2. Imperative Programmierung und Berechenbarkeit - Registermaschinen -

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1 2. Imperative Programmierung und Berechenbarkeit - Registermaschinen Definition 2.2 Loop-Programme 2.3 While Programme 2.4 While Programme und rekursive Funktionen Im Wesentlichen: Tafel!

2 Maschinenmodell Registermaschine - Register x1, xn -- endlich viele Speicherregister - Ein Befehlsregister b Operationen werden durch die "Programmiersprache" festgelegt. Befehlssatz einer LOOP-RM: xi = xj + c xi = xj c LOOP xi {<Befehlsfolge>} Konstanten c : natürliche Zahlen Semantik: - Addition wie üblich - Subtraktion: xi erhält den Wert xj c, wenn xj c 0 sonst 0 hs / fub - alp2-2 2

3 Beispiel: einfache Programme Multiplikation: x i = x j *x k LOOP x i {x i = x i -1} LOOP x j {x i = x i +x k } Und wie definiert man x i = x j + x k?? Welche Funktionen lassen sich mit LOOP-Programmen berechnen? hs / fub - alp2-2 3

4 LOOP-Programme Satz: Mit LOOP-Programmen kann man genau die primitiv rekursiven Funktionen f k :: N k N berechnen. aber das sind bekanntlich nicht alle berechenbaren Funktionen. Loop Programme terminieren immer! Warum? hs / fub - alp2-2 4

5 Primitiv rekursive Grundfunktionen (I) 1. Konstante 0 Wiederholung aus ALP1 2. Nachfolgerfunktion succ succ (0), succ(succ(0)),... succ(x) = x+1 (*) 3. Projektionen proj m,i : N m -> N, m N proj m,i (x 1,,x i,,x m ) = x i, i m (*) Funktionen in math. Schreibweise: f (x,y,z) hs / fub - alp2-2 5

6 II. Einsetzungsschema (Komposition) g : N r -> N, h i : N k -> N, i=1..r, primitiv rekursiv, dann auch Wiederholung aus ALP1 f(x 1, x k ) = g(h 1 (x 1,..,x k ),,h r (x 1,..,x k )) Beachte: typisches nichtrekursives Definitionsschema, z.b quad (x ) = x*x = (*) (proj 1,1 (x), proj 1,1 (x)) Aber bisher nicht bewiesen, dass '*' primitiv rekursiv definierbar. hs / fub - alp2-2 6

7 III Rekursionsschema g : N k -> N, k 0 h i : N k+2 -> N primitiv rekursiv, dann auch f : N k+1 -> N f(0,x 1, x k ) = g (x 1,..,x k ) f(m+1,x 1, x k ) = h ( f(m,x 1,..,x k ), m, x 1,..,x k ) Wiederholung aus ALP1 Bsp.: fak 0 = 1 fak (m+1) = h (fak (m), m) mit h(x,y) = x * (y+1) Schreibweise: oft x statt x 1,...,x k Bemerkung: In der Literatur oft f(m+1,x 1, x k ) = h (x 1,..,x k,m,f(m,x 1,..,x k )). Es gibt viele äquivalente Rekursionsschemata. hs / fub - alp2-2 7

8 Beschränkter μ-operator Gesucht Operator, der kleinstes i < m findet, das eine Bedingung wahr macht. μ i < m (g(i,x)) = j < i 0 i 0, wenn g(i 0,x) = 0 g(j,x) 0 0 i 0 < m 0 falls m=0 0 j<m g(j,x) 0 Bsp: div (x,y): gesucht das kleinste z, das y*z x und y*(z+1) > g erfüllt Satz: Beschränkter μ-operator kann durch ein LOOP-Programm realisiert werden. hs / fub - alp2-2 8

9 Loop-Algorithmus: beschränkter μ-operator x res = 0; i = 0: x m =m-1; loop x m { wenn g(i,x) > 0 dann i=i+1; sonst {wenn schon i 0 mit g(i 0,x) gefunden dann ignoriere aktuelles i sonst x res = i} } hs / fub - alp2-2 9

10 μ-rekursion Erst mit dem unbeschränkten μ-operator erhält man alle berechenbaren Funktionen. Sei g: N k+1 -> N partielle Funktion. i 0, wenn g(i 0,x) = 0 j < i 0 ( g(j,x) 0 f(x) = μ (g(i,x)) = g(j,x) definiert) undefiniert sonst hs / fub - alp2-2 10

11 While-Programme Unbeschränkter μ-operator lässt sich nicht durch ein LOOP-Programm realisieren. Echte Spracherweiterung der Registermaschine erforderlich While-Befehl: WHILE (xi o) {P} Semantik: führe P solange aus bis x i den Wert 0 hat. hs / fub - alp2-2 11

12 Berechenbarkeit LOOP-Programme sind WHILE-berechenbar. Satz: Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen ist gleich der durch WHILE-Programme berechenbaren Funktionen. Mit Church'scher These heißt das: Alle berechenbaren Funktionen können durch imperative Programme mit WHILE-Befehl und Zuweisung xi = xj+c, xi = xj -1 berechnet werden, sofern sie terminieren. hs / fub - alp2-2 12

13 GOTO-Registermaschine Befehle haben Marken: M i :B i Zuweisungen: xi = xj + c xi = xj c Sprungbefehle: if xi=c then GOTO Mj GOTO Mj bedingter Sprung: wenn Bedingung erfüllt nächster Befehl der mit Marke Mj, sonst der Folgebefehl. unbedingter Sprung, nächster Befehl ist der mit Marke Mj beendet Programm HALT Marken, die nie Sprungziel sind, können weggelassen werden. hs / fub - alp2-2 13

14 Satz: Die Klasse der GOTO-Programme ist gleich der Klasse der WHILE-Programme (und damit gleich der Klasse der μ-rekursiven Funktionen) Beweis (" ") Konstruktiv: Konstruiere für beliebiges GOTO-Programm P WHILE-Programm P', das P emuliert. P sei: M 1 :B 1,,M n :B n P': zaehl=1; while (zaehl 0) { if (zaehl = 1) then A 1 ' ;. if (zaehl = n) then A n '; } wobei Sie erst selbst versuchen sollten, die Ai' zu definieren und dann mit der Lösung auf der folgenden Folie vergleichen sollten. hs / fub - alp2-2 14

15 A i ' {x i =x j +/- c; count=count+1} wenn A i = x i =x j +/- c A i ' if x j =c then count=k else count=count+1 wenn A i if x j =c then GOTO M k Ai' if x j =x j then GOTO k wenn A i GOTO M k Ai' count=0 wenn A i HALT Beweis in Richtung " <= " einfacher, siehe VL hs / fub - alp2-2 15