LS7. Geometrische Optik Version vom 24. Januar 2019

Transkript

1 Geometrische Optik Version vom 24. Januar 2019

2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen Linsen Bildkonstruktion (dünne Linsen) Besselverfahren Aufgabenstellung Versuchsaufbau und Durchführung

3 Inhaltsverzeichnis Lehr/Lernziele Dieses Prakikumsexperiment bringt Ihnen die Grundlagen der geometrischen Optik anhand einfacher Konvex- bzw. Konkavlinsen und Linsensysteme näher. So soll durch Manipulieren von Gegenstands- und Bildweite die Brennweite und die Brechkraft von Linsen mit der Linsengleichung bestimmt werden. Dazu lernen Sie verschiedene Verfahren kennen, insbesondere das Besselverfahren und die Brennweitenbestimmung von Konkavlinsen mit Abbildungsoptik. Erlernen der Grundlagen der geometrischen Optik Einfache Abbildungen mit Konvexlinsen aufbauen lernen Verwenden einfacher Konkav- und Konvex- Linsensysteme Grundlegendes Verständnis von Strahlengängen durch dünne Linsen erwerben Strahlengänge konstruieren üben Berechnen von Bild- und Gegenstandsweiten und Brennweiten-Bestimmung mit Hilfe der Linsengleichung erlernen Brechkraft von Linsen berechnen Brennweitenbestimmung durch das Besselverfahren Den Unterschied zwischen reellen und virtuellen Abbildungen lernen und am Experiment erfahren - 1 -

4 1.1 Grundlagen Die geometrische Optik oder Strahlenoptik behandelt die geradlinige Ausbreitung des Lichtes in eng begrenzten Lichtbündeln. In der Strahlenoptik drückt sich die Wechselwirkung zwischen dem Licht und der Materie, die ihm auf seinem Weg begegnet, lediglich in Richtungsänderungen (Reexion, Brechung) der Lichtstrahlen aus. Alle Strahlengänge lassen sich durch das Reexionsgesetz und das Brechungsgesetz erklären. Alle auftretenden Winkel in diesen Gesetzen werden immer zum Einfallslot gemessen (Abb. 1) Lot Medium 1 Medium 2 α α r n 1 n 2 β Abbildung 1: Reexion und Brechung Der Einfallswinkel α eines Lichtstrahls ist gleich dem Reexionswinkel α r, wobei einfallender Strahl, reektierter Strahl und Lot in einer Einfallsebene liegen. (Das Reexionsgesetz gilt auch dann, wenn die reektierende Oberäche unregelmäÿig ist. Parallele Strahlen werden an ihr dius, d.h. in alle Richtungen reektiert. Dabei genügt jeder Strahl für sich dem Reexionsgesetz.) Das Brechungsgesetz besagt, dass das Verhältnis von sin α (Einfallswinkel α) zu sin β (Brechungswinkel β) konstant und gleich dem Quotienten der Lichtgeschwindigkeiten c 1 c 2 in den angrenzenden Medien ist. Dieser Quotient wird mit n 21 bezeichnet, und heiÿt Brechungsindex (Brechzahl) für den Übergang von Medium 1 (Brechzahl n 1 ) in das Medium 2 (Brechzahl n 2 ). Es gilt: sin α sin β = c 1 = n 21 = n 2 (1.1) c 2 n 1-2 -

5 Es gilt daher: Ein von einem optisch dünneren in ein optisch dichteres Medium übergehender Lichtstrahl wird zum Lot gebrochen, ein von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium übergehender Lichtstrahl wird vom Lot weg gebrochen. Sehen Sie sich dazu das Applet Reexion und Brechung von Licht auf der elearning Seite des Praktikums an Das Brechungsgesetz lässt sich aus dem Fermat'schen Prinzip oder dem Huygens-Fresnel- Prinzip herleiten. Sehen Sie sich dazu das Applet Reexion und Brechung von Lichtwellen (Erklärung durch das Prinzip von Huygens) auf der elearning Seite des Praktikums an Linsen Eine Linse ist ein optisches System, das aus mindestens zwei brechenden Grenzächen besteht (Abb. 2), wobei zumindest eine von ihnen eine Krümmung besitzt. Bei sphärischen Linsen sind die Begrenzungsächen Teile von Kugelächen. Strahlen, die durch eine Linse hindurchtreten, werden zweimal gebrochen. In jedem Fall gilt das Brechungsgesetz - Denken Sie anhand von Abb. 2 die Richtungen der gebrochenen Strahlen noch einmal Schritt für Schritt durch! - 3 -

6 Abbildung 2: Strahlengang durch eine dicke Linse In Abb. 2 bedeuten F 1 und F 2 die Brennpunkte der Linse, f 1 und f 2 sind die zugehörigen Brennweiten und mit H 1 und H 2 bezeichnet man die für eine vereinfachte Bildkonstruktion benötigten Hauptebenen, deren Abstand h (Hauptebenenabstand) ist. G und B sind Gegenstands- bzw. Bildgröÿe und g bzw. b sind Gegenstands- und Bildweite. Bei der Konstruktion von Strahlengängen in dünnen Linsen fasst man beide Brechungen zu einer in der Hauptebene (Hauptebenenabstand h = 0) erfolgenden zusammen. Alle Abstände (f 1, f 2, g, b) sind auf diese Hauptebene bezogen. Konvexlinsen (Sammellinsen) sind durch zwei Kugelächen so begrenzt, dass sie in der Mitte dicker als am Rand sind. Parallel zur optischen Achse 1 durch eine Konvexlinse tretenden Strahlen werden im Brennpunkt F gesammelt. Sein Abstand von der Linse ist die Brennweite f. Konkavlinsen (Zerstreuungslinsen) sind durch zwei Kugelächenausschnitte so begrenzt, dass sie in der Mitte dünner als am Rand sind. Parallel zur optischen Achse durch eine Konkavlinse tretende Strahlen werden so gebrochen, als kämen sie von einem vor der Linse liegenden Brennpunkt F. Sein Abstand von der Linse ist die (negative) Brennweite f. 1 In der geometrischen Optik wird als optische Achse jene Gerade durch den Mittelpunkt der Linse (od. ähnl.) verstanden, welche die Verbindungslinie der Krümmungsmittelpunkte der brechenden Flächen darstellt

7 1.1.2 Bildkonstruktion (dünne Linsen) Von jedem Punkt eines leuchtenden (oder beleuchteten) Gegenstandes gehen in alle Richtungen Lichtstrahlen aus. Von drei ausgezeichneten Strahlen kann sofort angegeben werden, wie sie in einer Linse gebrochen werden (Abb. 3 und Abb. 4) Diese Strahlen sind: der Parallelstrahl, der nach dem Linsendurchgang zum Brennpunktstrahl wird der Brennpunktstrahl, der nach dem Linsendurchgang zum Parallelstrahl wird der Mittelpunktstrahl, der ohne Richtungsänderung durch die Linse geht Zur Bildkonstruktion benötigt man mindestens zwei dieser ausgezeichneten Strahlen. Abbildung 3: Bildkonstruktion einer Konvexlinse Abbildung 4: Bildkonstruktion einer Konkavlinse - 5 -

8 In Abb. 3 und Abb. 4 bezeichnet G den Gegenstand (Gegenstandsgröÿe), B ist das Bild (Bildgröÿe), g ist die Gegenstandsweite (Abstand von Gegenstand und Hauptebene) und b die Bildweite (Abstand von Bild und Hauptebene). b bezeichnet man als negativ, wenn das Bild auf der selben Seite wie der Gegenstand (Abb. 4) liegt. Ist das der Fall, so kann man das Bild nicht (ohne zusätzliche Abbildungsoptik) auf einem Schirm abbilden, es wird als virtuell bezeichnet. Abbildung 5: Berechnung der Abbildungsgleichung Für die Konvexlinse gilt: Je nach Platzierung des Gegenstandes ergeben sich verschiedene Bilder. Ist die Gegenstandsweite g gröÿer als die doppelte Brennweite 2f ergibt sich ein reelles, verkleinertes und verkehrtes Bild (g > 2f). Bendet sich der Gegenstand auf exakt auf der doppelten Brennweite wird ein reelles gleich groÿes und verkehrtes Bild erzeugt (g = 2f). Ein Gegenstand der zwischen der einfachen und doppelten Brennweite f < g < 2f gestellt wird, erzeugt ein reelles vergröÿertes und verkehrtes Bild. Wird der Gegenstand im Brennpunkt F platziert, so ergibt sich kein Bild, da die Konstruktion durch Hauptstrahlen zu keinem Schnittpunkt führt. Wenn der Gegenstand zwischen Linse und Brennpunkt gebracht wird (g < f) ergibt sich ein Bild, dass gröÿer ist als der Gegenstand, aufrecht und virtuell ist (d.h. keine Schnittpunkte realer Lichtstrahlen). Mit Hilfe der aufgezeichneten Strahlen lässt sich die Abbildungsgleichung für Linsen auf einfache Weise ermitteln (Abb. 5). Der Abbildungsmasstab (die Vergröÿerung) V ergibt sich aus dem Verhältnis von Bildgröÿe - 6 -

9 zur Gegenstandsgröÿe: V = B G (1.2) Aus den ähnlichen Dreiecken erkennt man die Beziehung G B = (g f) f = g b (1.3) Nach Division durch g und entsprechender Umformung ergibt sich daraus die Abbildungsgleichung für Linsen 1 f = 1 g + 1 b (1.4) Bilder mit positiver Bildweite nennt man reell, Bilder mit negativer Bildweite nennt man virtuell. Im Experiment können nur reelle Bilder auf einem Schirm aufgefangen werden. Um virtuelle Bilder beobachten zu können, benötigt man eine zusätzliche Optik, z.b. die Kristalllinse des Auges oder ein Objektiv. Die Gröÿe 1 wird als Brechkraft der Linse bezeichnet und in Dioptrien gemessen. Die f entsprechende Dioptrienzahl (m 1 ) errechnet sich aus der reziproken Brennweite in Metern. Für dünne Linsen hängt die Brechkraft von den Radien r 1 und r 2 der begrenzenden Flächen und den Brechzahlen des Linsenmaterials sowie der angrenzenden Medien ab. Für eine dünne Linse (Brechzahl n) in Luft beträgt die Brechkraft: 1 f ( 1 = (n 1) + 1 ) r 1 r 2 (1.5) Besselverfahren Die Brennweitenbestimmung nach der Bessel-Methode beruht auf der Tatsache, dass bei festem Abstand e zwischen Gegenstand und Schirm, zwei symmetrische Linsenstellungen scharfe reelle Bilder auf dem Schirm liefern, wenn e gröÿer als die vierfache Brennweite der Linse gewählt wird. In Stellung I nachfolgender Abbildung (Abb. 6) erhält man ein vergröÿertes, in Stellung II ein verkleinertes Bild des Gegenstandes

10 Abbildung 6: Zur Theorie des Besselverfahrens Aufgrund der Symmetrie der Linsenstellungen gilt für die Verschiebung d von Stellung I nach Stellung II: d = b 1 g 1 d = g 2 b 2 und (1.6) e = b 1 + g 1 e = g 2 + b 2 (1.7) Löst man diese Gleichungen nach g und b auf und setzt die entsprechenden Werte in die Linsengleichung (Abbildungsgleichung) ein, so erhält man f = 1 4 ) (e d2 e (1.8) - 8 -

11 1.2 Aufgabenstellung 1. Bestimmen sie die Brennweite einer Konvexlinse, a) indem Sie die Linse so vor dem Gegenstand positionieren, dass einmal ein vergröÿertes, verkehrtes Bild und einmal ein verkleinertes, verkehrtes Bild entsteht. b) nach dem Besselverfahren für mindestens 5 verschiedene Abstände e. 2. Bestimmen sie die Brennweite einer Konkavlinse und fertigen Sie eine Strahlengangskonstruktion zu diesem Experiment an. 3. Geben sie die Brechkraft der untersuchten Linsen in Dioptrien an. 1.3 Versuchsaufbau und Durchführung Stellen Sie auf einer optischen Bank Beleuchtung, Gegenstand (Strichmarken auf einer Mattglasscheibe) und einen optischen Schirm (Mattglasscheibe) mit Hilfe optischer Reiter auf. Justieren Sie dabei die einzelnen Komponenten der Anordnung so, dass die optische Achse durch die Linsenmitte geht. Für die Beleuchtung ist eine 6V-Spannungsversorgung notwendig. Verwenden Sie als Gegenstand die durchsichtige Scheibe mit den Pfeilen bzw. Strichmarken. (Im Prinzip könnte bei der Brennweitenbestimmung auch die Glühwendel der Beleuchtungseinheit als Gegenstand verwendet werden. Allerdings ist die Entfernung zwischen Wendel und Ablesungsmarke des optischen Reiters nur ungenau bestimmbar). Für die erste Aufgabe stellen Sie eine bestimmte Gegenstandsweite g ein und erzeugen ein scharfes Bild auf dem Schirm. Bestimmen Sie nun die Bildweite b und errechnen Sie f aus der Abbildungsgleichung. Messen Sie auch die Vergröÿerung um festzustellen, ob der Gegenstand auÿerhalb der doppelten Brennweite oder zwischen einfacher und doppelter Brennweite liegt. Je nachdem, welcher Fall es ist, ändern Sie die Gegenstandsweite so, dass der andere Fall eintritt. Probieren Sie auch, was passiert, wenn Sie den Gegenstand genau auf und innerhalb der einfachen Brennweite positionieren. Bestimmen Sie für die beiden Brennweiten die Messunsicherheit mit dem Gauÿ'schen Fehlerfortpanzungsgesetz unter Verwendung der Typ-B-Messunsicherheiten (Ablesegenauigkeit auf der optischen Bank). Bestimmen Sie im Anschluss die Brennweite der Konvexlinse mit Hilfe des Besselverfahrens indem Sie d und e messen und die Brennweite mit Hilfe von Gleichung 1.8 bestimmen. Die geforderten 5 verschiedenen Gegenstandsweiten erhalten Sie, indem Sie den Abstand e (vgl. Abb. 6) durch Verschieben der Schirmposition jedes Mal ändern. Bestimmen Sie die Messunsicherheit der Brennweite über die Auswertung der Stichprobe (Typ-A- Messunsicherheit)

12 Mit einer Konkavlinse alleine kann kein reelles Bild von einem Gegenstand erzeugt werden. Daher bestimmen Sie die Brennweite einer Konkavlinse durch Kombination mit einer Konvexlinse. Erzeugen Sie mithilfe der Konvexlinse auf dem Schirm ein scharfes verkleinertes Bild des Gegenstandes und bestimmen Sie Gegenstandsweite g 1 und Bildweite b 1. Bei unveränderter Stellung von Gegenstand und Konvexlinse bringen Sie nun die Konkavlinse zwischen Konvexlinse und Schirm ein. Der Abstand d zwischen den beiden Linsen kann willkürlich gewählt werden, da das Bild der Konvexlinse in jedem Fall innerhalb der einfachen Brennweite der Konkavlinse liegt. Durch Verschieben des Schirmes wird wieder eine scharfe (vergröÿerte) Abbildung erhalten und die Bildweite b 2 kann gemessen werden. Das ist möglich, weil der Konkavlinse ein virtueller Gegenstand = Bild der Konvexlinse zur Verfügung gestellt wird. Aus einem virtuellen Gegenstand erzeugt eine Konkavlinse nämlich ein reelles Bild. Die Gegenstandsweite g 2 lässt sich dadurch nicht direkt messen, wohl aber aus der Bildweite b 1 der Konvexlinse und d, dem Abstand zwischen Konvex- und Konkavlinse, errechnen (siehe Gleichung 1.9). Die Gegenstandsweite g 2 der Konkavlinse ergibt sich aus der Beziehung g 2 = (b 1 d) (1.9) Sie ist also der Abstand des Bildes der Konvexlinse (= virtueller Gegenstand der Konkavlinse) zur Konkavlinse. Das negative Vorzeichen kommt daher, dass der Gegenstand auf der Seite des Bildes liegt und daher virtuell ist. Die Brennweite der Konkavlinse erhält man wieder aus der Abbildungsgleichung für Linsen. Achten Sie beim Einsetzen in die Linsengleichung auf das richtige Vorzeichen von Bildbzw. Gegenstandsweiten. Bestimmen Sie die Messunsicherheit der Brennweite der Konkavlinse mit dem Gauÿ'schen Fehlerfortpanzungsgesetz unter Verwendung der Typ-B-Messunsicherheiten (Ablesegenauigkeit auf der optischen Bank). Konstruieren Sie den dazugehörigen Strahlengang per Hand auf Millimeterpapier maÿstabsgetreu