Der schiefe Wurf Walter Fendt 10. April 2003 geworfen, und zwar unter dem Winkel gegenüber der Waag- Ein Körper der Masse wird in der Höhe über dem Boden mit der Anfangsgeschwindigkeit rechten. Die Bewegung des Körpers wird beein usst von der Gewichtskraft entsprechend der Fallbeschleunigung. Die Luftwiderstandskraft soll vernachlässigt werden. 1 Koordinaten Zur Beschreibung der Wurfbewegung wird ein kartesisches Koordinatensystem verwendet, dessen Ursprung sich senkrecht unter dem Ausgangspunkt in Bodenhöhe be ndet. Der Abwurf erfolgt zur Zeit. 1
In den Berechnungen werden folgende Größen verwendet: Ortsvektor waagrechte Koordinate senkrechte Koordinate Zeit Fallbeschleunigung Anfangsgeschwindigkeit (Vektor) Anfangsgeschwindigkeit (Betrag) Abwurfwinkel (gegenüber der Waagrechten) Ausgangshöhe Wurfdauer Wurfweite maximale Höhe über dem Boden Geschwindigkeit (Vektor) Geschwindigkeit (Betrag) waagrechte Geschwindigkeitskomponente senkrechte Geschwindigkeitskomponente Winkel der Bewegungsrichtung gegenüber der Waagrechten! Masse " Beschleunigung (Vektor) " Beschleunigung (Betrag) # Kraft (Vektor) # Kraft (Betrag) $&% '( kinetische Energie (Bewegungsenergie) $) * + potenzielle Energie (Lageenergie) $ Gesamtenergie In waagrechter Richtung ( -Richtung) bewegt sich der Körper mit der konstanten Geschwindigkeit -,.0/ : -Koordinate: 213,.0/ (1) In senkrechter Richtung ( -Richtung) erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. Die Ausgangshöhe ist, die Anfangsgeschwindigkeit in -Richtung beträgt -/ 4 5 (bei positivem nach oben, also in positive -Richtung gerichtet). Da die (Fall-)Beschleunigung den Betrag hat und nach unten gerichtet ist (in negative -Richtung), muss für die Beschleunigung in -Richtung der Wert 6 eingesetzt werden. 2
I I I L 7 -Koordinate: 798;: <>=@? < A B C D&EF<HGJIK-A L (2) Als nächstes soll die Gleichung der Wurfbahn aufgestellt werden. Man löst dazu (1) nach A auf und setzt das Ergebnis in (2) ein: AM8? <-O PN BQE < 798;: <>=@? <HRSN? <-O P B E < R B C D&EF<HGJIKUTVN? <-O P BQE < W 8;: < = N&X Y D&E < G K I0N L? < L O P B L E < Gleichung der Wurfbahn: 798ZG K? < L O P B L E < N L =J[ X Y D\E < ] N =^: < (3) Aus dieser Gleichung ist zu erkennen, dass die Wurfbahn Teil einer nach unten geöffneten Parabel ist. Um die Dauer _ des Wurfs zu bestimmen, setzt man in Gleichung (2) die Höhe 7 gleich 0: : < =@? < _ B C D&E < GJIK _ L 83`ba R K G I _ L= K?c< _ B C D&EF<>= K :Q<d83` Verwendung der bekannten Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt: _ 8 G K? < B C D&E <egf [ K? < B CD\E < ] L GihjRk[ G I ] R K K : < Rk[ G I ] 8 G K? <-B C D&EF< e f h0? < L B C D L EF<>=^l I :Q< G K 8?c<-B C D&EF<m f? < L B CD L EF<= K I : < 3
o z y Das Minuszeichen vor der Wurzel würde zu einem negativen Wert von n führen. Daher muss das Pluszeichen richtig sein. Wurfdauer: nboqp r-s t u&vfr>wgx pky r s t u y vfr>w^z {k r { (4) Durch Einsetzen dieses Ergebnisses in Gleichung (1) erhält man nun problemlos die Wurfweite: } o p r-~ sqv r n Wurfweite: } o p r ~ sqvfrh cpcr-s t u&vfr>w x p y r s t u y vfr>w^z {k r { (5) Als nächstes soll die maximale Höhe errechnet werden. Dazu ist die zeitliche Ableitung von (2) gleich 0 zu setzen. pcr-s t u&vfrhƒi{0 o3 o p r s t u&v r { Dieser Wert für (der Zeitpunkt der maximalen Höhe) kann nun in (2) eingesetzt werden. ˆ o r>w@pcr p r s t u&v r { s tu\vfrhƒ { r w p ry s tu y vfr { ƒ p ry s t u y vfr z { p r s tu\v r {SŠ 4
œ Maximale Höhe über dem Boden: Œ Ž ; > k Q š (6) 2 Geschwindigkeit Die beiden Komponenten der Geschwindigkeit, Ž (waagrecht) und œ (senkrecht) erhält man durch Differenziation von (1) beziehungsweise (2) nach der Zeit. Waagrechte Komponente der Geschwindigkeit: Ž -ž Ÿ (7) Senkrechte Komponente der Geschwindigkeit: œ H (8) Der Geschwindigkeitsbetrag ergibt sich nun aus dem Satz des Pythagoras: Ž Z -ž Ÿ J ž Ÿ Q Q H š ž Ÿ š > - Betrag der Geschwindigkeit: ª š > (9) 5
Å Kombiniert man die Beziehungen (7) und (8) miteinander, so erhält man den Winkel «, den die momentane Bewegungsrichtung mit der Waagrechten einschließt: «q± ² ± ³ Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Waagrechter: «q± -µ «H i 0¹ ± -º» µ «(10) 3 Beschleunigung Über die Beschleunigung gibt es nicht viel zu sagen. Der Beschleunigungsvektor hat zu jedem Zeitpunkt den Betrag (Fallbeschleunigung) und ist nach unten gerichtet. Man beachte, dass die Richtung des Beschleunigungsvektors nicht mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt! 4 Kraft ½ ¾ und der Kraft ¼ ¾ der Zusammenhang ¼ À @¼ ½, wobei für die Nach dem zweiten Newtonschen Axiom (Kraftgesetz) besteht zwischen der Beschleunigung ¼ ¾ Masse steht. Bei der Kraft ¼, die demnach den Betrag hat, handelt es sich natürlich um die Gewichtskraft (Gravitationskraft). Der Kraftvektor ist wie der Beschleunigungsvektor nach unten gerichtet. 5 Energie Die kinetische Energie (Bewegungsenergie) ergibt sich aus Á& à ÄU Å (9) den Wert von ± liefert. ±kæ, wobei Kinetische Energie: Á& à ÄÇ ÅJÈ ±kæ ± 0¹ µ «(11) >É ķæ ¹ Æ Ê 6
Ï Ï Ï ß Die potenzielle Energie (Lageenergie, hier genauer: Höhenenergie) sei so festgelegt, dass sie am Boden den Wert 0 hat. Es gilt ËÌ Í Î-ÏÐUÑ0Ò und somit gemäß (2): Potenzielle Energie: Ë Ì Í Î ÏbÐUÑÔÓkÕ Ö> @Ø Ö Ù Ú Û Ü&ÝFÖHÞ Ñß Ù à á (12) Damit lässt sich die Gesamtenergie angeben: Ë;Ï;Ë&â ãä& ^ËÌ Í Î ÐßJå Ø Öà Þ Ø Ö Ñ0Ù Ú Û Ü&Ý Ö @Ñ à Ù à æ @ÐUÑ Ó Õ Ö @Ø Ö Ù Ú Û Ü&Ý Ö Þ Ñß Ù à á Ðß Ø Öà ÞiÐUØ Ö Ñ0Ù Ú ÛÜ\Ý Ö Ðß Ñ à Ù à @ÐUÑkÕ Ö @ÐUÑ0Ø Ö Ù Ú Û Ü&Ý Ö Þ Ðß Ñ à Ù à Ðß Ø Ö à ^ÐçÑkÕ Ö Dieser Ausdruck hängt in Übereinstimmung mit dem Energieerhaltungssatz nicht von der Zeit Ù ab. Gesamtenergie: ËèÏ Ðß Ø à Ö @ÐUÑkÕ Ö (13) é c Walter Fendt, http://www.walter-fendt.de/phys/mech/wurf.pdf Letzte Änderung am 13. April 2003 7