Algorithmen und Datenstrukturen 05

Transkript

1 25. November 2011

2 1 Besprechung Blatt 4 Fragen 2 O-Kalkül Allgemein Wichtige Formeln Beispiele 3 Überläufe und Bitweise Operationen Erkennen von Variablenüberläufen Bitweise Operationen 4 Vorbereitung Blatt 5 Anmerkungen

4 Fragen Fragen zu Blatt 4?

6 Allgemein O-Kalkül schätzt den Aufwand der Ausführung eines Algorithmus ab vernachlässigt Vorfaktoren und kleinere Summanden

7 Allgemein O-Kalkül schätzt den Aufwand der Ausführung eines Algorithmus ab vernachlässigt Vorfaktoren und kleinere Summanden Es ist manchmal durchaus sinnvoll, einen Algorithmus A zu verwenden, der zwar im O-Kalkül schlechter abschneidet als ein Algorithmus B, aber für kleinere Problemgrößen erheblich schneller ist als B. In solchen Fällen kann man beide implementieren und je nach Problemgröße wechseln.

8 Wichtige Formeln Gaußsche Summenformel n k = k=0 n(n + 1) 2 n 2k = n(n + 1) k=1 n (2k 1) = n 2 k=1 Die gaußsche Summenformel ist eine Formel für die Summe der ersten n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen Summenformel

9 Wichtige Formeln Stirlingformel n! ( n ) n 2πn e Die Stirlingformel berechnet Näherungswerte für große Fakultäten.

10 Wichtige Formeln Geometrische Reihe n k=0 q k = 1 q(n+1) 1 q Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant. Reihe

11 Wichtige Formeln Quadratische Pyramidalzahl n i 2 = n 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6 Die Quadratischen Pyramidalzahlen gehören zu den figuierten Zahlen, genauer zu den Pyramidalzahlen. Sie beziffern die Anzahlen von Kugeln, mit denen man eine Pyramide quadratischer Grundfläche bauen kann. Pyramidalzahl

12 Beispiele Beispiel 1 for (int i = 0; i < x; i++) { for (int j = 0; j < y; j++) { result[i][j] = 0; for (int k = 0; k < j; k++) { result[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; } } }

13 Beispiele Beispiel 1 for (int i = 0; i < x; i++) { for (int j = 0; j < y; j++) { result[i][j] = 0; for (int k = 0; k < j; k++) { result[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; } } } y 1 O(x j) = O(xy 2 ) j=0 Gaußsche Summenformel

14 Beispiele Beispiel 2 for (int i = 1; i <= x; i *= 2) { f(i); // f(n) liegt in O(n) }

15 Beispiele Beispiel 2 for (int i = 1; i <= x; i *= 2) { f(i); // f(n) liegt in O(n) } log 2 x O( i=0 2 i ) = O( 1 2log 2 x ) = O(x) 1 2 Geometrische Reihe

16 Beispiele Beispiel 3 for (int i = 1; i <= x; ++i) { g(i); // g(n) liegt in O(n*n) }

17 Beispiele Beispiel 3 for (int i = 1; i <= x; ++i) { g(i); // g(n) liegt in O(n*n) } O( x i=0 i 2 ) = O( 2x 3 + 3x 2 + x ) = O(x 3 ) 6 Quadratische Pyramidalzahl

18 Beispiele Beispiel 4 int count = 0; while (n > 0) { if (n % 2 == 1) { ++count; } n /= 2; }

19 Beispiele Beispiel 4 int count = 0; while (n > 0) { if (n % 2 == 1) { ++count; } n /= 2; } O(log(n)) Was wäre hier best-, worst- und average-case?

20 Beispiele Angenommen die Eingangsgröße n sei gleichverteilt und ein 32-bit signed Integer ([ 2 31, ]). Was ist der Aufwand im worst-, best- und average-case? best-case: 0 worst-case: log 2 (2 31 1) + 1 = 31 average-case: = ( 30 (k + 1)2 k = 1 30 ) 30 2 k k + 2 k = 2 32 k= k=0 k=0 ( (30 + 1) (2 1) ) 15

21 Beispiele Hauptsatz der Laufzeitfunktionen (Master Theorem) T (n) = a T ( n b ) + f (n) a 1, b 1, f (n) N a: Anzahl Unterprobleme in der Rekursion 1/b: Teil des Originalproblems, welches wiederum durch alle Unterprobleme repräsentiert wird f (n): Aufwand für das Teilen und Zusammenfügen der Teillösungen

22 Beispiele Hauptsatz der Laufzeitfunktionen (Master Theorem) T (n) = a T ( n b ) + f (n) a 1, b 1, f (n) N Fall 1: T (n) Θ(n log ba ), falls f (n) O(n log ba ɛ ), ɛ > 0 Fall 2: T (n) Θ(n log ba log 2 n), falls f (n) Θ(n log ba ) Fall 3: T (n) Θ(f (n)), falls f (n) Ω(n logba+ɛ ), ɛ > 0 und a f ( n b ) c f (n), c < 1, n groß

23 Beispiele Hauptsatz der Laufzeitfunktionen (Master Theorem) T (n) = a T ( n b ) + f (n) a 1, b 1, f (n) N Fall 1: T (n) Θ(n log ba ), falls f (n) O(n log ba ɛ ), ɛ > 0 Fall 2: T (n) Θ(n log ba log 2 n), falls f (n) Θ(n log ba ) Fall 3: T (n) Θ(f (n)), falls f (n) Ω(n logba+ɛ ), ɛ > 0 und a f ( n b ) c f (n), c < 1, n groß Kein Fall anwendbar: Problem.

24 Beispiele Beispiele T (n) = 4T ( n 2 ) + n2 Fall 2 T (n) = Θ(n 2 log n) T (n) = 2T ( n 2 ) + n Nicht anwendbar! log n T (n) = 3T ( n 3 ) + n Fall 1 T (n) = Θ(n)

26 Erkennen von Variablenüberläufen Binärdarstellung Byte.MAX VALUE: ( ) 2 = nach binärer Addition von 1:

27 Erkennen von Variablenüberläufen Binärdarstellung Byte.MAX VALUE: ( ) 2 = nach binärer Addition von 1: ( ) 2

28 Erkennen von Variablenüberläufen Binärdarstellung Byte.MAX VALUE: ( ) 2 = nach binärer Addition von 1: ( ) 2 das ist die Binärdarstellung von Byte.MIN VALUE, also 2 8

29 Erkennen von Variablenüberläufen Binärdarstellung Byte.MAX VALUE: ( ) 2 = nach binärer Addition von 1: ( ) 2 das ist die Binärdarstellung von Byte.MIN VALUE, also 2 8 das selbe Problem tritt auf, wenn man von einer negativen Zahl mehr abzieht, als der Datentyp darstellen kann: Byte.MIN VALUE ( ) 2 1 = ( ) 2, also wieder Byte.MAX VALUE

30 Erkennen von Variablenüberläufen Binärdarstellung Byte.MAX VALUE: ( ) 2 = nach binärer Addition von 1: ( ) 2 das ist die Binärdarstellung von Byte.MIN VALUE, also 2 8 das selbe Problem tritt auf, wenn man von einer negativen Zahl mehr abzieht, als der Datentyp darstellen kann: Byte.MIN VALUE ( ) 2 1 = ( ) 2, also wieder Byte.MAX VALUE im mathematischen Sinn rechnet man in einem Ring

31 Erkennen von Variablenüberläufen Überläufe bei der Addition treten immer dann auf, wenn das Rechenergebnis außerhalb des Gültigkeitsbereiches des Datentyps liegt

32 Erkennen von Variablenüberläufen Überläufe bei der Addition treten immer dann auf, wenn das Rechenergebnis außerhalb des Gültigkeitsbereiches des Datentyps liegt bei der Addition kann das nur dann passieren, wenn 2 Zahlen mit gleichem Vorzeichen addiert werden

33 Erkennen von Variablenüberläufen Überläufe bei der Addition treten immer dann auf, wenn das Rechenergebnis außerhalb des Gültigkeitsbereiches des Datentyps liegt bei der Addition kann das nur dann passieren, wenn 2 Zahlen mit gleichem Vorzeichen addiert werden ist das Vorzeichen des Ergebnisses dann ungleich dem der Operanden, fand ein Überlauf statt

34 Erkennen von Variablenüberläufen Überlaufe bei der Multiplikation schwer abschätzbar, wann es zu einem Überlauf kommen kann mögliches Vorgehen:

35 Erkennen von Variablenüberläufen Überlaufe bei der Multiplikation schwer abschätzbar, wann es zu einem Überlauf kommen kann mögliches Vorgehen: man dividiert das Ergebnis durch den zweiten Faktor und prüft, ob das Ergebnis dieser Umkehrung dem ersten Faktor entspricht

36 Erkennen von Variablenüberläufen Überlaufe bei der Multiplikation schwer abschätzbar, wann es zu einem Überlauf kommen kann mögliches Vorgehen: man dividiert das Ergebnis durch den zweiten Faktor und prüft, ob das Ergebnis dieser Umkehrung dem ersten Faktor entspricht Beispiel: 3x128 = ( ) 2 = 128; 128/3 = 42; Überlauf

37 Erkennen von Variablenüberläufen Überlaufe bei der Multiplikation schwer abschätzbar, wann es zu einem Überlauf kommen kann mögliches Vorgehen: man dividiert das Ergebnis durch den zweiten Faktor und prüft, ob das Ergebnis dieser Umkehrung dem ersten Faktor entspricht Beispiel: 3x128 = ( ) 2 = 128; 128/3 = 42; Überlauf (bei der Division treten keine Überläufe in diesem Sinn auf, jedoch kann dabei der Rest verloren gehen)

38 Erkennen von Variablenüberläufen Ungenauigkeiten der Gleitkommadatentypen double-zahlen haben einen sehr großen Wertebereich (ca. ± bis ± 1, )

39 Erkennen von Variablenüberläufen Ungenauigkeiten der Gleitkommadatentypen double-zahlen haben einen sehr großen Wertebereich (ca. ± bis ± 1, ) trotzdem stehen für die Mantisse nur 52 Bits zur Verfügung

40 Erkennen von Variablenüberläufen Ungenauigkeiten der Gleitkommadatentypen double-zahlen haben einen sehr großen Wertebereich (ca. ± bis ± 1, ) trotzdem stehen für die Mantisse nur 52 Bits zur Verfügung daher treten nach einigen Operationen Ungenauigkeiten auf zum Beispiel 0, statt 1

41 Erkennen von Variablenüberläufen Ungenauigkeiten der Gleitkommadatentypen double-zahlen haben einen sehr großen Wertebereich (ca. ± bis ± 1, ) trotzdem stehen für die Mantisse nur 52 Bits zur Verfügung daher treten nach einigen Operationen Ungenauigkeiten auf zum Beispiel 0, statt 1 if (number == 1.0) ist dann false!

42 Bitweise Operationen Übersicht der bitweisen Operatoren & AND OR ^ XOR << left shift verschiebt alle Bits nach links, füllt mit 0 auf entspricht Multiplikation mit 2 >> signed right shift verschiebt alle Bits nach rechts, füllt mit Vorzeichenbit auf entspricht Division durch 2 >>> unsigned right shift verschiebt alle Bits nach rechts, füllt mit 0 auf

44 Anmerkungen Mysterious Sort public static void mysterioussort (int[] a) { int[] npart = new int[2]; int[][] part = new int[2][a.length]; for (int i = 0; i < 32; i++) { npart[0] = 0; npart[1] = 0; for (int j = 0; j < a.length; j++) { int n = (a[j] >> i) & 1; part[n][npart[n]++] = a[j]; } } } System.arraycopy(part[0], 0, a, 0, npart[0]); System.arraycopy(part[1], 0, a, npart[0], npart[1]);

45 Anmerkungen Fibonacci-Folge Definiert als f n = f n 1 + f n 2 wobei f 0 = 0, f 1 = 1 Direkte Berechnung ebenso möglich durch die Formel: f n = 1 5 [( 1 + ) n ( ) n ] 5 2

46 Anmerkungen Noch Fragen?

47 Anmerkungen Noch Fragen? Danke für die Aufmerksamkeit!