2. Prozeßverklemmungen

2. Prozeßverklemmungen 2.1. eschreibung mittels PETRI-Netzen 2.1.1. Einführung 2.1.2. eisiel PETRI-Netz P V zur Verklemmung zweier Prozesse P1, P2 mit zwei etriebsmitteln M1, M2 Ausgangsunkte Realisierbarkeit von Automaten durch Schaltwerke (PETRI 1962) P1 M1 M2 P2 Mängel des Automatenbegriffs 1 2 3 4 t 1 t 4 Vorteile Anschaulichkeit unterschiedliche Abstraktionsstufen ausgefeilte Theorie Weiterentwicklungen Software 5 6 Literatur t 2 t 5 PETRI, E.A.: Kommunikation mit Automaten. Diss. Univ. onn, 1962. 7 8 STARKE, P.H.: Petri-Netze. erlin 1980. STARKE, P.H.: Analyse von Petri-Netz-Modellen. Teubner, 1990. REISIG, W.: Petri-Netze. Eine Einführung. Sringer, 1990. AUMGARTEN,.: Petri-Netze. Grundlagen und Anwendungen. Wissenschaftsverlag Mannheim, 1990. t 3 t 6 KÖNIG/QUÄCK: Petri-Netze in der Steuerungstechnik. Verlag Technik, erlin, 1988. SONNENSCHEIN, M.: Petri-Netze: Einführende Übersicht. Schriften zur Informatik 136, Aachen, 1988. 2.1 2.2

2.1.3. PETRI-Netze Grundbegriffe Elemente: Ereignisse (Transitionen, Übergänge) t edingungen (Plätze, Stellen) Zusammenhang: t ' Definition 1. Die edingung ist Vorbedingung des Ereignisses t. Die edingung ' ist Nachbedingung des Ereignisses t. Transitionsregel Die Transition t kann höchstens dann schalten, wenn alle ihre Vorlätze markiert (alle ihre Vorbedingungen erfüllt) sind. Wenn t schaltet, werden alle Vorbedingungen von t beendet, und alle Nachbedingungen sind erfüllt. Srechweise: t hat Konzession, kann feuern. s. 1. N = (P,T,F,m) heißt markiertes PETRI-Netz (kurz: PN), wenn gilt: (1) P, T sind endliche Mengen (Plätze, Transitionen); (2) P T =, P T ; (3) F (P T) ( T P) Flußrelation mit dom(f) codom(f) = P T; (4) m: P N Markierung. t t' t schaltet t' schaltet Weiter sei t := { P (,t) F} Menge der Vorlätze für t T, t := { P (t,) F} Menge der Nachlätze für t T. Analog, Menge der Vor-/Nachtransitionen. emerkungen biartiter gerichteter Grah, P, T, ohne isolierte Knoten, keine hängenden Kanten. Marke: Vielfachheit der Kanten: V: F N +. 2.3 2.4

Erreichbarkeit Sei N = (P,T,F,m 0 ) ein PN; T* bezeichne die Worthalbgrue über T. Dann wird induktiv eine Relation q bzw. * über N P für q T* definiert: Sei m, m' N P, q T*, t T. (1) m ε m' : m = m'. (2) m qt m' : m": m q m'' m" t m'. (3) m * m' : q T*: m q m'. Erreichbarkeitsrelation eschränktheit Ein PN N = (P,T,F,m 0 ) heißt beschränkt bei P k = k() N m R(m 0 ): m() k. Ist k = 1 P, so heißt N sicher. Es gilt: N beschränkt R(m 0 ) endlich. Ferner sei R(m) := {m' m * m'} EG(N) := [R(m 0 ), ] Erreichbarkeitsgrah emerkungen Der Erreichbarkeitsgrah eines endlichen PN muß nicht endlich sein. Der Erreichbarkeitsgrah ist algorithmisch konstruierbar. s. 2. := {(m,m') m,m' R(m 0 ) t T: m t m'.} Die Zeitkomliziertheit des Problems, den Erreichbarkeitsgrahen eines beschränkten PN zu berechnen, ist überexonentiell. Zeitkoml.: Anzahl der Schritte bis zum Abbruch als Funktion von der Größe des PN. Größe des PN: P + T + F + S, S: Summe aller Marken. Schritt: erechnung einer Markierung. 1 3 Erreichbarkeitsroblem ist von gleicher Komliziertheit. t 1 t 3 2 4 t 2 t 4 2.5 2.6

2.1.4. Lebendigkeit Definition 2. Sei N = (P,T,F,m 0 ) ein PN, M = N P. (1) m M heißt tot, wenn kein t T Konzession bei m hat. (2) t T heißt tot bei m M (bzw. in N), wenn von m (bzw. m 0 ) aus keine Markierung erreichbar ist, bei der t Konzession hat. (3) N heißt schwach lebendig oder verklemmungsfrei, wenn in N keine tote Markierung erreichbar ist. (4) t T heißt lebendig (bei m M), wenn t bei keiner von m 0 (von m) aus erreichbaren Markierung tot ist. (5) m M heißt lebendig, wenn alle t T lebendig bei m sind. (6) N heißt lebendig, wenn m 0 lebendig ist: Es gilt: t m(t T m R(m 0 ) q T* m' R(m): m qt m'). Ist N lebendig, so ist N verklemmungsfrei. Ist t lebendig (bzw. tot) bei m, dann ist t lebendig (bzw. tot) bei allen von m aus erreichbaren Markierungen. Ist t tot, dann ist t nicht lebendig. Ist N nicht verklemmungsfrei, dann besitzt N keine lebendige Transition. 2.1.5. Struktureigenschaften Definition 3. Ein PN N = (P,T,F,m 0 ) heißt (1) FC-Netz (free choice): (,t) F = {t} t = {} P t T; (2) EFC-Netz (extended f.c.): (,t), (,t') F t = t' P t,t' T; (3) ES-Netz (extended simle): q q q,q P; (4) Zustandsmaschine: t = t = 1 t T; (5) Synchronisationsgrah: = = 1 P. s. 4. s. 3. 1 t 1 t 2 t 3 2 a) m = (2 0) b) m = (3 0) Weiter gilt: Es ist entscheidbar, ob eine Transition tot ist. Verklemmungsfreiheit ist äquivalent mit Erreichbarkeit. Verklemmungsfreiheit ist entscheidbar. 2.7 2.8

Es gilt: FC EFC ES. Jeder Synchronisationsgrah und jede Zustandsmaschine sind FC- Netze. Jeder Synchronisationsgrah ist strukturell konfliktfrei. Jeder Synchronisationsgrah besitzt eine lebendige Markierung, jede Zustandsmaschine eine sichere. Deadlocks und Fallen Für Q P sei Q - := {t T Q: (,t) F}, Q + := {t T Q: (t,) F}. Definition 4. Q heißt Falle (tra) bei Q - Q + ; Q heißt Deadlock bei Q + Q -. Definition 4. Q P heißt sauber bei m M, wenn die Plätze von Q keine Marken enthalten. Es gilt: Sei N = (P,T,F,m 0 ) ein PN, m N P. Ist D ein bei der Markierung m sauberer Deadlock von N, dann ist D bei jeder vom m aus erreichbaren Markierung sauber, und alle Transitionen aus D - sind tot bei m. Ist S eine bei m markierte Falle in N und m' R(m), so ist S auch bei m' markiert. esitzt N keinen Deadlock, so ist N lebendig. s. 5. a) t t' Definition Deadlock-Falle-Eigenschaft Das PN N = (P,T,F,m 0 ) hat die Deadlock-Falle-Eigenschaft (DF- Eigenschaft), wenn jeder Deadlock von N eine bei m 0 markierte Falle enthält. b) t t' 2.9 2.10

2.1.6. Charakterisierung lebendiger PETRI-Netze Satz 1. Sei N ein EFC-Netz. Dann ist N genau dann lebendig, wenn N die DF-Eigenschaft besitzt. Satz 2. Ist N ein ES-Netz mit DF-Eigenschaft, so ist N lebendig. Satz 3. esitzt N = (P,T,F,m 0 ) die DF-Eigenschaft, so ist N verklemmungsfrei. eweis. Angenommen, N sei nicht verklemmungsfrei, d.h.: Es wird betrachtet D := { P m() = 0}. Dann ist D, denn sonst gälte m() > 0 P, d.h., alle t hätten Konzession D ist Deadlock: Sei t D +. Da m tot, hat t keine Konzession, also: t: m() = 0, d.h. D und damit t D -. D enthält aber keine bei m markierte Falle (nach Konstruktion). Dies ist WS zu DF-Eigenschaft. 2.2. Systeme mit seriell wiederverwendbaren etriebsmitteln 2.2.1. eisiele Gemeinsames enutzen von seriell wiederverwendbaren Einexemlar-etriebsmitteln 1 : anfordern (A) anfordern ()... freigeben () freigeben (A) 2 : anfordern () anfordern (A)... freigeben (A) freigeben () Gemeinsames enutzen eines seriell wiederverwendbaren Mehrexemlar-etriebsmittels in m Exemlaren, mehrfach benutzbar durch n Prozesse (2 m n): i : anfordern()... k - mal, k anfordern()... freigeben()... k - mal freigeben() s. m = 2, n = 3: G2: m G1: angefordert A 1 2 belegt 1 2 3 Nicht wiederverwendbare M Aushungern 2.11 2.12

2.2.2. System-Modell egriffe Zustand: Zuweisungszustand für etriebsmittel (frei zugewiesen) Prozeßaktion: etriebsmittel anfordern belegen freigeben. Definition 1. Ein System Σ = [σ, π] besteht aus einer Menge von Systemzuständen σ und einer Menge von Prozessen π. Dabei ist ein Prozeß eine artielle nichtdeterministische Funktion von σ nach σ: : σ P(σ). Notation und Srechweise für S,T σ, π, T (S): S T: kann S in T überführen S * T: es gibt eine endliche Folge von Prozessen, die S in T überführen kann. Definition 2. (1) Ein Prozeß ist im Zustand S blockiert, wenn gilt: (S) =. (2) π heißt verklemmt im Zustand S, falls für alle T mit S * T gilt: ist im Zustand T blockiert. (3) S σ heißt Verklemmungszustand, wenn es einen Prozeß gibt, der in S veklemmt ist. (4) S σ heißt sicherer Zustand, falls kein T mit S * T Verklemmungszustand ist. eisiel 2. eisiel 1. σ = {S,T,U,V}, π = { 1, 2 } W 1 2 1 1 X Y U 1 2 V 1 : S a T,U U a V V a U 2 : S a U T a S,V grahisch: mögl. Zustandsfolgen: S U, T V, S * 1 2 V. S U T V 1 blockiert in 2 blockiert in Verklemmungszustände: sichere Zustände: nicht sichere Zustände: 1 verklemmt in 2 verklemmt in 2.13 2.14

eisiel 3. Prozesse 1, 2 ; etriebsmittel A,. Prozeßzustände: Zust. 1 0 besitzt keine M 1 fordert A 2 besitzt A 3 besitzt A, fordert 4 besitzt A, 5 besitzt A nach Freigabe von Zust. 2 0 besitzt keine M 1 fordert 2 besitzt 3 besitzt, fordert A 4 besitzt A, 5 besitzt nach Freigabe von A Systemzustände: S ij : 1 in Zustand i, 2 in Zustand j (i,j = 0,..,5) Zustandsdiagramm: 1 2 0 1 2 3 4 5 0...... 1...... 2...... 2.2.3. Verklemmungen bei seriell wiederverwendbaren etriebsmitteln Seriell wiederverwendbare etriebsmittel endliche Menge von identischen Einheiten mit Anzahl der Einheiten konstant; jede Einheit ist entweder verfügbar oder genau einem Prozeß zugeteilt; ein Prozeß kann eine Einheit nur dann wieder freigeben, wenn sie ihm vorher zugeteilt wurde. Definition 3. etriebsmittel-grah: G = [P, K] biartit mit (1) P = π ρ, π ρ =. π: Prozeßunkte ρ: etriebsmittelunkte (2) Jedes ρ besteht aus t Einheiten (3) K (π ρ) (ρ π) k = (, ): Anforderungskante t = 3 3...... k = (, ): Zuweisungskante 4...... (4) a) (, ) t ρ ; π 5...... b) (, ) + (, ) t ρ π. ezeichnung: G(S): der zum Zustand S gehörige etriebsmittel- Grah (Grah wiederverwendbarer etriebsmittel). 2.15 2.16

Zustandsänderungen Anforderung: Hat im Zustand S keine noch ausstehenden Forderungen, so kann jede Zahl von etriebsmitteln fordern bei Einhaltung von (4). System gelangt in Zustand T, der sich von S genau durch die entsrechenden Anforderungskanten (im Grahen) unterscheidet. elegung (Zuweisung): Es gilt S T durch Zuweisung genau dann, wenn ausstehende Forderungen hat und diese alle gleichzeitig erfüllt werden. Dabei muß gelten: (5) (, ) + (, ) t :(, ) K. π " 2.2.4. Entdecken von Verklemmungen Grundidee Ein nicht blockierter Prozeß belegt evtl. weitere geforderte etriebsmittel, gibt dann alle seine etriebsmittel frei. Die freigegebenen können anderen blockierten Prozessen zugeteilt werden usw. Sind am Ende dieses Vorgehens noch Prozesse blockiert, so war der ursrüngliche Zustand ein Verklemmungszustand, sonst nicht. Formale Charakterisierung eines blockierten Prozesses: blockiert genau dann, wenn (6) ρ: (, ) K (, ) + (, ) > t. ' π ' etriebsmittel-grah: G(T) ergibt sich aus G(S) durch Umkehrung aller Anforderungskanten von nach. ' ' Freigabe: S T gilt genau dann, wenn keine ausstehenden Forderungen, aber mindestens 1 Zuweisung hat, d.h. [ ρ: (, ) = 0] [ ρ: (, ) > 0]. " G(T) ergibt sich aus G(S) durch Löschen der entsrechenden Kanten. eisiel 4. S T U V Anf. 2 el. Freig. 1 ' ' ' ' 2.17 2.18

Reduktion eines Grahen wiederverwendbarer etriebsmittel (1) Ein Grah wird durch einen Prozeß, der weder blockiert noch isoliert ist, reduziert, indem alle Kanten von und nach gelöscht werden. wird dann zu isoliertem Punkt. (2) Ein Grah heißt nicht reduzierbar, wenn er durch keinen Prozeß reduziert werden kann. (3) Ein Grah heißt vollständig reduzierbar, wenn es eine Folge von Reduktionen gibt, so daß alle Kanten gelöscht werden können. (4) Eine Reduktionsfolge heißt maximal, wenn sie zu einem nicht reduzierbaren Grahen führt. emerkung. Die Elemente einer Reduktionsfolge sind aarweise verschiedene Elemente von π. eisiel 5. ' ' Red. Lemma. Alle maximalen Reduktionsfolgen eines Grahen G wiederverwendbarer etriebsmittel führen zu demselben Grahen. eweis. a) Für 2 Reduktionsfolgen r 1, r 2 sei r 1 r 2 ( r 2 nach r 1 ) die Folge, die entsteht (Oeration!), indem an r 1 alle Elemente von r 2 angehängt werden, die nicht in r 1 enthalten sind. eisiel. 123 43561 = 43561 123 = 124 41 = 41 124 = b) Seien r 1, r 2 zwei Reduktionsfolgen für G. Dann läßt sich G auch durch r 1 r 2 und r 2 r 1 reduzieren. Denn da durch jeden Reduktionsschritt die Menge der verfügbaren etriebsmittel größer wird, bleibt ein nicht blockierter Prozeß nicht blockiert, kann also zur weiteren Reduktion verwendet werden. Mithin: Gibt es für G mehrere maximale Reduktionsfolgen, so sind dies Permutationen voneinander. c) Sind r 1, r 2 maximale Reduktionsfolgen von G, so sind die dadurch reduzierten Grahen gleich. Denn bei der Reduktion durch einen Prozeß werden jeweils alle mit verbundenen Kanten entfernt, keine hinzugefügt; somit werden (da r 1 und r 2 Permutationen voneinander sind) durch die Folgen ' und ' die gleichen disjunkten Kantenmengen entfernt. 2.19 2.20

Satz 1. Verklemmungstheorem. S ist Verklemmungszustand genau dann, wenn der Grah G(S) nicht vollständig reduzierbar ist. eweis. a) Sei S Verklemmungszustand. Dann gibt es einen Prozeß, der in S verklemmt ist. Dies bedeutet für alle T mit S * T: ist im Zustand T blockiert. Angenommen, G(S) wäre vollständig reduzierbar. Dann müßte in einer Reduktionsfolge enthalten sein, dürfte also in irgendeinem erreichbaren Zustand nicht blockiert sein Widersruch. b) Sei G(S) nicht vollständig reduzierbar. Dann gibt es einen Prozeß, der in allen möglichen Reduktionsfolgen blockiert bleibt (wegen Lemma 1). Da der reduzierte Grah durch eine maximale Reduktionsfolge erreicht wird, bei der alle freigebbaren etriebsmittel auch wirklich freigegeben werden, kann kein einziges weiteres etriebsmittel freiwerden, bleibt mithin immer blockiert und damit verklemmt in S. eisiel 6. Folgerung. Ist S Verklemmungszustand, so gibt es mindestens zwei Prozesse, die in S verklemmt sind. 2.2.5. Ergänzungen Satz 2. Zyklustheorem. Für eine Verklemmung ist ein Zyklus im Grahen notwendig, aber nicht hinreichend. Notwendig o..; nicht hinreichend. Satz 3. Ist S kein Verklemmungszustand und gilt S T, so ist T genau dann Verklemmungszustand, wenn eine Anforderungsoeration darstellt und im Zustand T verklemmt ist. Sofortige Zuweisung Zuteilungsstrategie, bei der in einem Systemzustand alle erfüllbaren Forderungen auch sofort erfüllt werden. Zweckdienlicher Zustand : Zustand, in dem alle Prozesse mit ausgehenden Kanten blockiert sind. Klumen : Teilgrah, bei dem jeder Punkt von jedem aus erreichbar ist, aber kein Punkt außerhalb des Grahen ist erreichbar. Senke : Punkt eines Grahen, von dem keine Kanten ausgehen. Es gilt: Ist ein Zustand zweckdienlich, dann ist die Existenz eines Klumens hinreichend für eine Verklemmung. eisiel 7. a) b) 2.21 2.22

Einexemlar-etriebsmittel t = 1 ρ. Satz 4. Ein Zustand S ist genau dann Verklemmungszustand, wenn der M-Grah G(S) einen Zyklus enthält. eweis. Notwendig: Satz 2. Hinreichend: Sei ein bel. Prozeß des Zyklus Z. Dann hat eine zu einem etriebsmittel aus Z gehende Kante. Ferner führt von jedem etriebsmittel aus Z genau eine Kante zu einem Prozeß aus Z. Also gilt für alle Z: Z: (, ) + Σ (, ) 2 > 1 = t, Anfordern von nur einer einzigen Einheit eines etriebsmittels Es gilt: Genau dann ist ein Zustand, in dem alle Prozesse mit ausstehenden Anforderungen blockiert sind, ein Verklemmungszustand, wenn der zugehörige Grah einen Klumen enthält (o..). eisiel 9. a) b) damit gilt (6). Mithin ist jeder Prozeß des Zyklus blockiert, also sind von S aus nur Zustände T erreichbar, die auch blockiert sind. Algorithmus: Schrittweises Löschen von Kanten, die zu Senken führen. Können alle Kanten gelöscht werden, so hatte der ursrüngliche Grah keine Zyklen. eisiel 8. Algorithmus: Alle Senken bestimmen Menge S Iterativ alle Punkte zu S hinzunehmen, die Kanten nach S haben Ist am Ende S = P, so besitzt G(S) keinen Klumen, andernfalls doch. Wiederherstellung eines Zustandes ohne Verklemmung Prozeßabbruch etriebsmittel-entzug Verhinderung von Verklemmungen Hierarchische etriebsmittel-vergabe Maximale Ansrüche Nicht wiederverwendbare etriebsmittel 2.23 2.24