Physik für tudierende der iologie und Chemie Universität Zürich, H 2009, U. traumann Version 26. April 2010 Inhaltsverzeichnis 5.5 Zeitabhängige magnetische Felder: Das Faraday sche Induktionsgesetz...... 5.1 5.5.1 Phänomenologie der Induktion........................ 5.1 5.5.2 Das Faraday sche Induktionsgesetz...................... 5.3 5.5.3 Anwendungen des Faraday schen Induktionsgesetzes............ 5.4 5.5.3.1 lementarer Generator....................... 5.4 5.5.3.2 Wechselstromgenerator....................... 5.5 5.5.3.3 Wirbelströme:............................ 5.5 5.5.3.4 Das etatron............................. 5.5 5.5.3.5 Gegenseitige Induktion zweier tromkreise............ 5.8 5.5.3.6 Die elbstinduktion......................... 5.9 5.5.3.7 Der Transformator.......................... 5.9 5.5.4 Magnetfelder und upraleiter......................... 5.9 5.5 Zeitabhängige magnetische Felder: Das Faraday sche Induktionsgesetz Michael Faraday lebte von 1791 bis 1867. uchbinderlehrling, Chemielaborant, self made man ohne reguläre wissenschaftliche Ausbildung. Das Induktionsgesetz fand er 1831, aber auch das Verständnis von lektrolyse, Dielektrikum, Magnetische Materialien, Polarisationsdrehung des Lichtes im Magnetfeld und vieles andere mehr wurde von ihm geprägt. r wird oft als der bedeutendste xperimentator aller Zeiten gefeiert. 5.5.1 Phänomenologie der Induktion eobachtung: Wir messen die elektrische pannung an einer Drahtspule. ie ist von null verschieden, 1. wenn sich das Magnetfeld zeitlich ändert. 2. wenn sich die Grösse der Fläche ändert, die von der pule umrandet wird 3. wenn sich die Richtung der Fläche zu den Feldlinien ändert. Wir definieren den magnetischen Feldfluss durch die Fläche A C der pule Φ magn = d A A C 5.1
(anschaulich die Anzahl Feldlinien, die durch die Fläche gehen.) Offenbar erzeugt eine zeitliche Aenderung des magnetischen Flusses ein elektrisches Feld. Dies wird im folgenden noch etwas illustriert: Der magnetische Fluss dφ magn / ändert sich, wenn das Feld zeitabhängig ist ( = (t), auch bei konstanter Fläche), sich die Fläche ändert (A = A(t), auch wenn das Feld konstant ist), sich die tellung der Fläche relative zum Feld ändert (ϕ = ϕ(t), ϕ ist Winkel zwischen der Flächennormalen und, auch wenn A und konstant sind). C n da dr in zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt man z.. in dem man einen zeitlich variablen trom durch eine pule schickt. Umgekehrt registriert eine pule, die einem zeitlich variablen Magnetfeld ausgesetzt wird, eine zeitabhängige, induzierte elektromotorische Kraft und damit einen zeitabhängigen pulenstrom. o kann man z.. die von Fernsehgeräten, oder anderen elektronischen Apparaten erzeugten Wechselfelder mit dem in einer Pickup-pule induzierten ignal sichtbar machen. (t) I (t) ~ Wenn man einen tabmagneten auf eine Leiterschlaufe zu bewegt, vergrössert man den magnetischen Fluss durch die chlaufe. Dies induziert einen trom im Leiter. Die Lenz sche Regel besagt, dass die induzierte Wirkung sich der äusseren widersetzt (sonst gäbe es ein perpetuum mobile). Dies sieht man an den nebenstehenden Abbildungen. Die Richtung des induzierten troms ist so, dass das durch diesen trom erzeugte Feld eine entgegengesetzte Polarität wie das äussere Feld hat. Dies bewirkt einerseits eine abstossende Kraft, die die ewegung des Magneten auf die chlaufe hin bremst, zum anderen eine Reduktion der durch das ewegen entstehenden Flussänderung. tatt den tabmagneten auf die chlaufe hin zu bewegen, kann man auch die chlaufe in das Magnetfeld hineinund herausschieben, um eine Änderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche zu erreichen. Je mehr Windungen man der chlaufe gibt, desto grösser sind die induzierten tröme. Die Flussänderung vervielfacht sich mit der Anzahl Windungen. I I 5.2
Induzierte pannung und magnetischer Fluss beim Generator ω φ n V Abbildung 5.1: Wechselstromgenerator: Die Drehung einer pule in einem Magnetfeld mit konstanter Winkelgeschwindigkeit erzeugt eine induzierte elektromotorische Kraft in der pule. Die Amplitude der Wechselspannung nimmt mit der Drehzahl zu. In diesem eispiel beginnt die Drehung mit der pulenfläche parallel zum Feld. 5.5.2 Das Faraday sche Induktionsgesetz F araday sche Induktionsgesetz : V ind = dφ magn Auf der rechten eite steht die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses Φ magn durch die von C umrandete Oberfläche A C mit dem negativen Vorzeichen. Auf der linken eite die in dem die Fläche umrandende Leiterschlaufe gemessene pannung, wenn man die Leiterschlaufe an einer telle auftrennt. twas allgemeiner schreibt man für die pannung (=Potentialdifferenz) deren Definition: V = C d r. Mit der Definition des magnetischen Flusse wird das Induktionsgesetz zu: d r = d d A C A C C 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 1111111 0 01 1 n 01 da 01 000 111 A C dr Die rechte eite des Faraday schen Induktionsgesetzes ist dann von ull verschieden, wenn sich der Fluss ändert, d. h. wenn zeitabhängig ist, sich die Fläche A C ändert, oder sich die tellung 5.3
der Fläche relativ zum Feld ändert. s gibt hier einen wichtigen Unterschied zur lektrostatik: Für die durch elektrische Ladungen erzeugten Felder gilt d r = 0 C Das Linienintegral des elektrischen Feldes entlang eines geschlossenen Weges C, der die Oberfläche A C begrenzt, verschwindet. Das Feld ist konservativ. Diese igenschaft der von Ladungen erzeugten Felder erlaubte uns, das elektrische Potential überall zu definieren. Im Gegensatz dazu sind durch Induktion erzeugte elektrische Felder nicht konservativ. Das Linienintegral C d r entlang der Umrandung der Leiterschlaufe ist nicht mehr null. V ind kann man deshalb nur messen, wenn man die Leiterschlaufe an einer telle auftrennt. Dafür sind die so erzeugten elektrischen Feldlinien immer geschlossen. Das durch den magnetischen Fluss induzierte elektrische Feld ist ein Wirbelfeld. Das elektrische Feld besteht im allgemeinen also aus zwei Anteilen: 1. von Ladungen erzeugter Teil. Dessen Feldlinien beginnen und enden immer an Ladungen. ie sind nie geschlossen. Das Feld ist konservativ, das Potential wohldefiniert. Quantitativ wird es durch den Gauss schen atz der lektrostatik bestimmt. 2. von magnetischer Induktion erzeugter Teil: Dessen Feldlinien sind immer geschlossen, sie haben kein Anfang oder nde, das Feld ist ein Wirbelfeld. Quantitativ wird dieses Feld durch das Induktionsgesetz von Faraday bestimmt. eachte, dass die elektrischen Felder in 2. die gleichen igenschaften haben wie magnetische Feldlinien. 5.5.3 Anwendungen des Faraday schen Induktionsgesetzes 5.5.3.1 lementarer Generator ewegt man den Leiter mit der Geschwingkeit v in der positiven x-richtung (nach aussen), so ändert man den magnetischen Fluss durch die vom Leiter begrenzte Fläche A = lx. Da das Magnetfeld konstant ist, gilt Φ magn = d A = A = lx, A V 0 = V ind = dφ magn = l dx = lv Das Vorzeichen der induzierten elektromotorischen Kraft kommt richtig heraus. 5.4
5.5.3.2 Wechselstromgenerator eim Wechselstromgenerator (Abbildung 5.1) ändert sich der Winkel zwischen der Feld- und der pulenrichtung. Mit einem mechanischen Antrieb wird die pule gedreht. Ist die Winkelgeschwindigkeit konstant, so gilt ϕ = ωt, Φ magn = A cos ϕ = A cos ωt, wobei das über die pulenfläche konstante Magnetfeld und die Zahl der pulenwindungen ist. Die am Voltmeter ablesbare induzierte pannung ist dann V = dφ magn = ωa sin ωt Wegen des induzierten troms wirkt im Magnetfeld auf die pule eine abbremsende Lorentz- Kraft (Lenz!). Dieses Abbremsen muss durch die Antriebskraft aufgewogen werden. Die entsprechende mechanische Arbeit entspricht abgesehen von den Reibungsverlusten in den Lagern der nergie, die in Form von Joule scher Wärme im externen Kreis verloren geht. 5.5.3.3 Wirbelströme: ewegen sich Leiter in inhomogenen Magnetfeldern, so werden Wirbelströme induziert. Die Lorentz-Kräfte auf diese tröme bremsen die ewegung ab. Im Hörsaal wird dies mit Münzen demonstriert, die in Magnetfelder fallen, bzw. mit einem Kupferpendel, das durch ein Feld schwingt. Je besser die Leitfähigkeit des Materials ist, umso grösser ist die remswirkung. Abbildung 5.2 illustriert die remswirkung an einem eispiel. Man benützt derartige ffekte zur Dämpfung schwingender ysteme, oder allgemein zum remsen. 5.5.3.4 Das etatron Durch ein zeitlich veränderliches -Feld wird nicht nur in einem Leiter, sondern auch im leeren Raum ein -Feld erzeugt. s besitzt geschlossene Feldlinien (Wirbel), deren Verlauf von der räumlichen Verteilung ( r) des -Feldes abhängt. Oft reichen ymmetriebetrachtungen zur estimmung von aus, wie das eispiel in Abbildung 5.3 zeigt. Gibt es bewegliche Ladungen im Feld, so werden sie durch die Coulomb-Kraft F = q beschleunigt und durch die Lorentz- Kraft F = q( v ) abgelenkt. Dies wird im etratron, einem in der Medizin häufig verwendeten lektronenbeschleuniger genützt. Im etatron (Abbildung 5.4) werden lektronen in ein torusförmiges Vakuumgefäss (trahlrohr) eingeschossen, das sich axialsymmetrisch zwischen den kreisförmigen Polschuhen eines lektromagneten befindet. Das Magnetfeld ist zeitabhängig. Mit dem Zunehmen des -Feldes wird das -Feld induziert, dessen Feldlinien aus ymmetriegründen konzentrische Kreise sind (Abbildung 5.3). Das -Feld leistet Arbeit. Die kinetische nergie der lektronen nimmt gemäss dem nergiesatz während vieler Umläufe zu, vom Anfangswert T 1 auf den ndwert T 2 2 T 2 T 1 = e ind d r = ev eff, 1 5.5
v ind I ind I ind F L,ind ve D e - F L v ind icht von vorne =0 x Abbildung 5.2: Das Prinzip der Wirbelstrombremse: eim intauchen des Metallrings in das Magnetfeld ( ) setzt die Lorentz-Kraft ( F L ) die Leiterelektronen in ewegung ( v e ), induziert also einen trom (I ind ). Auf diesen trom wirkt eine abbremsende Lorentzkraft ( F L,ind ), die das Fallen des Rings verlangsamt. Das vom induzierten trom erzeugte Feld ind reduziert das äussere Feld. dφ magn = D dx = V ind I ind v icht von der eite ind während das Magnetfeld sie auf Kreisbahnen führt. Die dabei effektiv durchlaufene pannung V eff kann viele Millionen Volt betragen. Werden dann die hochenergetischen lektronen beim Aufprall auf eine Metallfolie abgebremst, so erzeugen sie harte Röntgenstrahlung. Die spezielle Form der Polschuhe (Abbildung 5.4), die ein nach aussen abnehmendes Magnetfeld erzeugen ergibt sich daraus, dass zur Führung und eschleunigung das gleiche Feld verwendet wird: Kreisbahnbedingung : mv 2 r = ev(r) = F L, mv = er(r), m dv = er d(r). Das induzierte elektrische Feld auf der ahn ergibt sich aus der Flussänderung, wobei das mittlere Feld im Kreis ist: dφ magn = d A n da = d ( ) πr 2 = πr 2 d = ind d r = 2πr ind, ind = r d 2 Das induzierte Feld beschleunigt: F C = e ind = e r d 2 = mdv = er d(r) Aus der letzten Gleichung ergibt sich die sogenannte etatron-edingung (r) = 1 2. 5.6
R 4 2 1 3 R R r R r i (a) (b) (c) (d) Kreisbahn Kupferring lektrische Feldlinien ind Abbildung 5.3: Induzierte elektrische Felder in einem mit konstanter Rate zunehmenden Magnetfeld zwischen kreisförmigen Polschuhen (Radius R): a) Induziertes Feld und induzierter trom in einem Kupferring mit Radius r, b) induzierte elektrische Felder bei gleichem Radius ohne Kupferring, c) vollständiges Feldlinienbild. Abbildung d) zeigt vier gleiche, geschlossene Wege, an denen das Faraday sche Induktionsgesetz noch einmal illustriert werden kann. Die Wege 1 und 2 verlaufen vollständig innerhalb des Magnetfelds, unterliegen der gleichen Flussänderung und es wird eine gleichgrosse pannung induziert. Der Weg 3 liegt teilweise ausserhalb des Feldes und des induzierte Feld ist kleiner. Der Weg 4 liegt ausserhalb des Felds und es gibt daher auch keine Flussänderung. (r,t) D R D ymmetrieachse Zentraler Fluss Magnetpol Abbildung 5.4: Vertikaler chnitt durch ein etatron. Der horizontale lektronenstrahl tritt aus dem linken trahlrohrquerschnitt heraus und geht beim rechten hinein. Das Rohr ist aus nicht-leitendem Material. Die zeitabhängigen Magnetfeldlinien sind für einen festen Zeitpunkt gezeigt. 5.7
5.5.3.5 Gegenseitige Induktion zweier tromkreise Wenn in einem ersten tromkreis ein veränderlicher trom I 1 (t) fliesst, dann kann das entsprechende Magnetfeld 1 (t) in einem zweiten Leiterkreis, den dieses Feld durchsetzt, einen trom induzieren. Die induzierte pannung V 2 lässt sich aus der Flussänderung dφ 12 (t)/ des Feldes 1 (t) in der chlaufe 2 berechnen: 1 (t) I 1 (t) 1 (t) Φ 12 (t) m,2. ei fester gegenseitiger Lage der tromkreise ist Φ 12 proportional zu 1 und damit zu I 1 : V 2 Φ 12 = L 12 I 1, V 2 = dφ 12 = L 12 di 1. ~ I 1 (t) Der Proportionalitätsfaktor L 12, der nur von geometrischen Grössen (gegenseitige Lage, Fläche und Windungszahl der chleifen) abhängt, heisst Koeffizient der gegenseitigen Induktion und wird angegeben in der inheit: [L 12 ] = Henry = H = Vs A. Für einfache Geometrien lässt sich L 12 berechnen. Man erhält z.. für zwei konzentrisch gewickelte, lange pulen gleicher Fläche mit den Längen l 1 und l 2 (l 1 l 2 ) mit 1 und 2 Windungen: I 1 1 = µ 0 1 I 1 Φ 12 = µ 0 1 I 1 2 A = L 12 I 1, m,2 = µ 0 1 2 A di 1 l 1 l 1. l 1 Man findet also L 12 = µ 0 1 2 A l 1 Vertauschen wir die Rolle der beiden pulen, d. h. fliesst in der zweiten pule der trom I 2 (t), so messen wir in der ersten pule entsprechend m,1 = L 21 di 2 = µ 0 2 1 l 2 A l 2 l 1 di 2. Der Faktor l 2 /l 1 rührt daher, dass das 2 -Feld, wenn l 2 kürzer ist als l 1, nur den ruchteil l 2 /l 1 der 1 Windungen der ersten pule durchfliesst. s ergibt sich so L 12 = L 21, eine eziehung, die unabhängig von diesem eispiel allgemein gültig ist. Der Koeffizient L 12 zweier pulen ist umso grösser, je stärker die Kopplung ist, d. h. je grösser der Fluss Φ 12 ist, was z.. mit einem gemeinsamen isenkern erreicht wird (z.. in Transformatoren). 5.8
5.5.3.6 Die elbstinduktion Was oben für die Kopplung zweier tromkreise gesagt wurde, gilt auch für einen ausgedehnten inzelkreis, oder eine pule. Der Fluss Φ 11 des Feldes 1 durchsetzt auch den erzeugenden Kreis selbst und führt dort zu einer pannung V 1 : I 1 (t) 1 (t) Φ 11 (t) m,1 (t) 1 = µ 0 1 I 1 l 1 Φ 11 = µ 0 1 I 1 l 1 1 A = L 11 I 1 m,1 = L 11 di 1. Der Faktor L 11 L heisst elbstinduktionskoeffizient [ Henry ]. Für die gezeichnete pule gilt L = (µ 0 2 1 A)/l 1. Dieser Wert kann bedeutend vergrössert werden, wenn die pule auf einen isenkern gewickelt wird. I (t) ~ 5.5.3.7 Der Transformator In einem einfachen Transformator sind zwei pulen mit verschiedenen Windungszahlen um einen gemeinsamen isenkern gewickelt. Die gegenseitige Induktion wird mit L 12, die elbstinduktion im Primaärkreis mit L 11 bezeichnet. Die Anwendung der Maschenregel auf den Primärkreis (1) bzw den ekundärkreis (2) ergibt: m,1 L 11 V O di 1 (1) V 1 L 11 = 0, (2) L di 1 12 = V 0. L 12 Man erhält: V 0 = L 12 L 11 V 1 = 2 1 V 1, also für 2 > 1 eine pannungsvergrösserung, für 2 < 1 eine pannungsverkleinerung. Für das Verhältnis der tröme ergibt sich das umgekehrte, denn d ie Leistung P = V I muss auf beiden eiten die gleiche sein: I 2 = ( 1 / 2 )I 1. Da die Verluste beim Transport elektrischer nergie mit einem Leiter des Widerstands R proportional zu I 2 sind (P V = I 2 R), die am Verbraucherende verfügbare utzleistung jedoch P = IV, ist der Quotient P /P V = V/(IR) kleiner, wenn für den Transport möglichst hohe pannungen (mehrere hundert kv) verwendet werden (Hochspannungsleitungen). Aus icherheitsgründen werden sie vor dem Verbrauch wieder herunter transformiert. Aus den obigen eziehungen ist ersichtlich, dass Transformatoren nur mit Wechselspannung gespiesen werden können. 5.5.4 Magnetfelder und upraleiter Die Tatsache, dass Leiter bei genügend tiefen Temperaturen ihren Widerstand verlieren, also supraleitend werden, ist schon im Abschnitt 4.2.2 erwähnt worden, und seit den Versuchen von 5.9
upraleitende Magnete Abbildung 5.5: chwebendes cheibchen eines supraleitenden Materials (Yttrium-arium- Kupfer-Oxid) über einem Permanentmagneten bei der Temperatur von flüssigem tickstoff. tabmagnete Abbildung 5.6: Richtung und relative tärke der Kräfte in einem inhomogenen Magnetfeld auf Permanentmagnete (tabmagnete) und upraleiter (diamagnetisches Material). Heike Kammerlingh Onnes (1853-1926) und Mitarbeitern im Jahre 1911 bekannt. Der Verlust des Widerstands ist nur eine der igenschaften, die upraleiter interessant machen. ie besitzen auch aussergewöhnliche magnetische igenschaften, wovon Abbildung 5.5 ein eispiel gibt. Mit supraleitenden Drähten lassen sich sowohl extrem hohe Magnetfelder erzeugen, wie auch extrem schwache Magnetfelder nachweisen. Diese Anwendungen, hohe Felder z.. in Magnetresonanztomographen in pitälern, die Untersuchung der von Hirnströmen erzeugten Magnetfelder in QUID s (superconducting quantum interference devices) waren schon bekannt, bevor die Hochtemperatursupraleiter von Müller und ednorz in Zürich entdeckt wurden. ur waren die dafür notwendigen Temperaturen tiefer, im ereich des flüssigen Heliums (4 K) und nicht im ereich flüssigen tickstoffs (77 K). Das Feld eines Permanentmagneten oder einer normalen, stromführenden Leiterschleife hat Dipolcharakter, d. h. hat einen ord- und einen üdpol, wie in Abbildung 5.6 skizziert. In einem Permanentmagneten (man nennt diese Materialien ferromagnetisch) kommt das Feld daher, dass die atomaren lektronen, die ebenfalls kleine magnetische Dipole darstellen, entlang einer Richtung orientiert sind. In einem äusseren Feld richtet sich dieser magnetische Dipol entlang der Feldlinien aus, in einem inhomogenen Magnetfeld bewegt sich eine solcher Dipol entlang der Feldlinien in die Richtung, wo das Feld stärker ist. Zwei solche Dipole ziehen sich, wie aus Abbildung 5.6 erkennbar, gegenseitig an. In einem upraleiter sind die lektronen paarweise so entgegengesetzt ausgerichtet, dass sich die Felder dieser elementaren Dipole aufheben. Wenn ein supraleitender Ring (ohne Widerstand und zunächst noch ohne trom) in ein inhomogenes Feld gebracht wird, wird die Änderung des magnetischen Flusses eine elektromotorische Kraft, einen trom und ein Magnetfeld induzieren, dessen Richtung (Lenz!) der des äusseren Felds entgegengesetzt ist. Die induzierte elektromotorische Kraft verschwindet, sobald die chleife zur Ruhe kommt und der Fluss nicht mehr zunimmt. Ohne Widerstand hört aber der trom nicht auf zu fliessen, da keine Joule sche Wärme entsteht. In einem inhomogenen Feld zeigt nun die Kraft weg von der Region, wo das Feld stärker wird (diamagnetische Materialien), d. h. statt der vorher beobachteten Anziehung 5.10
finden wir nun Abstossung. Für einen upraleiter muss man noch einen chritt weiter gehen. Wenn der Ring abgekühlt wird in einem Magnetfeld, dann gibt es keine Flussänderung und mit dem Faraday schen Induktionsgesetz auch keine induzierte Magnetisierung. Trotzdem wird der upraleiter diamagnetisch, dies nennt man den 1933 erstmals beobachteten Meissner-Ochsenfeld ffekt. Der upraleiter wird daher auch abgestossen, wie Abbildung 5.5 zeigt. Magnetisch suspendierte chienenfahrzeuge gehören zu den weiteren technisches Anwendungen, die in Prototypen erprobt werden. Das reibungslose chweben erlaubt höhere Geschwindigkeiten. 5.11