Die Church-Turing-These

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1 Die Church-Turing-These Elmar Eder () Die Church-Turing-These 1 / 12

2 Formale Systeme Formale Systeme µ-partiellrekursive Funktionen Logikkalküle SLD-Resolution (Prolog) Chomsky-Grammatiken Turing-Maschinen λ-kalkül Kombinatoren-Kalkül Termersetzungssysteme Programmiersprachen () Die Church-Turing-These 3 / 12

3 Partiell berechenbare Funktionen und aufzählbare Mengen Bemerkung Jedes dieser Systeme beschreibt eines der folgenden Dinge: Partiell berechenbare Funktionen f : X p Y Aufzählbare Teilmengen eines Datenbereichs X. Bemerkung Die Begriffe der partiellen Berechenbarkeit und der Aufzählbarkeit sind aufeinander zurückführbar. Eine Menge ist genau dann aufzählbar, wenn sie der Definitionsbereich / Wertebereich einer partiell berechenbaren Funktion ist. Eine partielle Funktion ist genau dann partiell berechenbar, wenn ihr Graph aufzählbar ist. () Die Church-Turing-These 4 / 12

4 Folgerung Jedes dieser formalen Systeme beschreibt jedes der folgenden Dinge: Eine Klasse von partiell berechenbaren Funktionen Eine Klasse von aufzählbaren Mengen. Satz All diese formalen Systeme beschreiben dieselbe Klasse von partiell berechenbaren Funktionen und dieselbe Klasse von aufzählbaren Mengen. (Eventuell nach Umkodierung der Datenbereiche) Beweisidee Simuliere ein System im anderen. () Die Church-Turing-These 5 / 12

5 Partiellrekursive Funktionen und rekursiv aufzählbare Mengen Definition Eine partielle Funktion heißt partiellrekursiv, wenn sie in einem dieser formalen Systeme darstellbar ist. Sie heißt rekursiv, wenn sie partiellrekursiv und total ist. Definition Eine Teilmenge eines Datenbereichs heißt rekursiv aufzählbar, wenn sie in einem dieser formalen Systeme darstellbar ist. Sie heißt rekursiv, wenn ihre charakteristische Funktion rekursiv ist. () Die Church-Turing-These 6 / 12

6 Folgerung Satz Eine partielle zahlentheoretische Funktion ist genau dann partiellrekursiv, wenn sie µ-partiellrekursiv ist. Eine totale zahlentheoretische Funktion ist genau dann rekursiv, wenn sie µ-rekursiv ist. Eine Menge A X ist genau dann rekursiv, wenn A und X \ A rekursiv aufzählbar sind. () Die Church-Turing-These 7 / 12

7 Satz Eine Teilmenge A von N n bzw. von N ist genau dann rekursiv aufzählbar, wenn A der Definitionsbereich einer µ-partiellrekursiven Funktion ist. wenn A der Wertebereich einer µ-partiellrekursiven Funktion ist. wenn A der Wertebereich einer µ-rekursiven Funktion ist. wenn A der Wertebereich einer primitivrekursiven Funktion ist. wenn es ein (n + 1)-stelliges primitivrekursives Prädikat P gibt mit A(x 1,..., x n ) y P(x 1,..., x n, y) () Die Church-Turing-These 8 / 12

8 Church-Turing-These Church-Turing-These Jede partiell berechenbare Funktion ist partiellrekursiv. Bemerkung Die Church-Turing-These sagt also aus, dass die obengenannten formalen Systeme alle partiell berechenbaren Funktionen erfassen. () Die Church-Turing-These 10 / 12

9 Folgerung (aus der Church-Turing-These) Eine partielle Funktion ist genau dann partiell berechenbar, wenn sie partiellrekursiv ist. Eine totale Funktion ist genau dann berechenbar, wenn sie rekursiv ist. Eine Menge ist genau dann semi-entscheidbar, wenn sie rekursiv aufzählbar ist. Eine Menge ist genau dann entscheidbar, wenn sie rekursiv ist. () Die Church-Turing-These 11 / 12

10 Bemerkung Die Church-Turing-These bezieht sich auf den intuitiven Begriff der Berechenbarkeit, der sich wiederum auf den intuitiven Begriff des Algorithmus stützt. Sie besagt, dass die obengenannten Formalen Systeme adäquate mathematische Formalisierungen dieses intuitiven Begriffs darstellen. Daher ist die Church-Turing-These keine mathematische Aussage und lässt sich mathematisch nicht beweisen. Bemerkung Die Church-Turing-These wird oft auch einfach Church sche These genannt. () Die Church-Turing-These 12 / 12