GTI. Hannes Diener Juli. ENC B-0123,

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1 GTI Hannes Diener ENC B-0123, Juli 1 / 29

2 Entscheidungsprobleme und Halteproblem In diesem Kapitel wollen wir uns an Stelle von Berechenbarkeit von Funktion, welche bei einem Input eine natürliche Zahl als Output liefern, einfachere Probleme betrachten die sogenannten Entscheidungsprobleme. Dies sind Algorithmen von welchen wir nur eine Ja-Nein bzw. 0-1 Antwort erwarten. 2 / 29

3 Dies ist das Gleiche, wie wenn wir uns auf die Teilmengen der Eingabe konzentrieren, die eine positive Antwort geben: t x Input x liefert Antwort Ja u. Äquivalent können wir uns ein Entscheidungsproblem auch als das Problem x P A auffassen, wobei A Ď N. An Stelle von Mengen sprechen wir in diesem Sinne auch über Probleme. Da wir Wörter über einem Alphabet ta 1,..., a n u durch Tupel natürlicher Zahlen pi 1,..., i m q, wobei i 1,..., i m P t1,..., nu kodieren können, macht es auch Sinn über Entscheidungsprobleme auf Wörtern zu reden. 3 / 29

4 Formal: Definition Eine Menge A Ď N k heißt entscheidbar, falls ihre charakteristische Funktion χ A : N k Ñ N, definiert durch # 1 falls x P A χ A pxq 0 sonst berechenbar ist. 4 / 29

5 Definition Eine Menge B Ď N heißt (rekursiv) aufzählbar oder semi-entscheidbar, falls sie entweder leer ist oder es eine totale berechenbare Funktion f gibt, so daß f pnq B; d.h. B tf p0q, f p1q,...u. Wiederholungen in der Aufzählung sind natürlich zugelassen. 5 / 29

6 Das Komplement einer Menge A Ď N ist die Menge A t n P N n R A u Satz 1. Ist A Ď N entscheidbar, so ist A auch rekursiv aufzählbar. 2. Ist A Ď N entscheidbar, so auch A. 3. Sind B Ď N und B rekursiv aufzählbar, so ist B entscheidbar. 6 / 29

7 Man beachte, daß es keinen offensichtlichen Beweis gibt um aus der Aufzählbarkeit einer Menge B auf die von B zu schliessen: Nehmen wir an f zählt A auf. Das heißt B tf p0q, f p1q,...u. Um zu entscheiden, ob ein Element n P N ist können wir es nach und nach mit den Werten f p0q, f p1q, f p2q usw. vergleichen. Kommt es irgendwann vor, wissen wir n P B. Ist allerdings n R B, so warten wir vergebens. Anderst ausgedrückt wir können nie anfangen uns festzulegen ob ein Element in B ist, da ja immer immer noch in der Aufzählung von B vorkommen kann. 1 1 Dies ist natürlich kein Beweis, sondern nur eine intuitive Begründung. 7 / 29

8 Die offensichtliche Frage ist Gibt es rekursiv-aufzählbare Mengen, die nicht entscheidbar sind? Dies ist äquivalent zu Gibt es rekursiv-aufzählbare Mengen, deren Komplement nicht rekursiv-aufzählbar ist? Bevor wir diese Fragen positiv beantworten, wollen wir uns aber noch ein paar mehr Eigenschaften von entscheidbaren und rekursiv-aufzählbare Mengen betrachten. 8 / 29

9 Satz Sind A, B entscheidbar (rekursiv-aufzählbar) so gilt 1. A Y B ist entscheidbar (rekursiv-aufzählbar), 2. A X B ist entscheidbar (rekursiv-aufzählbar). 3. Ist A rekursiv-aufzählbar und f : N Ñ N, so ist f paq rekursiv aufzählbar. 9 / 29

10 Wie wir gesehen hatten gibt es eine universelle Turingmaschine; d.h. eine Turingmaschine T u, die bei Eingabe eines Wortes w M $w, wobei w M ein Code für die Turingmaschine M ist und w ein Eingabewort, genau dann mit Ausgabe v akzeptiert, wenn M dies tut. Folgen wir den Ideen des letzten Kapitels können wir damit zeigen, daß es auch ein ähnliches Objekt für die µ-rekursiven Funktionen gibt. 10 / 29

11 Satz Es gibt eine universelle Funktion u : N 2 Ñ N, d.h. eine µ-rekursive Funktion u, so daß für jede µ-rekursive Funktion f eine Zahl e mit upe, nq f pnq für alle n P N existiert. Beweis. Die Funktion u ist prinzipiell nichts anderes, als die von der universellen Turingmaschine berechnete zweistellige Funktion. Da letztere offensichtlich Turingberechenbar ist, ist u µ-rekursiv. Die Zahl e sollte man sich also als Code einer Turingmaschine vorstellen, die f berechnet. 11 / 29

12 Kurzer Einschub: Funktionen mehrerer Variablen. Satz Ist f : N k á N eine Funktion, so gibt es eine Funktion g : N á N mit gpxx 1,..., x k y k q f px 1,..., x k q. Ausserdem ist g primitiv rekursiv (µ-rekursiv) genau dann wenn f es ist. D.h. für uns: es reicht unsere Betrachtungen auf einstellige Funktionen zu beschränken. 12 / 29

13 Dies führt uns zu folgenden Entscheidungsproblemen: Definition! ) 1. H xe, xy 2 P N ˇ upe, xq ist definiert (das Halteproblem) 2. H d t x P N upx, xq ist definiert u 3. H 0 t x P N upx, 0q ist definiert u 13 / 29

14 Satz (Unentscheidbarkeit des Halteproblems) 1. Die Mengen H, H d und H 0 semi-entscheidbar 2. Das Problem H d ist nicht entscheidbar. 3. Das Problem H ist nicht entscheidbar. Bevor wir uns den Beweis ansehen benötigen wir noch eine interessante Definition. 14 / 29

15 Definition Ein Problem A Ď N heißt reduzierbar auf ein Problem B via f, falls es eine µ-rekursive Funktion f gibt, so daß x P A ðñ f pxq P B. In diesem Falle schreiben wir A ď B. 15 / 29

16 Satz Die Relation ď ist reflexiv und transitiv. D.h., A ď A und wenn A ď B und B ď C, dann ist auch A ď C. 16 / 29

17 Satz Seien A, B Ď N mit A ď B. Ist B entscheidbar, so auch A. 17 / 29

18 Beweis der Unentscheidbarkeit des Halteproblems. 1. Technisch, Idee in der Vorlesung. 2. Nehmen wir an H d wäre entscheidbar. Sei f : N Ñ N nun definiert durch # upx, xq falls χ Hd pxq 1 f pxq 0 sonst. Man beachte, daß f aus den µ-rekursiven Funktionen λx.upx, xq, λx.0 und χ Hd durch Fallunterscheidung hervorgeht, also µ-rekursiv ist. Also existiert ein Index e, so daß upe, xq f pxq für alle x. 18 / 29

19 ... Beweis. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, die aber beide zu einem Widerspruch führen. Fall 1: e P H d. Dann ist χ Hd peq 1, also f peq upe, eq ` 1 nach Definition von f. Andererseits ist f peq upe, eq, und wir haben einen Widerspruch. Fall 2: e R H d. Dann ist χ Hd peq 0, also f peq 0 nach Definition von f. Andererseits ist f peq upe, eq K; ebenfalls ein Widerspruch. Insgesamt kann H d also nicht entscheidbar sein, da wir sonst auf alle Fälle einen Widerspruch finden können. 19 / 29

20 Als nächstes wollen wir uns noch drei technische Sätze über die Berechenbarkeit ansehen: Das s-m-n Theorem. Den Rekursionssatz. Den Fixpunktsatz. 20 / 29

21 Satz (s-m-n Theorem) Es gibt eine totale, µ-rekursive Funktion s : N 3 Ñ N, so daß für alle i, m P N und x 1,..., x m, y 1,..., y n P N gilt: upi, xx 1,..., x m, y 1,..., y n yq upspi, m, xx 1,..., x m yq, xy 1,..., y n yq Beweis. Ausgelassen. 21 / 29

22 Satz (Rekursionssatz) Sei h : N 2 Ñ N eine µ-rekursive Funktion. Dann gibt es einen Index r, so daß upr, q hpr, q Beweis. Sei s 1 : N 2 Ñ N definiert durch s 1 pi, xq spi, 1, xq. Sei nun j, so daß upj, xi, xy 2 q hps 1 pi, iq, xq. Jetzt ist hps 1 pj, jq, xq upj, xj, xy 2 q ups 1 pj, jq, xq. Also ist r ps 1 pj, jq ist der gesuchte Index. 22 / 29

23 Satz (Fixpunktsatz) Sei f eine totale µ-rekursive Funktion. Dann gibt es einen Index e, so daß upe, q upf peq, q Beweis. Sei h : N 2 Ñ N definiert durch hpi, xq upf piq, xq. Offensichtlich ist h µ-rekursiv. Also existiert nach dem Rekursionssatz ein Index r, so daß upr, xq hpr, xq upf prq, xq upf prq, xq. 23 / 29

24 Der Fixpunktsatz hat zwei nette Folgerungen: Es gibt keinen perfekten Virus Es gibt keinen schlechten Compiler 24 / 29

25 Aus dem s-m-n Theorem können wir jetzt auch folgern, daß H d auf H 0 reduzierbar ist und damit H 0 nicht entscheidbar ist. Beweis. Sei f : N Ñ N definiert durch f pxx, yy 2 q upx, xq. Da f µ-rekursiv ist können wir einen Index r finden, so daß upr, q f p q. Dann ist mit dem s-m-n Theorem upspr, 1, xq, yq upr, xx, yy 2 q f pxx, yy 2 q upx, xq. Insbesondere für y 0 gilt also upspr, 1, xq, 0q upx, xq. Also ist H d ď H 0 via λx.spr, 1, xq. 25 / 29

26 Es gibt noch eine Vielzahl an natürlichen Problemen, die nicht entscheidbar sind. Allen gemeinsam ist, daß sie ähnlich dem Halteproblem Aussagen über alle berechenbaren Funktionen machen. 1. t e P N upe, q ist total u (Totalitätsproblem) 2. t e P N upe, q ist nirgends definiert u (Leerheitsproblem) 3. t e P N upe, q f u (Korrektheitsproblem für eine Funktion f ) 26 / 29

27 Definition (Indexmenge) Eine Menge I Ď N heißt Indexmenge falls für alle i, j P N gilt: i P I ^ upi, q upj, q ùñ j P I. 27 / 29

28 Satz (Satz von Rice) Jede nicht-triviale Indexmenge ist nicht entscheidbar. Beweis. Wenn I nicht-trivial ist, also H I N gibt es i, j so daß i P I und j R I. Nehmen wir nun an, daß I entscheidbar ist, so ist f : N Ñ N definiert durch # j, falls x P I f pxq i, falls x R I total und µ-rekursiv. Nach dem Fixpunktsatz gibt es r P N so daß upr, q upf prq, q. 28 / 29

29 ... Beweis. Ist r P I, so ist dann, da I Indexmenge ist, auch f prq P I. Andererseits ist f prq j R I ein Widerspruch. Ist r R I, so ist f prq i P I nach Definition von f. Also ist, da I Indexmenge ist auch r P I ; ebenfalls ein Widerspruch. Insgesamt kann I also nicht entscheidbar sein. 29 / 29