V8 5Linsen.DOC 8..5 Linsen Viele optische Instrumente, rille, Lupe, Mikroskop und Fernrohr, dienen der Verbesserung der Abbildung durch das Auge. Das Auge ist selbst ein optisches System, das eine Linse enthält. Der Strahlengang in Linsen olgt dem rechungsgesetz: Parallel zur optischen Achse einallende Strahlen werden in einem Punkt, dem Fokus, zusammengeührt. Konvexlinse Konkavlinse ( n ) r D + r rennweite N rechkrat, ihre Einheit ist Dioptrie m r, r Krümmungsradien der die Linse begrenzenden Kugellächen rechungsindex des Linsenmaterials Abbildung Konvex- und Konkavlinse. Versuch Radar-Linse: Eine okussierende Linse ür Radarstrahlen entsteht aus Scheiben unterschiedlichen Durchmessers mit einer homogenen Metall eschichtung (Reißnägel, die in etwa gleicher Dichte augebracht sind). Abbildung Schema der Linse ür Radarstrahlen ( λ 3, cm) : Homogen mit Reißnägeln versehene Styroporplatten, ca. Reißnagel/cm.
V8 5Linsen.DOC Zur eindeutigen Konstruktion von Strahlengängen wählt man mindestens zwei Strahlen, die den olgenden edingungen genügen: rennebene Umgekehrt: Parallel einallende Strahlen verlauen nach dem Durchqueren der Linse durch einen Punkt, der in der rennebene liegt. Strahlen, die von einem Punkt in der rennebene ausgehen, verlauen nach dem Durchqueren der Linse parallel. Strahlen durch die Mitte der Linse verlauen ungebrochen. Abbildung 3 Regeln zur Konstruktion von Strahlengängen 8..6 Abbildung durch optische Instrumente Ein egenstand wird durch eine Linse optisch abgebildet. Im ild der Strahlenoptik kann die Vergrößerung mit Hile des Strahlensatzes leicht bestimmt werden, wenn man die Abbildung mit zwei Strahlen charakterisiert. egenstand, röße g b ild, röße Folgt aus: + Abbildungsgleichung b g b g β Abbildungsmaßstab g Strahlensatz ür den Strahl durch den Fokus links b g Strahlensatz ür den Strahl durch die Mitte Tabelle Abbildungsgleichung und Abbildungsmaßstab. Der dritte (z.. der unterste) Strahl ist zur Vollständigkeit eingezeichnet, er wird zur Konstruktion nicht benötigt.
V8 5Linsen.DOC 3 Man wählt, entsprechend den o. g. Regeln, einen parallel zur Linsenachse einallenden Strahl, der durch den rennpunkt der Linse gebrochen wird, und einen Strahl durch die Linsenmitte, der die Linse ungebrochen durchquert. ei der olgenden Formulierung denke man sich das ild des egenstands au einen Schirm projiziert ( reelles ild ). Wenn man das ild nicht au dem Schirm abbildet, sondern den egenstand durch das optische erät hindurch mit dem Auge beobachtet, dann enthält das optische System auch noch die Linse des Auges. Die Vergrößerung eines optischen eräts ist dann als Verhältnis der Tangens Werte der Sehwinkel deiniert. Das sind zwei Winkel, unter denen man einen Punkt mit und ohne Instrument erblickt. In astronomischen Fernrohren ist der Punkt das Objekt selbst, z.. der leuchtende Stern. In Lupen und Mikroskopen beinde sich der Punkt am beobachteten egenstand, der zur eobachtung ohne Instrument in die ezugssehweite l 5cm vor das Auge gestellt wird. Die ezugssehweite steht ür die kleinste Enternung, aus der bei normaler Akkomodation noch schar gesehen wird. l 5cm V Vergrößerung Sehwinkel eines Punktes mit Instrument. : Sehwinkel eines Punktes ohne Instrument. ei Lupen und Mikroskopen beinde sich der Punkt an einem egenstand, der in ezugssehweite augestellt ist. l 5cm ernung eines egenstandes von einem au Deinition der ezugssehweite: Standard Ent- Nähe akkommodierten Auge. Tabelle Deinition der Vergrößerung und des Sehwinkels. 8..6. Die Lupe Mit einer Lupe erscheinen kleine egenstände unter einem größeren Sehwinkel, also vergrößert. ringt man den egenstand in die rennebene der Linse, dann gilt:
V8 5Linsen.DOC 4 l Sehwinkel ohne Lupe, egenstand im Abstand l 5cm, die Länge des Peils sei. > Sehwinkel mit Lupe l l V Lupe Vergrößerung einer Lupe Tabelle 3 Strahlengang und Vergrößerung einer Lupe 8..6. Das Keplersche und alileische astronomische Fernrohr Die eobachtung des Himmels mit astronomischen Fernrohren dient der estimmung von Sternorten. Das heißt, es interessiert nicht das Aussehen der Oberläche eines Sterns, sondern man möchte die Koordinaten seines Punktes am Himmel bestimmen oder man möchte wissen, ob ein mit bloßem Auge als Punkt am Himmel erscheinender Stern vielleicht eine Ansammlung von zwei oder mehreren Sternen ist. Um Sterne getrennt wahrzunehmen, muß sich ihr Sehwinkel um einen kleinsten, letztlich durch die Aulösung der Netzhaut im Auge gegebenen Winkel unterscheiden, der beim Menschen / beträgt. Tabelle 4 Links: Schema der Netzhaut mit dem ild der beiden rechts beobachteten Sterne. Das Karo steht ür das Raster der Netzhaut. Liegt das ild beider Sterne in einem Rasterpunkt, dann sieht man die Sterne nicht mehr als getrennte Objekte. Im egensatz zur zuvor besprochenen Lupe nimmt man in diesen Instrumenten an, daß die von einem weit enternten egenstand ausgehenden Strahlen parallel zueinander in das Ob-
V8 5Linsen.DOC 5 jektiv einallen. Nach den Eigenschaten der Linse beobachtet man deshalb einen Stern als leuchtenden Punkt in der Fokal Ebene. Dieser Punkt zeigt aber nur die eugungsigur eines im Weg des parallelen Strahlenbündels beindlichen egenstands, das ist die Önung des Fernrohrs. Man kann deshalb keine Details von der Oberläche der Quelle, also des Sterns, erkennen. Die Eigenschaten der eugung werden später im Wellenbild detailliert dargelegt, hier sei aber schon verraten, daß ein ündel parallel einallender Strahlen keine Inormation über die Struktur der Quelle enthält, es steht ür eine einzige eugungsordnung von der Quelle. Für die Abbildung benötigt man aber mindestens zwei, besser mehrere Ordnungen. Die eobachtung eines einzigen ündels paralleler Strahlen ist aber ausreichend, wenn man sich damit begnügt, die Richtung des einallenden Lichtes zu registrieren. Im Rahmen der Strahlenoptik ist deshalb nur die Änderung des Sehwinkel bei Nutzung des Instruments von Interesse. Die Vergrößerung des Instruments wird aus den Sehwinkeln ür den weit enternten egenstand mit und ohne Fernrohr deiniert. Das Keplersche Fernrohr enthält als Objektiv und Okular zwei konvexe Linsen unterschiedlicher rennweiten, das Objekt wird dadurch au dem Kop stehend gesehen. Im alileischen Fernrohr wird durch eine konkave Linse als Okular erreicht, daß das Objekt aurecht erscheint. V Fernrohr Vergrößerung des Fernrohrs Winkel am Okular Winkel am Objektiv Tabelle 5 Strahlengang und Vergrößerung im Keplerschen Fernrohr. Der gleiche Ausdruck olgt ür das alileische Fernrohr. 8..6.3 Das Mikroskop Wie bei der Lupe ällt ein divergentes Strahlenbündel vom Objekt in das Objektiv, dieses bildet das Objekt in der ildebene des Objektivs als reelles ild ab. Man könnte das vergrößerte Objekt dort au einem Schirm abbilden und dieses Abbild dann z.. mit einer Lupe nochmals vergrößert betrachten. Das macht man im Mikroskop tatsächlich, nur verzichtet man au den Schirm, der nicht nötig ist.
V8 5Linsen.DOC 6 l Sehwinkel ohne Mikroskop, egenstand im ezugsabstand l 5cm, der Peil zeige den egenstand. b g t Okular als Lupe Abbildung durch das Objektiv Tabelle 6 Oben: Sehwinkel ür einen egenstand ohne Instrument in ezugssehweite, unten: Sehwinkel und Strahlengang im Mikroskop Zur erechnung der Vergrößerung wird der Sehwinkel, unter dem der egenstand bei eobachtung durch das Instrument erscheint, mit dem Sehwinkel verglichen, unter dem der in ezugssehweite l 5cm beindliche egenstand mit bloßem Auge erscheint. Die Vergrößerung steigt mit abnehmender rennweite der Linsen. Man kann bis zu etwa -ach vergrößern, bei höheren Vergrößerungen treten eugungseekte in den Vordergrund: Die Aulösungsgrenze ist erreicht, wenn noch mindestens zwei unterschiedlich gerichtete Parallelstrahlbündel in das Auge allen. Ist nur noch eines übrig, dann wird ähnlich zur eobachtung eines Sterns im Fernrohr- nur noch der zentrale Strahl des eugungsbildes beobachtet: Es wird zwar hell, aber es ist keine Struktur erkennbar. Die eugungseekte werden im ild der Wellenoptik verständlich.
V8 5Linsen.DOC 7 V Mikroskop V Okular t l β b t β Objektiv g Folgt nach Einsetzen von: l l Objektiv V Okular Vergrößerung im Mikroskop Vergrößerung des Okulars (Lupe) Vergrößerung des Objektivs (einzelne Linse) Sehwinkel des egenstands in der ezugssehweite Sehwinkel durch das Okular b g Strahlensatz ür das Objektiv + Abbildungsgleichung ür das b g Objektiv, deshalb gilt b g b t wegen b t + V Mikroskop l b l g Tabelle 7 Vergrößerung im Mikroskop t l. 8..7 Linsenehler 8..7. Sphärische Aberration ei sphärischen Linsen haben Randstrahlen eine geringere rennweite als achsennahe Strahlen. Die Abbildung wird verbessert, wenn man das Strahlenbündel durch lenden einschränkt. Abbildung 4 Sphärische Aberration und ihre Korrektur durch Abblenden
V8 5Linsen.DOC 8 8..7. Chromatische Aberration Unterschiedliche Farben werden von las unterschiedlich stark gebrochen. Die Abhängigkeit der rechzahl eines Stoes von der Wellenlänge des Lichtes bezeichnet man als Dispersion. Die rennweite ür blaues Licht ist kürzer als die von rotem. blau rot Man gleicht diesen Fehler durch Achromat Linsen aus, dieses sind Kombinationen von Linsen aus läsern unterschiedlicher rechkrat und Dispersion, z.. aus bleihaltigem Flintglas (n,63) und bleireiem Kronglas (n,5). Versuch Farbehler der Linse. Licht hinter einem Filter, der ür rot und blau durchlässig ist, wird au blau (rot) okussiert. a) Man erkennt den roten (blauen) Ho um den Fokus. b) Mit einer Achromat Linse ist das ild schar und ohne Farbrand. Versuch 3 Dispersion des Prismas und Achromat Prisma. Ein Prisma aus Flintglas wird von der Hälte eines weißen Strahles durchquert, die andere Hälte streicht geradeaus über das Prisma hinweg. a) Der das Prisma durchquerende Strahl wird abgelenkt und spektral zerlegt, der andere bleibt weiß. b) Mit einer Linse wird der regenbogenarbige Strahl zu einem weißen vereint, die Summe aller Farben ist weiß. c) Jetzt wird in voller Strahlhöhe ein Kronglasprisma addiert: Der zuvor weiße Strahl wird bunt, der bunte zu weiß korrigiert. 8..7.3 Astigmatismus Eine Zylinderlinse okussiert nur in einer Richtung. Aus einem parallel einallenden Strahlenbündel wird deshalb kein Punkt, sondern eine Linie parallel zur Zylinderachse. Mit einer zweiten dazu senkrecht stehenden Zylinderlinse kann dieser Fehler korrigiert werden. Auch bei sphärischen Linsen gibt es astigmatische Verzeichnungen, wenn die Strahlen sehr schräg zur optischen Achse geneigt in die Linse allen. Man bezeichnet diesen Eekt als Astigmatismus schieer ündel. Versuch 4 Astigmatismus. a) Ein Netz wird mit einer Zylinderlinse abgebildet und stark verzeichnet. b) Mit einer zweiten, dazu senkrecht stehenden Linse wird der Fehler (zumindest in Nähe der Strahlachse) korrigiert.