Teil 2: Graphenalgorithmen

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1 Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Minimal aufspannende Bäume Flüsse in Netzwerken Zusammenhangskomponenten M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

2 Definition: Topologische Sortierung () Eine Folge aller Knoten eines gerichteten Graphen G,,,, n heißt topologische Sortierung, falls für alle Knoten u, folgende Bedingung gilt: falls es einen Weg in G on u nach gibt, dann steht in der Folge u links on. Beispiel: Topologische Sortierung Anschaulich: Unter Einhaltung der Nachbarschaftsbeziehung lässt sich der Graph in eine lineare Kette so erbiegen, dass die Pfeile nur nach rechts gehen. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

3 Eigenschaften: Topologische Sortierung () Falls der Graph einen Zyklus enthält, dann existiert keine topologische Sortierung. Beispiel: Falls ein Graph topologisch sortiert werden kann, dann ist im allgemeinen die topologische Sortierung nicht eindeutig. Beispiele für Anwendungen: Stelle fest, ob es eine Durchführungsreihenfolge für die Aktiitäten oder auch Prozesse in einem Vorranggraphen gibt. Prüfe, ob Vererbungsgraph oder includegraph zyklenfrei ist. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

4 Topologische Sortierung () Idee: Speichere für jeden Knoten : indegree[] = Anzahl der noch nicht besuchten Vorgänger. Speichere alle Knoten, für die InDegree[] == gilt, in einer Schlange q. q enthält also alle Knoten, die als nächstes besucht werden dürfen. Besuche als nächstes den orderstes Knoten in der Schlange q und entferne ihn aus q. Algorithmus: oid topsort(digraph G, Vertex ts[ ]) { int indegree[n]; // n ist Anz. der Knoten in G Queue<Vertex> q; for (jeden Knoten ) { indegree[] = Anzahl der Vorgänger; if (indegree[] == ) q.push(); int k = ; while (! q.empty() ) { = q.front(); q.pop(); ts[k++] = ; Liefert zu einem gerichteten Graphen G eine topologische Sortierung ts. for (jeden Nachfolger w on ) if(indegree[w] == ) q.push(w); if (k!= n) cout << Graph ist zyklisch; << keine top. Sortierung moeglich ; M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

5 Topologische Sortierung () Bemerkungen: Der Algorithmus zur topologischen Sortierung ist eine Modifikation der Breitensuche: Breitensuche: for (jeden Nachfolger w on ) if ((al[w] == nichtbesucht ) q.push(w); Topolog. Sortieren: for (jeden Nachfolger w on ) if(indegree[w] == ) q.push(w); Füge alle noch nicht besuchten Nachbarn w in die Schlange q ein. Füge alle Nachbarn w, für die indegree[w] == gilt, in die Schlange q ein. Das bedeutet, dass alle Nachbarn w in die Schlange eingefügt werden, für die gilt: w noch nicht besucht und alle Vorgänger on w wurden bereits besucht Lässt man das Abspeichern der besuchten Knoten in das Feld ts weg, dann erhält man einen einfachen Algorithmus zur Prüfung on Zyklenfreiheit. Es gibt auch eine modifizierte Tiefensuche zur Prüfung on Zyklenfreiheit. Dieser Algorithmus arbeitet den Graph on rechts nach links ab, während der hier orgestellte Algorithmus den Graphen on links nach rechts abarbeitet. Der TiefensuchAlgorithmus benutzt Rekursion oder einen Stack und ist weniger intuiti (siehe [Turau]; Seite 9). M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

6 Topologische Sortierung () Analyse Die whileschleife wird für jeden Knoten genau einmal durchlaufen; also V mal. Die forschleife wird für jede on ausgehende Kante genau einmal durchlaufen. Verwendet man die Adjazenzlistendarstellung, ist der Aufwand für den Durchlauf aller forschleifen gleich O( E ). Damit ergibt sich mit Adjazenzlistendarstellung insgesamt: T = O( V + E ) oid topsort(digraph G, Vertex ts[ ]) { int indegree[n]; // n ist Anz. der Knoten in G Queue<Vertex> q; for (jeden Knoten ) { indegree[] = Anzahl der Vorgänger; if (indegree[] == ) q.push(); int k = ; while (! q.empty() ) { = q.front(); q.pop(); ts[k++] = ; for (jeden Nachfolger w on ) if(indegree[w] == ) q.push(w); if (k!= n) cout << Graph ist zyklisch; << keine top. Sortierung moeglich ; M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

7 Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Problemstellung Ungewichtete Graphen Distanzgraphen Gewichtete Digraphen Netzpläne Alle kürzeste Wege in gewichteten Digraphen Flüsse in Netzwerken Minimal aufspannende Bäume M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

8 Länge eines Weges Problemstellung () Gewichteter Graph: Summe der Kantengewichte (Kantenkosten) Ungewichteter Graph: Anzahl der Kanten. (Ein ungewichteter Graph entspricht damit einem gewichteten Graphen, bei dem jede Kante die Kosten hat) Kürzester Weg und Distanz Im allgemeinen gibt es zwischen zwei Knoten u und mehrere Wege. Ein Weg on u nach heißt kürzester Weg, falls der Weg minimale Länge hat. Die Distanz d(u,) zwischen u und wird als die Länge eines kürzesten Weges definiert. Falls es keinen Weg on u nach gibt, ist d(u,) =. Beispiel Weg on nach mit Länge. Kürzester Weg on nach mit Länge. Damit ist Distanz d(,) =. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

9 Problemstellung () Länge eines Weges muss nicht die wörtliche Bedeutung haben: Die Gewichte (Kosten) der Kanten und damit die Weglängen können in Abhängigkeit on der Anwendung ganz unterschiedliche Bedeutungen haben. Beispiele: Streckenlänge Zeitspannen Kosten Profit: Gewinn/Verlust (Gewichte können positi und negati sein) Wahrscheinlichkeiten M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen 9

10 Verschiedene Problemarianten: Problemstellung () () Kürzeste Wege zwischen zwei Knoten (Single pair shortest path) () Kürzeste Wege zwischen einem Knoten und allen anderen Knoten (Singlesource shortestpath problem) () Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (all pairs shortest path) Für Problem () kennt man keine bessere Lösung, als einen Algorithmus für Lösung () zu nehmen, der abgebrochen wird, sobald der Zielknoten erreicht wird. Problem () kann auf Problem () zurückgeführt werden. Bei dicht besetzten Graphen (d.h. iele Kanten) gibt es jedoch eine effizientere Lösung, die zudem auch negatie Kantengewichte zulässt. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

11 Problemstellung () Übersicht über die hier präsentierten Algorithmen: A B C D E Problemtyp Problem () für ungewichtete Graphen Problem () für DistanzGraphen (Graphen mit nur positien Gewichten) Problem () für gewichtete Digraphen (gerichtete Graphen mit beliebigen d.h. auch negatien Gewichten) Problem () für gewichtete, azyklische Digraphen mit einem Start und einem Endknoten (sogenannte Netzpläne) Problem () für gewichtete Digraphen (auch negatie Gewichte zulässig) Algorithmus Erweiterte Breitensuche Algorithmus on Dijkstra; A*Verfahren Algorithmus on Moore und Ford Erweiterte topologische Sortierung Algorithmus on Floyd Problem (): Kürzeste Wege zwischen einem Knoten und allen anderen Knoten Problem (): Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren Beachte: Problemtyp D ist ein Spezialfall on C. Der auf Problemtyp D zugeschnittene Algorithmus ist wesentlich effizienter als der Algorithmus für Problemtyp C. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

12 Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Problemstellung Ungewichtete Graphen Distanzgraphen Gewichtete Digraphen Netzpläne Alle kürzeste Wege in gewichteten Digraphen Minimal aufspannende Bäume Flüsse in Netzwerken Zusammenhangskomponenten M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

13 Erweiterte Breitensuche () Problem: Eingabe: Ungewichteter Graph mit Startknoten s. Ausgabe: Kürzeste Wege zwischen s und allen anderen Knoten Idee: Breitensuche mit Abspeichern der gefundenen Wege und Distanzen Beginne bei s und durchlaufe Graph mit Breitensuche: zuerst werden alle Knoten mit Distanz besucht, dann alle Knoten mit Distanz, usw. Distanzfeld d: Speichere für jeden besuchten Knoten die Distanz d[] zu Startknoten s. Vorgängerfeld p: p[] = Vorgängerknoten im kürzesten Weg nach. Damit ergibt sich für folgender kürzester Weg (in umgekehrter Reihenfolge):, p[], p[p[]],, p[ p[p[]] ] = s Beispiel: Startknoten s = d[] p[] () () () () d[] p[] d[] p[] () () M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

14 Erweiterte Breitensuche () Algorithmus Eingabe: Startknoten s und ungewichteter Graph G oid shortestpath (Vertex s, Graph G, int d[ ], Vertex p[ ]) { for (jeden Knoten ) { d[] = ; p[] = undef; d[s] = ; // Distanz für Startknoten Ausgabe: Distanzfeld d und Vorgängerfeld p d[] p[] Queue q<vertex>; q.push(s); while (! q.empty() ) { = q.front(); q.pop(); for (jeden Nachbarn w on ) if (d[w] == ) { // w noch nicht besucht d[w] = d[] + ; p[w] = ; q.push(w); d[] p[] d[] p[] M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

15 Erweiterte Breitensuche () Analyse: Mit Adjazenlistendarstellung ergibt sich eine Laufzeit on: T = O( V + E ) (Begründung wie bei der topologischen Sortierung.) M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

16 Teil : Graphenalgorithmen Anwendungen Definitionen Datenstrukturen für Graphen Elementare Algorithmen Topologisches Sortieren Kürzeste Wege Problemstellung Ungewichtete Graphen Distanzgraphen Gewichtete Digraphen Netzpläne Alle kürzeste Wege in gewichteten Digraphen Minimal aufspannende Bäume Zusammenhangskomponenten Flüsse in Netzwerken Schwierige Probleme M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

17 Idee Algorithmus on Dijkstra () Problem: Eingabe: DistanzGraph (Gewichte sind positi) mit Startknoten s. Ausgabe: Kürzeste Wege zwischen s und allen anderen Knoten Ähnlich wie bei der Breitensuche werden alle Knoten, die als nächstes besucht werden müssen, in einer Liste K (Kandidatenliste) gehalten. Aus der Kandidatenliste wird immer der Knoten mit der kleinsten Distanz als nächster besucht. d[] p[] Als nächstes wird Knoten mit Distanzwert besucht. Kandidatenliste Bereits besucht d[] Distanz zwischen und Startknoten s = p[] Vorgängerknoten im kürzesten Weg nach M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

18 M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen Algorithmus on Dijkstra () Idee (Fortsetzung) Wird ein neuer Knoten besucht, dann kommen eentuell neue Nachbarknoten zur Kandidatenliste. Bei allen Nachbarknoten wird geprüft, ob ein Weg über einen kürzeren Weg ergibt. Knoten ist zur Kandidatenliste neu dazu gekommen. Der Distanzwert on Knoten hat sich on auf erbessert, da der Weg über Knoten kürzer ist als der bisherige. Knoten wird besucht Knoten wird besucht d() = p[] d[] p[] d[]

19 Algorithmus on Dijkstra () oid shortestpath (Vertex s, DistanzGraph G, int d[ ], Vertex p[ ] ) { Set kl; // Kandidatenliste for (jeden Knoten ) { d[] = ; p[] = undef; d[s] = ; // Startknoten () kl.insert(s); while (! kl.empty() ) { () lösche Knoten aus kl mit d[] minimal; for (jeden Nachbar w on ) { if (d[w] == ) { // w noch nicht besucht und nicht in Kandidatenliste () kl.insert(w); if (d[] + c(,w) < d[w]) { p[w] = ; () d[w] = d[] + c(,w); Eingabe: Startknoten s und Distanzgraph G Ausgabe: Distanzfeld d und Vorgängerfeld p In der Kandidatenliste sind alle Knoten abgespeichert, die als nächstes besucht werden müssen. Die Zugriffsoperationen auf die Kandidatenliste sind rot gekennzeichnet. Mögliche Implementierungen werden auf der nächsten Folie diskutiert. Distanzwert für w erbessert sich. Kürzester Weg nach w geht nun über. Man beachte, dass sich der Distanzwert nur für Knoten w aus kl erbessern kann. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen 9

20 Algorithmus on Dijkstra () (a) Implementierung der Kandidatenliste als Vorrangswarteschlange Eine Vorrangswarteschlange (Priority Queue) bietet eine effiziente Realisierung folgender Operationen an: insert(, d); fügt Element mit Vorrangswert (hier Distanzwert) d ein. Aufruf in () und (). = delmin(); löscht Element mit kleinstem Vorrangswert. Aufruf in (). change(, dneu); ändert den Vorrangwert des Elements auf dneu. Aufruf in (). Eine Vorrangswarteschlange kann mit einer HeapStruktur (siehe HeapSort aus Programmiertechnik ) implementiert werden. Damit können insert, delmin und change in O(log n) durchgeführt werden. Für change wird noch zusätzlich eine Suchstruktur benötigt, um den Knoten finden zu können. (b) Implementierung der Kandidatenliste als einfaches (unsortiertes) Feld insertoperation in O(). Siehe () und (). Löschen des kleinsten Element in O(n). Siehe (). In Schritt () ist keine Umorganisation des Feldes notwendig: daher O() für Schritt (). M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

21 Algorithmus on Dijkstra () Analyse: (a) Kandidatenliste als einfaches (unsortiertes) Feld Die whileschleife wird V mal durchgeführt. Für () ist O( V ) notwendig. Die forschleife braucht ebenfalls O( V ). Insgesamt: T = O( V ) (b) Kandidatenliste als Vorrangswarteschlange () und () (changeoperation) benötigen O(log V ). Jede Kante im Graph wird genau einmal in einer der forschleifen betrachtetet. Damit ist für alle forschleifen insgesamt O(E log V ) notwendig. Hinzu kommt V mal die Ausführung on (), die in O(log V ) realisiert werden kann. Insgesamt: T = O(E log V ) Fazit: Ist der Graph dicht besetzt, d.h. E = O( V ), dann ist die Variante (a) besser. Ist der Graph dünn besetzt, d.h. E = O( V ), dann ist die Variante (b) besser. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

22 M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen Beispiel zu Algorithmus on Dijkstra () Knoten wird besucht Knoten wird besucht Knoten wird besucht p[] d[] p[] d[] p[] d[]

23 M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen Beispiel zu Algorithmus on Dijkstra () Knoten wird besucht Knoten wird besucht Knoten wird besucht p[] d[] p[] d[] p[] d[]

24 M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen Beispiel zu Algorithmus on Dijkstra () Kürzeste Wege für Startknoten s = sind nun bekannt für die Zielknoten:,,,,. p[] d[]

25 A*Algorithmus () Verbesserung des Algorithmus on Dijkstra: Ist der kürzeste Weg zu genau einem Zielknoten z gesucht und lässt sich die Distanz on einem Knoten zum Zielknoten z durch eine Schätzfunktion h(,z) abschätzen, dann lässt sich der Algorithmus on Dijkstra optimieren. Statt den Knoten mit d[] minimal als nächstes zu besuchen zu besuchen, wird der Knoten besucht mit d[] + h(,z) minimal. Damit werden Knoten beorzugt, die näher zum Zielknoten liegen. Sind die Knoten des Graphen Punkte in der Euklidischen Ebene und die Gewichte gleich den Euklidischen Abständen ( Länge der Luftlinie ), dann lässt sich als Schätzfunktion h(,z) der Euklidische Abstand zwischen und z wählen. s h(,z) z h(,z) Wird der kürzeste Weg on s nach z gesucht, wird zuerst Knoten besucht, weil dieser näher zu z liegt. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

26 A* Algorithmus () bool shortestpath (Vertex s, Vertex z, DistanzGraph G, int d[ ], Vertex p[ ] ) { Set kl; // Kandidatenliste for (jeden Knoten ) { d[] = ; p[] = undef; d[s] = ; // Startknoten kl.insert(s); Eingabe: Startknoten s, Zielknoten z und Distanzgraph G Ausgabe: Distanzfeld d und Vorgängerfeld p while (! kl.empty() ) { Änderungen gegenüber lösche Knoten aus kl mit d[] + h(,z) minimal; dem DiskstraAlgorithmus if ( == z) // Zielknoten z erreicht sind blau gekennzeichnet. return true; for (jeden Nachbar w on ) { if (d[w] == ) { // w noch nicht besucht und nicht in Kandidatenliste kl.insert(w); if (d[] + c(,w) < d[w]) { p[w] = ; d[w] = d[] + c(,w); return false; M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

27 Korrektheit des Algorithmus: A* Algorithmus () Das A*Verfahren liefert immer einen kürzesten Weg, falls der Zielknoten z erreichbar ist und die Schätzfunktion h folgende Eigenschaften erfüllt: () h ist optimistisch: h(u,) d(u,) für alle Knoten u, (d.h. h unterschätzt die tatsächliche Distanz d) () h ist monoton: h(u,) c(u,w) + h(w,) für alle Knoten u,, w h(u,) h(w,) Bemerkungen: u c(u,w) Die Euklidische Abstandsfunktion erfüllt die beiden oberen Bedingungen. w Die Schätzfunktion h(u,) = erfüllt triialerweise beide Bedingungen. Man erhält dann genau den Algorithmus on Dijkstra. In der Literatur wird die Schätzfunktion auch Heuristik genannt (Heuristik = Strategie zur Lösungssuche) M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen

28 A* Algorithmus () Beispiel Aus [Turau ]: DijkstraAlgorithmus A*Algorithmus Schätzfunktion h und Kantengewicht c sind als Euklidischer Abstand definiert. M.O.Franz; Noember Algorithmen und Datenstrukturen Graphenalgorithmen