Anleitung zum Physikpraktikum ür Oberstuenlehrpersonen Geometrische Optik (GO) Frühjahrssemester 2016 Physik-Institut der Universität Zürich
Inhaltsverzeichnis 7 Geometrische Optik (GO) 7.1 7.1 Einleitung........................................ 7.1 7.1.1 Ziel des Versuches............................... 7.1 7.2 Theoretischer Teil................................... 7.2 7.2.1 Brennpunkte, Brennweite........................... 7.2 7.2.2 Abbildung durch eine dünne Sammellinse.................. 7.4 7.2.3 Abbildung durch eine dünne Streulinse.................... 7.6 7.2.4 Vorzeichenregeln................................ 7.7 7.3 Das Auge........................................ 7.7 7.3.1 Aubau des menschlichen Auges........................ 7.7 7.3.2 Schematische Darstellung........................... 7.7 7.3.3 Akkommodation................................ 7.8 7.3.4 Akkommodation des Auges.......................... 7.9 7.3.5 Kurz- und Weitsichtigkeit........................... 7.10 7.4 Experimenteller Teil.................................. 7.11 7.4.1 Augabenstellung................................ 7.11 7.4.2 Eigenschaten von Streu- und Sammellinsen................. 7.11 7.4.3 Herstellen von parallelem Licht........................ 7.11 7.4.4 Bestimmen der Brennweite einer Sammellinse (Linse 1).......... 7.12 7.4.5 Reelle Abbildung au dem Bildschirm.................... 7.12 7.4.6 Modell-Auge.................................. 7.13
7 Geometrische Optik (GO) Vorlesungsabschnitt 3, Optik 5.1 Elektromagnetische Wellen 5.2 Geometrische Optik 5.2.1 Einührung 5.2.2 Abbildungen 5.2.3 Spiegel 5.2.4 Linsen 5.2.5 Optische Systeme 7.1 Einleitung Die geometrische Optik ist die Grundlage ür das Verständnis zahlreicher Apparate und Vorrichtungen wie Brillen, Mikroskope, Fernrohre oder Fotoapparate, welche wir im täglichen Leben zum Sehen im weitesten Sinne verwenden. Das Auge selbst ist wohl das aszinierendste Beispiel eines erstaunlich vielseitigen optischen Apparates. Es besitzt nicht nur einen variablen Fokus, eine automatische Blende, ein automatisches Reinigungssystem und einen automatischen Verschluss, sondern geht auch bei der Bildaulösung sowie bei der Empindlichkeit an die Grenzen des überhaupt Möglichen. Die optische Aulösung au der Netzhaut ist gegeben durch die Grösse der Sehzellen und ist mit etwa 1 µm im Bereich der Wellenlänge des Lichtes, was auch die physikalische Grenze der Aulösung darstellt. Die minimale Wahrnehmungsempindlichkeit liegt bei etwa zwei Photonen pro Sehzelle, wobei ein Photon etwa die Rauschschwelle repräsentiert. Auch der dynamische Bereich, in welchem sich das Auge innerhalb von Minuten anpassen kann, reicht von zwei Photonen bis zu vollem Sonnenlicht und umasst damit über 15 Zehnerpotenzen der Intensität. Die Ausbreitung des sichtbaren Lichtes (λ = 400-700 nm) in verschiedenen Medien ist ein wichtiger Aspekt ür die praktische Optik. Da man bei der Suche nach einer allgemeinen Lösung dieses Problems rasch au grosse mathematische Schwierigkeiten stösst, betrachtet man zwei Grenzälle: Wellenoptik: Die Grösse der im Problem vorkommenden Objekte ist vergleichbar mit der Wellenlänge des Lichtes. In diesem Fall stehen die Wellennatur und die damit verbundenen Erscheinungen wie Intererenz und Beugung im Vordergrund (vgl. Versuch In/Sp). Geometrische Optik: Sämtliche im Problem vorkommenden geometrischen Abmessungen sind gross gegenüber der Wellenlänge. Unter dieser Voraussetzung kann die Lichtausbreitung durch Lichtstrahlen beschrieben werden. Es gelten die beiden Grundgesetze der geometrischen Optik, das Relexions- und das Brechungsgesetz. In diesem Versuch beschätigen wir uns ausschliesslich mit geometrischer Optik. 7.1.1 Ziel des Versuches Jedes optische Gerät, sei es eine einache Lupe, eine Brille oder ein Mikroskop, besteht aus einer oder mehreren Linsen (ev. auch Spiegeln). Um die Funktionsweise eines komplizierteren 7.1
Gerätes, also einer Linsenkombination zu verstehen, untersuchen wir zunächst die Eigenschaten einer einzelnen Linse. Es geht dabei um: Bedeutung der Brennweite Unterschiede zwischen Sammel- und Streulinsen Abbildung durch eine dünne Sammellinse Abbildung mit einem Modell-Auge (Beispiel aus der Biologie) 7.2 Theoretischer Teil 7.2.1 Brennpunkte, Brennweite Fallen Lichtstrahlen schie au eine sphärische Fläche, welche zwei Medien mit verschiedenen Brechungsindizes trennt, so werden die Strahlen gebrochen (Abbildung 7.1). n 1 n 2 P α β Optische Achse Abbildung 7.1: Lichtstrahl trit au sphärische Fläche, welche zwei Medien trennt. Nach dem Brechungsgesetz gilt: sin α sin β = n 2 n 1 (7.1) Fallen Strahlen parallel zur optischen Achse ein, so schneiden sich die gebrochenen Strahlen im bildseitigen Brennpunkt F 2 (Abbildung 7.2). Gehen die Lichtstrahlen vom objektseitigen Brennpunkt F 1 aus, so verlauen sie nach der Brechung an der gekrümmten Fläche achsenparallel (Abbildung 7.3). n 1 n 2 n 1 n 2 F 1 F 2 F 1 F 2 Abbildung 7.2: Parallel zur optischen Achse einallende Lichtstrahlen. Abbildung 7.3: Vom Brennpunkt F 1 ausgehende Lichtstrahlen. 7.2
Eine Linse besteht aus zwei sphärischen Trennlächen. Auch dieses System von Trennlächen besitzt einen objektseitigen Brennpunkt F 1 und einen bildseitigen Brennpunkt F 2 (Abbildungen 7.4 und 7.5). 2 1 F 1 F 2 F 1 F 2 Linsenebene (LE) Abbildung 7.4: Parallel zur optischen Achse einallende Lichtstrahlen durch eine dünne Linse. Linsenebene (LE) Abbildung 7.5: Vom Brennpunkt ausgehende Lichtstrahlen durch eine dünne Linse. Als Brennweite bezeichnet man bei dünnen Linsen die Distanz zwischen Linsenebene und Brennpunkt. Es gilt 1 = 2 =. Parallel zur optischen Achse einallende Lichtstrahlen schneiden sich im bildseitigen Brennpunkt F 2. Strahlen, welche vom objektseitigen Brennpunkt F 1 ausgehen, verlauen nach der Linse parallel zur optischen Achse. Die Brennweite einer Linse hängt von den beiden Krümmungsradien r 1, r 2 und von den Brechungsindizes n 1 (Umgebung) und n 2 (Linsenmaterial) ab und es ist: 1 = n ( 2 n 1 1 1 ) (7.2) n 1 r 1 r 2 Dabei gilt die olgende Vorzeichenregel: Wenn der Mittelpunkt M i rechts von der Trennläche i liegt, ist der Krümmungsradius r i > 0. n 1 n 2 n 1 n 2 r 2 r1 M 2 r 1 M 1 M 1 M 2 Linsenebene (LE) Abbildung 7.6: Sammellinse mit r 2 < 0 und r 1 > 0. Linsenebene (LE) Abbildung 7.7: Streulinse mit r 1 < 0 und r 2 > 0. Für Sammellinsen (Abbildungen 7.4 und 7.5) sind die Brennweiten positiv und die Licht- 7.3
strahlen lauen zusammen. Bei einer Streulinse lauen die Lichtstrahlen auseinander. Der Mittelpunkt M 1 liegt au der linken Seite der Trennläche und M 2 au der rechten Seite. Damit ändern auch die Vorzeichen der Krümmungsradien r 1 und r 2 und die Brennweiten 1 und 2 werden negativ (Abbildungen 7.8 und 7.9). Hier lauen die Lichtstrahlen nicht mehr durch die Brennpunkte. Zeichnet man aber deren Verlängerungen ein, so schneiden sich diese Linien wiederum im virtuellen Brennpunkt. F 2 F1 F2 F 1 Abbildung 7.8: Parallel zur optischen Achse einallende Lichtstrahlen. Abbildung 7.9: Parallel zur optischen Achse ausallende Lichtstrahlen. 7.2.2 Abbildung durch eine dünne Sammellinse Bei einer optischen Abbildung durch eine dünne Sammellinse werden die von einem Gegenstandspunkt P ausgehenden Strahlen durch das abbildende System in genau einem Bildpunkt P vereinigt. Jedem Objektpunkt wird genau ein Bildpunkt zugeordnet. P G S 1 S3 F 1 S 2 M F 2 B P' S 1= Parallelstrahl S 2= Brennstrahl S 3= Hauptstrahl Abbildung 7.10: Abbildung und Bildkonstruktion bei einer dünnen Sammellinse. Zur geometrischen Konstruktion des Bildpunktes sind zwei Strahlen notwendig. Man benutzt gewöhnlich zwei der drei ausgezeichneten Strahlen S 1, S 2 und S 3 : S 1 : Parallelstrahl Lichtstrahl verläut parallel zur optischen Achse S 2 : Brennstrahl Lichtstrahl läut durch den Brennpunkt S 3 : Hauptstrahl (wird nicht abgelenkt) Lichtstrahl läut durch die Linsenmitte 7.4
Linsengleichung, Vergrösserung Aus der Ähnlichkeit der schraierten Dreiecke (Abbildung 7.11) lässt sich ein Zusammenhang g C S 1 S 3 G A F 1 S 2 M b F 2 E D B g = Gegenstandsweite b = Bildweite = Brennweite Abbildung 7.11: Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite. zwischen der Gegenstandsweite g, der Bildweite b und der Brennweite inden. Es gilt: Multiplikation der beiden Gleichungen ergibt: g = b G = b B G g = B gb = b + g : bg Daraus erhält man die Linsengleichung oder auch die Abbildungsgleichung. Diese verbindet die Gegenstandsweite g und die Bildweite b mit der Brennweite : 1 g + 1 b = 1 (7.3) Für den Abbildungsmassstab oder die Vergrösserung m = B/G erhält man aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ACM und DEM (Abbildung 7.11): m = B G = b g (7.4) Das negative Vorzeichen deutet an, dass das Bild au dem Kop steht. Ist m positiv, so erolgt keine Bildumkehr. Frage 1: Wo muss man den Schirm austellen, wenn man mit einer Sammellinse der Brennweite = 20 cm einen Gegenstand, der 25 cm von der Linse enternt steht, schar au dem Schirm abbilden will? Wie stark ist die Vergrösserung m? 7.5
Sammellinse als Lupe Wir setzen den Gegenstand zwischen Brennpunkt und Linse, d.h. g <. Es entsteht kein wirkliches, reelles Bild, da sich nicht die gebrochenen Strahlen, sondern nur ihre rückwärtigen Verlängerungen schneiden (Abbildung 7.12). Das Bild ist virtuell und aurecht, die Vergrösserung m > 1, die Bildweite b negativ (nach Gleichung 7.3). Es kann nicht au einem Schirm abgebildet werden. S3 S 1 S 2 B F 1 G b g' (etwa 25 cm) F 2 g Abbildung 7.12: Bildkonstruktion bei einer Lupe. Betrachtet man das virtuelle Bild jedoch mit dem Auge, dann werden im Linsensystem des Auges die einallenden, divergenten Strahlen gebrochen; au der Netzhaut treen die Lichtstrahlen wieder in einem Punkt zusammen. Die virtuellen Bildpunkte werden reell abgebildet (man denke in diesem Zusammenhang auch an den Spiegel). Das virtuelle Bild wird zum Gegenstand ür das Auge, welches au eine Distanz von etwa 25 cm bequem okussieren kann. 7.2.3 Abbildung durch eine dünne Streulinse Zur geometrischen Konstruktion des Bildpunktes sind wieder mindestens zwei der drei ausgezeichneten Strahlen S 1, S 2 und S 3 notwendig. g G S3 S 1 S 2 B F 2 F 1 b Abbildung 7.13: Bildkonstruktion bei einer Streulinse. Das Bild ist immer virtuell und aurecht, die Bildweite immer negativ, die Vergrösserung m 1. 7.6
7.2.4 Vorzeichenregeln Bei der Anwendung der Abbildungsgleichung (7.3) sind olgende Regeln zu beachten: Das Licht ällt von links her ein. Gegenstandsweiten sind positiv, wenn der Gegenstand links der Linse sitzt. Bildweiten sind positiv, wenn das Bild rechts der Linse liegt. Frage 2: Kennen Sie andere abbildende Systeme ausser Linsen? Welche? Skizzieren Sie sie. Bemerkung: Bei Brillen wird nicht die Brennweite der Gläser, sondern deren Brechkrat P angegeben: P = 1/ (Dioptrien = m 1 ), wobei in Metern einzusetzen ist. Beispiel: P = 2 dpt. = 50 cm 7.3 Das Auge 7.3.1 Aubau des menschlichen Auges vordere Augenkammer Hornhaut Pupille Glaskörper gelber Fleck Lederhaut Aderhaut Sehnerv Iris Linse Netzhaut Ringmuskel blinder Fleck Abbildung 7.14: Aubau des menschlichen Auges. 7.3.2 Schematische Darstellung Die gesamte Brechkrat des entspannten Auges beträgt 58.9 dpt. Das entspricht einer Brennweite von = 17 mm (vergl. Tabelle 7.1). Die an die Lut angrenzende Hornhaut lieert den 7.7
grössten Teil (43 dpt.), die Linse ermöglicht durch Änderung ihrer Krümmung die Schareinstellung au verschiedene Enternungen. Die Form des Auges wird durch den Augeninnendruck aurechterhalten. Tabelle 7.1: Werte ür das menschliche Auge. Dicke der Hornhaut (Cornea) 0,8 mm Krümmungsradius r der Hornhaut 7,83 mm Brechzahl Kammerwasser und Glaskörper n 1,3365 Brechzahl Augenlinse n L 1,358 Augenpupille 2 bis 8 mm Durchmesser Vordere Brennweite bei entspanntem Auge 17,055 mm Hintere Brennweite bei entspanntem Auge 22,8 mm Nahpunktenternung in mittlerem Lebensalter 25 cm Durchmesser der Netzhautgrube (Fovea) = gelber Fleck 0,3 mm Lut: n = 1 n' = 1.3365 Netzhaut Hornhaut Linse: n = 1.358 Abbildung 7.15: Schematischer Aubau des menschlichen Auges. 7.3.3 Akkommodation Unter Akkommodation versteht man Schareinstellung au verschiedene Enternungen. Zur Erläuterung des Vorganges vergleichen wir zwischen Fotoapparat und Auge. Fotoapparat Auge F 1 F 2 F 1 F 2 Film Netzhaut Abbildung 7.16: Vergleich zwischen Fotoapparat und Auge. Schareinstellung durch Verschieben der Linse Brennweite bleibt. Schareinstellung durch Änderung der Brennweite der Linse Position der Linse bleibt. 7.8
7.3.4 Akkommodation des Auges Nahakkommodation Nahpunkt Ziliarmuskel kontrahiert Zonulaasern entspannt Akkommodation (Schema) normal Ferne Ziliarmuskel entspannt Zonulaasern gespannt Fernakkommodation Fernpunkt normal Ziliarmuskel entspannt Zonulaasern gespannt Linse Abbildung 7.17: Akkommodation des Auges. Nähe Ziliarmuskel angespannt Zonulaasern entspannt Abbildung 7.18: Schematische Darstellung der Akkommodation des Auges. Die Änderung der Linsenbrechkrat erolgt durch Änderung ihrer Oberlächenkrümmung. Augrund ihrer Eigenelastizität strebt die Linse eine stärkere Krümmung an, der die Zugkrat der Zonulaasern entgegenwirkt. Der Ziliarmuskel reguliert diese Zugkrat: Muskel erschlat: Fernakkommodation, Muskel kontrahiert: Nahakkommodation. Bei maximaler Fernakkommodation wird der sogenannte Fernpunkt, bei maximaler Nahakkommodation der sogenannte Nahpunkt schar abgebildet. Der Akkommodationsbereich gibt die maximale und die minimale Distanz an, in welcher ein Gegenstand schar abgebildet werden kann. Die Akkommodationsbreite ist die Dierenz der Brechkräte. Dioptrien 14 12 10 8 6 4 2 0 0 Akkommodationsbreite Nahpunkt in m 0.08 0.10 0.12 0.15 0.25 0.50 1.00 10 20 30 40 50 60 70 Alter in Jahren Mit zunehmendem Alter verschlechtert sich die Elastizität der Linse und die Akkommodationsbreite nimmt ab (Abbildung 7.19). Abbildung 7.19: Akkomodationsbereich und Akkomodationsbreite des menschlichen Auges. 7.9
7.3.5 Kurz- und Weitsichtigkeit Augabe: Versuchen Sie anhand olgender Figuren die 3 Formen der Fehlsichtigkeit zu verstehen. Alterssichtigkeit: Elastizität der Linse verschlechtert ern (Objekt im ) 1 Keine Brille nötig! nah 2 3 ABC Kurzsichtigkeit: Auge zu lang ABC ern 4 nah 5 ABC 6 7 Weitsichtigkeit: Auge zu kurz ern 8 nah 9 ABC 10 11 Abbildung 7.20: Kurz- und Weitsichtigkeit beim Menschen. 7.10
7.4 Experimenteller Teil 7.4.1 Augabenstellung 1. Eigenschaten von Streu- und Sammellinsen (qualitativ) 2. Herstellen von parallelem Licht 3. Bestimmen der Brennweite einer Sammellinse 4. Abbildung mit dünner Sammellinse 5. Untersuchung eines Modell-Auges 7.4.2 Eigenschaten von Streu- und Sammellinsen Betrachten Sie mit einer Streulinse einen au dem Tisch liegenden Gegenstand. Wie steht das Bild? Ist m < 1 oder m > 1? Verwenden Sie eine Sammellinse ( = 10 cm) als Lupe, indem Sie z.b. eine Schrit damit betrachten. Versuchen Sie mit der gleichen Linse ein reelles Bild zu erzeugen, ohne einen Schirm zu benützen. Bei welcher Gegenstandsweite liegt (etwa) der Übergang vom virtuellen zum reellen Bild? Notieren Sie Ihre Beobachtungen. 7.4.3 Herstellen von parallelem Licht = 10 cm Kondensor Lochblende Linse Spiegel Abbildung 7.21: Versuchsanordnung zum Herstellen von parallelem Licht. Die Lichtquelle wird mit einem Kondensor au die Lochblende abgebildet. Das austretende, divergente Lichtbündel wird parallel, soern die Lochblende in der Brennebene der Linse liegt. Die Brennweite der Linse ist angegeben. Da man die Lage der Linsenebene nicht kennt, ist der Abstand nicht genügend genau einstellbar. Man verwendet deshalb die sogenannte Autokollimationsmethode: Das von einem ebenen Spiegel relektierte Licht erzeugt au der Fassung der Lochblende einen Lichtleck. Dessen Durchmesser ist gleich dem Lochblendendurchmesser, wenn 7.11
die Lochblende in der Brennebene der Linse steht. Man verschiebe die Linse so lange zwischen Blende und Spiegel, bis der Durchmesser des Lichtlecks gleich dem Blendendurchmesser ist. Die Blende ist jetzt au sich selbst schar abgebildet. 7.4.4 Bestimmen der Brennweite einer Sammellinse (Linse 1) Zum Herstellen von parallelem Licht verwende man wieder den Aubau in Abbildung 7.21. Um die Lage des Brennpunktes möglichst genau zu bestimmen, düren nur achsennahe Strahlen verwendet werden. Deshalb wird eine Ringblende vor die Linse gestellt. Der Schirm wird verschoben, bis der Durchmesser des Lichtlecks minimal ist. Die Brennweite misst man mit dem Massstab. Schätzen Sie den Fehler von ab. F 2 Ringblende Linse Schirm Abbildung 7.22: Versuchsanordnung zur Bestimmung der Brennweite einer Sammellinse. 7.4.5 Reelle Abbildung au dem Bildschirm Beleuchtung G g b F 1 F 2 Mattscheibe Linse Schirm Abbildung 7.23: Versuchsanordnung ür eine reelle Abbildung au einem Bildschirm. Der Gegenstand (Dia) wird au dem Schirm schar abgebildet. Messen Sie die Gegenstandsweite und die Bildweite. Prüen Sie, ob die Abbildungsgleichung (Gleichung 7.3) erüllt ist, indem Sie aus gemessener Gegenstands- und Bildweite die Brennweite berechnen. 7.12
7.4.6 Modell-Auge G = Gegenstand M = Mattscheibe (Bildebene) L = Linse mit variabler Brennweite Be = Beleuchtung Br = Brillenglas Be G Br L M ( Netzhaut ) Abbildung 7.24: Versuchsanordnung ür das Modell-Auge. Die Brennweite der Plastiklinse L lässt sich ändern, indem man mit der Spritze Wasser hineindrückt oder heraussaugt und dabei die Krümmungsradien der Oberlächen variiert. Das ganze Auge ist lexibel; die Mattscheibe kann verschoben werden, was einer Änderung der Augenlänge entspricht. Die Positionen (1), (2) und (3) sind am Modell-Auge angegeben. 1. Akkommodation beim Normal-Auge Verschieben Sie die Mattscheibe in Position (1). Wählen Sie die Gegenstandsweite 28-30 cm. Ändern Sie die Wassermenge in der Linse, bis das Bild au der Mattscheibe schar ist. Notieren Sie die Spritzenposition. Messen Sie die Bildweite und berechnen Sie die Brennweite (Verwenden Sie daür die Linsen- oder Abbildungsgleichung 7.3). Akkommodationsbereich und Akkommodationsbreite des Auges: Bestimmen Sie die minimale und die maximale Gegenstandsweite, ür welche man durch Verändern der Wassermenge in der Linse ein schares Bild au der Mattscheibe bekommen kann, d.h. bestimmen Sie den Nah- und den Fernpunkt des Auges: Wählen Sie olgende Spritzenpositionen: 30 ml und 60 ml. Berechnen Sie die Brennweiten ür den Nah- und den Fernpunkt. Wie gross sind also die Akkommodationsbreite und der Akkommodationsbereich des Normal- Auges? 7.13
2. Akkommodation bei Weitsichtigkeit Verschieben Sie die Mattscheibe in Pos. (2). Messen Sie die neue Bildweite. Bestimmen Sie wieder den Nah- und den Fernpunkt des Auges. (Spritzenpositionen 30 ml und 60 ml, d.h. gleiche Akkommodationsbreite wie beim Normalauge) Welches ist somit der Akkommodationsbereich dieses Auges? Wählen Sie das geeignete Brillenglas, um die Situation zu verbessern. Notieren Sie die Dioptrienzahl des Brillenglases. Wo liegt jetzt, d.h. mit Brille, der Nahpunkt? Schieben Sie den Gegenstand näher zum Auge, bis das Bild wieder schar ist. Zeichnen Sie die drei Situationen schematisch au, auch die jeweilige Linsenkrümmung. 3. Akkommodation bei Kurzsichtigkeit Verschieben Sie die Mattscheibe in Pos. (3). Messen Sie die neue Bildweite. Bestimmen Sie wieder den Nah- und den Fernpunkt des Auges. (Spritzenpositionen 30 ml und 60 ml, d.h. gleiche Akkommodationsbreite wie beim Normalauge) Welches ist der Akkommodationsbereich dieses Auges? Wählen Sie das geeignete Brillenglas, um die Situation zu verbessern. Notieren Sie die Dioptrienzahl des Brillenglases. Wo liegt jetzt, d.h. mit Brille, der Fernpunkt dieses Auges? Schieben Sie den Gegenstand weiter vom Auge weg, bis das Bild wieder schar ist. Zeichnen Sie die drei Situationen schematisch au, auch die jeweilige Linsenkrümmung. 7.14