Universelle Maschinen und universelle Funktionen

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1 Universelle Maschinen und universelle Funktionen

2 UNIVERSELLE FUNKTIONEN DEFINITION. Sei F eine Klasse von partiellen Funktionen über N. Eine partielle Funktion ϕ (n+1) ist n-universell für F, wenn (i) ϕ F und (ii) zu jeder n-stelligen partiellen Funktion ψ (n) F gibt es eine Zahl e N, sodass ψ( x) = ϕ(e, x) für alle x N n. Eine Zahl e wie in (ii) heißt ein Index von ψ bzgl. ϕ und wir schreiben ϕ e ( x) statt ϕ(e, x), d.h. ψ = ϕ e. Gilt zusätzlich, dass es zu jedem ˆϕ (n+1) F eine total rekursive Funktion h gibt, so dass (iii) ˆϕ(e, x) = ϕ(h(e), x) für alle e N und x N n gilt, so heißt ϕ eine Standardaufzählung oder Gödelnummerierung der n- stelligen partiellen Funktionen in F. Die rekursive Funktion h in (iii) heißt Übersetzungsfunktion von ˆϕ nach ϕ.

3 ZIEL. Die Klasse F(REK) besitzt n-universelle Funktionen ja sogar Standardaufzählungen. Um dies zu zeigen konstruieren wir universelle Turingmaschinen: Für gegebenes Alphabet Σ und gegebenes n N, zeigen wir, dass jede (geeignet normierte) Turingmaschine M zur Berechnung von n-stelligen Funktionen über Σ so durch ein Wort M Σ dargestellt werden kann, dass man eine Turingmaschine U = U Σ,n angeben kann, die bei Eingabe ( M, x) mit x (Σ ) n die Rechnung der Maschine M bei Eingabe x simuliert. Die Resultatsfunktion von U ist also n-universell für die Klasse der partiell Turing-berechenbaren Funktionen über Σ. Für das unäre Alphabet Σ = Σ 1 erhalten wir dann das entsprechende Ergebnis für die partiell rekursiven Funktionen (unter Verwendung des Äquivalenzsatzes).

4 BEMERKUNGEN. Sei ϕ = ϕ U die aus der universellen TM U = U Σ1,n gewonnene n-universelle Funktion von F(REK). Ein Index e einer partiell rekursiven Funktion ψ (n) (d.h. ψ (n) = ϕ e ) ist dann gerade die Gödelnummer (Kodierung) einer Turingmaschine zur Berechnung von ψ. Dass ϕ eine Gödelnummerierung ist bedeutet u.a. Folgendes. Ist ϕ einen n-universelle Funktion für F(REK), die wir durch Kodierung eines anderen formalen Berechnungsmodells erhalten haben (z.b. Registermaschinen), so können wir jedem ϕ -Index e rekursiv einen äquivalenten ϕ-index h(e) zuordnen. Anschaulich: zu jeder Registermaschine (etc.) können wir effektiv eine äquivalente Turingmaschine angeben.

5 NORMIERTE TURINGMASCHINEN Zur Konstruktion universeller TMs normieren wir zunächst TMs, wobei wir o.b.d.a. Programme aus bedingten Anweisungen betrachten. DEFINITION. Eine Turingmaschine M = (B, P ) zur Berechnung einer n-stelligen partiellen Funktion ϕ : (Σ ) n Σ heißt normiert, falls B = T B(Σ, Σ, Σ {b, 0, 1}, n), wobei 0 und 1 aber nicht das Blankzeichen b in Σ vorkommen dürfen, und P ein Programm aus bedingten Anweisungen ist mit Zustandsmenge Z = {0, 1,..., p} (für geeignetes p 1), wobei 0 der Start- und 1 der einzige Stoppzustand ist.

6 Bei der Untersuchungen von Varianten des TM-Konzeptes haben wir bereits gezeigt, dass man zu jeder TM eine äquivalente normierte TM angeben kann: LEMMA. Zu jeder Turingmaschine M zur Berechnung einer n- stelligen partiellen Funktion über Σ gibt es eine äquivalente normierte Turingmaschine M. Weiter gilt und time M ( x) O(time M ( x)) space M ( x) O(space M ( x)).

7 KODIERUNG VON NORMIERTEN MASCHINEN Ziel: Normierte Turingmaschine M = (B, P ) Binärwort M Da die Basismaschine B durch den Eingabentyp festgelegt ist, genügt es, das Programm P zu gödelisieren, d.h. P zu definieren. Es gelte Γ = Σ {b, 0, 1} = {a 0 = b, a 1 = 0, a 2 = 1,..., a m }. Schritt 1. Kodierung der Buchstaben a i des Bandalphabets, der Zustände z und der Bewegungsbefehle durch nichtleere Unärwörter: a i := 1 i+1 z := 1 z+1 L := 1 S := 1 2 R := 1 3. Schritt 2. Kodierung der Instruktionen I = (z, a i, a j, B, z ): I = z 0 a i 0 a j 0 B 0 z Schritt 3. Kodierung des Programms P = {I 1,..., I k }: P = 1000 I 1 00 I I k 000 Offensichtlich ist die Abbildung, die einem Programm P seine Kodierung P zuordnet, injektiv und berechenbar und umgekehrt können wir von einem Binärwort effektiv feststellen, ob es ein Programm kodiert und, falls ja, welches.

8 UNIVERSELLE TURINGMASCHINEN I (Mehrbandmaschinen) LEMMA. Sei Σ ein Alphabet und n 1. Es gibt eine 3-Band- Turingmaschine U = U Σ,n, die bei Eingabe eines kodierten normierten Programms P zusammen mit einer Wortfolge x (Σ ) n die zu P gehörende normierte Maschine M = (B, P ) simuliert, d.h. Weiter gilt, dass ϕ U ( P, x) = ϕ M ( x). time U ( P, x) O( P max(time M ( x), x 1,..., x n )) space U ( P, x) O( P + space M ( x)).

9 BEWEISIDEE. Informelle Beschreibung der Arbeitsweise von U bei Eingabe ( P, x): Band 1: U verhält sich auf Band 1 wie die simulierte (1-Band-) Maschine M = (B, P ) bei Eingabe x. Band 2: Hier wird das kodierte Programm P von M abgespeichert. Band 3: Hier wird die Kodierung z des aktuellen M-Zustandes z gespeichert. Initialisierung: Kopiere unter Löschen P von Band 1 auf Band 2, schreibe 0 auf Band 2.

10 Simulationszyklus von U zur Simulation eines M-Schrittes: 1. Lese (und merke im Zustand) den Buchstaben a auf dem Arbeitsfeld von Band Durch Mustervergleich finde das erste Vorkommen der Folge 00 z 0 a 0 auf Band 2, wobei z die aktuelle Inschrift von Band 3 ist. Dort befindet sich dann die Kodierung der auszuführenden M-Instruktion I = z 0 a 0 a 0 B 0 z. (Findet U das gesuchte Muster nicht, so hat M den Stoppzustand erreicht, und die Simulation wird beendet.) 3. Simuliere diese Instruktion: (a) führe angegebenen Druck- (a ) und Bewegungsbefehl (B) auf Band 1 aus, (b) schreibe Kodierung z des neuen Zustands auf Band 3, setze AFs auf Band 2 und 3 zurück. Die behaupteten Platz- und Zeitschranken lassen sich leicht nachprüfen. Für die Zeit hat man nur zu beachten, dass die Simulation eines M-Schrittes O( P ) Schritte erfordert. q.e.d.

11 UNIVERSELLE TURINGMASCHINEN II (Einbandmaschinen) SATZ ÜBER DIE EXISTENZ UNIVERSELLER TURINGMA- SCHINEN. Zu jedem Alphabet Σ und zu jeder Stelligkeit n 1 gibt es eine Turingmaschine Ũ = Ũ Σ,n mit folgender Eigenschaft: Zu jeder partiell Turing-berechenbaren Funktion ψ : (Σ ) n Σ gibt es ein Wort w Σ mit ψ = (ϕũ) w, d.h., x (Σ ) n (ψ( x) = ϕũ(w, x)).

12 BEWEISIDEE. 1.Fall: Σ Σ 2. Wähle Ũ = Ũ Σ,n als eine (1-Band-)Turingmaschine, die zu der 3-Band-TM U = U Σ,n (aus vorhergehendem Lemma) äquivalent ist. (Ũ existiert nach dem Bandreduktionssatz.) Da es zu jeder TM eine äquivalente normierte TM desselben Typs gibt und U = U Σ,n alle normierten TMs des gewünschten Typs simuliert, hat Ũ die gewünschten Eigenschaften. 2. Fall: Sonst d.h. Σ = Σ 1 = {1}. Dann muss Ũ zusätzlich die erste Eingabe w als Unärkodierung eines Binärwortes auffassen. Es wird also zuerst das durch w kodierte Binärwort w berechnet und w durch dieses ersetzt. Dann kann man wie in Fall 1 verfahren.

13 KOROLLAR (NORMALFORMTHEOREM VON KLEENE) Für jede Zahl n 1 gibt es eine primitiv rekursive Funktion U (1) und ein primitiv rekursives Prädikat T (n+2), so dass es zu jeder n-stelligen partiell rekursiven Funktion ψ (n) eine Zahl e N gibt mit In der Tat ist die durch x N n (ψ( x) = U(µyT (e, x, y))). ϕ(e, x) = U(µyT (e, x, y)) definierte partielle Funktion ϕ (n+1) eine Gödelnummerierung der n-stelligen partiell rekursiven Funktionen. Darüberhinaus können die Übersetzungsfunktionen nach ϕ primitiv rekursiv und injektiv gewählt werden.

14 BEWEISIDEE. Für gegebenes n 1 sei Ũ = Ũ Σ1,n die universelle Turingmaschine zur Berechnung n-stelliger partieller Funktionen über Σ 1, also über N. Wenden wir die (im Beweis des Äquivalenzsatzes eingeführte) Gödelisierung von TMs auf Ũ an, so erhalten wir das primitiv rekursives Prädikat rechnung (n+3), für das Ũ ϕũ(e, x) = (µy(rechnungũ(e, x, (y) 1, (y) 2 ))) 2 für alle e N und x N n gilt. Setzen wir und T (e, x, y) rechnungũ(e, x, (y) 1, (y) 2 ) U(y) = (y) 2, so ergibt sich der erste Teil des Normalformsatzes unmittelbar aus der Universalität von Ũ und dem Äquivalenzsatz.

15 Zu zeigen bleibt die Existenz injektiver, primitiv rekursiver Übersetzungsfunktionen nach ϕ: Gegeben: ˆϕ (n+1) F(REK). Gesucht: h F(PRIM) injektiv mit ˆϕ e = ϕ h(e) für alle e N. Idee zur Definition von h: 1. Wähle normierte TM M = (B, P ), die ˆϕ berechnet. 2. Für jedes e gewinne aus M eine normierte TM M e mit Programm P e, die bei x N n als Eingabe ˆϕ(e, x) wie folgt berechnet: M e ergänzt die Eingabe x um den Parameter e und simuliert dann P auf der erweiterten Eingabe (e, x). 3. Zeige, dass sich die Gödelnummer h(e) := gn(p e ) von P e (d.h. h(e) ist die Unärdarstellung von P e ) primitiv rekursiv berechnen lässt. Es folgt ˆϕ(e, x) = U(µy(T (gn(p e ), x, y))) = ϕ(h(e), x), weshalb h die gesuchte Übersetzungsfunktion von ˆϕ nach ϕ ist.

16 NOTATION. Für die Standardaufzählung ϕ (n+1) der n-stelligen partiell rekursiven Funktionen benutzen wir folgende Notation: {e} (n) ( x) := ϕ e ( x) Sprechweise {e} (n) ist die e-te n-st. part. rekursive Funktion; gilt ψ = {e}, so heisst e (part. rek.) Index von ψ. W (n+1) := Db(ϕ) W (n) e := Db(ϕ e ) = Db({e}) = { x : (e, x) W (n+1) } Sprechweise W e (n) ist die e-te n-st. rek. aufzb. Menge; gilt A = W e, so heisst e (r.a.) Index von A.

17 KOROLLAR (AUFZÄHLUNGSSATZ FÜR R.A. MENGEN) Für jedes n 1 ist die (n+1)-stellige Menge W (n+1) eine universelle Menge für die n-stelligen rekursiv aufzählbaren Mengen, d.h. W (n+1) ist rekursiv aufzählbar und zu jeder rekursiv aufzählbaren Menge A N n gibt es ein e mit A = W e (n) = { x : (e, x) W (n+1) }. BEWEIS. Da W (n) der Definitionsbereich der part. rek. Funktion ϕ ist, ist W r.a. Ist A N n r.a., dann ist A der Definitionsbereich einer n-stelligen partiell rekursiven Funktion ψ. Für einen Index e von ψ gilt dann, dass A = Db(ψ) = Db({e}) = W e (n). q.e.d. Man beachte, dass nach Definition von ϕ, W e ( x) y T (e, x, y) gilt, d.h. W e ist die Projektion der primitiv rekursiven Menge T e := {( x, y) : T (e, x, y)}. Hieraus folgt:

18 PROJEKTIONSSATZ. Für eine n-stellige Menge A sind folgende Aussagen äquivalent: (a) A ist rekursiv aufzählbar. (b) A ist die Projektion einer (n + 1)-st. rekursiven Menge B. (c) A ist die Projektion einer (n + 1)-st. prim. rek. Menge C. BEWEIS. (a) (c) folgt aus dem Aufzählungssatz wie gerade beobachtet. (c) (b) ist trivial, da jede prim. rek. Menge rekursiv ist. (b) (a) Sei A die Projektion der r.a. Menge B. Dann ist A der Definitionsbereich der partiell rekursiven Funktion ψ( x) = µy B( x, y). q.e.d. BEMERKUNGEN. 1. Der Projektionssatz zeigt, dass die r.a. Mengen gerade unbeschränkte Suchprobleme mit (primitiv) rekursivem Lösungsraum sind. 2. Mit dem Projektionssatz lassen sich einige der Abschlusseigenschaften der (primitiv) rekursiven Mengen leicht auf die r.a. Mengen übertragen (z.b. Vereinigung und Durchschnitt (Übung!) sowie Einsetzung (prim.) rekursiver Funktionen (Tafel!)).