Optische Linsen. 1 Linsenformen

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1 Optische Linsen In der Optik werden transparente Bauelemente, welche das Licht durch Brechung an ihren Oberlächen ablenken als Linsen bezeichnet. Sie haben zwei Licht brechende Flächen. Wir werden nur sphärische Linsen betrachten. Bei sphärische Linsen ist entweder eine Oberläche so gewölbt, das sie ein Teil einer Kugelläche ist und die zweite Oberläche ist eine Ebene oder es sind sogar beide Oberlächen so gewölbt, dass beide Teile von Kugellächen sind. Linsenormen Die gewölbten Flächen der Linsen können konvex (dies bedeutet nach außen gewölbt) oder konkav(dies bedeutet nach innen gewölbt) sein. Je nach Anordnung der Oberlächen gibt es sechs verschiedene Formen dieser sphärischen Linsen. a) b) c) d) e) ) Abbildung : Formen von sphärischen Linsen: a) bikonvex b) plankonvex c) konkavkonvex d) bikonkav, e) plankonkav, ) konvexkonkav Wir können Linsen anhand ihrer Form in zwei große Gruppen einteilen: Linsen die in der Mitte dicker sind als am Rand sind die sogenannten Sammellinsen. Sie werden auch Konvexlinsen genannt. Linsen die in der Mitte dünner sind als am Rand sind die sogenannten Zerstreuungslinsen. Sie werden auch Konkavlinsen genannt. Bevor wir uns nun jede Gruppe genauer anschauen klären wir zuerst gemeinsame Begrie und Regeln welche ür beide Gruppen gelten. Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

2 2 Begrie und Vorzeichenregel Ganz wichtig ür die nacholgenden Betrachtungen sind diese Annahmen: Unsere Linsen sind stehts von Lut umgeben. Für den Brechungsindex von Lut verwenden wir den Wert n =. Die Dicke der Linsen werden wir zunächst vernachlässigen. Dicke Linsen behandel wir in einem separaten Kapitel. Für alle nacholgenden Betrachtungen lassen wir die Lichtstrahlen immer von links nach rechts au die Linsen allen. Wir werden olgende Begrie anwenden: Durch den Linsenmittelpunkt verläut die optische Achse. Alle durch eine Linse gehenden Lichtstrahlen werden bei Eintritt in die Linse und beim Austritt aus der Linse gebrochen. Wenn die Dicke einer Linse sehr klein gegenüber dem Radius ihrer Kugeloberlächen ist, bezeichnen wir solche Linsen als dünne Linsen. Für dünne Linsen kann die doppelte Brechung durch eine einmalige Brechung an der sogenannten Hauptebene vereinacht angenommen werden. Die Hauptebene verläut senkrecht zur optischen Achse. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegt der Linsenmittelpunk in der Hauptebene. Der Abstand des Gegenstandes zur Hauptebene der Linse wird Gegenstandsweite g genannt. Die Gegenstandweite g hat von der Linse aus nach links positives Vorzeichen. Der Abstand des Bildes zur Hauptebene der Linse wird Bildweite b genannt. Die Bildweite b hat von der Linse aus nach rechts positives Vorzeichen. Der Krümmungsradius r der Linse ist ebenalls eine vorzeichenbehatete Größe. Er hat positives Vorzeichen, wenn der Mittelpunkt M der Krümmung rechts von der gegrümmten Fläche liegt und er hat negatives Vorzeichen wenn der Mittelpunkt M der Krümmung links von der gekrümmten Fläche liegt. Der Radius der gekrümmte Fläche au welche das Licht als erstes autrit erhält den Index. Um die Abbildungen von Linsen mathematisch behandeln zu können, müssen wir zunächst alle beteiligten Längen, wie beim Spiegel, mit entsprechenden Vorzeichen versehen. Die obigen Annahmen und Begrie sind in der Abbildung 2 beispielhat an einer bikonvexen Linse augezeigt. 2 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

3 Hauptebene der Linse Mittelpunkt der Linse r 2 < 0 optische Achse M r > 0 M positive Richtung ür g positive Richtung ür b Abbildung 2: Größen und Vorzeichenregeln bei einer Linse. Eine sehr wichtige Größe bei Linsen ist die Brennweite. Dies ist der linke und rechte Abstand zwischen der Hauptebene der Linse und dem Fokus der Linse, auch Brennpunkt genannt. Darau werden wir in Kapitel 3 noch genau eingehen. Der gegenstandseitige und bildseitige Brennpunkt liegen immer au der optischen Achse. Hauptebene der Linse Mittelpunkt der Linse optische Achse gegenstandsseitiger Brennpunkt F bildseitiger Brennpunkt F Abbildung 3: Lage der Brennpunkte F und F und Größe der Brennweite bei einer Linse. Der Wert der Brennweite können wir aus den Krümmungsradien (r und r 2 ) und dem Brechnungsindex n L der Linse bestimmen. Nach einer etwas auwendigerern Berechnung ergibt sich ür die Brennweite: ( = (n L ) ) r r 2 n L ist in der obigen Gleichung der Brechungsindex des Materials der Linse. () Eine Linse hat nur einen Wert ür ihre Brennweite. Die Brennweite inden wir au beiden Seiten der Linse und sie hat au beiden Seiten den gleichen Wert und gleiches Vorzeichen, auch wenn die Linse au beiden Seite einen unterschiedlichen Krümmungsradius besitzt. 3 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

4 Beispiel Wie groß ist die Brennweite einer Bikonvexlinse mit einem beidseitigen betragsgleichen Krümmungsradius von r, wenn n L =, 5 ist. Zur Lösung dieser Augabe hilt uns die Gleichung. Um die Gleichung anzuwenden, müssen wir zunächst erkennen das wir ür r = r und ühr r 2 = r einsetzen müssen. Diese Vorzeichen ergeben sich aus der Annahme, dass es sich um eine Bikonvexlinse handelt. Wir erhalten dann: ( = (n L ) ) r r 2 ( [ = (, 5 ) r ]) r = r = 0, 5 2 r = r Die Brennweite hat den Betrag des Krümmungsradius, daher liegt der Brennpunkt dieser Linse im Krümmungsmittelpunkt. Beispiel 2 Es soll die Brennweite einer Plankonvexlinse mit einem Krümmungsradius von r = 00 mm als auch die Brennweite einer Bikonvexlinse mit einem beidseitigen Krümmungsradius von r = 00 mm berechnet werden. Der Brechungsindex des Linsenmaterials ist in beiden Fällen n L =, 5. Um ein besseres Verständnis zur Lösung dieser Augabe zu erhalten, zeichnen wir zunächst skizzenhat beide Linsen. Lichteinall Hauptebene der Linse Lichteinall r 2 < 0 r 2 < 0 a) Plankonvex r < 0 b) Bikonvex Abbildung 4: Skizze der beiden Linsen mit Hauptebene, Brennpunkten und Brennweiten. Zur Lösung dieser Augabe hilt uns wieder Gleichung. Für die Plankonvexlinse mit dem Brechungsindex n L =, 5 ist der Radius r = und r 2 = 00 mm 4 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

5 (Vorzeichen beachten!). Mit diesen Angaben können wir die Brennweite berechnen: ( = (n L ) ) r r 2 ( [ = (, 5 ) ]) = 0, 5 00 mm 00 mm = 200 mm = 200 mm Für die Bikonvexlinse mit dem Brechungsindex n =, 5 ist der Radius r = 00 mm und r 2 = 00 mm (Vorzeichen beachten!). Mit diesen Angaben berechnen wir ür Brennweite : ( = (n L ) ) r r 2 ( [ = (, 5 ) 00 mm ]) 2 = 0, 5 00 mm 00 mm = 00 mm = 00 mm Abhängig von den Vorzeichen der beiden Krümmungsradien r und r 2 lieert uns die Gleichung einen positiven oder einen negativen Wert ür die Brennweite. Augrund des Vorzeichens der Brennweite kann man daher die Linsen wieder in die beiden schon bekannten Gruppen einteilen: Linsen mit positiver Brennweite werden Sammellinsen oder Konvexlinsen genannt. Linsen mit negativer Brennweite werden Zerstreuungslinsen oder Konkavlinsen genannt. Wir werden im nächsten Kapitel noch genauer die einzelnen Gruppen betrachten. Abschließend sei noch erwähnt, dass der Kehrwert der Brennweite als Brechkrat D einer Linse deiniert ist: D = (2) Die Maßeinheit ür die Brechkrat D ist die Dioptrie. Es gilt: dpt = m (3) 5 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

6 Beispiel Das menschliche Auge ist im Normalzustand so eingestellt, dass man in der Ferne schar sieht. Bei Personen die einen zu langen Augapel besitzen, wird aber dadurch das Bild nicht schar au der Netzhaut abgebildet. Solche Personen brauchen eine Sehhile um weit enternte Objekte schar sehen zu können. In erster Näherung können wir das menschliche Auge einach als eine einzige Sammellinse betrachten. Die Augabe dieser Linse ist es daür zu sorgen, dass ein schares Bild au der dahinter liegenden Netzhaut abgebildet wird. Die Linse hat eine Brechkrat von D L = 60 dpt. Nehmen wir an, der Augapel ist x = 2 mm zu lang. Welche Brechkrat muss die Sehhile haben, damit die Person weit enternte Gegenstände schar sieht? Da die Gegenstände sehr weit enternt sind, entspricht der Abstand der Linse zur Netzhaut der Brennweite L ( warum das so ist siehe Kapitel 3..). Es gilt: L = D L = 60 dpt = 60 m = 62 3 mm In unserem Beispiel ist aber die Netzhaut um x = 2 mm weiter von der Linse enternt. Daher haben wir es mit einem Abstand zwischen Linse und Netzhaut von A = L + x = 6 2 mm + 2 mm = 8 2 mm zu tun. Um bei diesem Abstand ein 3 3 schares Bild au der Netzhaut zu erzeugen bedar es daher einer Gesamtbrechkrat D G von: D G = A = = 53, 6 dpt mm Das Gesamtsystem bestehend aus Augenlinse und Sehhile muss also eine Brechkrat von D G = 53, 6 dpt auweisen. Mit der Brechkrat der Augenlinse D L = 60 dpt können wir die Brechkrat D B der Sehhile berechnen: D G = D L + D B D B = D G D L = 53, 6 dpt 60 dpt = 6, 4 dpt Die Brechkrat der Sehhile ist negativ. Es handelt sich daher um eine Zerstreuungslinse. 6 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

7 3 Abbildungen von dünnen Linsen In der geometrischen Optik ist die Brennweite einer Linse ür die Konstruktion bzw. die Berechnung der Abbildung eines Gegenstandes durch die Linse unverzichtbar. Ist die Brennweite einer Linse bekannt, braucht man sich keine Gedanken um die einzelnen Krümmungsradien der Linse zu machen. Es ist z.b. bei einer Plankonvexlinse völlig unerheblich ob das Licht zuerst au der plane Seite oder au der konvexen Seite einällt. 3. Strahlengang Die Lichtstrahlen werden beim Durchgang durch eine Linse wegen der Lichtbrechung an der Oberläche der Linse abgelenkt. Wichtige Erkenntnisse bezüglich der Ablenkung lieern Strahle welchen parallel zur optischen Achse verlauen. 3.. Strahlengang durch Sammellinsen Lassen wir daher parallel zur optischen Achse verlauende Lichtstrahlen zunächst au eine Sammellinse allen und schauen uns die Ablenkung dieser Strahlen nach dem Durchgang durch die Linse an. Hauptebene der Linse optische Achse bildseitiger Brennpunkt F Abbildung 5: Verlau von achsenparallelen Strahlen bei einem Durchgang durch eine Sammellinse. Die Abbildung 5 zeigt, dass die einallenden Strahlen durch eine Sammellinse so abgelenkt werden, dass sie au der gegeüberliegenden Seite der Linse durch einen Punkt gehen und danach wieder auseinander streben. Dieser Punkt wird wie schon erwähnt, als bildseitiger Brennpunkt F bezeichnet. Die Enternung des Brennpunktes zur Hauptebene der Linse ist die schon im vorangegangen Kapitel besprochene Brennweite der Linse. 7 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

8 Auch vor der Linse gibt es im Abstand der Brennweite einen gegenstandsseitigen Brennpunkt F. Die Lichtstrahlen einer punktörmigen Lichtquelle im gegenstandsseitigen Brennpunkt F verlauen nach dem Durchgang durch die Linse parallel zur optischen Achse. Hauptebene der Linse optische Achse gegenstandseitiger Brennpunkt F Abbildung 6: Verlau der Lichtstrahlen einer punktörmigen Lichtquelle im Brennpunkt vor der Linse Strahlengang durch Zerstreuungslinsen Mit Zerstreuungslinsen können wie der Name schon vermuten lässt, keine Lichtstrahlen gebündelt werden. Fallen parallel zur optischen Achse verlauen Lichtstrahlen au eine Zerstreuungslinse, werden diese Strahlen natürlich auch gebrochen und ändern ihre Ausbreitungsrichtung. Nach der Linse verlauen solche Strahlen derart, als ob sie ihren Ursprung im Brennpunkt vor der Linse hätten. Hauptebene der Linse optische Achse gegenstandseitiger Brennpunkt F Abbildung 7: Verlau von achsenparallelen Strahlen bei einem Durchgang durch eine Zerstreuungslinse. 8 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

9 Wenn die Lichtstrahlen so au die Linse einallen, dass sie sich im Brennpunkt hinter der Linse vereinigen würden, werden sie durch die Linse ebenalls gebrochen. Sie verlassen dann als parallel zur optischen Achse verlauende Strahlen (siehe Abbildung 8) die Linse. Hauptebene der Linse optische Achse bildseitiger Brennpunkt F Abbildung 8: Verlau von Strahlen bei einem Durchgang durch eine Zerstreuungslinse. 9 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

10 3.2 Abbildung von ausgedehnten Gegenständen 3.2. Vorzeichenvereinbarung In Kapitel 2 haben wir schon ein paar Regeln ür die Vorzeichen der Größen vereinbart. Wir greien nun diese Regeln wieder au und ergänzen sie: Unabhängig von der Art der Linse wird in den Zeichnung der Betrag der Brennweiten eingezeichnet. Die Gegenstandgröße G wird von der optischen Achse aus nach oben positiv vereinbart. Die Bildgröße B wird von der optischen Achse aus nach oben positiv vereinbart. Die Gegenstandsweite g wird von der Hauptebene der Linse aus, nach links positiv vereinbart. Die Bildweite b wird von der Hauptebene der Linse aus, nach rechts positiv vereinbart. Schauen wir uns die obigen Vereinbarungen der Vorzeichen in der nacholgende Abbildung an. +g +G +B +b +g +G +B +b F F F F Abbildung 9: Vorzeichenvereinbarung Reelle und virtuelle Bilder Reelle Bilder und virtuelle Bilder haben wir schon bei der Relexion des Lichtes kennengelernt. Bei der Abbildung von ausgedehnten Gegenständen durch Linsen tauchen die Begrie wieder au. Es schadet sicherlich nicht, wenn wir uns nochmal die Unterschiede zwischen beiden Bildarten ins Gedächtnis ruen: Reelle Bilder: Bei einem reellen Bild vereinigen sich die von einem Objekt ausgehenden Lichtstrahlen wieder am Ort des Bildes. Wenn sich am Ort des reellen Bildes ein Schirm (z.b. ein Blatt Papier) beindet, dann kann das Bild sichtbar 0 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

11 gemacht werden. Fehlt der Schirm, so gehen die Lichtstrahlen wieder auseinander. Virtuelle Bilder: Ein virtuelles Bild kann an dem Ort, an dem es erscheint, nicht au einem Schirm abgebildet werden. Für unser Auge scheinen die Lichtstrahlen vom Ort des virtuellen Bildes her zu kommen, obwohl von diesem Ort keine Lichtstrahlen ausgehen Bildkonstruktion bei Sammellinsen Die in Kapitel 3.. besprochenen Strahlenverläue von parallelen Strahlen und Brennpunktstrahlen durch die Linse können genutzt werden, um das Bild eines Gegenstandes sehr einach zeichnerisch zu konstruieren. +g +b +G 3 F F 2 B Abbildung 0: Bildkonstruktion bei einer Sammellinse. Die Bildkonstruktion bei einer Sammellinse erolgt sehr einach mit der Hile von zwei der drei besonderen Strahlen, wie sie in Abbildung 0 zu sehen sind. Der Parallelstrahl au der Gegegenstandsseite der Linse wird nach dem Durchgang durch die Linse zum Brennpunktstrahl und geht durch den bildseitigen Brennpunkt F. Der Brennpunktstrahl 2 durch den Brennpunkt F au der Gegegenstandsseite verläut nach dem Durchgang durch die Linse parallel zur optischen Achse. Der Hauptsstrahl 3 geht unabgelenkt durch die Linsenmitte. Mit nur zwei von den drei oben erwähnten Strahlen ist eine Bildkonstruktion immer möglich. Der Schnittpunkt der abgelenkten Strahlen bzw. ihre rückwärtigen Verlängerungen ergeben den Bildpunkt. Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

12 Leider ist die Lage des Bildes, also au welcher Seite der Linse sich das Bild beindet, als auch die Größe des Bildes bei der Sammellinse von der Gegenstandsweite g abhängig und ührt manchmal zu vielleicht unerwarteten Ergebnissen was Lage oder Art des Bildes betrit (siehe Abbildung ). a b c d e F F Abbildung : Bildkonstruktion bei einer Sammellinse mit Hile des Parallelstrahls und des Mittelpunktstrahls bei unterschiedlichen Gegenstandsweiten g. Wenn wir den Gegenstand in verschiedenen Enternungen g vor die Sammellinse setzten, dann ergeben sich nach der Abbildung olgende Möglichkeiten: Fall Lage des Gegenstandes Lage des Bildes Art des Bildes a g > 2 2 > b > reell, umgekehrt,verkleinert b g = 2 b = 2 reell, umgekehrt, gleich groß c 2 > g > b > 2 reell, umgekehrt, vergrößert d g = b = virtuell, aurecht, vergrößert e g < b < 0 virtuell, aurecht, vergrößert Tabelle : Mögliche Bilder bei einer Sammellinse. Anwendung Fotoapparat Umkehrlinse im Fernrohr Overheadprojektor Mikroskop, Lupe 2 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

13 3.2.4 Bildkonstruktion bei Zerstreuungslinsen Für die Bildkonstruktion bei einer Zerstreuungslinse nutzen wir die in Kapitel 3..2 schon besprochenen Strahlenverläue. +G 3 +B F 2 F b +g Abbildung 2: Bildkonstruktion bei einer Zerstreuungslinse. Auch bei einer Zerstreuungslinse ist die Bildkonstruktion mit nur zwei von den drei nacholgend erwähnten Strahlen immer möglich (siehe Abbildung 2). Der Parallelstrahl wird nach dem Durchgang so abgelenkt, dass seine rückwärtige Verlängerung durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt F geht. Der Brennpunktstrahl 2 zum gegenüberliegenden Brennpunkt F wird an der Linse so gebrochen, dass er parallel zur optischen Achse verläut. Zur Bildermittlung muss dieser parallele Strahl rückwärtig verlängert werden. Der Hauptstrahl 3 geht unabgelenkt durch die Linsenmitte. Eine Zerstreuungslinse lieert von einem Gegenstand stets ein virtuelles, aurechtes und verkleinertes Bild! 3 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

14 3.3 Abbildungsmaßstab und Abbildungsgleichung Im vorherigen Kapitel wurde die zeichnerische Bildkonstruktion ür Sammellinsen und Zerstreuungslinsen ausgiebig dargelegt. Natürlich ist es auch au rechnerischem Wege möglich die Größe und Lage der Abbildung von ausgedehnten Gegenständen zu erhalten. Dazu ist es von größter Wichtigkeit, dass wir die Vorzeichenvereinbarungen aus Kapitel 3.2. stets beachten und anwenden Der Abbildungsmaßstab Die Formel ür den Abbildungsmaßstab β kann man sehr leicht bei der zeichnerischen Bildkonstruktion erkennen. Dabei hilt uns die Ähnlichkeit von Dreiecken. Für diejenigen die damit nicht allzu viel anangen können hier eine kurze Deinition: Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn die entsprechenden Seiten gleiche Streckenverhältnisse bilden und die einander entsprechenden Winkel gleich groß sind. Noch kürzer ausgedrückt, zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Wenn wir uns die Bildkonstruktion in Abbildung 3 genauer ansehen, dann entdecken wir zwei ähnliche Dreiecke (die beiden grauen Dreiecke!). +g +b +G F F B Abbildung 3: Zur Herleitung des Abbildungsmaßstabes bei einer Sammellinse. Laut obiger Deinition sind die Streckenverhältnisse bei diesen beiden Dreiecken gleich. Mit diesem Wissen können wir nun die Gleichung ür den Abbildungsmaßstab β austellen: β = G B = g b (4) Die Formel ür den Abbildungsmaßstab gilt immer, völlig unabhängig wie groß die Gegenstandsweite g ist und unabhängig von der daraus resultierenden Lage des Bildes. Sie gilt auch ür Zerstreuungslinsen. Dass auch diese letzte Aussage stimmt, schauen wir uns aber lieber in der Abbildung 4 nochmal genauer an. 4 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

15 +g +G +B F F b Abbildung 4: Zur Herleitung des Abbildungsmaßstabes bei einer Zerstreuungslinse. Auch hier gibt es zwei ähnliche Dreiecke (das grau hinterlegte und das blau schraierte Dreieck). Bei beiden gilt das gleiche Verhältnis der Seiten und wir erhalten ür die Zerstreuungslinse ebenalls die schon bekannte Gleichung ür den Abbildungsmaßstab: β = G B = g b (5) Unabhängig davon, ob es sich um eine Zerstreuungslinse oder ein Sammellinse handelt, gilt ür den Abbildungsmaßstab β von dünnen Linsen die Gleichung: β = G B = g b (6) 5 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

16 Beispiel Mit einem Diaprojektor (wer so was nicht kennt, soll mal danach googlen) können Dias mit einer Höhe von 24 mm mit Hile einer Sammellinse au einer Leinwand abgebildet werden. Die Abbildung soll eine Höhe von, 2 m haben und die Linse ist vom Dia 0 cm enternt. Wie weit ist dann die Linse von der Leinwand enternt? Sortieren wir zunächst mal alle Angaben aus dem Text nach gegebenen Größen und nach gesuchter Größe. Die Gegenstandshöhe ist G = 24 mm. Die Dias stehen umgekehrt vor der Linse. Dadurch ist das Bild aurecht. Daher hat die Gegenstandshöhe ein negatives Vorzeichen. Die Bildhöhe ist B =, 2 m. Die Gegenstandsweite ist g = 0 cm. Gesucht ist die Bildweite b. Wir setzten zunächst alle gegebenen Größen in die Gleichung 4 ein: 24 mm, 2 m G B = g b = 0 cm b In dieser Gleichung haben wir es nur mit Längen zu tun. Leider haben sie alle unterschiedliche Einheit. Der erste Schritt zur Lösung ist daher zunächst alle Längen umzuwandeln, damit sie alle die gleiche Einheit besitzen. Wenn wir uns ür die Einheit Meter entscheiden erhalten wir: m, 2 m = m b = m b b = m b = 0, 5 0 m b = 5 m Abbildungsgleichung Die Abbildungsgleichung ist eine sehr wichtige Gleichung. Durch sie sind die Brennweite, Gegenstandsweite g und Bildweite b miteinander verknüpt. Sie ergibt sich durch die Ähnlichkeit von Dreiecken. Betrachten wir dazu zunächst die nacholgende Abbildung mit der schon bekannten Bildkonstruktion bei einer Sammellinse. In der Abbildung 5 sind wieder zwei ähnliche Dreiecke grau hinterlegt. Die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke haben das gleiche Verhältnis. 6 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

17 +g +b +G F F B g Abbildung 5: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung bei einer Sammellinse. Daher können wir schreiben: G g = B Wir ormen diese Gleichung als Erstes so um, dass die Gegenstandsweite G und die Bildweite B au einer Seite der Gleichung stehen: G B = g Dann ersetzen wir die linke Seite der Gleichung mit Hile des Abbildungsmaßstabes (siehe Gleichung 6): g b = g g b = g (g ) b = g g b b = g g b = (g + b) = g + b g b = g + b Diese Gleichung gilt auch ür Zerstreuungslinsen. Wir können uns davon in Abbildung 6 überzeugen. Auch in diesem Fall gibt es zwei ähnliche Dreiecke (das grau hinterlegte und das blau schraierte Dreieck). Die entsprechenden Seiten der beiden Dreiecke haben das gleiche Verhältnis. (7) 7 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

18 +g +G +B F F b Abbildung 6: Zur Herleitung der Abbildungsgleichung bei einer Zerstreuungslinse. Wichtig in diesem Zusammenhang ist es daran zu denken, dass die Brennweite ein negatives Vorzeichen hat. Mit diesem Wissen können wir schreiben: G g = B G B = g Dann ersetzen wir wieder die linke Seite der Gleichung mit Hile des Abbildungsmaßstabes (siehe Gleichung 6): g b = g g b = g g = (g ) b g = g b b (g + b) = g b = g + b g b = g + b (8) 8 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

19 Unabhängig davon, ob es sich um eine Zerstreuungslinse oder eine Sammellinse handelt, lautet die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse: = g + b (9) Beispiel Eine Glühlampe steht im Abstand d = 5 m vor einer weißen Wand. Mit einer Sammellinse der Brechkrat D = 20 dpt soll ein Bild der Lampe au der Wand entstehen. 9 Wie groß sind Gegenstandsweite g und Bildweite b einzustellen? Welcher Abbildungsmaßstab ergibt sich? Achtung: Es gibt zwei Möglichkeiten ür diese Abbildung. Es ist in den meisten Fällen von Vorteil, dass wir uns zuerst eine kleine Skizze des Sachverhaltes anertigen und alle gegebenen und gesuchten Größen eintragen. F F g d b Abbildung 7: Skizze mit den gegebenen und gesuchten Größen. Wir haben zwei unbekannte Größen, nämlich g und b. Also brauchen wir ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in dem die beiden Größen als unbekannte Größen enthalten sind. Die Abbildungsgleichung lieert uns unsere erste Gleichung: D = = g + b Die zweite Gleichung ergibt sich aus der Betrachtung der Abstände: d = g + b 9 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

20 Die letzte Gleichung lösen wir nun nach b = d g au und setzten sie in die Abbildungsgleichung ein: D = g + (d g) (d g) + g = g (d g) = d g d g 2 Durch etwas Umormen erhalten wir die quadratische Gleichung: g 2 d g = d D Mit Hile der quadratische Ergänzung gelangen wir zur Lösung: ( g d ) 2 ( ) 2 d = d 2 2 D ) 2 ( d g /2 = ± d 2 D + d 2 Setzten wir nun unsere Werte der Größen ein, so erhalten wir ür die erste Lösung: ( 5 m ) 2 g = 2 5 m m 2 9 m 25 = 4 m m2 + 5 m 2 25 = 4 m2 9 4 m2 + 5 m 2 6 = 4 m2 + 5 m 2 = 4 2 m m g = 4 2 m Für die zweite Lösung ergibt sich: ( 5 m g 2 = 2 = 4 2 m m g 2 = 2 m ) 2 5 m 20 9 m + 5 m 2 20 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

21 Für die Gegenstandsweiten g = 4 m und g 2 2 = m ergeben sich mit der Gleichung 2 b = d g olgende Bildweiten: b = 2 m b 2 = 4 2 m Für den Abblidungsmaßstab ergibt sich im ersten Fall: Und ür den zweiten Fall erhalten wir: β == b g = 0, 5 m 4, 5 m = 9 β 2 = b 2 g 2 4, 5 m 0, 5 m = 9 Beispiel 2 Eine bikonkave Linse aus Glas mit der Brechzahl n = 4 hat Krümmungsradien mit 3 dem Betrag r = m und r 3 2 = m. Ein Gegenstand beindet sich links von ihr 4 60, 0 cm weit enternt. Folgende Größen sollen nun von uns berechnet werden: Die Brennweite der Linse. Die Bildweite. Den Abbildungsmaßstab. Ist das Bild reell oder virtuell? Steht es aurecht oder ist es umgekehrt? Beginnen wir mit der Brennweite. Wir können sie mit Hile von Gleichung berechnen. Hier gibt es gleich die erste Stolperalle. Da im Text von einer bikonkaven Linse die Rede ist, müssen wir daher in die Gleichung ür den Radius r den negativen Wert einsetzen. Wem dies noch nicht klar ist, sollte nochmal in Kapitel 2 nachlesen. ( = (n ) ) ( ) ( 4 = r r 2 3 = 3 ( 3 m 4 m ) = 7 3 m = 3 7 m m 3 Da wir die Brennweite berechnet haben und die Gegenstandsweite g im Text 4 m ) 2 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

22 angegeben ist, können wir mit Gleichung 9 die Bildweite b berechnen: = g + b b = g = 3 m 60 cm = 3 m 6 m = 7 3 m 0 6 m b = 4 6 m 0 6 m = 24 = 4 m 6 m b = 4 m Den Abbildungsmaßstab können wir nun mit Gleichung 6 leicht berechnen: β = g b = 6 0 m 4 m β = 24 0 = 2, 4 Das positive Vorzeichen des Abbildungsmaßstabes β zeigt an, dass das Bild aurecht ist. Das negative Vorzeichen der Bildweite b zeigt an, dass sich das Bild au der Gegenstandsseite der Linse beindet und daher virtuell ist. Wir erinnern uns, dass konkave Linsen nur virtuelle Bilder erzeugen können. 22 Autor: Dipl. Ing. (FH) Michael Schmidt Version: 8. Oktober 208

23 Index Bild, reell, 0 Bild, virtuell, 0 Bildweite, 2 Brechkrat, 5 Brennpunkt, 3, 7 Brennweite, 3, 7 Dioptrie, 5 Fokus, 3 Gegenstandsweite, 2 Hauptebene, 2 konkav, Konkavlinse, Konkavlinsen, 5 konvex, Konvexlinse, Konvexlinsen, 5 Linse, dünn, 2 optische Achse, 2 Sammellinsen,, 5 sphärische Linsen, Zerstreuungslinsen,, 5