y) Sie sehen, es werden tatsächlich 50 Werte erzeugt. In MATLABs Sichtweise ist x eine Matrix mit einer Zeile und 50 Spalten (deswegen Columns im Output). Wiederholen Sie die Eingabe (mithilfe der Pfeiltaste), aber lassen Sie 100 Werte berechnen und fügen Sie einen Strichpunkt zum Abschluss an: Dadurch wird die Ausgabe unterdrückt und der Bildschirm bleibt übersichtlicher. Übrigens werden, auch wenn Sie die Anzahl der Werte nicht angeben, also den Befehl in der Form x=linspace(0.1,25); verwenden, standardmäßig 100 Werte erzeugt. Dieser Befehl berechnet für jede Komponente im Vektor x den entsprechenden y-wert. Und damit erhalten Sie eine Zeichnung des Funktionsgraphen. 98

>> z=log (x ) ; >> plot (x, y, x, z ) Erzeugen Sie gleich noch einen zweiten Vektor, der den Funktionswerten von log x entspricht. Sie können beide Funktionsgraphen in ein Schaubild zeichnen. Achten Sie darauf, dass für die zweite Funktion nochmal die Angabe der x-werte notwendig ist, obwohl beiden Funktionsgraphen die gleichen x-werte zugrunde liegen. 4 3 2 1 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 Der Graph sollte der obigen Abbildung entsprechen. Die Schnittpunkte der beiden Kurven entsprechen Lösungen der Gleichung 3 cos x = log x Vergleichen Sie dazu Abbildung 1 und Kapitel 1.4 im Vorlesungsskriptum, wo dieses Beispiel ausführlich diskutiert wird. Wenn Sie die Zoom-in-Schaltfläche (mit dem Lupen-Symbol) anklicken, können Sie danach mit der Maus einen Bereich der Graphik vergrößert darstellen. Sie können also die Lösungen der Gleichung 3 cos x = log x nähherungsweise aus der graphischen Darstellung ablesen. Das untenstehende Beispiel zeigt zwei Lösungen in der Nähe von x = 11, 9 und x = 13, 1. 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 11.4 11.6 11.8 12 12.2 12.4 12.6 12.8 13 13.2 Die Vergrößerung zeigt aber auch, dass nicht die wirklichen Funktionen dargestellt werden, sondern die einzelnen Datenpunkten der Vektoren x, y und z stückweise durch Geraden verbunden sind. Deswegen kann man aus der Graphik die Lösungen der Gleichung 3 cos x = log x natürlich nur im Rahmen der Zeichengenauigkeit darstellen. Außerdem zeigt die Achsen-Beschriftung, auch wenn Sie noch so stark zoomen, nicht mehr als drei oder vier Nachkommastellen an. 99

A.5 Weitere Übungsbeispiele Sie können, so weit Sie kommen, die folgenden Beispiele während dieser Übungseinheit ausarbeiten oder sonst auf Ihrem eigenen Rechner fertigstellen. Speichern Sie die Aufgaben als Skript-Dateien auf einem USB-Datenträger, sodass Sie bei Befragungen Ihre Beispiele vorweisen können. Aufgabe 7 Lösungen von 3 cos x = log x: Fertigen Sie eine genauere Version der obigen Funktionsgraphen mit 1000 Datenpunkten an und bestimmen Sie daraus alle Lösungen der Gleichung. Hinweis: Beginnen Sie mit x=linspace(0.1,25,1000); Die Lösungen sind (auf drei Nachkommastellen genau): Aufgabe 8 Quadratische Gleichung: Gesucht ist (Genauigkeitformat long e) die kleinere Wurzel von x 2 12345678x+ 9 = 0 Die gängige Lösungsformel x 1 = p/2 ± p 2 /4 q liefert Die numerisch korrekte Berechnung der betragsmäßig kleineren Lösung einer quadratischen Gleichung verwendet die alternative Lösungsformel Ergebnis: x 2 = q x 1 Auflösen nach nach dem linearen Term, x = x2 + 9 12345678 Fixpunkt-Iteration in der Form >> x=0; >> x = (xˆ2+9)/12345678 x = 7.290000597780049 e 007 Ergebnis: Wiederhole, bis sich Wert nicht mehr ändert 100

Aufgabe 9 Fixpunkt-Iteration: Finden Sie wie in der vorigen Aufgabe durch wiederholtes Auswerten einen Fixpunkt der Funktion φ(x) = 1/ exp x. Startwert 5, Genauigkeit format long e. Aufgabe 10 Wurzelbehandlung: Schon die alten Babylonier berechneten Quadratwurzeln a mit der (oft als Heron-Verfahren bezeichneten) Iteration x (0) = a; x (k+1) = 1 2 ( x (k) + a x (k) ) für k = 0, 1, 2,... Berechnen Sie 2 durch wiederholtes Auswerten der Iterationsvorschrift (Genauigkeit format long e). Testen Sie auch andere Wurzelberechnungen, z.b. 2005, 4711, 0,815... Untersuchen Sie bei allen Beispielen, wie sich von einem Schritt zum nächsten die Anzahl richtiger Stellen erhöht. Können Sie eine Regel finden? Aufgabe 11 Newton-Verfahren: Finden Sie mit dem Newton-Verfahren für f(x) = x tan x 1 die Nullstelle in der Nähe des Startwertes x (0) = 1. Anleitung: >> x=1; >> f = x tan(x) 1 f = 5.574077246549023 e 001 >> f s t r =... f s t r = 4.982926545469661 e+000 >> x = x f / f s t r x = 8.881364757099055 e 001 Hinweis: Die Ableitung von tan x ist 1/cos 2 x. Wiederholen Sie, bis das Ergebnis auf die volle Stellenanzahl genau ist. Prüfen Sie anhand des Endresultates die Anzahl korrekter Dezimalstellen bei den einzelnen Iterationsschritten. Schritt korrekte Dezimalstellen 0 0 1 2. 101