Positive und negative Zahlen
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 Impressum... 3 Qualifizierungseinheit Addition und Subtraktion mit positiven und negativen Zahlen 4 Addition und Subtraktion gemischt... 5 Positive und negative Zahlen... 7 Seite 2
Impressum Produktion: leitner.interactive, Äußere Buchleuthe 58, 87600 Kaufbeuren Herausgeber: e/t/s Didaktische Medien GmbH Kirchstraße 3 87642 Halblech Autor: Bfw Bad Pyrmont Rechte: Copyright 2006 e/t/s Didaktische Medien GmbH, Halblech. Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Herausgebers reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. Auch die Rechte der Wiedergabe durch Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten. Text, Abbildungen und Programme wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Herausgeber, Programmierer und Autoren können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Namensschutz: Die meisten in dieser Einheit erwähnten Soft- und Hardwarebezeichnungen sind auch eingetragene Marken und unterliegen als solche den gesetzlichen Bestimmungen. Microsoft, Windows und andere Namen von Produkten der Firma Microsoft, die in dieser Qualifizierungseinheit erwähnt werden, sind eingetragene Warenzeichen der Microsoft Corporation. Inhaltliche Verantwortung: Diese Qualifizierungseinheit enthält Verweise (sogenannte Hyperlinks) auf Seiten im World Wide Web. Wir möchten darauf hin weisen, dass wir keinen Einfluss auf die Gestaltung sowie die Inhalte der gelinkten Seiten haben. Deshalb distanzieren wir uns hiermit ausdrücklich von allen Inhalten der Seiten, auf die aus unserem Lerninhalt verwiesen wird. Diese Erklärung gilt für alle in diesem Lerninhalt ausgebrachten Links und für alle Inhalte der Seiten, zu denen Links oder Banner führen. Seite 3
Qualifizierungseinheit Addition und Subtraktion mit positiven und negativen Zahlen Lernziele: Wenn Sie den Qualifizierungseinheit durchgearbeitet haben, können Sie - ganze Zahlen addieren und subtrahieren - Kommazahlen addieren und subtrahieren - Werte mit Bezeichnungen (Einheiten) addieren und subtrahieren - Variablen addieren und subtrahieren - Sachaufgaben zur Addition und Subtraktion lösen - positive und negative Zahlen addieren und subtrahieren. Methodische Hinweise Sie sollen diesen Brief möglichst selbstständig bearbeiten. In kleinen Schritten bieten wir Ihnen den Lernstoff an. Die Lösungen sind meist auf einer der nächsten Seiten. Sie können die Übungsaufgaben direkt im Heft lösen, überlegen Sie aber, ob es nicht sinnvoller sein kann, die Aufgaben auf kariertem Papier zu bearbeiten. Das erleichtert Ihnen nicht nur das Rechnen, Sie haben auch die Möglichkeit, später einige Aufgaben zu wiederholen. Vielleicht entscheiden Sie sich auch, nur einen kleinen Teil der Übungen zu rechnen, weil Sie sicher im Verfahren sind. Denn schließlich wollen Sie schon Gelerntes auffrischen! Wir freuen uns, wenn unsere Hinweise Ihnen helfen Rechenwege, die Ihnen in der Vergangenheit Schwierigkeiten bereitet haben, jetzt vielleicht besser zu verstehen. Überlegen Sie, wie Sie die Arbeit in kleine Schritte einteilen können, und vergessen Sie die Pausen nicht. Den Taschenrechner sollten Sie nicht verwenden - der kann es nämlich schon. Und ansonsten wünschen wir Ihnen viel Spaß! Seite 4
Addition und Subtraktion gemischt Dabei bietet sich folgende Vorgehensweise an: Beispiel 1: 5 380-2 435 + 17 135-16 050 + 250 = 4 280 1. Schritt: Addition der positiven Zahlen 5 380 + 17 135 + 250 22 765 2. Schritt: Subtraktion der negativen - 2 435 Zahlen von der Zwischensumme - 16 050 4 280 Rechnen Sie die folgenden Aufgaben nach diesem Beispiel! 1) 7 568,201 + 25,26 + 24,978-35 - 369,24-5 470,001 2) 8 349,023-1 221,265 + 523,48-12,579 + 64,57 3) 52,348 + 672,004-259,307 + 347,500-49 - 0,055 4) 98 m - 28,5 m - 14,6 m - 32,3 m + 117,5 m + 224,9 m 5) 45,287 kg + 52,400 kg - 17,525 kg - 28,145 kg + 72 kg 6) 789,528 km + 152,458 km - 458,015 km - 56,528 km + 147,265 km Seite 5
7) 34 5627-5 682-1 064 + 4 562-733 222 + 805 611-34 = 8) 23,7-4, 89-45, 3-0,065 + 77,5 + 4, 06-3,6-6 + 24,888 = Hier dürfen Sie nur gleiche Variablen addieren und subtrahieren! 9) 68a + 867b + 45a - 47b - 19a + 36b + 25a 10) 117a + 25a + 576b - 35a - 245b - 17a - 69b + 25a So schalten Sie typische Fehler aus: Sie können das Verfahren der schriftlichen Subtraktion nur anwenden, wenn der Minuend - das ist die Zahl, die an oberster Stelle steht, von der also subtrahiert wird - die größte Zahl ist. Seite 6
Positive und negative Zahlen Auf dem Konto sind zur Zeit 3 567,30. Es werden 5 382,91 abgebucht. Ermitteln Sie den Kontostand! Na, so etwas! Da reicht das Geld vorne und hinten nicht! Bislang tauchten in den Aufgaben nur Zahlen auf, die größer als 0 sind, sogenannte positive Zahlen. Die Bank bucht aber trotzdem ab. Also erscheint auf den Kontoauszug ein Wert, der mit einem S für Soll gekennzeichnet ist. Mathematisch entsteht ein negativer Wert, der kleiner ist als 0, eine sogenannte negative Zahl. Sie unterscheidet sich in der Schreibweise von den positiven durch das negative Vorzeichen, also ein Minus. Bsp.: - 4-3,5-125,16 Eigentlich müsste auch vor jede positive Zahl als Vorzeichen ein Plus gesetzt werden. Bsp.: + 3 + 7,8 + 316,34 Man verzichtet jedoch meistens darauf, da es in der Mathematik die Vereinbarung gibt, dass Zahlen ohne Vorzeichen grundsätzlich positiv sind. Um den Unterschied zwischen positiven und negativen Zahlen bildlich darzustellen, benutzt man den Zahlenstrahl. Dieser bildet vom Nullpunkt aus in zwei Richtungen Zahlen ab, nach rechts die positiven Zahlen und nach links die negativen Zahlen! Beispiel: +7 ; -4-4 +7 Seite 7
Tragen Sie folgende Zahlen als Pfeil in den Zahlenstrahl ein: -7; +6; +3; +2,5; -1,5; -5,5 Seite 8
Auf dem Konto sind zur Zeit 3 567,30. Es werden 5 382,91 abgebucht. Ermitteln Sie den Kontostand! Wir wissen inzwischen immer noch nicht, wieviel Schulden ich habe! Zunächst schreiben wir die Rechenaufgabe auf: 3 567,30-5 382,91 = Versuchen Sie nicht, das Verfahren der schriftlichen Subtraktion in dieser Reihenfolge anzuwenden! Das Verfahren funktioniert nur, wenn die größere Zahl an erster Stelle steht. Aber schauen wir uns unser Beispiel am Zahlenstrahl an: Ein "+" bedeutet: Gehe nach rechts! Ein "-" bedeutet: Gehe nach links! -1815,61-5382,91? +3567,30-4000 -3000-2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 Sind wir bei +3567,30 und marschieren von dort 5382,91 Schritte nach links, so landen wir nach 3567,30 Schritten wieder bei 0 und müssen dann noch weitere 1815,61 Schritte weiter nach links gehen. Der Fehlbetrag ergibt sich also aus der Differenz der beiden Beträge. 5382,91-3567,30 = 1815,61 Also: 3567,30-5382,91 = -1815,61 Beachten Sie: Sie können das Verfahren der schriftlichen Subtraktion nur anwenden, wenn der Minuend - das ist die Zahl, von der subtrahiert wird, die also an oberster Stelle steht - die größte Zahl ist. 1. 2. 3. Beispiel: - 6 + 9-4 = - 1 Seite 9
3. 2. 1. 1. Schritt: Man geht vom Nullpunkt aus 6 Schritte nach links und erreicht -6. 2. Schritt: Von -6 geht man 9 Schritte nach rechts. Man überschreitet den Nullpunkt und erreicht +3. 3. Schritt: Von +3 geht man 4 Schritte nach links. Man überschreitet dabei wiederum den Nullpunkt und erreicht -1. Zeichnen Sie sich - falls es nötig ist - einen Zahlenstrahl! Übungen: 1) - 4 + 6 = 2) - 6 + 4 = 3) - 11 + 15 = 4) - 87 + 213 = 5) - 45,77 + 53,91 = 6) - 0,25-4,5 = 7) - 45,6-84,9 = Seite 10
Sobald Sie mehrere Werte jeweils subtrahieren oder addieren, sollten Sie sich zunächst einen Überblick verschaffen. Addieren Sie jeweils die positiven und negativen Beträge! Dann sehen Sie auch, ob mehr positive oder mehr negative Werte vorhanden sind. Sind es mehr positive, wird das Ergebnis auch positiv. Überwiegen die negativen, dann wird das Ergebnis negativ. 8) 56-86 + 5-75 = 61-161 = 9) 12-15 + 32-28 + 15-48 - 32 = 10) 1 255-3 255 + 1 000 = 11) 125-625 + 500 + 12 500-125 - 500 + 625 = 12) 2 899-7 433 = 13) - 2 431 + 3 199 = 14) 459 + 96-25 + 48-369 + 258-123 + 85-16 = 15) - 258-459 - 357-159 + 12 = 16) 885-753 - 962-459 = 17) 4 588-10 954-56 - 259 + 423 = 18) 4 258-268 - 2 469 + 297 + 25-2 597 = 19) 34,5 + 56,2-202,05-6,022-5,9 + 34,7-349,61-46,2 = 20) -36 549,2-34 784-23,64 + 6,8 + 350,46-3 496,800 = Seite 11