Grundlagen der Theoretischen Informatik: Übung 10

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1 Grundlagen der Theoretischen Informatik: Übung 10 Joachim Selke Fachgebiet Theoretische Informatik Universität Hannover 20. Januar 2005

2 Turing-Maschinen als Rechenmaschinen gegeben sei eine Funktion f : N k 0 N 0, also eine Funktion mit k natürlichen Zahlen als Eingabe und einer natürlichen Zahl als Ausgabe

3 Turing-Maschinen als Rechenmaschinen gegeben sei eine Funktion f : N k 0 N 0, also eine Funktion mit k natürlichen Zahlen als Eingabe und einer natürlichen Zahl als Ausgabe derartige Funktionen sind mit speziellen (deterministischen) Turing-Maschinen berechenbar

4 Turing-Maschinen als Rechenmaschinen gegeben sei eine Funktion f : N k 0 N 0, also eine Funktion mit k natürlichen Zahlen als Eingabe und einer natürlichen Zahl als Ausgabe derartige Funktionen sind mit speziellen (deterministischen) Turing-Maschinen berechenbar zu Beginn der Rechnung stehen die Eingabezahlen binär kodiert (bei mehreren Eingabezahlen durch ein spezielles Trennzeichen getrennt) auf dem Arbeitsband, nach der Rechnung steht dort die Ausgabe

5 Turing-Maschinen als Rechenmaschinen gegeben sei eine Funktion f : N k 0 N 0, also eine Funktion mit k natürlichen Zahlen als Eingabe und einer natürlichen Zahl als Ausgabe derartige Funktionen sind mit speziellen (deterministischen) Turing-Maschinen berechenbar zu Beginn der Rechnung stehen die Eingabezahlen binär kodiert (bei mehreren Eingabezahlen durch ein spezielles Trennzeichen getrennt) auf dem Arbeitsband, nach der Rechnung steht dort die Ausgabe f muß nicht für alle möglichen Eingaben definiert sein bei allen undefinierten Eingabewerten gerät die Turing-Maschine in eine Endlosschleife

6 Turing-Maschinen als Rechenmaschinen gegeben sei eine Funktion f : N k 0 N 0, also eine Funktion mit k natürlichen Zahlen als Eingabe und einer natürlichen Zahl als Ausgabe derartige Funktionen sind mit speziellen (deterministischen) Turing-Maschinen berechenbar zu Beginn der Rechnung stehen die Eingabezahlen binär kodiert (bei mehreren Eingabezahlen durch ein spezielles Trennzeichen getrennt) auf dem Arbeitsband, nach der Rechnung steht dort die Ausgabe f muß nicht für alle möglichen Eingaben definiert sein bei allen undefinierten Eingabewerten gerät die Turing-Maschine in eine Endlosschleife Anmerkung: Mit Turing-Maschinen lassen sich natürlich auch Funktionen g : Σ Γ berechnen, wobei Σ und Γ Alphabete sind

7 Beispiel: Division f (a, b) := a b Berechnung von f (12, 3): Arbeitsband: 1100#11 Berechnung Arbeitsband: 100

8 Beispiel: Division f (a, b) := a b Berechnung von f (12, 0): Arbeitsband: 1100#0 Berechnung Endlosschleife

9 Programmiersprachen: LOOP, WHILE, GOTO möchte man das Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion f exakt beschreiben, so kann man natürlich eine konkrete Turing-Maschinen angeben, die f berechnet

10 Programmiersprachen: LOOP, WHILE, GOTO möchte man das Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion f exakt beschreiben, so kann man natürlich eine konkrete Turing-Maschinen angeben, die f berechnet dies ist aber in der Regel sehr umständlich und nur schwer lesbar (viele Zustände und Zustandsübergänge)

11 Programmiersprachen: LOOP, WHILE, GOTO möchte man das Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion f exakt beschreiben, so kann man natürlich eine konkrete Turing-Maschinen angeben, die f berechnet dies ist aber in der Regel sehr umständlich und nur schwer lesbar (viele Zustände und Zustandsübergänge) eine alternative Möglichkeit sind Programmiersprachen

12 Programmiersprachen: LOOP, WHILE, GOTO möchte man das Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion f exakt beschreiben, so kann man natürlich eine konkrete Turing-Maschinen angeben, die f berechnet dies ist aber in der Regel sehr umständlich und nur schwer lesbar (viele Zustände und Zustandsübergänge) eine alternative Möglichkeit sind Programmiersprachen diese sind darauf ausgelegt, daß Menschen damit leicht Programme schreiben können die Verständlichkeit der Anweisungen steht im Vordergrund

13 Programmiersprachen: LOOP, WHILE, GOTO möchte man das Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion f exakt beschreiben, so kann man natürlich eine konkrete Turing-Maschinen angeben, die f berechnet dies ist aber in der Regel sehr umständlich und nur schwer lesbar (viele Zustände und Zustandsübergänge) eine alternative Möglichkeit sind Programmiersprachen diese sind darauf ausgelegt, daß Menschen damit leicht Programme schreiben können die Verständlichkeit der Anweisungen steht im Vordergrund wir betrachten im folgenden drei sehr einfache Programmiersprachen zur Berechung von Funktionen ähnlich wie Turing-Maschinen: LOOP, WHILE und GOTO

14 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden

15 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden es gibt in LOOP-Programmen unendlich viele Variablen: x 0, x 1, x 2,...

16 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden es gibt in LOOP-Programmen unendlich viele Variablen: x 0, x 1, x 2,... jede dieser Variablen kann einen Wert aus N 0 speichern

17 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden es gibt in LOOP-Programmen unendlich viele Variablen: x 0, x 1, x 2,... jede dieser Variablen kann einen Wert aus N 0 speichern die k Eingabewerte sind zu Beginn jedes LOOP-Programms in den Variablen x 1, x 2,..., x k gespeichert

18 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden es gibt in LOOP-Programmen unendlich viele Variablen: x 0, x 1, x 2,... jede dieser Variablen kann einen Wert aus N 0 speichern die k Eingabewerte sind zu Beginn jedes LOOP-Programms in den Variablen x 1, x 2,..., x k gespeichert alle anderen Variablen haben zu Beginn den Wert 0

19 Die Programmiersprache LOOP wie bei Turing-Maschinen soll eine Funktion f : N k 0 N 0 berechnet werden es gibt in LOOP-Programmen unendlich viele Variablen: x 0, x 1, x 2,... jede dieser Variablen kann einen Wert aus N 0 speichern die k Eingabewerte sind zu Beginn jedes LOOP-Programms in den Variablen x 1, x 2,..., x k gespeichert alle anderen Variablen haben zu Beginn den Wert 0 am Ende des Programms muß der Ausgabewert in der Variablen x 0 gespeichert sein dafür ist das LOOP-Programm zuständig

20 Die Programmiersprache LOOP Beginn: x 0 x 1 x 2 x k 1 x k x k+1 x k+2 0 Eingabe 0 0 Berechnung durch das LOOP-Programm Ende: x 0 x 1 x 2 x k 1 x k x k+1 x k+2 Ausgabe???????

21 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden

22 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden mit dem Befehl x 2 := x wird beispielsweise in der Variablen x 2 der um 75 erhöhte Wert der Variablen x 6 gespeichert enthält x 6 etwa den Wert 25, so bekommt x 2 den Wert 100 zugewiesen

23 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden mit dem Befehl x 2 := x wird beispielsweise in der Variablen x 2 der um 75 erhöhte Wert der Variablen x 6 gespeichert enthält x 6 etwa den Wert 25, so bekommt x 2 den Wert 100 zugewiesen genauso ist auch x 167 := x 1 12 möglich, hier wird dann subtrahiert negative Werte werden dabei zu 0

24 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden mit dem Befehl x 2 := x wird beispielsweise in der Variablen x 2 der um 75 erhöhte Wert der Variablen x 6 gespeichert enthält x 6 etwa den Wert 25, so bekommt x 2 den Wert 100 zugewiesen genauso ist auch x 167 := x 1 12 möglich, hier wird dann subtrahiert negative Werte werden dabei zu 0 derartige Befehle lassen sich natürlich für beliebige Variablen und Zahlen (aus N 0 ) formulieren

25 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden mit dem Befehl x 2 := x wird beispielsweise in der Variablen x 2 der um 75 erhöhte Wert der Variablen x 6 gespeichert enthält x 6 etwa den Wert 25, so bekommt x 2 den Wert 100 zugewiesen genauso ist auch x 167 := x 1 12 möglich, hier wird dann subtrahiert negative Werte werden dabei zu 0 derartige Befehle lassen sich natürlich für beliebige Variablen und Zahlen (aus N 0 ) formulieren LOOP-Programme entstehen durch die Ausführung mehrerer Befehle hintereinander

26 Die Programmiersprache LOOP während der Berechnung kann der Inhalt der Variablen verändert werden mit dem Befehl x 2 := x wird beispielsweise in der Variablen x 2 der um 75 erhöhte Wert der Variablen x 6 gespeichert enthält x 6 etwa den Wert 25, so bekommt x 2 den Wert 100 zugewiesen genauso ist auch x 167 := x 1 12 möglich, hier wird dann subtrahiert negative Werte werden dabei zu 0 derartige Befehle lassen sich natürlich für beliebige Variablen und Zahlen (aus N 0 ) formulieren LOOP-Programme entstehen durch die Ausführung mehrerer Befehle hintereinander dies ist mit dem Zeichen ; möglich Beispiel: x 2 := x ; x 167 := x 1 12

27 Die Programmiersprache LOOP seinen Namen verdankt LOOP einem Schleifen-Befehl

28 Die Programmiersprache LOOP seinen Namen verdankt LOOP einem Schleifen-Befehl Beispiel: LOOP x 7 DO... END (... ist dabei eine beliebige Folge von LOOP-Befehlen)

29 Die Programmiersprache LOOP seinen Namen verdankt LOOP einem Schleifen-Befehl Beispiel: LOOP x 7 DO... END (... ist dabei eine beliebige Folge von LOOP-Befehlen) hat x 7 vor der Ausführung dieses Befehls beispielsweise den Wert 11, so werden die durch... angedeuteten Befehle genau 11-mal wiederholt ausgeführt egal, ob x 7 dadurch seinen Wert ändert!

30 Die Programmiersprache LOOP seinen Namen verdankt LOOP einem Schleifen-Befehl Beispiel: LOOP x 7 DO... END (... ist dabei eine beliebige Folge von LOOP-Befehlen) hat x 7 vor der Ausführung dieses Befehls beispielsweise den Wert 11, so werden die durch... angedeuteten Befehle genau 11-mal wiederholt ausgeführt egal, ob x 7 dadurch seinen Wert ändert! durch die Ausführung des LOOP-Befehls ändert x 7 seinen Wert nicht dies ist nur durch die wiederholten Befehle möglich

31 Was berechnet folgendes LOOP-Programm? Eingabe: x 1, x 2 LOOP x 1 DO x 1 := x END; LOOP x 2 DO x 1 := x END; x 0 := x 1 + 0

32 Was berechnet folgendes LOOP-Programm? Eingabe: x 1, x 2 LOOP x 1 DO x 1 := x END; LOOP x 2 DO x 1 := x END; x 0 := x Antwort: 5 x 1 + x 2

33 Aufgabe Eingabe: x 1, x 2, x 3, x 4 Ausgabe: 100 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Schreiben Sie ein passendes LOOP-Programm!

34 Spezielle LOOP-Programme Zur Vereinfachung definieren wir uns Kurzschreibweisen für bestimmte LOOP-Programme: x i := x j x i := x j + 0 x i := c x i := x p + c (c ist eine beliebige Zahl) (x p ist eine beliebige unbenutzte Variable) IF x i = 0 THEN P END x p := 1; (P ist ein beliebiges LOOP-Programm) LOOP x i DO (x p ist eine beliebige unbenutzte Variable) x p := 0 END; LOOP x p DO P END

35 Übungsblatt 10, Aufgabe 2 Wie formuliert man in LOOP? IF x i = 0 THEN P ELSE Q END

36 Weitere spezielle LOOP-Programme x i := x j + x k x i := x j ; LOOP x k DO x i := x i + 1 END x i := x j x k x i := 0; LOOP x k DO x i := x i + x j END (siehe Vorlesung)

37 Die Programmiersprache WHILE wir erweitern LOOP um einen weiteren Befehl

38 Die Programmiersprache WHILE wir erweitern LOOP um einen weiteren Befehl WHILE x i 0 DO P END führt das Programm P solange wiederholt aus, bis x i den Wert 0 hat

39 Die Programmiersprache WHILE wir erweitern LOOP um einen weiteren Befehl WHILE x i 0 DO P END führt das Programm P solange wiederholt aus, bis x i den Wert 0 hat die Überprüfung, ob x i = 0 gilt, findet vor jeder Wiederholung statt

40 Die Programmiersprache WHILE wir erweitern LOOP um einen weiteren Befehl WHILE x i 0 DO P END führt das Programm P solange wiederholt aus, bis x i den Wert 0 hat die Überprüfung, ob x i = 0 gilt, findet vor jeder Wiederholung statt nun lassen sich Endlosschleifen erzeugen das ist in der Programmiersprache LOOP nicht möglich!

41 Was berechnet folgendes WHILE-Programm? Eingabe: x 1, x 2, x 3 x 0 := 1; WHILE x 1 0 DO x 0 := x 0 x 2 ; x 1 := x 1 1 END; LOOP x 3 DO x 0 := x END

42 Was berechnet folgendes WHILE-Programm? Eingabe: x 1, x 2, x 3 Antwort: x x x 3 x 0 := 1; WHILE x 1 0 DO x 0 := x 0 x 2 ; x 1 := x 1 1 END; LOOP x 3 DO x 0 := x END

43 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich

44 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich die Befehle der Programmiersprache GOTO sehen wir gleich, ein wichtiger Unterschied zu LOOP und WHILE ist jedoch, daß jeder Befehl in einem GOTO-Programm mit einer Markierung versehen ist der erste Befehl im Programmtext hat die Marke M 1, der zweite M 2 und so weiter...

45 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich die Befehle der Programmiersprache GOTO sehen wir gleich, ein wichtiger Unterschied zu LOOP und WHILE ist jedoch, daß jeder Befehl in einem GOTO-Programm mit einer Markierung versehen ist der erste Befehl im Programmtext hat die Marke M 1, der zweite M 2 und so weiter... die Befehle x i := x j + c und x i := x j c sind wie in LOOP und WHILE definiert

46 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich die Befehle der Programmiersprache GOTO sehen wir gleich, ein wichtiger Unterschied zu LOOP und WHILE ist jedoch, daß jeder Befehl in einem GOTO-Programm mit einer Markierung versehen ist der erste Befehl im Programmtext hat die Marke M 1, der zweite M 2 und so weiter... die Befehle x i := x j + c und x i := x j c sind wie in LOOP und WHILE definiert der Befehl GOTO M j sorgt dafür, daß das Programm bei dem Befehl mit der Markierung M j fortgesetzt wird

47 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich die Befehle der Programmiersprache GOTO sehen wir gleich, ein wichtiger Unterschied zu LOOP und WHILE ist jedoch, daß jeder Befehl in einem GOTO-Programm mit einer Markierung versehen ist der erste Befehl im Programmtext hat die Marke M 1, der zweite M 2 und so weiter... die Befehle x i := x j + c und x i := x j c sind wie in LOOP und WHILE definiert der Befehl GOTO M j sorgt dafür, daß das Programm bei dem Befehl mit der Markierung M j fortgesetzt wird der Befehl IF x i = c THEN GOTO M j überprüft, ob die Variable x i den Wert c hat ist dies der Fall, so wird das Programm bei dem Befehl mit der Markierung M j fortgesetzt; ansonsten passiert nichts

48 Die Programmiersprache GOTO Variablen und Schreibweisen sind in GOTO wie in LOOP und WHILE, nur die Befehle unterscheiden sich die Befehle der Programmiersprache GOTO sehen wir gleich, ein wichtiger Unterschied zu LOOP und WHILE ist jedoch, daß jeder Befehl in einem GOTO-Programm mit einer Markierung versehen ist der erste Befehl im Programmtext hat die Marke M 1, der zweite M 2 und so weiter... die Befehle x i := x j + c und x i := x j c sind wie in LOOP und WHILE definiert der Befehl GOTO M j sorgt dafür, daß das Programm bei dem Befehl mit der Markierung M j fortgesetzt wird der Befehl IF x i = c THEN GOTO M j überprüft, ob die Variable x i den Wert c hat ist dies der Fall, so wird das Programm bei dem Befehl mit der Markierung M j fortgesetzt; ansonsten passiert nichts der Befehl HALT beendet das Programm

49 Was berechnet folgendes GOTO-Programm? Eingabe: x 1, x 2 M 1 : IF x 1 = 0 THEN GOTO M 5 ; M 2 : x 2 := x 2 + 1; M 3 : x 1 := x 1 x 2 ; M 4 : GOTO M 1 ; M 5 : x 0 := x 2 ; M 6 : HALT

50 Was berechnet folgendes GOTO-Programm? Eingabe: x 1, x 2 M 1 : IF x 1 = 0 THEN GOTO M 5 ; M 2 : x 2 := x 2 + 1; M 3 : x 1 := x 1 x 2 ; M 4 : GOTO M 1 ; M 5 : x 0 := x 2 ; M 6 : HALT Antwort: Sind a und b die Eingabewerte und k N 0 die kleinste Zahl, die die Bedingung a k b k i=1 i 0 erfüllt, so ist die Ausgabe b + k.

51 Äquivalenzbetrachtungen in der Vorlesung wurde gezeigt, daß WHILE-Programme, GOTO-Programme und Turing-Maschinen äquivalent sind

52 Äquivalenzbetrachtungen in der Vorlesung wurde gezeigt, daß WHILE-Programme, GOTO-Programme und Turing-Maschinen äquivalent sind kann man also in einem dieser drei Modelle ein Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion angeben, so ist dies auch in den anderen beiden möglich

53 Äquivalenzbetrachtungen in der Vorlesung wurde gezeigt, daß WHILE-Programme, GOTO-Programme und Turing-Maschinen äquivalent sind kann man also in einem dieser drei Modelle ein Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion angeben, so ist dies auch in den anderen beiden möglich LOOP-Programme hingegen können weniger als diese drei Berechnungsmodelle

54 Äquivalenzbetrachtungen in der Vorlesung wurde gezeigt, daß WHILE-Programme, GOTO-Programme und Turing-Maschinen äquivalent sind kann man also in einem dieser drei Modelle ein Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion angeben, so ist dies auch in den anderen beiden möglich LOOP-Programme hingegen können weniger als diese drei Berechnungsmodelle zum einen müssen LOOP-Programme immer anhalten, zum anderen gibt es totale Funktionen, die mit LOOP-Programmen nicht berechenbar ist

55 Äquivalenzbetrachtungen in der Vorlesung wurde gezeigt, daß WHILE-Programme, GOTO-Programme und Turing-Maschinen äquivalent sind kann man also in einem dieser drei Modelle ein Berechnungsverfahren für eine bestimmte Funktion angeben, so ist dies auch in den anderen beiden möglich LOOP-Programme hingegen können weniger als diese drei Berechnungsmodelle zum einen müssen LOOP-Programme immer anhalten, zum anderen gibt es totale Funktionen, die mit LOOP-Programmen nicht berechenbar ist ein Beispiel dafür ist die sogenannte Ackermann-Funktion: y + 1 falls x = 0, f (x, y) := f (x 1, 1) falls x > 0 und y = 0, f ( x 1, f (x, y 1) ) sonst.

56 Die Churchsche These lange Zeit hat man versucht, sich Berechnungsmodelle auszudenken, die mehr können als Turing-Maschinen oder WHILE-Programme

57 Die Churchsche These lange Zeit hat man versucht, sich Berechnungsmodelle auszudenken, die mehr können als Turing-Maschinen oder WHILE-Programme erstaunlicherweise hat man bisher jedoch kein mächtigeres Modell als die obigen gefunden

58 Die Churchsche These lange Zeit hat man versucht, sich Berechnungsmodelle auszudenken, die mehr können als Turing-Maschinen oder WHILE-Programme erstaunlicherweise hat man bisher jedoch kein mächtigeres Modell als die obigen gefunden Alonzo Church ( ), ein amerikanischer Mathematiker hat daher bereits 1936 die These formuliert, daß die Menge der im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen der Menge der von Turing-Maschinen berechenbaren Funktionen entspricht

59 Die Churchsche These lange Zeit hat man versucht, sich Berechnungsmodelle auszudenken, die mehr können als Turing-Maschinen oder WHILE-Programme erstaunlicherweise hat man bisher jedoch kein mächtigeres Modell als die obigen gefunden Alonzo Church ( ), ein amerikanischer Mathematiker hat daher bereits 1936 die These formuliert, daß die Menge der im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen der Menge der von Turing-Maschinen berechenbaren Funktionen entspricht diese These läßt sich nicht beweisen, man ist von ihrer Gültigkeit jedoch überzeugt

60 Die Churchsche These lange Zeit hat man versucht, sich Berechnungsmodelle auszudenken, die mehr können als Turing-Maschinen oder WHILE-Programme erstaunlicherweise hat man bisher jedoch kein mächtigeres Modell als die obigen gefunden Alonzo Church ( ), ein amerikanischer Mathematiker hat daher bereits 1936 die These formuliert, daß die Menge der im intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen der Menge der von Turing-Maschinen berechenbaren Funktionen entspricht diese These läßt sich nicht beweisen, man ist von ihrer Gültigkeit jedoch überzeugt Ausblick: es gibt Funktionen, die man auch mit Turing-Maschinen nicht berechnen kann!