Kapitel 4. Farbmetrik

Kapitel 4 Farbmetrik Das Thema der letzten Kapitel war der Farbreiz, d.h. die physische Wirkung des sichtbaren Lichts auf das Auge bzw. auf die Netzhaut. Das aktuelle Kapitel ist dem Ergebnis der durch einen Farbreiz ausgelösten Gehirnprozesse gewidmet, nämlich der wahrgenommenen Farbe, oder genauer der Farbvalenz. Die Farbvalenz ist im Gegensatz zum Farbreiz keine direkt messbare physikalische Grösse, sondern eine Sinnesempfindung. Das menschliche Sehsystem ist in der Lage, die Gleichheit von zwei Farbeindrücken 1 zu beurteilen. Da jeder Messvorgang auf Vergleichen basiert, ist somit die Grundlage für ein Farbmesssystem gegeben. In den letzten 15 Jahren wurde auf Grund dieser Voraussetzung die Farbmetrik entwickelt, die Lehre von den Massbezeichnungen der Farben untereinander, und zugleich die technische Basis im Umgang mit Farbe. Abbildung 4.1: Maxwellscher Farbkreisel zur Durchführung von additiven Mischungen: a) Motor mit Kreiselscheiben, deren Sektorgrössen nach Lösen der Flügelschrauben verstellbar sind, b) Ineinanderstecken der radial geschlitzten Scheiben, c) Beispiel einer Einstellung der Farbsektore zur Nachmischung der inneren Kreiselscheibe (mit Schwarzsektor zum Helligkeitsabgleich) 1 etwa von zwei nebeneinanderliegenden Farbtafeln 43

44 Kapitel 4. Farbmetrik Abbildung 4.2: additive Farbmischung mit dem Maxwellschen Kreisel

45 Abbildung 4.3: Lichtzerlegung durch Prismen (schematische Darstellung) + + = + + = Abbildung 4.4: additive Farbmischungen (schwarze Bildteile entsprechen der Abwesenheit von Licht)

46 Kapitel 4. Farbmetrik + + + = + + = 4.1 Farbmischung Abbildung 4.5: subtraktive Farbmischung Zu den Klassikern der physikalischen Versuche gehört die Zerlegung des Sonnenlichts oder des Lichts einer andern Quelle durch ein Prisma [14], siehe Abbildung 4.3. Der Durchgang des Lichts durch das Prisma bewirkt (auf dem Beobachtungsschirm) eine Sortierung nach Wellenlängen. Die Buntheit des Abbildes zeigt, dass einer bestimmten Wellenlänge λ eine ganz bestimmte Farbe entspricht, man spricht von der spektralen Farbvalenz oder kürzer von der Spektralfarbe F (λ). Dieses Experiment erlaubt zwei Feststellungen: 1. Jede Farbe ist eine Mischung aus Spektralfarben. 2. Unterschiedliche Farbeindrücke bei verschiedenen Lichtzusammensetzungen haben ihre Ursache in wellenlängenabhängigen Intensitätsunterschieden. Dies erlaubt es, Farbvalenzen als eine Art von Vektorraum zu betrachten mit der Farbmischung als Addition 2. Dieses Grundkonzept muss jedoch noch verfeinert werden, um gewissen Phänomenen gerecht zu werden. Zunächst ist es notwendig, den Begriff der Farbmischung genauer zu untersuchen. Beispiele für Farbmischungen sind: 1. In der Malerei werden Pigmente oder farbige Dispersionen gemischt. 2. Farbige Lösungen können zusammengegossen werden. 3. Die Farbphotographie basiert heute auf der Diffusion von Farbstoffen. 4. Farbige Filter (Folien) können hintereinander geschaltet (übereinander gelegt) werden. 2 bzw. der Gewichtung mit der Intensität als der skalaren Multiplikation

4.1. Farbmischung 47 5. Farbige Projektoren können übereinander geblendet werden. 6. Beim Fernseher leuchten kleine, etwa.22 mm durchmessende Phosphorflächen nebeneinander auf. 7. Beim Drehen eines Farbkreisels, siehe Abbildung 4.1, der mit verschieden farbigen Sektoren beklebt ist, entsteht durch die hohe Drehgeschwindigkeit eine Mischfarbe. 8. Beim Mehrfarbendruck werden Farben durch das Nebeneinanderdrucken winziger Grundfarbenflächen gemischt, welche aus genügender Distanz nicht mehr als Einzelpunkte wahrgenommen werden. Im Allgemeinen besitzt jede Art der Farbmischung ihre eigenen Gesetzmässigkeiten, die Fälle 1 4 bezeichnet man als subtraktive oder multiplikative Farbmischung. Das Adjektiv subtraktiv stammt aus dem Beispiel 4, wo durch ein Filter Licht weggenommen wird. Dagegen assoziiert der Projektor aus Beispiel 5, dass Licht dazugenommen wird, siehe Abbildung 4.4. Folglich bezeichnet man die Lichtmischung in den Fällen 5 8 als 3 additiv. Die eigentliche Unterscheidung liegt aber im wellenlängenbezogen Verhalten der Mischungen. Bei der additiven Farbmischung werden die spektralen Strahlungschichten S 1 (λ) und S 2 (λ) wellenlängenweise addiert, d.h. für die resultierende Strahlungsdichte S r (λ) gilt S r (λ) = S 1 (λ) + S 2 (λ). (4.1) Bei der subtraktiven Farbmischung gilt die Gleichung (4.1) nicht, sondern S r (λ) ergibt sich durch Multiplikation von S 1 (λ) bzw. S 2 (λ) mit den jeweiligen materialbezogenen Reflexions- oder Absorptionskurven, was die zu subtraktiv synonyme Bezeichnung multiplikativ erklärt. Im folgenden steht Farbmischung für additive Farbmischung gemäss (4.1), wenn nicht explizit etwas anderes bestimmt wird. Die speziellen Eigenschaften der additiven Farbmischung wurden in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts hergeleitet. Zu erwähnen ist insbesondere die Maxwellsche Scheibe, mit der James Clerk Maxwell [11] zwischen 185 186 erste systematische Messungen zur Farbmischung vorgenommen hat, siehe Abbildung 4.1. Eine Kreisscheibe mit verschiedenfarbigen Sektoren rotiert so schnell, dass das Auge nur noch einen einheitlichen Gesamteindruck wahrnimmt. Der relative Flächenanteil der einzelnen Farben definiert ihre Gewichtung. Eine besonders direkte Art der Farbmischung lässt sich durch Projektoren erzeugen, deren Intensität regelbar ist und deren Grundfarben durch vorgesetzte Farbfilter bestimmbar sind, siehe Abbildung 4.6. 3 Da es im Fall 8 auch unvermeidbar zum Übereinanderdruck der Rasterpunkte kommt, ist er ein Grenzfall. Der additive Anteil an der Gesamtwirkung überwiegt jedoch. Zudem ist der autotypische Mehrfarbendruck, das Standarddruckverfahren, so gestaltet, dass der subtraktive Anteil minimal wird.

48 Kapitel 4. Farbmetrik Abbildung 4.6: Additive Mischung durch drei Projektoren mit Farbfiltern Die heute technisch einfachste Art der Farbmischung stellt der Farbfernseher dar. Die Intensität von roten, grünen und blauen Bildpunkten ist frei steuerbar. In einem ausreichend grossen Betrachtungsabstand verschmelzen diese zu einem gemeinsamen Farbeindruck. Um bei der Durchführung von Farbmischungen ein reproduzierbares Urteil über die Gleichheit von Farben zu gewährleisten, müssen gewisse Rahmenbedingungen sichergstellt sein. Gemäss [13, S.699] ist zu empfehlen, dass die beiden Farben gleichzeitig, aneinander grenzend, strukturlos, mit einer Winkelgrösse von 2, mit helladaptiertem Auge, bei einäugiger Beobachtung mit ruhendem Auge und von einem normalsichtigen Beobachter gesehen werden. Diesen Empfehlungen fehlt eine Bedingung zur chromatischen Adaption (Umstimmung) des Auges. Dass dies jedoch nicht notwendig ist, formulierte J. von Kries 1878 [19] als Persistenzsatz: Verschieden zusammengesetzte Farbreize, die dem neutral gestimmten Auge gleich erscheinen, erscheinem auch dem beliebig umgestimmten Auge gleich. Die Berücksichtigung der oben genannten Empfehlungen für die Durchführung eines Farbvergleichs gewährleisten, dass das so gewonnene Urteil über Gleich- bzw. Ungleichheit zweier Farben zum einen

4.1. Farbmischung 49 reproduzierbar und zum anderen, bei einer ausreichenden statistischen Basis, vom individuellen Beobachter unabhängig ist. Sind diese Voraussetzungen sichergestellt, so ist Farbgleichheit gegeben durch folgende Bedingung: Zwei Farbreize haben genau dann gleiche Farbvalenzen, wenn sie bei einem Farbvergleich ununterscheidbar sind. Ausgehend von diesem Gleichheitsbegriff wurde in der Mitte des 19-ten Jahrhunderts die Farbvalenz in systematischen Reihenuntersuchungen überprüft. Die für uns relevanten Ergebnisse dieser Arbeiten sind heute bekannt als die Grassmannschen Gesetze [5]: 1. Zwischen vier beliebigen, gegebenen Farben lässt sich durch Variation der Intensitäten von maximal drei (unabhängigen) Farben immer eine additive Mischungsbeziehung finden. 2. In einer additiven Farbmischung kann man eine Mischungskomponente ersetzen durch einen gleich aussehenden, aber spektral verschiedenen Farbreiz, ohne das Mischverhältnis zu verändern. 3. Ändert sich eine Komponente in einer Farbmischung stetig, so ändert sich auch die Mischfarbe stetig. Die auffälligste Erkenntnis aus systematischen Farbvergleichen ist die Existenz von spektral verschiedenen Farbreizen mit derselben Farbvalenz, beispielsweise ergibt die Mischung aus spektralem Rot und spektralem Grün ein spektrales Gelb. Aufgrund dieser Beobachtung heissen spektral verschiedene Farbreize, die vom Auge nicht unterschieden werden können, bedingt gleich oder metamer. Das zweite Grassmann-Gesetz besagt nun, dass metamere Farbreize auch als Komponenten von Mischungen die gleiche Farbvalenz erzeugen. Dies erlaubt es, Farbvalenzen als Elemente eines Vektorraumes mit der Farbmischung als Addition zu betrachten. Aus Sicht der Vektoralgebra besagt das erste Grassmannsche Gesetz, dass sich jede beliebige Farbvalenz F als Vektor in einem dreidimensionalen Farbraum darstellen lässt, oder genauer, dass es für eine gegebende Basis des Farbraumes positive Koeffizienten a, b und c gibt, so dass F = a A + b B + c C (innere Farbmischung) (4.2) oder oder oder F + a A = b B + c C (äussere Farbmischung) (4.3) F + b B = a A + c C (äussere Farbmischung) (4.4) F + c C = a A + b B (äussere Farbmischung). (4.5)

5 Kapitel 4. Farbmetrik 2 5 525 1.5 1 546.1nm.5 55 475 438.8nm 575.5 6 7nm 1.5.5 Abbildung 4.7: die Farbtafel des RGB-Farbraums (Koordinatensystem willkürlich) Die Notwendigkeit von positiven Konstanten a, b, c resultiert aus ihrer Interpretation als Lichtintensität. In den Gleichungen (4.2) (4.5) sind die linken bzw. die rechten Seiten als physikalisch erzeugte Farbmischungen zu verstehen und das Gleichheitszeichen steht für identische visuelle Beurteilung. Bezogen auf die Farbvalenz F heisst eine Mischung gemäss (4.2) eine innere Farbmischung im Gegensatz zu den restlichen, die als äussere oder uneigentliche Farbmischungen bekannt sind. Aus mathematischer Sicht sind die Gleichungen (4.3) (4.5) problemlos nach F auflösbar, d.h. die Farbvalenz F ist mathematisch darstellbar als F = a A + b B + c C, (4.6) wobei a, b und c jetzt auch negativ sein können. Zu beachten ist jedoch, dass aus der Gültigkeit von (4.6) nicht die physikalische Mischbarkeit von F aus den Basisvektoren A, B, C folgt. Das dritte Grassmansche Gesetz besagt, dass der Vektorraum der Farbvalenzen mehr oder weniger wie ein geometrischer Vektorraum behandelt werden darf. Dies ist jedoch nur qualitativ zu verstehen, da die Abstandsfunktion sehr komplex und nichtlinear ist, siehe Abschnitt 4.6.

4.2. Der RGB-Farbraum 51 4.2 Der RGB-Farbraum Der nächste Schritt zur Farbmetrik besteht nun in der Auswahl geeigneter Basisvektoren, den sogenannten Primärvalenzen. Auf Grund der effektiven physikalischen Realisierbarkeit bietet sich eine Basis aus roten, grünen und blauen Farbvalenzen an. Andererseits sollte die exakte Festlegung allgemein anerkannt, d.h. standardisiert sein. Die heute gebräuchliche Definition des RGB-Farbraumes stammt aus dem Jahr 1931 und wurde von der CIE [2] vorgenommen. Sie legte die Primärfarben R, G und B als die Spektralfarben der Wellenlänge 7. nm (R) 546.1 nm (G) 435.8 nm (B) fest. Die entsprechenden Intensitäten sind so bestimmt, dass die Summe der Primärfarben Unbunt U ergibt, d.h. die Farbart des unzerlegten energiegleichen Spektrums, also: R + G + B = U (4.7) 3 2.5 2 1.5 5 525 1 546.1nm 55.5 575 475 438.8nm 6 7nm.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 Abbildung 4.8: die 2D-Standarddarstellung des RGB-Raums Zur graphischen Darstellung dreidimensionaler Farbräume verwendet man jedoch seit Newton zweidimensionale Reduktionen in Form von Farbkreisen oder -dreiecken. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass die Länge des Farbvektors nicht dargestellt wird. Zunächst

52 Kapitel 4. Farbmetrik wählt man eine Ebene aus, die keinen der Basisvektoren enthält. Am gebräuchlichsten ist die durch die Basisvektoren aufgespannte Ebene, Farbtafel genannt. Ein Farbvektor besitzt eine Richtung und eine Länge. Die Richtung bestimmt die Farbart und die Länge repräsentiert seine Helligkeit. Die Menge aller Farbvektoren derselben Richtung, aber variabler Länge definiert eine Gerade S, welche die Farbtafel in einem Punkt, dem Farbort schneidet. Der Farbort wird als der gemeinsame Repräsentant aller Farbvektoren in S aufgefasst. Eine Farbtafel ist definitionsgemäss die Menge der Vektoren (a, b, c) mit a + b + c = 1. (4.8) Dies erlaubt eine einfache Bestimmung der Koordinaten des Farborts (r, g, b) für einen gegebenen Farbvektor (R, G, B) aus RGB. Es gilt nämlich: r = g = b = R R + G + B G R + G + B B R + G + B (4.9) (4.1) (4.11) Man nennt r, g und b die Farbwertanteile der Farbvalenz (R, G, B). Da (4.8) für beliebige Farborte gilt, folgt insbesondere r + g + b = 1 (4.12) was äquivalent zu b = 1 r g (4.13) ist, d.h. es genügen zwei Koordinatenwerte zur exakten Bestimmung des Farbortes. Folglich kann die Farbtafel umkehrbar eindeutig auch in der r-g-ebene dargestellt werden, siehe Abbildung 4.8, welche auch als Standardrepräsentation für Farbtafeln gelten kann. Zum Ende dieses Abschnittes kommen wir noch einmal zurück zur Farbmischung, bzw. zu ihrer geometrischen Interpretation bezüglich der Farbtafel. Die Farbörter von Farbvalenzen, die additiv aus zwei Komponenten gemischt werden, liegen auf der Verbindungsgerade der Farborte der beiden Mischungskomponenten. Bei drei Komponenten findet man den Farbort der Mischung als gemeinsamen Schwerpunkt, wenn man sich die Mischungskomponenten als Gewichte in den Ecken des durch ihre Farborte aufgespannten Dreiecks vorstellt. 4.3 Farbvalenzen der Spektralfarben Das Thema dieses Abschnittes ist zunächst die Ermittlung der Farbwerte als Spektralfarben im RGB-Raum. Sie sind als Spektralwerte oder gesamthaft als Spektralwertkurven bekannt. Grundsätzlich sind die Spektralwerte durch die vorgängig beschriebenen Mischversuche bestimmbar. Historisch gehen die ersten diesbezüglichen Experimente auf Helmholtz [18] und Maxwell [11] zurück. Mit aufwendigeren Verfahren wurden sie später von König, Dieterici [1], Wright [22], Stiles [16] und Speranskaja [15]

4.3. Farbvalenzen der Spektralfarben 53 Abbildung 4.9: Konstruktion eines Farborts in der Farbtafel aus den Farbwertanteilen r, g und b mit Hilfe der Schwerpunktregel; a) innere Mischung, b) äussere Mischung. Es gilt r = rh r, g = gh g, b = bh b wiederholt. Es bezeichne F (λ) die Farbvalenz der Wellenlänge λ. Zu ermitteln sind dann die Spektralwerte r(λ), ḡ(λ) und b(λ) mit F (λ) = r(λ) R + ḡ(λ) G + b(λ) B. (4.14) Zu beachten ist, dass ein Grossteil der Farbvalenzen F (λ) in (4.14) nur mittels der uneigentlichen Farbmischung einstellbar ist, d.h. dass insbesondere r(λ) negativ sein kann. Ferner zeigt sich, dass Wellenlängenunterschiede von weniger als 5 nm im Allgemeinen vom menschlichen Auge nicht unterschieden werden können. Die Spektralwertkurven sind in Tabellenform wie in Abbildung 4.47 auf Seite 87 angegeben. Die zugehörige Visiualisierung findet man in Abbildung 4.1. Interessant ist auch die Darstellung der Spektralwertkurve in der Farbtafel des RGB- Raums. Hierzu verbindet man die Farborte der Farbvalenzen F (λ) zu einem Linienzug, dem Spektralfarbenzug, siehe Abbildung 4.8. Man beachte jedoch, dass die Spektralfarben von 38 41 nm und von 69 78 nm identische Farborte besitzen, d.h. das Auge kann monochromatisches Licht in diesen Bereichen nicht unterscheiden. Gemäss Definition enthält der Spektralfarbenzug die Farborte der drei Primärvalenzen, verläuft aber auch ausserhalb des durch sie aufgespannten Farbdreiecks, was auf die negativen Anteile in vielen F (λ) zurückgeht. Da das kurz- und das langwellige Ende des Spektrums offensichtlich verschieden sind, ist der Spektralfarbenzug nicht geschlossen. Die Gerade, die durch diese beiden Endpunkte aufgespannt wird, heisst Purpurgerade. Die Purpurtöne sind Farbmischungen aus Violett und Rot. Da einerseits die Farborte von Mischfarben auf der Verbindungsstrecke der Farborte ihrer Mischungskomponenten liegen und andererseits jeder Farbreiz eine Summe aus spektralen Farbreizen darstellt, ist die Menge der Farborte aller Farbmischungen identisch mit der konvexen Hülle der Spektralwerte der Fläche, die durch den Spektralfarbenzug (und der Purpurlinie) umschlossen wird.

54 Kapitel 4. Farbmetrik 2 r(λ) g(λ) 1.5 b(λ) 1.5.5 4 5 6 7 8 Abbildung 4.1: die Spektralwertkurven r(λ), ḡ(λ) und b(λ) Die Kenntnis der Spektralwertkurven, etwa in Form von Tabelle 4.47 auf Seite 87, ist von zentraler Bedeutung für die Farbmetrik. Sie erlaubt die Berechnung der Farbvalenz für jede beliebige gegebene Strahlungsverteilung S = S(λ). Gemäss Definition besitzt jede Wellenlänge λ die Farbvalenz S(λ) F (λ), und die Gesamtfarbvalenz F (S) ergibt sich als additive Mischung der Spektralwerte, somit gilt =F (λ) F (S) = ({}}{ S(λ) r(λ) R + ḡ(λ) G + b(λ) ) B λ (4.15) λ ( ) ( ) ( ) = S(λ) r(λ) λ R + S(λ) ḡ(λ) λ G + S(λ) ḡ(λ) λ B λ }{{} def = R = R R + G G + B B. λ }{{} def = G λ }{{} Ist die Strahlungsdichte S in stetiger Form gegeben, so sind die Koeffizienten R, G und B in analoger Weise bestimmt: def = B R = G = B = S(λ) r(λ) dλ (4.16) S(λ) ḡ(λ) dλ (4.17) S(λ) b(λ) dλ (4.18)

4.3. Farbvalenzen der Spektralfarben 55 2 5 525 1.5 1 G 546.1nm.5 475 F 55 λ d B 438.8nm U 575.5 6 R 7nm 1.5.5 Abbildung 4.11: Bestimmung der farbtongleichen Wellenlänge λ d einer Farbe F Die Spektralwertkurven r(λ), ḡ(λ) und b(λ) stellen in gewissem Sinne spezielle Hellempfindlichkeitskurven dar. Es ist deshalb klar, das r(λ), ḡ(λ) und b(λ) jeweils einen Teil zu V (λ) beitragen. Nicht offensichtlich ist die jeweilige Gewichtung dieses Anteils. Die CIE hat diesbezüglich ihre Normierung so abgestimmt, dass (4.19) gilt: ( V (λ) = 5.658.17697 r(λ) +.8124 ḡ(λ) +.163 b(λ) ) (4.19) Schliesslich bietet der Spektralfarbenzug die Gelegenheit, die Notation der Farbmetrik weiterzuentwickeln. Wie erwähnt kann eine Farbvalenz durch ihre Helligkeit (Vektorlänge) und den Farbort F in der Farbtafel charakterisiert werden. Verbindet man den Unbuntpunkt U mit F durch eine Gerade G, so schneidet G den Spektralfarbenzug bzw. die Pupurlinie in zwei Punkten A und B, wobei o.b.d.a. 4 F UA (4.2) angenommen sei, siehe Abbildung 4.11. Die Beziehung (4.2) zeigt, dass F eine Mischung aus Unbunt und einer durch F bestimmten Spektralfarbe darstellt. Da Unbunt gemäss Definition keinen Farbton enthält, wird der Farbton allein durch A bestimmt, oder genauer durch die farbtongleiche Wellenlänge λ d. Ist A ein Punkt der Purpurline, so charakterisiert man den Farbton von F durch den Punkt B und spricht von kompensativer Wellenlänge 5. 4 ohne Beschränkung der Allgemeinheit 5 in der angelsächsischen Literatur auch als komplementäre Wellenlänge bezeichnet

56 Kapitel 4. Farbmetrik In diesem Falle kennzeichnet man die Wellenlängenangabe mit einem Minuszeichen. Die verschiedenen Farborte auf der Strecke U A unterscheiden sich in ihrem jeweiligen Anteil der Spektralfarbe in der Mischung mit Unbunt. Dieser Anteil heisst Sättigung, siehe Abbildung 4.12. Helligkeit 1 1 Sättigung Abbildung 4.12: Sättigung und Helligkeit einer Farbvalenz Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass Farbvalenzen alternativ auch durch die Begriffe Helligkeit Farbton (Buntton) und Sättigung beschrieben werden können. Dieser intuitive Ansatz wird später im Zusammenhang mit einigen speziellen Farbräumen, wie beispielsweise CIELAB, weiterverfolgt.

4.4. Das Normvalenzsystem 57 1.5 2 x(λ) y(λ) z(λ) 1.5 4 5 6 7 8 Abbildung 4.13: die Normspektralwertkurven 4.4 Das Normvalenzsystem Im Prinzip könnte man die gesamte Farbmetrik auf dem RGB-Farbraum aufbauen. Die CIE hat sich 1931 jedoch anders entschieden und für die Definition des technischen Standardfarbraumes die Basis X YZ gewählt. Dieser Farbraum ist bekannt als das Normvalenzsystem. Entsprechend benutzt man die Vorsilbe Norm wie in Normspektralwert oder Normfarbtafel, um den Bezug zum Normvalenzsystem auszudrücken. Dieses Primärvalenzsystem beruht ursprünglich auf Messungen von Guild [6] und Wright [22], aus denen die CIE durch Mittelung und Ausgleich den farbmetrischen 2 -Normalbeobachter 6 ableitete. Das Normvalenzsystem repräsentiert die Fähigkeit des Normalbeobachters, Farben zu unterscheiden. 4.4.1 Transformation RGB zu X YZ Die Wahl der Basis X YZ garantierte die folgenden Ziele: Die Normspektralkurve ȳ(λ) ist mit der V (λ)-funktion identisch. Alle Zahlenwerte x(λ), ȳ(λ), z(λ) sind positiv für jedes λ, siehe Abbildung??. Es gilt z(λ) = für 65 nm λ. Für Wellenlängen um 55 nm gilt x(λ). Die Werte von x(λ) bzw. ȳ(λ) werden klein am kurzwelligen Ende des Spektrums. Das energiegleiche Spektrum ist durch X = Y = Z charakterisiert. 6 für die Analysen wurde ein Gesichtsfeld von 2 benutzt

58 Kapitel 4. Farbmetrik y.9.8.7.6.5.4.3.2.1...1.2.3.4.5.6.7.8 x Abbildung 4.14: die x-y-farbtafel Lichtart X Y Z x y Energiegleiches Spektrum 1. 1. 1..3333.3333 Normlichtart A 19.87 1. 35.59.4476.474 Normlichtart C 98.7 1. 118.22.311.3162 Normlichtart D 5 96.42 1. 82.49.3457.3585 Normlichtart D 65 95.5 1. 18.9.3127.329 Abbildung 4.15: die Normvalenzen einiger Lichtarten

4.4. Das Normvalenzsystem 59 1 8 6 4 2 1.5.5 1 Abbildung 4.16: der Spektralfarbenzug in x-y-y -Darstellung

6 Kapitel 4. Farbmetrik In RGB-Koordinaten ausgedrückt führten diese Vorgaben zur Festlegung 1 X = (2.365 R.515 G +.5 B) 5.658 1 Y = (.897 R + 1.426 G.14 B) 5.658 1 Z = (.468 R +.89 G + 1.9 B) 5.658 (4.21) (4.22) (4.23) Bemerkung. In Abbildung 4.8 sieht man die Farborte von x, y und z in der RGB- Farbtafel. Man sieht, dass keine der Primärvalenzen X, Y und Z innerhalb der konvexen Hülle des Spektralfarbenzugs liegt, d.h. sie sind physikalisch nicht realisierbar und werden deshalb auch virtuelle Primärvalenzen genannt. Durch die Gleichung 4.21 sind gemäss Vektoralgebra auch beliebige Koordinatentransformationen zwischen RGB und X YZ festgelegt, insbesondere gilt für die Spektralwertkurven und r(λ) ḡ(λ) b(λ) x(λ) ȳ(λ) z(λ) = = 5.658 1 5.658.49.31.2.177.812.11..1.99 2.365.897.468.515 1.426.89.5.14 1.9 r(λ) ḡ(λ) b(λ) x(λ) ȳ(λ) z(λ) (4.24). (4.25) Die Normalspektralwertkurven x(λ), ȳ(λ) und z(λ) stellen das eigentliche Fundament der modernen Farbmetrik dar. Sie werden gemäss CIE [2], siehe Abbildung 4.13, in Tabellenform angegeben. Analog zu (4.15) erlauben sie die Berechnung der Farbvalenzen für gegebene spektrale Farbreize, siehe Abbildung 4.19. Eine räumliche Darstellung des Spektralfarbenzugs ist in Abbildung 4.16 zu sehen. 4.4.2 Grossfeld-Normvalenzsystem Bei der Definition der Versuchsanordnung zur Gleichfarbigkeit wurde gefordert, dass der Sehwinkel bei 2 liegen sollte. Dies war notwendig um sicherzustellen, dass der Farbreiz in der Fovea und damit ausschliesslich durch Zapfen wahrgenommen wird. Ferner ist im zentralen Netzhautbereich ein Gelbpigment eingelagert, das wie ein Gelbfilter die Farbempfindung etwas verändert. Der Name gelber Fleck für die Makula bezieht sich auf dieses Pigment. Es kommt in einem Bereich von etwa 5 Durchmesser vor. Für einen visuellen Farbvergleich grösserer Flächen ist es jedoch nötig, auch den Einfluss der Stäbchen zu berücksichtigen. Aus diesem Grund hat die CIE 1964 einen zweiten Normalbeobachter definiert, den farbmetrischen 1 -Beobachter im Grossfeld-Normvalenzsystem. Zur Unterscheidung setzt man bei den Begriffen die Vorsilbe Grossfeld- oder 1 voran bzw. ergänzt eine entsprechende Variable um den Index 1. Die Differenzen von 2 zum 1 -Normalvalenzsystem, siehe Abbildung 4.17. bzw. Abbildung 4.18 sind rein empirisch ermittelt und nicht

4.4. Das Normvalenzsystem 61 1.5 2 x(λ) y(λ) z(λ) 2 r(λ) g(λ) 1.5 b(λ) 1 1.5.5 4 5 6 7 8.5 4 5 6 7 8 Abbildung 4.17: die Spektralwertkurven x 1 (λ), ȳ 1 (λ), z 1 (λ) (links) und r 1 (λ), ḡ 1 (λ), b1 (λ) (rechts) 2 x 2 (λ) y 2 (λ) z 2 (λ) 1.5 z 1 (λ) y 1 (λ) x 1 (λ) 1.5 2 r 2 (λ) g 2 (λ) 1.5 b 2 (λ) b 1 (λ) g 1 1 (λ) r 1 (λ).5 4 5 6 7 8.5 4 5 6 7 8 Abbildung 4.18: Differenzen: 2 zu 1 -Spektralwertkurven Lichtart X Y Z x y Energiegleiches Spektrum 1. 1. 1..3333.3333 Normlichtart A 111.15 1. 35.2.4512.459 Normlichtart C 97.28 1. 116.14.314.3191 Normlichtart D 5 96.72 1. 81.41.3478.3595 Normlichtart D 65 94.81 1. 17.33.3138.331 Abbildung 4.19: die 1 -Normvalenzen einiger Lichtarten

62 Kapitel 4. Farbmetrik durch eine Transformation zu beschreiben. Die zugrundeliegenden Messungen wurden durch Stiles [16] und Speranskaja [15] veröffentlicht. Die Grossfeldprimärvalenzen sind wie folgt definiert: R 1 G 1 B 1 def = 645.2 nm def = 526.3 nm def = 444.4 nm Die entsprechenden Spektralwertkurven sind durch mit einander verbunden. x 1 (λ) =.341 r 1 (λ) +.189 ḡ 1 (λ) +.388 b 1 (4.26) ȳ 1 (λ) =.139 r 1 (λ) +.837 ḡ 1 (λ) +.73 b 1 (4.27) z 1 (λ) =. r 1 (λ) +.4 ḡ 1 (λ) + 2.26 b 1 (4.28) 4.5 srbg Der srgb-farbraum ist ein Teilraum des X YZ-Farbraums, der sowohl in der Wahl der Basisvektoren als auch in der Kodierung der Koordinatenwerte auf die besonderen Bedürfnisse von elektronischen Displays zugeschnitten ist. Er wurde durch die International Electrotechnical Commission unter der Nummer IEC 61966-2-1 standardisiert. Eine ISO- Standardisierung ist in Vorbereitung. Red Green Blue x.64.3.15 y.33.6.6 z.3.1.79 Abbildung 4.2: die Farbwertanteile x, y, und z der srgb-basisvektoren Die Basisvektoren orientieren sich an einem Satz von Phosphorvarianten, der häufig in Monitoren verwendeten wird, bekannt als ITU-R BT.79-Standard. Die zugehörigen x, y und z-werte sind in Abbildung 4.2 angegeben. Ferner wird von Tageslichtverhältnissen nach D 65 ausgegangen, insbesondere wird der Display-Weisspunkt mit (.3127,.329,.3583) identifiziert. Gegebene X YZ-Werte (X, Y, Z) werden dann zunächst mit R G B def = 3.246 1.5372.4986.9689 1.8758.415.557.24 1.57 1 X 1 1 Y 1 1 Z 1 (4.29) in die sogenannten linearen srgb-werte (R, G, B ) übergeführt, wobei Werte grösser 1. oder kleiner. durch 1. bzw.. ersetzt werden. Aus (R, G, B ) leiten sich dann die nichtlinearen Werte (R, G, B ) ab. Für R.3138 ist R gemäss R def = 12.92 R (4.3)

4.5. srbg 63 Abbildung 4.21: der durch die srgb-basisvektoren aufgespannte Farbraum

64 Kapitel 4. Farbmetrik bestimmt, sonst durch R def = 1.55 R 1 2.4.55. (4.31) Die Werte G und B sind analog festgelegt. Schliesslich ergeben sich durch Multiplikation mit 255 und nachfolgender Rundung R def = 255 R (4.32) die fertigen srgb-koordinaten (R, G, B ). Zur Umkehrung dieser Koordinatentransformation ist R für R.445 R 12.92 = ( ) R 2.4 (4.33) +.55 sonst 1.55 zu beachten bzw. X.4124.3576.185 R Y =.2126.7152.722 B. (4.34) Z.193.1192.955 B Erklärungsbedürftig ist die Rolle des Exponenten in Gleichung (4.31), bekannt als Gammakorrektur. Sein Ursprung liegt in der Funktionsweise von Kathodenstrahlbildschirmen, deren Lichterzeugung durch den Beschuss einer Phosphorschicht mittels eines Elektronenstrahls erfolgt. Die Lichterzeugung wächst dabei mit der Geschwindigkeit der auftreffenden Elektronen, welche durch die Beschleunigungsspannung der Kathodenstrahlröhre regulierbar ist. Der für unsere Argumentation wichtige Punkt ist die Beobachtung, dass die Leuchtintensität in nichtlinearer Weise von der angelegten Beschleunigungsspannung abhängt, siehe Abbildung 4.22. Lichtemissionen können erst ab einer minimalen Spannung, im Folgenden Ausgangsspannung V co genannt, beobachtet werden. Beschleunigungspannungen V über V co führen zu einem exponentiellem Wachstum der Art c (V V co ) γ. (4.35) Der übliche γ-wert liegt bei 2.8 ±.3. Da die Farbkoordinaten eines RGB-Farbraumes direkt zur Regelung der Beschleunigungsspannung dienen, sollte der ungünstige Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Leuchtintensität gemäss (4.35) durch eine geeignete Kodierung der Koordinatenwerte korrigiert werden. Wünschenswert sind hierbei vor allem eine Ausgangspannung V co = und ein linearer Zusammenhang zwischen dem Zahlenwert der Spannungskodierung und der resultierenden Leuchtstärke. Aus diesen Gründen setzt srgb V co = und V wird gemäss (4.31) ersetzt durch V = V 1 2.4. Der Wert von 2.4 korrigiert das Gamma jedoch nicht vollständig. Dies hat seinen Grund darin, dass ein Teil der Gammakorrektur implizit durch die angenommene Betrachtungsumgebung erbracht wird, insbesondere durch den Unterschied zwischen den D 65 -Ausgangsdaten und der D 5 -Betrachtungssituation, siehe Abbildung 4.23.

4.6. Farbabstände 65 Abbildung 4.22: Zusammenhang: eingesetzte Beschleunigungsspannung gegen resultierende Leuchtstärke Display-Leuchtstärke 8cd/m 2 Display-Weisspunkt x =.3127, y =.329 (D 65 ) Display-Ausgangsspannung. für R, G, und B kodierte Beleuchtungsstärke der Umgebung 64 lux kodierter Weisspunkt x =.3457, y =.3585 (D 5 ) 4.6 Farbabstände Abbildung 4.23: srgb-umgebungsannahmen Die Produktion von Farben in der Malerei oder im Textilbereich galt von alters her als eine permanente Herausforderung. Auch heute noch, in der Zeit der industriellen Massenfertigung, ist es keine Selbstverständlichkeit, dass sich ein Kundenwunsch nach einem ganz speziellen Farbton realisieren lässt. Bei Farbenproduzenten besonders gefürchtet sind Farbtöne, die mit einer Cooperate Identity verbunden werden, z.b. Marlboro-Rot. Es ist heute üblich, dass Konzerne ganze Abteilungen mit der Farbkontrolle ihrer Produkte beauftragen, z.b. über 5 Mitarbeiter beim Sportausrüster Nike. Die Frage der Farbechtheit stellt sich aber auch ganz aktuell im Zusammenhang der E-conomic, denn selbstverständlich erwartet ein Kunde, dass das im Internet bestellte Auto auch die auf dem Bildschirm gesehene Farbe hat. Diese Ausführungen machen klar, dass für die technische Anwendung der Farbmetrik die Definition der Gleichheit von Farbvalenzen noch nicht genügt. Es muss auch möglich sein, zu einer gegebenen Farbvalenz eine Toleranz anzugeben, d.h. die Farbmetrik benötigt auch eine Definition der Differenz zwischen Farben. Dieses Problem hat sich jedoch als ausgesprochen schwierig erwiesen und kann auch nicht als gänzlich gelöst bezeichnet werden. 4.6.1 Empfindungsmässige Helligkeitsskala Im Kapitel 3.2 wurde darauf hingewiesen, dass die Kontrastschwelle des Weber-Kontrasts im Tageslichtbereich zwischen etwa 1 1 lx nahezu konstant ist. Durch Integration

66 Kapitel 4. Farbmetrik Abbildung 4.24: der L -Kurvenverlauf Abbildung 4.25: gemäss L gleichförmige Graustufen

4.6. Farbabstände 67 leitet sich aus dieser Beobachtung das Weber-Fechnersche-Gesetz ab, welches den Zusammenhang zwischen der Intensität I und der Helligkeitsempfindung L eines Farbreizes beschreibt, nämlich L = k log( I I ), (4.36) wobei I für die Reizschwelle und k für eine Konstante stehen. Eine Erhöhung der Leuchtdichte von 1 auf 5 lx wird folglich als gleichgross empfunden wie eine von 1 auf 5 lx. Die Bezeichnung Gesetz drückt jedoch keine Allgemeingültigkeit aus, sondern eher eine intuitive Approximation, die man jedoch in einigen Bereichen der Physiologie wiederfindet. Für farbmetrische Anwendungen empfiehlt die CIE den Logarithmus aus (4.36) durch eine Wurzelfunktion zu ersetzen: Y 116 3 16 für.8856 Y 1 L Y = Y 93.29 Y für Y (4.37).8856. Y Y Der Normfarbwert Y ist dabei proportional zur relativen Leuchtdichte und Y steht für den entsprechenden Normfarbwert der Weissfläche oder der verwendeten Lichtquelle, d.h. die maximale Helligkeit in einer gegebenen Messumgebung. Der Skalierungsfaktor Y sichert Y Y 1 und für Y = Y nimmt L den Wert 1 an. Andererseits gilt Y = L =. Ein Graukeil, dessen Stufen sich um gleiche L -Werte unterscheidet, sieht näherungsweise gleichstufig aus. Im Kontext der Farbmetrik heisst L die psychologische Helligkeitsfunktion. 4.6.2 Empfindungsmässige Farbtafel Da es Menschen schwerfällt, eine Empfindung wie grüner als oder ein wenig mehr Rot in Zahlen auszudrücken, ist es offensichtlich schwierig, Farbdifferenzen experimentell direkt zu erfassen. Die experimentelle Basis zur Analysen von Farbdifferenzen ist deshalb auch eine indirekte Methode, die von D.L. MacAdam [1] während des zweiten Weltkrieges bei Kodak entwickelt wurde. Ein Versuch bestehe in der wiederholten Messung einer Messgrösse. Im Allgemeinen werden die Messwerte um einen Mittelwert streuen. Die Grösse der Streuung ist dabei ein Mass für die Genauigkeit der Messung. Bei einer ausreichenden Anzahl von Messungen wird die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert, die Standardabweichung, gegen einen festen Wert konvergieren. Dieser Wert ist charakteristisch für die jeweilige Versuchsanordnung, d.h. bei mehrfacher Durchführung des Versuches sollte sich mehr oder weniger diesselbe Standardabweichung ergeben. MacAdam wählte 25 verschiedene Farbvalenzen aus, verteilt über die Farbtafel. Jede Farbvalenz A wurde mehrfach nachgemischt. Jede Nachmischung aus Farbvalenzen B und

68 Kapitel 4. Farbmetrik Abbildung 4.26: Schwellenellipsen nach MacAdam C wurde ohne uneigentliche Mischung durchgeführt, d.h. der Farbort von A lag immer auf der Verbindungsgeraden der Farbörter von B und C. Jeweils wurde die Standardabweichung (als euklidischer Abstand in der xy-ebene) ermittelt und als Abstand zu A auf der Verbindungsgerade eingetragen. Auf diese Weise sind die Schwellenellipsen aus Abbildung 4.26 entstanden. Sie sind dort der besseren Lesbarkeit wegen, jedoch um den Faktor 1 vergrössert. Gemäss unseren vorangegangenen Ausführungen sollten in einer empfindungsmässig gleichabständigen Farbtafel alle MacAdam-Ellipsen gleich grosse Kreise darstellen. In diesem Sinne zeigt Abbildung 4.26, dass die x-y-farbtafel weit davon entfernt ist. Unmittelbar aus dieser Beobachtung resultiert die Frage, ob nicht durch eine geeignete Koordinatentransformation die empfindungsmässige Gleichabständigkeit künstlich eingeführt werden kann. Die Antwort ist leider negativ, wenn man nicht gleichzeitig bereit ist, schwerwiegende Nachteile wie gekrümmte Mischungslinien in Kauf zu nehmen. Nach langer Suche hat sich die CIE 1976 zu einem Kompromiss durchgerungen, der als CIE-UCS-Farbtafel bekannt ist 7. Ihre rechtwinkligen Koordinaten u und v sind definiert durch: u def = 4 x 2 x + 12 y + 3 (4.38) und v def = 9 y 2 x + 12 y + 3 (4.39) Ihr Vorteil ist, dass bei dieser projektiven Transformation der Farbort einer Farbmischung aus zwei Komponenten auf der Verbindungsgeraden der Farbörter der Komponenten liegen. 7 UCS nach uniform chromaticity scale

4.6. Farbabstände 69 v'.7.6.5.4.3.2.1...1.2.3.4.5.6.7 u' Abbildung 4.27: die CIE-UCS-Farbtafel

7 Kapitel 4. Farbmetrik Gelb +b* 1 8 6 4 2 a* Grün -1-8 -6-4 -2 2 4 6 8 1 +a* Rot -2-4 -6-8 -1 b* Blau Abbildung 4.28: ein a -b -Kreis des CIE-LAB-Farbraums Weiss Helligkeit L* a* Grün b* Blau Farbton +b* Gelb +a* Rot Schwarz Abbildung 4.29: Schemadarstellung des CIE-LAB-Farbraums

4.6. Farbabstände 71 1 8 6 4 2 5 2 5 1 1 2 Abbildung 4.3: der Spektralfarbenzug im CIE-LAB-Farbraum 4.6.3 Das CIE-LUV-System Durch die Verknüpfung von der gleichabständigen Helligkeitsskala gemäss 4.36 mit der CIE-UCS-Farbtafel erhält man das CIE-LUV-System, was 1976 eingeführt wurde und häufig für TV-Anwendungen benutzt wird. Es ist wie folgt vereinbart: Y 116 3 16 für.8856 Y 1 L Y = Y 93.29 Y für Y (4.4).8856. Y Y u = 13 L (u u ) (4.41) v = 13 L (v v ) (4.42) Cuv = (u 2 + v 2 ) (4.43) h uv = arctan v u = arctan v v u u (4.44) s uv = C uv L = 13 (u u ) + (v v ) (4.45) Es stehen u und v für die Farbart der Umgebungsbeleuchtung. Die Grösse Cuv gibt den Abstand der Farbe von Unbunt an. Sie heisst psychometrische Buntheit. Der Farbton lässt sich im CIE-LUV-System durch h uv spezifizieren. Schliesslich ist s uv bekannt als psychometrische Sättigung.

72 Kapitel 4. Farbmetrik 4.6.4 Das CIE-LAB-System Abbildung 4.31: der CIE-LAB-Farbraum Konkurrierend zu CIE-LUV hat die Internationale Beleuchtungskommission ein zweites näherungsweise gleichabständiges System definiert, das CIE-LAB-System mit den Koordinaten L, a und b. Dieses System ist das heute in der Druckindustrie dominante System. Es ist bestimmt durch Y 116 3 16 für.8856 Y 1 L Y = Y 93.29 Y für Y (4.46).8856. Y Y [ a = 5 f( X ) f( Y ] ) (4.47) X Y [ b = 2 f( Y ) f( Z ] ) (4.48) Y Z Cab = (a 2 + b 2 ) (4.49) h ab = arctan( b ), (4.5) a und { 3 w für w >.8856 f(w) = 7.787 w + 16 (4.51) sonst. 116 Die Parameter X, Y und Z stehen für Normfarbwerte der Umgebungsbeleuchtung, oder im Falle der Körperfarben für Weiss. Die a bzw. b repräsentieren die Rot-Grün bzw. die Blau-Gelb-Achse. Das CIE-LAB-System besitzt keine Farbtafel, da die Koordinaten a und b von der Helligkeit abhängig sind. Der Farbton wird durch den Winkel h ab beschrieben.

4.6. Farbabstände 73 4.6.5 Farbdifferenzformeln Abbildung 4.32: der CIE-LAB-Farbkörper In technischen Anwendungen ist es heute üblich den Farbabstand als euklidische Distanz in einem visuell (mehr oder weniger) gleichabständigen Raum zu definieren. Die Bezeichnung ist entsprechend E. Der hauptsächlich benutzte Farbraum ist CIE-LAB, folglich gilt: E def = E = L 2 + a 2 + b 2 (4.52) L 2 + C 2 ab + H 2 ab (4.53) Die E-Angaben sind veranschaulicht in derabbildung 4.33. Trotz bekannter Mängel bezüglich der Gleichabständigkeit, siehe unten, hat dieses Mass eine grosse praktische Bedeutung für E visuelle Einschätzung.5 vernachlässigbar.5 1.5 unbedeutend 1.5 3. wahrnehmbar 3. 6. merklich 6. 12. gross Abbildung 4.33: zur Bewertung von Farbdifferenzen

74 Kapitel 4. Farbmetrik Lichtart D 65 Beleuchtungsstärke 1 lx Umfeld mittleres Grau (L = 5) Probengrösse Probenanordnung grösser als 4 E-Bereich bis 5 Kante an Kante Abbildung 4.34: die Standardumgebung für CIE94 Toleranzvereinbarungen Gutachten Farbechtheitsprüfung und Farbwiedergabe oder Angabe von Messunsicherheiten. Schon bald nach der Einführung der (4.52)-Formel wurde erkannt, dass der Farbabstand bei gesättigten Farben im Verhältnis zu Neutraltönen zu hoch bewertet wird. So ist etwa der visuelle Unterschied zwischen zwei Gelbfeldern mit 5 % bzw. 55 % Flächenbedeckung kaum erkennbar, für Schwarz dagegen deutlich wahrnehmbar. Die Berechnung der entsprechenden E-Werte liefert jedoch für Gelb einen grösseren Wert als für Schwarz. Die CIE hat auf Grund solcher Probleme 1994 einen neuen Standard verabschiedet: ( ) def L 2 ( ) C 2 ( ) E 94 = + ab H 2 + ab (4.54) K L S L K C S C K H S H mit S L = 1 (4.55) S C = 1 +.45 C ab (Standard) (4.56) S H = 1 +.15 C ab (Standard) (4.57) K L = K C = K H = 1 (4.58) Die S- und K-Werte dienen dazu die Formel an verschiedene Abmusterungsbedingungen anzupassen. Die Festlegung K L = K C = K H = 1 beziehen sich insbesondere auf die Umgebungsbedingungen aus Abbildung 4.34. Die CIE94-Formel ist auf Grund (4.55) (4.58) nicht symmetrisch, d.h. eines der beiden Farbmuster wird implizit zum Standard erklärt. Obwohl dieser Einfluss gering ist, sieht die CIE eine explizite Korrekturmöglichkeit vor. Die Formeln lauten dann: S C = 1 +.45 C 1 C 2 (4.59) S H = 1 +.15 C 1 C 2 (4.6)

4.6. Farbabstände 75 Abbildung 4.35: Farbabstände aufeinander folgende 5-nm-Stufen des Spektralfarbenzuges

76 Kapitel 4. Farbmetrik In Abbildung 4.35 sind die Farbabstände für zwei aufeinander folgende 5-nm-Stufen des Spektralfarbenzuges für die verschiedenen Farbräume illustriert. Aber auch die CIE94-Formel ist nicht frei von Kritik. Die CIE arbeitet deshalb an einer weiteren Verbesserung der Farbabstandsformel, speziell um Color Appearance Models mit zu berücksichtigen. Das Technical Committee TC1-47, das 1998 von der CIE eingesetzt wurde, empfiehlt in seinem aktuellen Bericht Improvement to Industrial Colour- Difference Evaluation die nachfolgende Formel aufbauend auf CIELAB L, a, b und C. Zunächst sind die Werte a, C und h wie folgt zu bestimmen: mit L = L (4.61) a = (1 + G) a (4.62) b = b (4.63) C = a 2 + b 2 (4.64) h = ( b tan 1 ), a (4.65) ( ) 7 C ab G =.5 1, (4.66) C ab 7 + 25 7 wobei C ab für den arithmetischen Mittelwert der C -Werte des Probenpaares steht. In analoger Weise seien L, C und h definiert, wobei bezüglich des Winkels h zu beachten ist, dass im Falle einer absoluten Differenz grösser als 18 vor der Mittelwertbildung 36 vom grösseren Winkel zu subtrahieren ist, d.h. für die Winkel 9 und 3 ergibt sich ein arithmetisches Mittel von 9 + (3 36 ) 2 = 9 6 2 = 3 2 = 15. Es folgt die Berechnung von L, C und H zwischen den Farbproben, indiziert mit 1 bzw. 2: Ferner seien L = L 1 L 2 (4.67) C = C 1 C 2 (4.68) H = 2 ( h C 1 C 2 sin 1 h ) 2 (4.69) 2 T = 1.17 cos( h 3 ) +.24 cos(2 h ) +.32 cos(3 h + 6 ).2 cos(4 h 63 ) (4.7) S L = 1 +.15 ( L 5) 2 2 + ( L 5) 2 (4.71) S C = 1 +.45 C (4.72) S H = 1 +.15 C T (4.73)

4.7. Cyan-Magenta-Yellow-Key (Black) 77 C 7 R c = 2 (4.74) C 7 + 25 7 ( 275 ) 2 ) θ = 3 exp (4.75) 25 R T = sin(2 θ) R c. (4.76) (4.77) Gemäss dieser Notation ist die Farbabstandsformel E gegeben durch: ( L ) 2 ( C ) 2 ( H ) 2 ( C ) ( H ) E = + + + R T K L S L K C S C K H S H K C S C K H S H (4.78) 4.7 Cyan-Magenta-Yellow-Key (Black) Die speziellen Umstände der Farbwiedergabe auf Papier bedingen einen besonderen Farbraum für das Drucken. Da die Druckfarben eine mehr oder weniger konstante Farbvalenz produzieren, erfolgen Frabmischungen überwiegend durch das Mischen mit dem Papierweiss der Unterlage. Die Mischfarben entstehen dabei teils auf additiven teils auf subtraktivem Wege: subtraktiv, durch Übereinanderdruck von Rasterpunkten 8 additiv, durch Nebeneinanderdruck genügend kleiner Rasterpunkte Der additive Anteil dominiert dabei, was man schon an den erkennbaren Helligkeitsabstufungen erkennen kann. Zur Minimierung der Probleme, die durch das gleichzeitige Vorhandensein von additiver und subtraktiver Farbmischung entstehen, sollte das Grundfarbensystem möglichst so gewählt werden, dass die Farbdifferenz zwischen Über- und Nebeneinanderdruck möglichst gering ist. Diese Zielsetzung ist jedoch korreliert mit anderen wünscheswerten Eigenschaften. Insbesondere soll die Wahl der Grundfarben den Raum der darstellbaren Farben, Gamut, maximieren. Betrachten wir deshalb zuerst dieses Problem. 4.7.1 Die Grundfarben des idealen Mehrfarbendrucks Zunächst stellen wir fest, dass der Gamut der Körperfarben bei Tageslichtverhältnissen nicht die gesamte CIE-Farbtafel enthält. Eine Spektralfarbe als Körperfarbe beispielsweise, würde voraussetzen, dass die Papieroberfläche nur die entsprechende Wellenlänge reflektiert und alle anderen Wellenlängen vollständig absorbiert. Da ein solches Material aber nicht bekannt ist, kann angenommen werden, dass Körperfarben immer Farbmischungen darstellen. Wegen der Krümmung des Spektralfarbenzuges, insbesondere im grünen Bereich, liegt die Farbart der Körperfarbe nicht mehr auf, sondern im Innern des Spektralfarbenzuges, siehe Abbildung 4.39. Dies bedingt, dass eine Körperfarbe eine geringere Sättigung als die farbtongleiche Spektralfarbe aufweist.

78 Kapitel 4. Farbmetrik EMPA-CIELAB Testchart Max color gamut Version 1.7 D65 11998 Hk Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9 8 7 Hue hab = 315 degr 6 5 4 3 2 <---- Chroma C*ab 1 Hue hab = 135 degr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Chroma C*ab ----> Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Hue hab = 27 degr Hue hab = 9 degr Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6 5 4 3 <---- Chroma C*ab 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 Chroma C*ab ----> Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 EMPA-CIELAB Testchart Max color gamut Version 1.7 D65 11998 Hk Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8 7 Hue hab = 18 degr 6 5 4 3 2 <---- Chroma C*ab 1 Hue hab = degr 1 2 3 4 5 6 7 8 Chroma C*ab ----> Lightness L*ab ----> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Abbildung 4.36: verschiedene CIE-LAB-Ebenen

4.7. Cyan-Magenta-Yellow-Key (Black) 79 Abbildung 4.37: übereinander gedruckte Raster

8 Kapitel 4. Farbmetrik Abbildung 4.38: Optimalfarben in CIELUV bei D 65 Abbildung 4.39: Linien der Optimalfarben gleicher Helligkeit L

4.7. Cyan-Magenta-Yellow-Key (Black) 81 Abbildung 4.4: die vier Arten von Optimalfarben v'.7.6.5 G Y R.4 C E M.3.2.1 B.1.2.3.4.5.6.7 u' Abbildung 4.41: Gamut des idealen Mehrfarbendrucks

82 Kapitel 4. Farbmetrik Es stellt sich nun die Frage, nach den Körperfarben maximaler Sättigung bei gegebenem Hellbezugswert und Farbton. Eine solche Körperfarbe heisst Optimalfarbe, siehe Abbildung 4.38. Der Begründer der Quantenmechanik Erwin Schrödinger [3] hat 192 gezeigt, dass die Remissionsfunktionen der Optimalfarben eine einfache Struktur aufweisen. Es sind Funktionen, die nur die Werte und 1 annehmen sowie nur in vier verschiedenen Grundtypen vorkommen, siehe Abbildung 4.4, nämlich als 1. Mittelfarbe 2. Mittelfehlfarbe 3. Langendfarbe 4. Kurzendfarbe Aufgrund dieser Erkenntnisse konnte dann H.E.J. Neugebauer im Jahre 1935 die idealen Grundfarben des Mehrfarbendrucks als Optimalfarben mit gemeinsamen Sprungstellen bestimmen: Cyan als Kurzendfarbe Magenta als Mittelfehlfarbe Gelb als Langendfarbe Neugebauer ermittelte die Sprungstellen, welche den grössten Gamut ergeben bei 489 nm bzw. 574 nm. Neuere Untersuchungen legen eher 495 nm bzw. 575 nm nahe. Der sich daraus ergebende Gamut ist in Abbildung 4.41 zu sehen. Für ihn lassen sich die folgenden Aussagen festhalten. Grundfarben: Cyan, Magenta, Gelb Sekundärfarben (substraktive Mischfarben erster Ordnung): Blau, Grün, Rot Der Gamut bildet ein Dreieick, das durch die Sekundärfarben aufgespannt wird. Additive und subtraktive Farbmischungen der Grundfarben haben die identische farbtongleiche Wellenlänge. Die additive Mischung der Grundfarben ergibt Grau, genauso wie die einer Sekundärfarbe und der gegenüberliegenden Grundfarbe 9. 8 die Druckpunkte der einzelnen Druckfarben heissen Rasterpunkte 9 allerdings in unterschiedlichen Mischungsverhältnissen

4.7. Cyan-Magenta-Yellow-Key (Black) 83 Reflexion % Cyan Magenta Gelb 38 495 575 72 W ll lä ( Abbildung 4.42: spektrale Remissionskurven für reale Grundfarben v'.7.6.5 G Y R.4 M C.3.2 B.1.1.2.3.4.5.6.7 u' Ideale Grundfarben (Optimalfarben) Reale Grundfarben (nach ISO 2846) Abbildung 4.43: schematischer Gamut des realen Mehrfarbendrucks

84 Kapitel 4. Farbmetrik v'.7.6.5.4.3.2.1.1.2.3.4.5.6.7 u' Abbildung 4.44: wirklicher Gamut des realen Mehrfarbendrucks v'.7.6 G.5 R.4.3.2 B.1.1.2.3.4.5.6.7 u' Europäischer Fernsehstandard (EBU) Amerikanischer Fernsehstandard (NTSC) Grundfarben des Mehrfarbendrucks (ISO 2846) Abbildung 4.45: Gamutvergleich Mehrfarbendruck-Fernseh

4.8. Transformation X YZ nach CMYK 85 4.7.2 Die realen Grundfarben des autotypischen Mehrfarbendrucks Die Spektralverläufe des idealen Mehrfarbendrucks lassen sich technisch leider nur annäherungsweise realisieren. Typische Spektralverläufe für reale Grundfarben sind in Abbildung 4.42 zu sehen. Die Abweichungen vom idealen Kurvenverlauf verändern zunächst den Gamut, siehe Abbildung 4.43 und 4.44. Aber auch die Graubedingung, nämlich die anteilige Mischung der Grundfarben zu Grau, sind nur noch approximativ gültig. Die Unterschiede zwischen Über- und Nebeneinanderdruck sind im realen Mehrfarbendruck grösser, bis etwa 1 E und zudem nicht nur mehr auf die Sättigung beschränkt. In Abbildung 4.45 vergleichen wir die Gamuts des standardisierten Mehrfarbendrucks mit den Gamuts des europäischen bzw. des amerikanischen Fernsehens. 4.8 Transformation X YZ nach CMYK Für eine gegebene Frabvalenz (X, Y, Z) aus X YZ sind die Flächenbedeckungen c, m, y und k so zu bestimmen, dass die gemessenen X YZ-Werte des Rasterpunktes mit ihm übereinstimmt. Ohne den systembedingten Übereinanderdruck wäre die Darstellung von (X, Y, Z) in den X YZ-Werten der Grundfarben eine einfache Aufgabe der Vektorrechnung. Das Problem besteht also im Einbezug des Übereinanderdrucks. In Abbildung 4.46 sind die 16 möglichen Arten des Über- bzw. Nebeneinanderdrucks im Vierfarbendruck aufgelistet. Fassen wir nun jede der entsprechenden Farbvalenzen als Basisvektor auf, dann können wir (X, Y, Z) offenbar additiv in diesen 16 Basisvektoren ausdrücken, also X Y Z = 15 c i i= X i Y i Z i, (4.79) wobei (X i, Y i, Z i ), i =,..., 15, für den gemessenen X YZ-Wert steht. Die Bestimmung der Koeffizienten c i ist aber nicht trivial, da sie funktional voneinander abhängen. Ein einfaches Modell, das auf H. E. J. Neugebauer [12] zurückgeht, liefert jedoch eine recht gute Approximation. Das Drucken eines Rasterpunktes wird als unabhängiges Zufallsexperiment (Beroulli- Versuch, gewichteter Münzwurf) verstanden. Die Flächenbedeckungen der einzelnen Grundfarben c, m, y und k repräsentieren jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass der Rasterpunkt mit der entsprechenden Farbe überdruckt wird. Die verschiedenden Arten des Über- bzw. Nebeneinanderdrucks aus Abbildung 4.46 bilden die Elementarereignisse des Wahrscheinlichkeitsraums und haben eine entsprechende Wahrscheinlichkeit p i, i =,..., 15, z.b. für das Papierweiss. p = (1 c) (1 m) (1 y) (1 k)

86 Kapitel 4. Farbmetrik Papierweiss (W) 1 Cyan (C) 2 Magenta (M) 3 Gelb (Y) 4 Schwarz (K) 5 C + Y 6 C + M 7 M + Y 8 C + K 9 M + K 1 Y + K 11 C + M + Y 12 C + M + K 13 C + Y + K 14 M + Y + K 15 C + M + Y + K Abbildung 4.46: Arten des Über- bzw. Nebeneinanderdrucks Unter diesen Annahmen ist der erwartete X YZ-Wert des Rasterpunktes bestimmt durch: 15 X i E XY Z = E XY Z (c, m, y, k) = p i Y i i= Z i Die Lösung der Gleichung (4.79) erfolgt nun durch Iteration und zwar variiert man c, m, y und k solange bis mit genügender Genauigkeit X Y = E XY Z (c, m, y, k) Z erfüllt ist.

4.8. Transformation X YZ nach CMYK 87 λ r(λ) ḡ(λ) b(λ) 36.353 -.133.1836 365.66 -.234.19415 37.146 -.413.3479 375.188 -.73.62321 38.3199 -.1356.11531 385.5163 -.2198.18867 39.9567 -.416.358443 395.16738 -.7389.647342 4.356 -.13891.1212984 45.47426 -.22168.19789 41.83548 -.4357.377758 415.138297 -.69493.6637824 42.2125 -.1176.11541446 425.264596 -.141668.18574829 43.218583 -.1193.2476935 435.35636 -.2538.291127 44 -.262349.149555.31227821 445 -.673831.37933.3186793 45 -.1213327.67767.3167264 455 -.1872268.145642.31165858 46 -.26973.1485262.29822553 465 -.3322761.1976438.27295378 47 -.3934419.253852.22991395 475 -.447595.3183363.18592185 48 -.4937453.3914219.14492241 485 -.5365288.4713134.1967191 49 -.581414.568984.8257789 495 -.641424.6948652.6245177 5 -.7172647.8535919.4775877 55 -.812228.1592889.3687941 51 -.891716.1286723.2697976 515 -.935773.15262695.184259 52 -.9265262.17468332.1222299 525 -.8472632.19113154.8333 53 -.7127.2316518.54848 535 -.5315286.218196.32452 54 -.31528.21465825.14643 545 -.61229.214878.22489 55.227995.21177228 -.5752 555.5513711.2583414 -.1513 56.958533.1972625 -.12932 565.1283916.18521949 -.137933 57.16769.178648 -.13552 575.271656.1542976 -.123674 58.24526316.136115 -.17981 585.2798736.11686125 -.9316 59.392672.975392 -.78861 λ r(λ) ḡ(λ) b(λ) 6.3443546.6245575 -.48786 65.34756144.477624 -.37517 61.33971169.3557157 -.29853 615.322668.25823 -.21794 62.2978593.1827965 -.1568 625.2634992.1252743 -.1866 63.22676812.832799 -.7518 635.1923345.537351 -.4892 64.15965997.334116 -.317 645.1295183.199238 -.1834 65.116568.116374 -.1175 655.7857.65974 -.666 66.5932538.36455 -.368 665.4364398.2371 -.26 67.314966.1964 -.111 675.2293298.586 -.59 68.168744.2736 -.28 685.118762.952 -.1 69.819639.293 -.3 695.57235.55 -.1 7.4125 -.13. 75.292936 -.9. 71.29126 -.7. 715.148418 -.5. 72.14713 -.3. 725.749 -.2. 73.526 -.2. 735.36114 -.1. 74.24923 -.1. 745.17192 -.1. 75.121.. 755.8481.. 76.61.. 765.4241.. 77.3.. 775.212.. 78.1499.. 785.16.. 79.747.. 795.526.. 8.37.. 85.261.. 81.184.. 815.129.. 82.91.. 825.64.. 83.45.. Abbildung 4.47: die 2 -Spektralwerte in RGB