Produktive Aufgaben mit magischen Quadraten

Prutv Au t s Qurt Mr Kt, Uvrstät W u Päs Hsu W. Ws s s Qurt? Utr s Qurt vrstt t x-zqurt st us Z,,,..., ², - r Zsu, - r Stsu - u u r Dsu s Wrt t. D s Z-, St- u Dsu wr s Kstt s Qurts t. S trät 0 A. : Bs s s x-qurts K = ( + ² ) ² ( ) Su r Z s Qurts... ² + ² = + + + + = = Az r Z Ds st s Qurt st x-qurt t Etru s u r s Kstt. M ürt, ss s F stts r Mtt s Qurts u r Z,, u vr E st üss. D z ö s x- Qurt t Z s s st t A. rstt Qurt. u 0 s rt r wrt Sytrs st u 0 rt r D st r rt D st u 0 rts rt r srt Sytrs st A. : At sytrs L s s Qurts Mss Qurt t Z Ms Kstt s x s x s x s x s x s x 0 s x s 00 0x0 0 A. : Ms Kstt ür = s = 0

Js s Qurt rt srt s wtr s Qurt, s Qurt u 0, 0 zw. 0 rt r s r r vr Sytrs s Qurts st (s A. ). Utrst s t sytrs L t, s t s - u ss x Qurt t Etru s, - 0 s x Qurt t Etru s, - 0 s x Qurt t Etru s (s []). Mt ws t Z r ö s Qurt sr rs zu. D u Z r s x-qurt ür st t t, Z r s x-qurt wr u 0 sätzt, Z r s 0x0-Qurt u 0 0 (s []).. Ms x-qurt vrvstä Bs: I s Zqurt s s r Z s vr, ür sr Z s s rt wr, ss ss x-qurt tstt. 0 S r r vr Z r Z, St zw. D t, s vrt Z ur Eräz u s Kstt stt wr. I s Bs räzt r zwt Z, r vrt St, r rtt Z, r D u r rt D. D ö Aru r u Z,, 0 u ö ur systtss Prr u wr. E ut Strt st, t r rößt (r t r st) sr Z zu. Hr öt, zu Bs, rß ür: - D ++ rößr s st, t r rtt St st. - D ++ = st, u ur r vrür Z,, 0 u räzt wr, u t r rst Z st. - St ur r tzt Z rt wr. - D rst Z s ur ut stt. J Az u Aru r vr Z Vrvstäusu t ur r Lösu r u t rr Lösu st: - I st F ö Z ur Eräz rr Z u s Kstt u wr. Hr stt s Kr Vrrru. - S wr Z t, s s zur Lösu r Au r u r u trs Üru rrr. Hr t s u wst ru, zu r, w v Lösu s t u ö Lösu zu.

. Ms x-qurt V sr Itrss ür Austu Mttutrrt s s x- Qurt. D Az 0 sr Qurt st rsts rß u, u v Möt ür trsst Frstu zu t u rrsts s ürsur, ss v Struturst sr s Qurt st ut t s. As Aru ür ö Brüusu wr F Est sr x-qurt zussst.. Wtr Zru t Su I s x-qurt trtt Kstt t ur s Z-, St- u Dsu, sr stts u s Su r vr Z u (s A. ): E = D + D E = Z + Z E = S + S E = A. : Wtr Vrrru v Z t Su. Für Su E r vr E s Qurts t E = D + D + S + S Z Z = + + + = u r E =. (W S u S rst zw. vrt Stsu, Z u Z zwt zw. rtt Zsu u D u D Dsu z.) Dr st Su r vr ttr Z ur D + D E = + =, Su r ttr Z r rst Z u r ttr Z r tzt Z ur Z + Z E =, Su r ttr Z r rst St u r ttr Z r tzt St ur S + S E =.. D vr Qurt u vr x-tqurt Q Für Su Q, Q, Q zw. Q r vr Z s Qurt t (s A. ): Q + Q = Q + Q = Q + Q = Q + Q = Drus t, ss Q = Q u Q = Q st. Issr st r Q Q Q Q + Q A. : D vr Qurt + + + = Q = Q = Q = Q = + ++ = Q + Q A zu t u ür Su T, T, T zw. T r vr Ez s x-tqurts T + T = T + T = T + T = T + T = u r T = T u T = T. Au r t + + + = T = T = T = T = + + + = T T T T T + T A. : D vr x-tqurt T + T

. Aru r r u ur Z zw. r Z s u s J Z u St s s x-qurts t Etru s tät zw r u zw ur Z sw zw r Z s u zw r Z s. Für D st s t twrws r F: Es t u s Qurt, D us vr r u zwt D us vr ur Z stt zw. Qurt, D r r Z s u r D r r Z s tät.. P s x-qurt A. zt ss x-qurt, u r D s Kstt s Su. Ms Qurt t sr Est t. P s x-qurt t s ur ür ur sw ür ur vr tr. 0 0 A. : Bs s s x-qurts. Füt x-qurt K r rst, zwt u rtt Z utr s Qurts s üt, sst u st Z u K r rst, zwt u rtt St rts Qurt s üt, sst u st St, s rät x-zqurt, s r sz x-tqurt wr s ss Qurt st (s A. ). Js s x-qurt rt s ur Vrs r Z u St srt wtr s x-qurt. V rt u st L s t s u vrs s Qurt t Z s. Js sr Qurt us r r A. rstt Qurt ur Vrs v Z u St rt wr. 0 0 0 0 A. : A ö x-qurt 0 0 0 0 P s x-qurt ußr Est, ss vr Ez s r u x-tqurt s Kstt s Su. Drür us t s x-qurt Zr t rßr Su. Bzt Et w A., s t: + = + = + = + u + = + = + = + + = + = + = + u + = + = + = + + = + = + = + u + = + = + = + + = + = + = + u + = + = + = + A.

. S s x-qurt A. 0 zt ss x-qurt, (zwr t ss r D, r zust) us zw zw Z st r D s Kstt s Su. 0 0 Ms x-qurt t sr Est t s. A. 0: Bs s s s x-qurts. N.. st ss x-qurt u s, - w Su r vr Z s (u t r vr) Qurt trät, - zw. w Su r vr Ez s (u t r vr) x-tqurt trät.. D zwö Struturru sr x-qurt Aus Z s t Zr t Su, ä u, u, u, u, u, u, u 0 sw u. Vrt s x-qurt s sr Zr ur L, s rät ür s Qurt rtrstss Dr. 0 A. : Struturr s s x-qurts. J Auss ss Drs s x-qurt zwö Gru t (s A. ). D A. wät Nurru r z Gru t u s Puzzst Hry Duy (s [] ) zurü. Gru Gru Gru Gru Gru Gru Gru Gru Gru Gru 0 Gru Gru A. : D zwö Struturru sr x-qurt D s Qurt tsr sr Ksszru Qurt v Gru. A s Qurt ör r r Gru s, w Qurt r Gru s u r 0 Qurt r Gru s s. E vstä Lst r 0 s x-qurt, rt zwö Gru wr [] zu Dw t.

A. zt zäß Vrtu r 0 s x-qurt u z Gru: Gru 0 Az r s Qurt 0 A. : Az sr x-qurt. Sytrs s x-qurt D s Qurt r Gru wr sytrs t, s Qurt t Zr t Su sytrs zu Qurtttut rt s. Au s t Dürr-Qurt ört sr Gru (s A. ). A sytrs s x-qurt s s. Außr st rwäswrt, ss Z u St sr Qurt Zr t rßr Su utrt. Etsr r Bzu v A. t sytrs s x-qurt: + = + = + = + u + = + = + = + + = + = + = + u + = + = + = + 0 A. : Dürr-Qurt A.. Uru r Z s s x-qurt Wtr Frstu r s Zus t Uru r Z s s vr s x-qurts:. Gärt R r Z (zw. r St) Ärt R r Z s s Qurts, s vr Zsu u u vr Stsu rß (s A. ). E rrt urts ss Qurt st r u r s, w Dsu wtr tr. A. : Vrtus zwr Z ärt Z- u Stsu t. Isst t s ö R ür vr Z s x-qurts. I r tzt St v A. st, w Aru r vr Z s Qurt r stt Struturru s. (A. t u ür Uru r St.) Ärt R r Z s s s x-qurts u rt sß rt Zqurt St rs ärt R, s rät stts wr ss ss Qurt. Wr ssr r Uru ), ), ), ), ) zw. ) v A. u Z u sß u St wt, s t sr s s x-qurt s.

Äru r R r Z s s x-qurts R r Z Zusätz Su r wrt Sy.s rt M rät wr ss Qurt ür )./. Z tus Gru )./. Z tus P Qurt )./. Z tus Sytrs Qurt )./. Z tus Sytrs Qurt )./. Z tus - P Qurt )./. Z tus Gru )./. Z u./. Z tus S. Qurt )./. Z u./. Z tus - S. Qurt )./. Z u./. Z tus A s Qurt ). Z uss u s tzt Z ut ü ). Z uss u s rst Z ü ). Z uss u r. Z ü - ). Z uss u r. Z ü - ). Z vr r. Z u.z r. Z ü - Sytrs Qurt A. : Ürst Äru r Zr s s x-qurts.. Uru r vr Qurt D Au.,. u. z Bs ür Uru r vr Qurt s vr Qurts.: I st r r vr Qurt v A.. u + 0 rt wr,. s r zwt u r vrt Qurt v A.. vrtust wr. A sytrs s x-qurt s Uru s. I r Z v. st vr Z s tsr Qurt v. B sr Uru s x-qurt s..... A.. Wtr Bs ür Uru r Z s D Bs ür Zvrtusu s x-qurt s, ss s v Fä ssr ür s Qurt- wru ss Qurt r. Ist s urt Qurt s, s ört s stts u rs Struturru w s ursrü s Qurt.

Vrtus t, t, t, t, t, t, t 0 u t. I s F rät stts wr ss Qurt: J Z x =,,..., wr r ur Z x rstzt. E Z- (zw. St- r D-)su + + + = t st ür ( )+ ( )+ ( )+ ( ) = ( + + + ) =. (A t s s x-qurt s, w r Z x =,,..., ² ur ²+-x rstzt.) Vrtus t, t, t, t, t 0, t, t u t. B sr Vrtusu wr ur Z u s vrrößrt u r Z u s vrrt. Ds Uru ürt r u u ss Qurt, w Z, St u u D s s Aussqurts zw r Z u zw ur Z tät. Vrtus t, t 0, t, t, t, t, t u t. B sr Uru wr r Z s u vrrößrt u r Z s u vrrt. D Uru rt r ur ss Qurt, w Z, St u u D s s Aussqurts u zw r Z s u zw r Z s tät. Vrtus t, t, t, t, t, 0 t, t u t. Vrtus t, t, t, t u ss ür Z. Vrtus t, t 0, t, t u ss ür Z. Vrtus t, t, 0 t, t u ss ür Z. Vrtus t, t, t, t u ss ür Z.. Ms x-qurt Ms x-qurt t Etru s s Kstt. Au r Au zu Vrvstä sr Qurt st (s Au A). Wtr Aru ür Frstu zu s x-qurt t.. s.. Räß Aru r r/ur Z D s Kstt ur Z st, üss r Z, r St u r D s s Qurts t Z s twr, r r r ü ur Z st. I s Zus tt s s Austu, s -Qurt zuszustz, Aru r ur Z sytrss Mustr t. A. : Bs ür ö sytrs Aru r ur Z 0

. Kt us s x- u s x-qurt E rtv Mt, ss x-qurt us Z s zu stt r, ttr u Fr s Qurts ss x-qurt zu stz u r Z, St u D zw r rst Z ss zu räz. (s A. 0) D u Z ür s s x-qurt üss s F s wät wr, ss s Kstt ss Tqurts trät: D Su r Z s s x-qurts trät. 0 0 A. 0: Gstt s Qurt D Su r u Z s s x-qurts t Kstt K trät K, us ür Z üss t Zr t Su K t wr. Drus t = K + ( K), u s Lösu sr Gu rät K =. Bs ür u Z, us ts ss x-qurt t K = zusstz, s, 0,,,,,,, u,, 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,, 0,,,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,,,,,,,,, 0,,,, 0,,,, 0,,,,,,,, 0,,,,, A zu öt us Z s s x-qurt t zw wtr r stt s Qurt : M stzt ss x-qurt t Kstt zus, u üt r Z, r St u r D Zr t Su 0 s zu, ss sst ss x-qurt t Kstt tstt. Sß vrvstät s s x-qurt t Kstt, Z, St u D s x-qurts t ur Zr t Su 0 räzt.. P s x-qurt A. zt x-qurt, r Größ A, B, C, D, E u,,,, r Z, r St, r D u u r r D u s Su utrtt. D { x+y x {0,, 0,, 0} y {,,,, }} = {,,,, } u ußr 0 + + 0 + + 0 + + + + + = st, t: E wr R Größ A, B, C, D, E ur Z 0,, 0,, 0 u Größ,,,, ur Z,,,, (r urt A, B, C, D, E ur,,,, u,,,, ur 0,, 0,, 0) rstzt, rät stts s ss x-qurt t Etru s. A+ B+ C+ D+ E+ C+ D+ E+ A+ B+ E+ A+ B+ C+ D+ B+ C+ D+ E+ A+ D+ E+ A+ B+ C+ A.

Isst t s!! = 00 vrs Möt, Größ A s E u s t s Zwrt zu. Utrst rt u st L r sr Art rt 00 Qurt t, s vr 00/ = 00 vrs s x-qurt. Brswrt st, ss s rür us wtr s x-qurt t (s [] ). D s s x-qurt A. zys Bu zusstzt st, us A. wtr Est sr Qurt s: S st, zu Bs, uttr, ss s x-qurt ü Z Su : - vr E u Mttz s Qurts, - vr E u Mttz s r u x-tqurt, - vr Stttut u Mttz s r u x-tqurt, - ws ttr Z r rst u tzt Z u r rst u tzt St u Mttz s Qurts.. Wtr zys s x-qurt I A. s Su A, B, C, D, E r rst Z r zwt Z u ws r St rts (u Su,,,, u zw St rts) zys vrtust rt. Ds zys Vrtusu wr u ür Z rtstzt. Gus öt v Z zu Z Su A, B, C, D, E u ur St u Su,,,, u zw (r u r r u vr) St zys rts vrs zw. A, B, C, D, E u vr St u,,, u zw (r u r) St. Au s zys Aru ür tr Bu r Größ A, B, C, D, E u,,,, t Z 0,, 0,, 0,,,,, u s x-qurt, rs t r s. A. zt Aru, r A, B, C, D, E u ws St u,,,, u ws vr St rts vrs s: D A. Größ E r rt D ü M vrt u us Größ ü M r D, rät ur ss Qurt, - w E = 0 u = st u A, B, C, D r R t Wrt 0,,, 0 sw,,, r R t,,, t wr - zw. w E = u = 0 st u A, B, C, D r R t Wrt,,, sw,,, r R t 0,,, 0 t wr. Isst rt s zys Aru st!! = (zw. v sytrs L s / = ) vrs s x-qurt. A+ B+ C+ D+ E+ B+ C+ D+ E+ A+ C+ D+ E+ A+ B+ D+ E+ A+ B+ C+ E+ A+ B+ C+ D+ A. Stzt A. ssr A = 0, B =, C =, D = 0, E = 0 sw =, =, =, =, u =, s rät ss s x-qurt w t r Au s As Kstrutsvrsrt.

. Sytrs s x-qurt E ss x-qurt ßt sytrs, w Z Mtt s Qurts stt u zwö Zr t Su sytrs zu Mtt rt s. Ms x-qurt ö t zt sytrs u s, s x- Qurt s. V rt u st L s t s u vrs sytrs x-qurt. A s Qurt t H s Kstrutsrzs rt: A. rt u sytrss s Qurt, - w B = 0 = A + C = D + E = 0 + = + = - zw. w B = = 0 A + C = D + E = + = + = 0. Ms Qurt t r Etru Erstzt s x-qurt t Z x =,,,..., ² u r s Kstt K Etru x ur Z x + (ür zw vr r Z u t 0), s rät x-zqurt, Zsu, Stsu u Dsu s Wrt K + t. Vrztt u Frru, ss ss Qurt us Z s ² zusstzt s s u vrt ur, ss Z-, St- u Dsu rß s, s us r vr rtts F v ² r Z s x-qurt zusstz. Ltrtur: [] Ars, W.: Mtts Utrtu u S. Tur Vr, Lz (0). [] Dss, H.: www.-squrs. [] Duy, H.: Austs Mtts. Dvr Puts (, Nuus ) [] Gsu, F.: www.su.r/-squrs [] Hz, H.: www.ts./~rvy/squr.t [] Kt M.: Sr t Z u Zr. Aus Vr Dur, Kö (00). [] Pvr, A.C.: T Z squrs, rs strs. Prt Uvrsty Prss, Prt (00). Pr. Dr. Mr Kt Päs Hsu W u Futät ür Mtt r Uvrstät W r.t@uv..t

A: Austu zu s Qurt. Ürrü, ss Zqurt ss Qurt st!. W rß st s Kstt - s s -Qurts t Etru s - s s -Qurts t Etru s - s s -Qurts t Etru s - s s -Qurts t Etru s 0 Vrvstä s Qurt t Etru s!.... 0 0 0........ 0 Eräz Z s 0 s, ss s -Qurt tst! F ws ö Lösu!....

W sr Vrrru v Z t s x-qurt us Z s Su, w t?...... Bt s s -Qurt us Z s s, w Zvrtusu urürt?. Vrtus t, t, t u t u ss ür Z.. Vrtus t, t, t u t u ss ür Z.. Vrtus t, t, t, t, t, 0 t, t u t.. Vrtus t, t, t, t, t 0, t, t u t.. Vrtus t, t, t, t, t, t, t 0 u t. Bsr s x-qurt E ss x-qurt t Z s ßt: -, w ss r D Su. - s, w us zw zw Z st r D Su. - sytrs, w sytrs zu Qurtttut Zr Su. 0 0 0 0 0. Z, ss s sytrs s x-qurt s st!. W r s Qurt us Au s s, w s s, w s sytrs? Brü:. St s x- Qurt rst Z (zw. rst St) u üt s utr r vrt Z s tzt Z (zw. rts r vrt St s tzt St ), s rät wr s ss Qurt.. St s (zw. sytrs) s x-qurt rst Z u üt s utr r vrt Z s u rtt u vrt Z, s rät wr ss (zw. sytrss) ss Qurt. } {

0 Brü: E ss x-qurt t Z s st u s, Q Q T T. w r r vr Qurt Su t,. w s r vr x-tqurt Su t. Q Q T T Brü:. Drt sytrs s x-qurt r vr Qurt u + 0 (s A.. rts), s rät wr sytrss ss Qurt.. Vrwt vr Qurt s s s Qurts Z (w A.. rts), s rät wr ss ss Qurt... Bt s s s -Qurt s, w. rst t r zwt Z vrtust,. rst t r zwt Z u sß rst t r zwt St vrtust,. rst t r zwt Z u sß rtt t r vrt St vrtust,. rst t r rtt Z u sß rst t r rtt St vrtust,. rst t r rtt Z u sß zwt t r vrt St vrtust? D Z,,, s s x-qurts ö vrs R s Z s x-zqurts rt wr: ---, ---, ---, ---, ---, ---, ---,..., ---. B w sr Zru t. s s x-qurt s,. s sytrs s x-qurt s,. s s s x-qurt s,. s s x-qurt s?. Z ss ür sr Zru t: Ärt R r vr Z s s s x-qurts, u ärt sß rt Zqurt R r vr St r Ws, s rät wru ss ss x-qurt. W ärt s s Kstt s s x-qurts t Etru s, w. zu r r Z s s r Z rt,. r Z s t rs r Z 0 utzrt.. Är Z s s s x-qurt us Au s, ss ss x-qurt t zz Etru u r s Kstt K tstt:. K = 0. K =. K =. K = 0. K = 0

Eräz Z s, ss s Qurt t Etru s tst!... 0 0 0... 0... 0 0 0. Or Z s r Vrsrt x-qurt! Ürzu, ss u ss x-qurt rt st! D Z,,,..., wr rtu r Rtu v s ut rts Fr s -Qurts tr. D s R zu t:. Stz rst Z s F uttr ür r Mttz s Qurts!. Wr r r Qurtr rrt, s stz utrst F r äst St rt!. Wr r rt Qurtr rrt, s stz rst F r ästör Z rt!. Wr Z rrt, r rts Z stt, s stz F zw R r r zutzt sr Z rt! Lt ss F rts ußr s Qurts, s stz utrst F rs St rt!. Wr rt r E rrt, s stz äst Z vrtzt Z r tzt St!. Or rs Vrsrt u Z s x-qurt, Z s x-qurt zw. Z s x-qurt! Erätst u u r stts s Qurt?

Sz Aru r ur Z Stz ss -Qurt us Z s zus, ur Z rrt Fr st..... Kt us s - u s -Qurt. Rts sst u ss -Qurt t Etru,,,,,,,,. Eräz Z r Käst s, ss ss -Qurt t Etru s tstt!. Stz ttr u Fr s x-qurts ss x-qurt us Z, 0,,,,,, u u räz wru rst Fr s, ss ss x-qurt t Z s tstt.. Ür, ss s s Kstt s x-qurts s rt s Qurt us Z s ur Z Fr t!. F wtr Bs r sttr sr x- u x-qurt us Z s! W u Z ür s s x-qurt Fr?. F Bs ür rstt s x- u x-qurt, s s x-qurt r utr E s s x-qurts rt st! Dr stt s Qurt Aus Z s st u ss x-qurt t zw wtr r stt s Qurt zusstz:. Sr ttr u Fr ss x- Qurt us Z s!. Eräz uttr rz Fr Z s 0 u 0 s s, ss ss x-qurt us Z s tstt! Ür zurst, w rß s Kstt ss x- Qurts st!. Or sß rst Z s Fr s äußr Rs, ss u sst ss x-qurt rätst!

0 Sytrs s x-qurt E ss x-qurt ßt sytrs, w Z Mtt s Qurts stt u Zr, sytrs zu Mtt Su. W r s Qurt us Au s s sytrs? 0 0 P s -Qurt. Ürrü ur Nr, ss rts t -Qurt s Qurt s!. W r s -Qurt us Au s? 0 0 0 0. Stz rts t Qurt A = 0, B =, C = 0, D = u E = 0 sw =, =, =, = u =. Ürrü ur Nr, ss u s ss x-qurt t Etru s rt st!. Stz A =, B =, C =, D =, E = sw = 0, =, = 0, = u = 0. Erätst u u s F s ss x-qurt? A+ B+ C+ D+ E+ C+ D+ E+ A+ B+ E+ A+ B+ C+ D+ B+ C+ D+ E+ A+ D+ E+ A+ B+ C+. Brü: E wr R Größ A, B, C, D, E ur Z 0,, 0,, 0 u Größ,,,, ur Z,,,, (r A, B, C, D, E ur,,,, u,,,, ur 0,, 0,, 0) rstzt, rät stts s ss x-qurt t Etru s.. Stz wtr s x-qurt zus! V sytrs L s t s sst 00 vrs s x-qurt t Etru s, u s sr Qurt t r Au vrstt Mt rzut wr.. I wr R usst u Größ A, B, C, D, E,,,, u us r Au zu Au Z 0,, 0,, 0,,,, u zur, u s Qurt us Au zu rt?. W uss Größ A, B, C, D, E Z 0,, 0, u,,,, Z,,,, (zw. A, B, C, D, E Z,,,, u,,,, Z 0,, 0, ) zur, u sytrs s x-qurt zu rt?. Stz Bs ür sytrs s x-qurt zus!. I s -Qurt t s Z, St u D zr wtr Fürru v Z, s s Kstt s Su. Kst u s Zru r Au zu Au t?