Kapitel 35 Histogramme In einem Histogramm können Sie die Häufigkeitsverteilung der Werte einer intervallskalierten Variablen darstellen. Die Werte werden zu Gruppen zusammengefaßt und die Häufigkeiten der Gruppen wie in einem Balkendiagramm durch Balken dargestellt. Durch das Einfügen einer Normalverteilungskurve in ein Histogramm können Sie die empirische Häufigkeitsverteilung mit der Normalverteilung vergleichen und damit grafisch überprüfen, ob die Annahme einer Normalverteilung der Werte plausibel erscheint. 35.1 Einfaches Histogramm Die Datendatei Strukturdaten.sav von der Begleit-CD enthält für zahlreiche Länder und Regionen der Erde verschiedene Strukturdaten wie den Pro-Kopf- Verbrauch an Energie und die Zahl der Telefonanschlüsse in Relation zur Einwohnerzahl. 403 In der Variablen lebenerw ist die durchschnittliche Lebenserwartung eines Mannes bei der Geburt angegeben. Die Werte dieser Variablen sind Jahresangaben mit einer Dezimalstelle. Damit weist die Variable eine für intervallskalierte Daten typische Eigenschaft auf: Jeder einzelne Wert kommt nur mit einer sehr geringen Häufigkeit vor. Die meisten Werte der Variablen lebenerw wurden mit einer Häufigkeit von 1 beobachtet. Wäre die Lebenserwartung mit noch größerer Genauigkeit angegeben - beispielsweise mit fünf Dezimalstellen -, würde mit hoher Wahrscheinlichkeit jeder Wert nur ein einziges Mal in der Stichprobe enthalten sein. Gleichzeitig gilt jedoch, daß zwischen zahlreichen unterschiedlichen Werten nur ein sehr geringer Unterschied besteht, der häufig für eine konkrete Fragestellung kaum von Bedeutung ist. So kann man etwa sagen, die Lebenserwartung in Lettland sei mit 63,3 Jahren (beinahe) genauso groß wie die auf den Malediven mit 63,4 Jahren. Um nun die Häufigkeitsverteilung für die Lebenserwartung in den verschiedenen Ländern grafisch darzustellen, ist es wenig sinnvoll, ein Balkendiagramm zu verwenden, das bei einer kategorialen Variablen das Mittel der Wahl wäre. In einem 403 Zu den Datendateien von der Begleit-CD siehe auch Kapitel 1, Überblick.
898 Kapitel 35 Histogramme Balkendiagramm würde unter anderem für die Lebenserwartungen von 63,3 und 63,4 Jahren jeweils ein Balken mit einer Höhe von 1 erstellt werden. Auf diese Weise ergäbe sich eine ganze Reihe von Balken mit einer einheitlichen Höhe von 1. Da eine solche Grafik wenig aussagekräftig wäre, wird die Häufigkeitsverteilung von intervallskalierten Variablen üblicherweise nicht in Balkendiagrammen, sondern in einem Histogramm dargestellt. Dabei werden die Werte der Variablen zu Gruppen zusammengefaßt, so daß in der Grafik nicht die Häufigkeiten der einzelnen Werte, sondern die Häufigkeiten von Wertegruppen dargestellt werden. Die Darstellung erfolgt dann in der Form eines Balkendiagramms, so daß für jede Wertegruppe ein Balken erzeugt wird, dessen Höhe die Häufigkeit der Gruppe repräsentiert. Um ein Histogramm für die Lebenserwartung der Männer bei der Geburt in den verschiedenen Ländern und Regionen der Erde zu erstellen, werden die folgenden Einstellungen vorgenommen: ¾ Befehl: Zum Erstellen eines Histogramms dient der Befehl GRAFIKEN HISTOGRAMM... ¾ Dialogfeldeinstellungen: Der Befehl öffnet unmittelbar das Dialogfeld zu Beschreibung der Grafik. Geben Sie hier in dem Feld Variable die Variable lebenerw an. Bei allen übrigen Optionen werden die Voreinstellungen unverändert übernommen. Diese Einstellungen liefern das Histogramm aus Abbildung 35.1. 30 20 10 Std.abw. = 9,65 Mittel = 62,9 0 N = 175,00 38,0 42,0 46,0 50,0 54,0 58,0 62,0 66,0 70,0 74,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0 60,0 64,0 68,0 72,0 76,0 Lebenserwartung der Männer bei der Geburt (in Jahren) Abbildung 35.1: Histogramm für die Lebenserwartung von Männern bei der Geburt in verschiedenen Ländern und Regionen der Erde
35.1 Einfaches Histogramm 899 Jeder Balken in dem Histogramm bezieht sich auf einen Wertebereich. Dabei haben die Wertebereiche alle die gleiche Breite, die in diesem Fall zwei Jahre beträgt. Die Achsenbeschriftung gibt für jeden Balken den Mittelpunkt des jeweiligen Wertebereichs an. Der erste Balken mit der Beschriftung 38 bezieht sich damit auf den Wertebereich von 37 bis 39 Jahre. Dabei ist die untere Grenze in dem Wertebereich enthalten, die obere dagegen nicht. Der erste Balken schließt damit alle Werte von einschließlich 37 Jahren bis unter 39 Jahren ein. Ein Lebenserwartung von exakt 39 Jahren würde bereits in den folgenden Balken fallen, der hier jedoch eine Häufigkeit und damit auch eine Höhe von null aufweist. Die Tatsache, daß die durch die Balken repräsentierten Wertbereiche alle die gleiche Breite haben, gilt zwar für die von SPSS erstellten Histogramme, ist jedoch keine allgemeine Eigenschaft von Histogrammen. Häufig werden bewußt unterschiedliche Klassenbreiten verwendet, die in der Grafik dann durch unterschiedlich breite Balken zum Ausdruck kommen. In solchen Diagrammen wird die Häufigkeit eines Wertebereichs nicht mehr allein durch die Höhe, sondern vielmehr durch die Fläche eines Balkens dargestellt. Die bei SPSS zur Verfügung stehenden Histogramme sind aufgrund der einheitlichen Klassenbreite grundsätzlich so zu interpretieren wie Balkendiagramme. Die Höhe eine Balkens kennzeichnet die Anzahl der Werte, die in dem entsprechenden Wertebereich liegen. Beispielsweise enthält die Datendatei ungefähr zehn Länder und Regionen, in denen die Lebenserwartung in dem Bereich von 45 bis unter 47 Jahren liegt. Eine Besonderheit gegenüber Balkendiagrammen besteht jedoch darin, daß im Histogramm der gesamte Wertebereich zwischen dem kleinsten und dem größten beobachteten Wert abgebildet wird, wobei auch solche Bereiche berücksichtigt werden, in denen keine Beobachtungen liegen. In dem Diagramm aus Abbildung 35.1 ist dies zum Beispiel für den Wertebereich von 39 bis unter 41 Jahren der Fall. Für diesen Bereich wird ein Balken mit der Höhe null dargestellt, so daß im Ergebnis gar kein Balken erscheint. Der Grund dafür, daß auch für leere Wertebereiche ein Balken mit der Höhe null und damit ein Freiraum vorgesehen wird, besteht darin, daß andernfalls der optische Eindruck von der Werteverteilung verzerrt würde. Dies gilt in besonderem Maße dann, wenn mehrere Wertebereiche keine Beobachtungen enthalten. Neben der Grafik werden in der Legende der Mittelwert, die Standardabweichung und die Anzahl der in das Diagramm eingegangenen Fälle ausgewiesen. 404 Letztere beträgt 175 und ist damit um zwei niedriger als der Umfang der Datendatei, da für zwei in der Datei aufgeführten Länder (Französisch-Guyana und Sao Tomé & Principe) keine Angaben für die Lebenserwartung vorliegen. Der Mittelwert der Lebenserwartung wird mit 62,9 Jahren angegeben. Dieser Wert sollte jedoch nicht mit der weltweiten durchschnittlichen Lebenserwartung von Männern verwechselt werden. Dies gilt auch, wenn man davon abstrahiert, daß einige Regionen der Erde in der Datengrundlage nicht berücksichtigt werden konnten. Der ausgewiesene 404 Die Angabe dieser Werte kann im Grafikeditor mit dem Befehl DIAGRAMME, OPTIONEN ausgeschaltet werden, siehe hierzu Abschnitt 35.4, Optionen zum Bearbeiten eines Histogramms im Grafikeditor, S. 903.
900 Kapitel 35 Histogramme Wert von 62,9 Jahren wurde errechnet, indem die 175 in dem Diagramm berücksichtigten Lebenserwartungen addiert und die Summe durch 175 dividiert wurde. Da die 175 Länder und Regionen jedoch sehr unterschiedliche Einwohnerzahlen aufweisen, müßten die einzelnen Lebenserwartungen bei der Mittelwertberechnung mit der Anzahl der Personen, für die sie jeweils gelten, gewichtet werden, wenn man die durchschnittliche Lebenserwartung für die gesamte Welt ausrechnen wollte. Dies gilt entsprechend für die ebenfalls in der Legende mitgeteilte Standardabweichung. 35.2 Histogramm mit Normalverteilung Indem die (bei SPSS einheitliche) Breite eines Balkens in einem Histogramm die Breite des dargestellten Wertebereichs widerspiegelt und zudem auch für leere Wertebereiche ein entsprechender Freiraum vorgesehen wird, kommt in dem Histogramm die gesamte empirische Verteilung der betrachteten Variablen zum Ausdruck. Dies ermöglicht es, die empirische Verteilung mit einer theoretischen Verteilung zu vergleichen, indem zusätzlich zu den Balken des Histogramms der Verlauf der theoretischen Verteilung eingezeichnet wird. Bei SPSS besteht diese Möglichkeit in bezug auf die Normalverteilung. Dazu wird der Verlauf der Normalverteilung eingezeichnet, die den gleichen Mittelwert sowie die gleiche Standardabweichung hat wie die beobachteten Werte aus der Stichprobe. Für das Histogramm aus Abbildung 35.1 wäre dies die Normalverteilung mit einem Mittelwert von 62,9 und einer Standardabweichung von 9,65. Um in das Histogramm aus Abbildung 38.1 den Verlauf der Normalverteilung einzuzeichnen, gibt es zwei Möglichkeiten: ¾ Grafikeditor: Das Diagramm aus Abbildung 38.1 kann im Grafikeditor geöffnet werden. Anschließend läßt sich die Normalverteilungskurve mit dem Befehl DIAGRAMME, OPTIONEN einblenden, siehe hierzu im einzelnen Abschnitt 35.4, Optionen zum Bearbeiten eines Histogramms im Grafikeditor, S. 903. ¾ Beim Erstellen: Bereits beim Erstellen des Histogramms kann in dem Dialogfeld die Option Normalverteilungskurve anzeigen angekreuzt werden, um den Verlauf der Normalverteilung einzuzeichnen. Bei den anderen Optionen des Dialogfelds werden die oben auf S. 898 beschriebenen Einstellungen beibehalten. Das Dialogfeld in Abbildung 35.3, S. 902 gibt diese Einstellungen wieder. Abbildung 35.2 zeigt das Dialogfeld aus Abbildung 35.1 mit dem Verlauf der entsprechenden theoretischen Normalverteilung. Offensichtlich hat die empirische Verteilung nicht viel mit der Normalverteilung gemein. In der empirischen Verteilung gibt es eine Häufung von Beobachtungen im Bereich der höheren Lebenserwartungen ab 63 Jahren und eine mehr oder weniger gleichmäßige Verteilung im Bereich der Lebenserwartungen unter 63 Jahren. Gerade im Bereich unterhalb des Mittelwertes von 62,9 Jahren liegen jedoch sehr wenige Beobachtungen vor, wodurch sich eine grundlegende Abweichung von der Normalverteilungskurve
35.2 Histogramm mit Normalverteilung 901 ergibt, nach der gerade im Bereich um den Mittelwert herum eine Häufung von Beobachtungen zu erwarten gewesen wäre. Beachten Sie jedoch auch hier wieder, daß sich möglicherweise ein grundlegend anderes Bild der empirischen Verteilung ergeben hätte, wenn die für die einzelnen Länder geltenden Lebenserwartungen mit den jeweiligen Einwohnerzahlen gewichtet worden wären. Für den Grad der Abweichung einer empirischen Verteilung von der theoretischen Normalverteilung stehen verschiedene Maßzahlen zur Verfügung. Der Exzeß (Kurtosis) mißt Unterschiede bei der Häufung der Werte um den Mittelwert, die Schiefe gibt Aufschluß darüber, ob die beobachteten Werte möglicherweise besonders bei den hohen oder bei den niedrigen Werte stärker streuen, als es der Normalverteilung entsprechen würde. Diese Maßzahlen können bei SPSS unter anderem mit der Prozedur STATISTIK, ZUSAMMENFASSEN, DESKRIPTIVE STA- TISTIKEN berechnet werden. Siehe hierzu im einzelnen Kapitel 17, Mehrfachantworten. 30 20 10 Std.abw. = 9,65 Mittel = 62,9 0 N = 175,00 38,0 42,0 46,0 50,0 54,0 58,0 62,0 66,0 70,0 74,0 40,0 44,0 48,0 52,0 56,0 60,0 64,0 68,0 72,0 76,0 Lebenserwartung der Männer bei der Geburt (in Jahren) Abbildung 35.2: Histogramm für die Lebenserwartung von Männern bei der Geburt in verschiedenen Ländern und Regionen der Erde mit Normalverteilungskurve
902 Kapitel 35 Histogramme 35.3 Erstellen eines Histogramms Um ein Histogramm zu erstellen, wählen Sie den Befehl GRAFIKEN HISTOGRAMM... Dieser Befehl öffnet das Dialogfeld aus Abbildung 35.3, in dem die Einstellungen zur Beschreibung des Histogramms vorgenommen werden. Die Abbildung zeigt die Einstellungen, mit denen das Histogramm mit Normalverteilungskurve aus Abbildung 35.2 erstellt wurde. Abbildung 35.3: Dialogfeld des Befehls GRAFIKEN, HISTOGRAMM Die Variablenliste führt nur die numerischen Variablen aus der Datendatei auf. Nehmen Sie in dem Dialogfeld die folgenden Einstellungen vor: ¾ Quellvariable: Geben Sie in dem Feld Variable die Variable an, für deren Werte das Histogramm erstellt werden soll. Enthält diese Variable fehlende Werte, bleiben die entsprechenden Fälle in dem Diagramm unberücksichtigt. ¾ Normalverteilungskurve anzeigen: Soll in dem Histogramm der Verlauf der Normalverteilungskurve mit dem Mittelwert und der Standardabweichung der empirischen Verteilung dargestellt werden, kreuzen Sie diese Option an. ¾ Titel hinzufügen: In dem Dialogfeld der Schaltfläche Titel können Sie dem Histogramm zwei Titel-, eine Untertitel- und zwei Fußzeilen mit einer Länge von jeweils bis zu 72 Zeichen hinzufügen. Alle Titelangaben können auch nachträglich im Grafikeditor vorgenommen bzw. geändert oder gelöscht werden. Zum Dialogfeld der Schaltfläche Titel siehe auch S. 842. ¾ Vorlage: Sie können auf das Histogramm die Formatierungen wie Farben, Schriftarten und Rahmengrößen anderer bereits bestehender Grafiken übertragen. Kreuzen Sie hierzu die Option Diagrammeinstellungen verwenden aus an, und geben Sie in dem Dialogfeld der Schaltfläche Datei die als Vorlage dienende SPSS-Grafikdatei an. Soweit wie möglich werden die Formatierungen dieser Grafikdatei analog auf das neu zu erstellende Diagramm angewandt.
35.4 Optionen zum Bearbeiten eines Histogramms im Grafikeditor 903 35.4 Optionen zum Bearbeiten eines Histogramms im Grafikeditor Nachdem Sie eine Grafik erstellt haben, können Sie diese im Grafikeditor durch zahlreiche Formatierungen in ihrem Erscheinungsbild verändern. Für viele Diagrammtypen stehen dabei spezielle, auf die jeweilige Grafikart ausgerichtete Optionen zur Verfügung. Im folgenden werden lediglich die speziell für Histogramme zur Verfügung stehenden Optionen beschrieben. Eine Beschreibung der allgemeinen Möglichkeiten zum Bearbeiten von Diagrammen im Grafikeditor finden Sie in Kapitel 31, Diagramme - Überblick. Um eine Grafik bearbeiten zu können, muß diese zunächst im Grafikeditor geöffnet werden. Doppelklicken Sie hierzu entweder im Ausgabenavigator auf die Grafik, oder markieren Sie die Grafik, und wählen Sie anschließend den Befehl BEARBEITEN OBJEKT: SPSS-DIAGRAMM ÖFFNEN Wenn ein Histogramm im Grafikeditor angezeigt wird, können Sie mit dem Befehl DIAGRAMME OPTIONEN... das in Abbildung 35.4 wiedergegebene Dialogfeld einblenden. Dort stehen die folgenden drei Optionen zur Verfügung: ¾ Normalverteilungskurve: Ist diese Option angekreuzt, wird in das Diagramm eine Kurve der Normalverteilung eingezeichnet, die den Mittelwert und die Standardabweichung der durch das Histogramm dargestellten Stichprobe hat. ¾ Statistik in der Legende: Für die durch das Histogramm dargestellte Stichprobe können Sie die Standardabweichung, den Mittelwert und die Anzahl der Fälle in einer Legende neben der Grafik angeben lassen. Wenn Sie im Grafikeditor den Befehl DIAGRAMME, LEGENDE aufrufen, wird ein Dialogfeld mit dem Titel Legende eingeblendet. Dieses enthält eine Option Legende anzeigen. In einem Histogramm wird die Legende mit den Statistiken nur dann angezeigt, wenn sowohl diese Option aus dem Dialogfeld Legende als auch die Option Statistik in der Legende aus dem Dialogfeld Optionen angekreuzt sind. ¾ Fallhäufigkeitsgewichtung verwenden: Wurde das Histogramm auf der Basis einer Datendatei mit gewichteten Fällen erstellt, 405 wird diese Gewichtung per Voreinstellung auch in dem Histogramm berücksichtigt. Um die Verwendung der Gewichte auszuschalten, wählen Sie die Option Fallhäufigkeitsgewichtung verwenden ab. Mit dieser Option können Sie nur eine solche Gewichtung ein- 405 Eine Datendatei wird mit dem Befehl DATEN, FÄLLE GEWICHTEN gewichtet, siehe hierzu Abschnitt 10.5, Fälle gewichten, S. 281.
904 Kapitel 35 Histogramme und ausschalten, die bereits beim Erstellen des Histogramms in der Datendatei aktiv war. Werden die Fälle erst nach dem Erstellen der Datendatei gewichtet, wirkt sich dies wie alle anderen Änderungen an den Daten nicht auf bereits bestehende Diagramme aus. Wurde das Histogramm für gewichtete Daten erstellt, erscheint in einer Fußnote unter dem Histogramm ein Hinweis auf die zugrundeliegende Gewichtung. Dieser Hinweis wird nicht automatisch ausgeblendet, wenn Sie die Gewichtung durch das Abwählen der Option Fallhäufigkeitsvariable verwenden ausschalten. Sie können den Hinweis jedoch manuell in dem Dialogfeld des Befehls DIAGRAMME, FUSSNOTE entfernen. Dieses Dialogfeld können Sie auch durch Doppelklicken auf den Fußnotentext aufrufen. Histogramme können bei SPSS nicht nur mit dem Befehl GRAFIKEN, HI- STOGRAMM erstellt werden, sondern stehen auch bei einigen anderen Prozeduren als Option zur Verfügung. Wurde das Histogramm mit einer solchen Prozedur erzeugt, können die Gewichte nicht nachträglich ausgeschaltet werden, die Option Fallhäufigkeitsvariable verwenden ist dann inaktiv wie bei Histogrammen, die auf ungewichteten Daten basieren. Abbildung 35.4: Dialogfeld des Befehls DIAGRAMME, OPTIONEN aus dem Grafikeditor für ein Histogramm