Der Satz von Rice. Dann ist C(S) eine unentscheidbare Menge.

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1 Der Satz von Rice Satz: Sei R die Klasse der (Turing-) berechenbaren Funktionen, S eine nichttriviale Teilmenge von R und C(S) ={w Mw berechnet eine Funktion aus S}. Dann ist C(S) eine unentscheidbare Menge. (Hierbei bedeutet S nichttrivial, dass S6= ; und S6= R gilt.) Beweis: Im Folgenden sei wie üblich die Funktion definiert als die nirgends definierte Funktion. Damit ist eine spezielle berechenbare Funktion. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem, ob 2S oder 62 S. Im Beweis verwenden wir, dass H 0 unentscheidbar ist. Das folgt direkt aus der Unentscheidbarkeit von H 0. (Bitte überprüfen...) Einheit 15 Folie 15.1

2 Beweis (1. Fall) Es sei 2S und q 2R\S (beliebig gewählt). Q sei eine Turingmaschine zur Berechnung von q, w ein beliebiges Wort. Wir definieren eine neue Maschine M: M: Eingabe sei y. Simuliere zuerst M w auf ". Simuliere dann Q auf y. Die Maschine M hat einen Gödelindex w 0, d.h. M = M w 0.Wir setzen f (w) =w 0.Damitistf total und berechenbar, und es gilt: w 2 H 0 =) M hält nie, egal was der Input ist =) M w 0 berechnet =) w 0 2 C(S) w 62 H 0 =) M arbeitet schließlich wie Q auf jedem Input =) M w 0 berechnet q =) w 0 62 C(S) Damit haben wir H 0 apple C(S), alsoistc(s) unentscheidbar. Einheit 15 Folie 15.2

3 Beweis (2. Fall) Nun sei 62 S und diesmal q 2S (beliebig gewählt). Q sei eine Turingmaschine zur Berechnung von q, w ein beliebiges Wort. Wir definieren wieder die selbe Maschine M: M: Eingabe sei y. Simuliere zuerst M w auf ". Simuliere dann Q auf y. Die Maschine M hat einen Gödelindex w 0, d.h. M = M w 0.Wir setzen f (w) =w 0.Damitistf total und berechenbar, und es gilt: w 2 H 0 =) M arbeitet schließlich wie Q auf jedem Input =) M w 0 berechnet q =) w 0 2 C(S) w 62 H 0 =) M hält nie, egal was der Input ist =) M w 0 berechnet =) w 0 62 C(S) Daher diesmal H 0 apple C(S), alsoauchwiederc(s) unentscheidbar. Einheit 15 Folie 15.3

4 Das Postsche Korrespondenzproblem Gegeben: Eine endliche Folge von Paaren (x i, y i ),1apple i apple k, wobei die x i und y i nichtleere Wörter über sind. Gesucht: Eine Folge von Indizes i 1,...,i n, n 1, i j 2{1,...,k}, so dass x i1...x in = y i1...y in. Eine Folge von Indizes mit dieser Eigenschaft nennen wir Lösung für das PCP. (PCP steht für Post s Correspondence Problem) Meist als Entscheidungsproblem... Einheit 15 Folie 15.4

5 Beispiel Das folgende PCP lässt sich leicht lösen: K =((1, 101), (10, 00), (011, 11)) Eine Lösung (und tatsächlich eine kürzeste Lösung) ist(1, 3, 2, 3). Jede Lösung muss mit dem Index 1 beginnen. (Warum?) Das ergibt: Nun muss Index 3 folgen, also: Im nächsten Schritt haben wir zwei Möglichkeiten. Machen Sie selbst den Beweis zu Ende, dass (1, 3, 2, 3) die kürzeste Lösung bildet! Einheit 15 Folie 15.5

6 Noch ein Beispiel R =((001, 0), (01, 011), (01, 101), (10, 001)) Wir sammeln möglichst viele Informationen über mögliche Lösungsfolgen, d.h. Indexfolgen, die Lösungen für R bilden: Index 1 und Index 4 müssen in jeder Lösung gleich oft vorkommen. Indizes 2 und 3 müssen zusammen genau so oft vorkommen wie Index 1. Der erste Index muss immer 1 oder 2 sein, der letzte muss 3 sein. Alle Lösungen haben eine durch 3 teilbare Länge. Als Lösung der Länge 3 wäre nur (1, 4, 3) möglich das ist aber keine Lösung! Lösungen der Länge 6 lassen sich auch relativ einfach ausschließen. Tatsächlich ist dieses PCP lösbar! Aber: Seine kürzeste Lösung hat die Länge 66. Einheit 15 Folie 15.6

7 PCP ist rekursiv aufzählbar Satz: 0 PCP ist berechenbar. Als Beweis geben wir einen (Pseudocode-) Algorithmus an, der 0 PCP berechnet. ` := 1; found:=false; WHILE NOT found DO Prüfe alle Indexfolgen der Länge `, ob sie das gegebene PCP lösen. IF Lösung gefunden THEN found:=true ENDIF; ` := ` + 1 ENDWHILE; OUTPUT 1 Einheit 15 Folie 15.7