Klausur-Aufgaben Geometrie Staatsexamen L2/L5 Beispiel 1: Konstruieren & Beweisen lehren (1/2007) a) Konstruieren a1) Aufgabenstellung: Zu einer gegebenen Strecke soll das Mittellot (die Mittelsenkrechte) konstruiert werden. Erläutern Sie an dieser Aufgabe, was eine geometrische Konstruktionsaufgabe ist. Eine Konstruktionsaufgabe besteht aus: Anfangskonfiguration (hier: Strecke), Zielkonfiguration (hier: Strecke und deren Mittellot), endlich vielen, (z.b.in DGS) zugelassenen Konstruktionsschritten (hier mit DGS: Wahl des Menüpunktes Mittellot, Markieren der Strecke, Zeichnen des Mittellotes).
a2)beurteilen Sie die folgende Lösung der Aufgabe: - Lege die Hypotenuse eines Geo-Dreiecks so an die Strecke, dass an deren Endpunkten A, B dieselben Maßzahlen des Längenmaßstabes stehen. - Markiere auf der Strecke den Punkt M zur 0 des Längenmaßstabes. - Lege die Symmetrieachse eines Geo-Dreiecks so auf die Strecke, dass die 0 des Längenmaßstabes mit dem Punkt M zusammenfällt. - Zeichne längs der Hypotenuse des Geo-Dreiecks das Mittellot der Strecke. Mittellot A M 0 P R 00 B Q A Mittellot M 0 B
WENN das Geo-Dreieck zugelassenes Konstruktionswerkzeug ist, so ist die beschriebene Konstruktion des Mittellotes korrekt. (1) Die Konstruktionsschritte bis zur Markierung des Streckenmittelpunktes M sichern die Mittellage von M. (2) Die Positionierung der Symmetrieachse des Geo- Dreiecks auf der Strecke AB sichert die Orthogonalität der dann gezeichneten Strecke (als Geradenteil des gesuchten Mittellotes). (3) Es handelt sich um endlich viele, zugelassene Konstruktionsschritte. (1) und (2) sichern die Eigenschaften des Mittellotes. Wenn das Geodreieck nicht zugelassenes Konstruktionswerkzeug ist ( traditioneller Geometrie- Unterricht), ist die Konstruktion eine Naherungskonstruktion.
b) Beweisen (b1) Formulieren Sie den Satz über die Winkelsumme in Vierecken. Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360. (b2) Was leistet die folgende Handlung, um die Richtigkeit des Satzes aus (b1) einzusehen? Schneide aus Papier ein Viereck ABCD aus. Reiße die Ecken des Vierecks ab. Lege die abgerissenen Ecken zu einem Vollwinkel zusammen. D C A B Diese Handlungskette ist eine gute Hinführung und Motivation zum Satz in (b1). Sie erzeugt eine (korrekte) Vermutung, ist kein Beweis.
(b3) Erklären Sie anhand des Satzes über die Winkelsumme in Vierecken, - weshalb in der Geometrie bewiesen wird, - was als Beweis zählt (wie man beweisen soll), und was kein Beweis ist. In der Geometrie wird im Wesentlichen aus zwei Gründen bewiesen: (1) Wahrheitssicherung, Zeigen der Allgemeingültigkeit, Aufzeigen deduktiver Zusammenhänge (2) Entwicklung eines Bildes von Mathematik als beweisender Wissenschaft. Im Beispiel führt das dazu, die vorgelegte Handlung jedenfalls nicht als Beweis zu akzeptieren, sondern mindestens in geeignet leistungsstarken Klassen auf einem Beweis (Kette zulässiger Schlüsse, am Besten mit Garanten ) zu bestehen. Das würde i.d.r. auch den Zusammenhang zur Winkelsumme im Dreieck (und damit zum Parallelenaxiom) zeigen.
(b3) Erklären Sie anhand des Satzes über die Winkelsumme in Vierecken, was als Beweis zählt (wie man beweisen soll), und was kein Beweis ist. In der Geometrie/Mathematik zählt als Beweis eine Kette korrekter logischer Schlüsse von bereits bewiesenen Voraussetzungen zu einer (neuen) Aussage ( Behauptung ). Dabei sind Garanten für die Korrektheit der Schlüsse zu nennen In der Beispielaufgabe etwa: Zerlegung des Vierecks in 2 Dreiecke mittels Diagonaler, In den Teildreiecken: Winkelsumme beträgt 180 Garant: Innenwinkelsumme im Dreieck Die Winkelsumme im Viereck ergibt sich als Summe Garant: Zerlegung von Winkeln in Teilwinkel, Rechnen. Für einen alternativen, abbildungsgeometrischen Beweis wäre hier anders zu argumentieren. Messen, (Einzel)Beispiele, unvollständige Induktion sind keine Beweise.
Beispiel 2: Beweisen lehren (Frühjahr 2005) a) Weshalb beweist man in der Mathematik und besonders in der Geometrie? Zwei Gründe: Mathematik ist beweisende Wissenschaft / Geometrie erlaubt einfache Beweisfindung aufgrund der visuellen Eindrücke einer Zeichnung. b) Erklären Sie knapp und für einen mathematischen Laien ( den Mann auf der Straße ) verständlich, was in der Mathematik ein Beweis ist und was nicht als Beweis gilt. Ein Beweis ist eine Kette von Aussagen, die von bereits gesicherten Aussagen (Sätze/Axiome) mithilfe zugelassener Schlussweisen zur Behauptung führt.
Fortsetzung Beisp. 2 c) Zeigen Sie an einem selbst gewählten Beispiel (aus der Schulmathematik oder aus dem Alltag von Schülern), dass man die Richtigkeit einer Aussage, ihrer Umkehraussage und deren Verneinungen jeweils gesondert überprüfen muss. Aussage: Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass. Umkehrung: Wenn die Straße nass ist, hat es geregnet Verneinungen: Es gibt eine Straße, die nicht naß ist, wenn es geregnet hat. Es gibt eine Straße, die naß ist, wenn es nicht geregnet hat.
Fortsetzung Beisp. 2 d) Geben Sie wichtige stoffübergreifende Lehrziele an, welche durch die Tätigkeit des Beweisens im Mathematikunterricht erreicht werden sollen. Lernen und Üben von Argumentation(sformen) / Logischem Schließen / Erkennen von Fehlschlüssen e) Geben Sie methodische Ratschläge, wie man im Mathematikunterricht Schüler zum Beweisen (Argumentieren, Begründen) motivieren kann, korrektes Schließen lehren sollte. - früh anfangen! - korrektes Sprechen - Herausheben von Argumentationsformen - Gegenbeispiele bei Fehlschlüssen bereit halten - Beweisen als Tätigkeit, nicht als Fertigprodukt
Beispiel 3: Begriffsbildung / Konstruktionsproblem (2/2002) a) Begriffsbildung 1) Erklären Sie, was ein geometrischer Quader ist? Definition - 2) Wie hängen geometrische und materielle Quader miteinander zusammen? Hat eine Postkarte die Form eines Quaders? Weshalb? Idealisierung bei orthogonalen Kanten (!): als Modell: ja üblich nein : nur die Fläche zählt 3) Beschreiben Sie stichwortartig eine Einführung des Begriffs (geometrischer) Quader in der Jahrgangsstufe 5 (oder früheren Jahrgangsstufen). In der Realität vorkommende Beispiele/Modelle Gegenbeispiele - Verallgemeinerung Definition Welche Rolle können dabei (Vollkörper-, Flächen-, Kanten-) Modelle spielen? Kanten Netze und deren Zusammenfügung
b) Konstruktionsproblem Aufgabe: Konstruiere ein Trapez ABCD aus den Daten AB CD, a = AB, e = AC, h = Abst(C;AB), F = Flächeninhalt(ABCD). 1) Stellen Sie eine Planfigur her und beschreiben Sie, wie diese entsteht. A D C B 2) Lösen Sie zuerst das allgemeine Konstruktionsproblem und konstruieren Sie dann mit den speziellen Daten a = 6 cm, e = 7 cm, h = 3 cm, F = 15 cm 2. Welche Konstruktionsoperationen (Zeichengeräte) soll/muss man dabei zulassen? GeoDreieck oder DGS. Nur Zirkel&Lineal macht die Parallele in definiertem Abstand unpraktisch.
3) Geben Sie eine Konstruktionsbeschreibung an. 4) Nennen Sie heuristische Vorschläge, um Lösungsideen zu finden. Wie kann man Schülern helfen, ohne ihnen gleich alles zu verraten? - Womit fängt man an, um möglichst viele Pkte festzulegen? - Konstruiere eine Teilfigur! - Wie lautet die Flächenformel für Trapeze? - 5) Welche didaktischen Funktionen kann die Aufgabe im Geometrieunterricht erfüllen? - Wiederholung / Einführung Ortslinien - Übung zum Problemlösen - Wiederholung der Flächenformel für Trapeze - (für AlgebraUnterricht): Textaufgabe