Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe. Mathematik

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1 Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die gymnasiale Oberstufe Mathematik

2 Inhalt Seite 1a Die Fachgruppe Mathematik an der Karl-Ziegler- Schule 3 2 Entscheidungen zum Unterricht Unterrichtsvorhaben Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung Lehr- und Lernmittel 83 3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen 84 4 Qualitätssicherung und Evaluation 84 2

3 1a Die Fachgruppe Mathematik an der Karl-Ziegler-Schule Die Karl-Ziegler-Schule ist eines von fünf öffentlichen Gymnasien der Stadt. Es liegt im Innenstadtbereich und hat eine entsprechend heterogene Schülerschaft, was den sozialen und ethnischen Hintergrund betrifft. Die Karl-Ziegler-Schule ist in der Sekundarstufe I drei-vierzügig und wird als Ganztagsgymnasium geführt. In die Einführungsphase der Sekundarstufe II wurden in den letzten Jahren regelmäßig etwa Schülerinnen und Schüler neu aufgenommen, überwiegend aus drei Realschulen der Stadt, und in M, D, E und Sport in einem eigenen Klassenverband unterrichtet, wobei in den drei Hauptfächern je eine Zusatzstunde erteilt wird. Für diese Schülerinnen und Schüler ist dann die Wahl eines Vertiefungskurses nicht möglich. Der Unterricht findet im 45-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht grundsätzlich für Grundkurse eine, für Leistungskurse i.a. drei Doppelstunden vor, wobei eine Doppelstunde 14-tägig stattfindet. Den im Schulprogramm ausgewiesenen Zielen, Schülerinnen und Schüler ein leistungsorientiertes und partnerschaftliches Lernen zu ermöglichen, fühlt sich die Fachgruppe Mathematik in besonderer Weise verpflichtet, insbesondere weil die Schule einen naturwissenschaftlich-technischen Schwerpunkt besitzt (MINT-freundliche Schule): Durch regelmäßige Einrichtung mehrerer paralleler Vertiefungskurse in der Einführungsphase und in der Qualifikationsphase I werden Schülerinnen und Schüler mit Lernschwierigkeiten intensiv unterstützt. Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teilnahme an den vielfältigen Wettbewerben im Fach Mathematik angehalten und, wo erforderlich, begleitet (Känguru-Wettbewerb, Mathematik- Olympiade). Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass wo immer möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden. Für die Sekundarstufe I gibt es dazu Absprachen mit anderen Fachgruppen, wie z. B. Geographie, Kunst und Biologie. Besonders eng ist die Zusammenarbeit mit der Fachgruppe Physik. In der Sekundarstufe II kann verlässlich darauf aufgebaut werden, dass die Verwendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist. In der Sekundarstufe I wird ein wissenschaftlicher Taschenrechner ab Klasse 7 verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalku- 3

4 lation werden an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule zwei PC-Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. Eine Ausnahme bilden dabei allerdings diejenigen Schülerinnen und Schüler, die von der Realschule in die Sekundarstufe II aufgenommen werden. Hier wird die oben erwähnte Zusatzstunde in Mathematik benutzt, um wenn nötig auch sie mit diesen Medien vertraut zu machen. Der grafikfähige Taschenrechner wird in der Einführungsphase eingeführt. 2 Entscheidungen zum Unterricht Hinweis: Die nachfolgend dargestellte Umsetzung der verbindlichen Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans findet auf zwei Ebenen statt. Das Übersichtsraster gibt den Lehrkräften einen raschen Überblick über die laut Fachkonferenz verbindlichen Unterrichtsvorhaben pro Schuljahr. In dem Raster sind, außer dem Thema des jeweiligen Vorhabens, das schwerpunktmäßig damit verknüpfte Inhaltsfeld bzw. die Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte des Vorhabens sowie Schwerpunktkompetenzen ausgewiesen. Die Konkretisierung von Unterrichtsvorhaben führt weitere Kompetenzerwartungen auf und verdeutlicht vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen, z. B. zur Festlegung auf einen Aufgabentyp bei der Lernerfolgsüberprüfung durch eine Klausur. 2.1 Unterrichtsvorhaben Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan besitzt den Anspruch, sämtliche im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen abzudecken. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können. Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichtsund der Konkretisierungsebene. Im Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben (Kapitel 2.1.1) wird die Verteilung der Unterrichtsvorhaben dargestellt. Sie ist laut Beschluss der Fachkonferenz verbindlich für die Unterrichtsvorhaben I, II und III der Einführungsphase und für die Unterrichtsphasen der Qualifikationsphase. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben IV bis VIII der Einführungsphase ist jeweils auf die Vorgaben zur Vergleichsklausur abzustimmen. 4

5 Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie Kompetenzen an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf überoder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 75 Prozent der Bruttounterrichtszeit verplant. Während der Fachkonferenzbeschluss zum Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben zur Gewährleistung vergleichbarer Standards sowie zur Absicherung von Kurswechslern und Lehrkraftwechseln für alle Mitglieder der Fachkonferenz Bindekraft entfalten soll, besitzt die Ausweisung konkretisierter Unterrichtsvorhaben (Kapitel 2.1.2) empfehlenden Charakter. Referendarinnen und Referendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen, die im Einzelnen auch den Kapiteln 2.2 bis 2.4 zu entnehmen sind. Begründete Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten. 5

6 2.1.1 Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Unterrichtsvorhaben I.1: Thema: Funktionen 1 Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Einführungsphase Unterrichtsvorhaben I.2: Thema: Funktionen 2 Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinusfunktionen Zeitbedarf: 15 Std. Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Nullstellen, Symmetrie und Grenzverhalten ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 12 Std. Unterrichtsvorhaben II: Thema: Durchschnittliche und lokale Änderungsrate Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Zeitbedarf: 12 Std Unterrichtsvorhaben III: Thema: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Argumentieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Empfehlung: auch Wendepunkte Zeitbedarf: 12 Std. 6

7 Unterrichtsvorhaben IV.1: Einführungsphase Fortsetzung Unterrichtsvorhaben IV.2: Thema: Wahrscheinlichkeit I Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Mehrstufige Zufallsexperimente Thema: Wahrscheinlichkeit II Testergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zeitbedarf: 9 Std. Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben V: Thema: Dreidimensionale Koordinatensysteme Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Koordinatisierungen des Raumes Zeitbedarf: 6 Std. Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Vektoren Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Vektoren und Vektoroperationen Zeitbedarf: 9 Std. Summe Einführungsphase: 84 Stunden 7

8 Qualifikationsphase (Q1) GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I: Unterrichtsvorhaben Q1-II: Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Zeitbedarf: 9 Std. Thema: Lineare Algebra als Schlüssel zur Lösung von geometrischen Problemen (Q- GK-G2) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen) Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-III: Thema: Untersuchung von Lagebeziehungen (Q-GK-G3) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen Zeitbedarf: 6 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-IV : Thema: Skalarprodukt und seine Anwendungen (Q-GK-G4) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt Zeitbedarf: 9 Std 8

9 Qualifikationsphase (Q1) GRUNDKURS (Fortsetzung) Unterrichtsvorhaben Q1-V: Unterrichtsvorhaben Q1-VI : Thema: Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 15 Std. Thema: Extremwertprobleme (Q-GK-A1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VII: Thema: Rekonstruktion einer Größe - Einführung in die Integralrechnung (Q-GK-A3) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VIII: Thema: Hauptsatz der Integralrechnung und seine Anwendung (Q-GK-A4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung Zeitbedarf: 12 Std. Summe Qualifikationsphase (Q1) GRUNDKURS 78 Stunden 9

10 Qualifikationsphase (Q2) GRUNDKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Unterrichtsvorhaben Q2-II: Thema: Die natürliche Exponentialfunktion (Q-GK-A5) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 9 Std. Thema: Exponentialfunktionen in der Praxis (Q-GK-A6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: 12 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-III: Thema: Übergänge und Prozesse (Q-GK-S4) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-IV : Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-GK-S1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zeitbedarf: 6 Std. 10

11 Unterrichtsvorhaben Q2-V: Thema: Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen (Q-GK-S2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 9 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Thema: Modellieren mit Binomialverteilungen (Q-GK-S3) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 9 Std. Summe Qualifikationsphase (Q2) GRUNDKURS: 54 Stunden 11

12 Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q1-I: Unterrichtsvorhaben Q1-II: Thema: Beschreibung von Bewegungen und Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Zeitbedarf: 10 Std. Thema: Skalarprodukt und Anwendungen (Q-LK-G2) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Skalarprodukt Zeitbedarf: 10Std. Unterrichtsvorhaben Q1-III: Thema: Ebenen als Lösungsmengen von linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK-G3) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Ebenen) Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-IV: Thema: Lagebeziehungen und Abstandsprobleme bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen und Abstände (von Geraden) Zeitbedarf: 10 Std. 12

13 Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q1-V: Unterrichtsvorhaben Q1-VI: Thema: Untersuchungen an Polyedern (Q- LK-G5) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Lagebeziehung und Abstände (von Ebenen) Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 10 Std. Thema: Strategieentwicklung bei geometrischen Problemsituationen und Beweisaufgaben (Q-LK-G6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Verknüpfung aller Kompetenzen Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VII Thema: Modellieren von Sachsituationen mit Funktionen (Q-LK-A2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfelder: Funktionen und Analysis (A) Lineare Algebra (G) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: 20 Std. Unterrichtsvorhaben Q1-VIII: Thema: Extremwertprobleme (Q-LK-A1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 20 Std. 13

14 Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q1-IX: Unterrichtsvorhaben Q1-X: Thema: Rekonstruieren einer Größe - Einführung in die Integralrechnung (Q-LK-A3) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Integralbegriffs Zeitbedarf: 10 Std. Thema: Hauptsatz der Integralrechnung und seine Anwendung (Q-LK-A4) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Integralrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Summe Qualifikationsphase (Q1) LEISTUNGSKURS 130 Stunden 14

15 Qualifikationsphase (Q2) LEISTUNGSKURS Unterrichtsvorhaben Q2-I: Unterrichtsvorhaben Q2-II: Thema: Die natürliche Exponentialfunktion und der natürliche Logarithmus (Q-LK-A5) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Thema: Exponentialfunktionen in der Praxis (Q-LK-A6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: 20 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-III: Thema: Übergänge und Prozesse (Q-LK-S6) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: 10 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-IV Thema: Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zeitbedarf: 5 Std. 15

16 Qualifikationsphase (Q2) LEISTUNGSKURS Fortsetzung Unterrichtsvorhaben Q2-V: Unterrichtsvorhaben Q2-VI: Thema: Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen (Q-LK-S2) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Thema: Untersuchung charakteristischer Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3) Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Binomialverteilung Zeitbedarf: 10 Std. Zeitbedarf: 5 Std. Unterrichtsvorhaben Q2-VII: Thema: Normalverteilung (Q-LK-S4) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Normalverteilung Unterrichtsvorhaben Q2-VIII: Thema: Testen von Hypothesen (Q-LK-S5) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Testen von Hypothesen Zeitbedarf: 10 Std. Zeitbedarf: 10 Std. Summe Qualifikationsphase (Q2) LEISTUNGSKURS: 90 Stunden 16

17 Übersicht über die Unterrichtsvorhaben E-Phase Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I.1 Funktionen 1 15 I.2 Funktionen 2 12 Durchschnittliche und lokale Änderungsrate II 12 III Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung 12 von Funktionen IV.1 Wahrscheinlichkeit I Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen 9 Wahrscheinlichkeit II Testergebnisse richtig interpretieren IV.2 Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten 9 Dreidimensionale V Koordinatensysteme 6 VI Vektoren 9 Summe: 84 Q1 Grundkurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Beschreibung von Bewegungen und 9 Schattenwurf mit Geraden (Q-GK-G1) II Lineare Algebra als Schlüssel zur 9 Lösung von geometrischen Problemen (Q-GK-G2) III Untersuchung von Lagebeziehungen 6 (Q-GK-G3) IV Skalarprodukt und seine Anwendungen 9 (Q-GK-G4) V Modellieren von Sachsituationen mit 15 ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2 VI Extremwertprobleme (Q-GK-A1) 9 VII Rekonstruktion einer Größe - Einführung 9 in die Integralrechnung (Q-GK- A3) VIII Hauptsatz der Integralrechnung und 12 seine Anwendung (Q-GK-A4) Summe: 78 Q2 Grundkurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Die natürliche Exponentialfunktion (Q- 9 GK-A5) II Exponentialfunktionen in der Praxis 12 17

18 III IV V (Q-GK-A6) Übergänge und Prozesse (Q-GK-S4) Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihren Kenngrößen (Q- GK-S1) Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen (Q-GK-S2) VI Modellieren mit Binomialverteilungen 9 (Q-GK-S3) Summe: 54 Q1 Leistungskurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Beschreibung von Bewegungen und 10 Schattenwurf mit Geraden (Q-LK-G1) II Skalarprodukt und Anwendungen 10 (Q-LK-G2) III Ebenen als Lösungsmengen von 10 linearen Gleichungen und ihre Beschreibung durch Parameter (Q-LK-G3) IV Lagebeziehungen und Abstandsprobleme 10 bei geradlinig bewegten Objekten (Q-LK-G4) V Untersuchungen an Polyedern 10 (Q-LK-G5) VI Strategieentwicklung bei geometrischen 10 Problemsituationen und Be- weisaufgaben (Q-LK-G6) VII Modellieren von Sachsituationen mit 20 Funktionen (Q-LK-A2) VIII Extremwertprobleme (Q-LK-A1) 20 IX Rekonstruieren einer Größe - Einführung 10 in die Integralrechnung (Q-LK-A3) X Hauptsatz der Integralrechnung und 20 seine Anwendung (Q-LK-A4) Summe: 130 Q2 Leistungskurse Unterrichtsvorhaben Thema Stundenzahl I Die natürliche Exponentialfunktion 20 und der natürliche Logarithmus (Q-LK-A5) II Exponentialfunktionen in der Praxis 20 18

19 (Q-LK-A6) III Übergänge und Prozesse (Q-LK-S6) 10 IV Von stochastischen Modellen, Zufallsgrößen, 5 Wahrscheinlichkeitsver- teilungen und ihren Kenngrößen (Q-LK-S1) V Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen 10 (Q-LK-S2) VI Untersuchung charakteristischer 5 Größen von Binomialverteilungen (Q-LK-S3) VII Normalverteilung (Q-LK-S4) 10 VIII Testen von Hypothesen (Q-LK-S5) 10 Summe: Konkretisierte Unterrichtsvorhaben Hinweis: Thema, Inhaltsfelder, inhaltliche Schwerpunkte und Kompetenzen hat die Fachkonferenz des Karl-Ziegler-Schule verbindlich vereinbart. In allen anderen Bereichen sind Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bei der Konkretisierung der Unterrichtsvorhaben möglich. Darüber hinaus enthält dieser schulinterne Lehrplan in den Kapiteln 2.2 bis 2.4 übergreifende sowie z. T. auch jahrgangsbezogene Absprachen zur fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit, zur Leistungsbewertung und zur Leistungsrückmeldung. Je nach internem Steuerungsbedarf können solche Absprachen auch vorhabenbezogen vorgenommen werden. 19

20 Einführungsphase Funktionen und Analysis (A) Thema I: Funktionen 1 und 2 (Lambacher Schweizer: Kapitel I und Kapitel VI) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehörigen Parameter entwickeln einen Grenzwertbegriff zur qualitativen Bewertung eines mathematischen Modells lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel wenden in einfachen Zusammenhängen das Verfahren der Polynomdivision an Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung(Strukturieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Algebraische Rechentechniken sollen parallel vermittelt und diagnosegestützt geübt werden. Dem oft erhöhten Angleichungs- und Förderbedarf von Schulformwechslern wird durch Zusatzstunden im Fach Mathematik Rechnung getragen. Hilfreich kann es sein, dabei die Kompetenzen der Mitschülerinnen und Mitschüler (z. B. durch Kurzvorträge) zu nutzen. Ein besonderes Augenmerk muss in diesem Unterrichtsvorhaben auf die Einführung in die elementaren Bedienkompetenzen der verwendeten Software und des GTR gerichtet werden. Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zunächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet und mithilfe einer Tabellenkalkulation verglichen werden. Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht. Für den entdeckenden Einstieg in Transformationen können Anwendungsbereiche aus dem Fach Physik, wie beispielsweise die Akustik, herangezogen werden. Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadratische Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem Transformationsaspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den Zugang zu Potenzfunktionen. 20

21 übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) Problemlösen analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Für die kontextgebundene Erarbeitung können quadratische Funktionen stets als Weg-Zeit-Funktion bei Fall- und Wurf- und anderen gleichförmig beschleunigten Bewegungen gedeutet werden. Die Motivation zur Beschäftigung mit Polynomfunktionen soll durch eine Optimierungsaufgabe geweckt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten, eine Schachtel aus einem DIN-A4-Blatt herzustellen, führen insbesondere auf Polynomfunktionen vom Grad 3. Hier können sich alle bislang erarbeiteten Regeln bewähren. Ganzrationale Funktionen vom Grad 3 und auch höher können Gegenstand einer qualitativen Erkundung mit dem GTR werden, wobei Parameter gezielt variiert werden. Zusätzlich werden die Symmetrie zum Ursprung und das Globalverhalten untersucht. Die Vorteile einer Darstellung mithilfe von Linearfaktoren und die Bedeutung der Vielfachheit einer Nullstelle werden hier behandelt. Der Begriff der Polynomdivision sollte hier thematisiert, muss jedoch nicht ausschöpfend behandelt werden. Ein Orientierungswissen auf diesem Gebiet reicht aus. 21

22 Thema II: Durchschnittliche und lokale Änderungsrate (Lambacher Schweizer: Kapitel II und Kapitel III) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/ Tangentensteigung berechnen durchschnittliche und lokale Änderungsraten und interpretieren sie im Kontext erläutern qualitativ auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate beschreiben und interpretieren Änderungsraten funktional (Ableitungsfunktion) leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Argumentieren (Vermuten) stellen Vermutungen auf unterstützen Vermutungen beispielgebunden präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Für den Einstieg wird entweder ein geometrischer (Steigung in einem Punkt, von der Sekante zur Tangente ) oder ein anwendungsbezogener Kontext benutzt. Im zweiten Fall werden für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate unterschiedliche Sachzusammenhänge empfohlen, die auch im weiteren Verlauf immer wieder auftauchen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse, Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Entwicklung regenerativer Energien, Sonntagsfrage, Wirk- oder Schadstoffkonzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsentwicklung). Der Begriff der lokalen Änderungsrate wird im Sinne eines spiraligen Curriculums qualitativ und heuristisch verwendet. Tabellenkalkulation und Dynamische-Geometrie-Software können zur numerischen und geometrischen Darstellung des Grenzprozesses beim Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate bzw. der Sekanten zur Tangenten (Zoomen) eingesetzt werden. Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründen der Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schüler in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen angehalten werden. Hier ist auch der Ort, den Begriff des Extrempunktes (lokal vs. global) sowie der des Sattelpunktes zu präzisieren und dabei auch Sonderfälle, wie eine konstante Funktion, zu betrachten. Eine erste Annäherung an den Begriff des Wendepunktes ist sicher sinnvoll, da er im Zuge von Anwendungsaufgaben zu interessanten Beobachtungen führen kann. Eine analytische Auseinandersetzung der Änderung 22

23 Problemlösen analysieren und strukturieren die Problemsituation (Erkunden) erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) von Änderungen ist dagegen erst zu einem späteren Zeitpunkt des Unterrichts (Q1) vorgesehen. 23

24 Thema III: Entwicklung und Anwendung von Kriterien und Verfahren zur Untersuchung von Funktionen (Lambacher Schweizer: Kapitel III) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: leiten Funktionen graphisch ab begründen Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrempunkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen nutzen die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen an lösen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne digitale Hilfsmittel verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Problemlösen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Betrachtung von Monotonieintervallen und der zwei möglichen Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt. Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben. Der logische Unterschied zwischen notwendigen und hinreichenden Kriterien kann anhand der Existenz von Sattelpunkten angestoßen und vertieft werden. Neben den Fällen, in denen das Vorzeichenwechselkriterium angewendet wird, werden die Lernenden auch mit Situationen konfrontiert, in denen sie mit den Eigenschaften des Graphen oder Terms argumentieren. So erzwingt z. B. Achsensymmetrie die Existenz eines Extrempunktes auf der Symmetrieachse. Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen können auch Tangentengleichungen bestimmt werden. 24

25 erkennen Muster und Beziehungen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (hier: Zurückführen auf Bekanntes) (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) Argumentieren präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten) nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen) berücksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen [ ]) (Begründen) erkennen fehlerhafte Argumentationsketten und korrigieren sie (Beurteilen) 25

26 Einführungsphase Stochastik (S) Thema IV.1: Wahrscheinlichkeit I Den Zufall im Griff Modellierung von Zufallsprozessen (Lambacher Schweizer Kapitel V1 und V2) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente simulieren Zufallsexperimente verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und führen Erwartungswertbetrachtungen durch beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Beim Einstieg ist eine Beschränkung auf Beispiele aus dem Bereich Glücksspiele zu vermeiden. Einen geeigneten Kontext kann die Methode der Zufallsantworten bei sensitiven Umfragen bieten. Zur Modellierung von Wirklichkeit werden Simulationen auch unter Verwendung von digitalen Werkzeugen (GTR, Tabellenkalkulation) geplant und durchgeführt (Zufallsgenerator). Das Urnenmodell kann auch verwendet werden, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu thematisieren. Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert werden im Kontext von Glücksspielen erarbeitet und können durch zunehmende Komplexität der Spielsituationen vertieft werden. Digitale Werkzeuge werden zur Visualisierung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Histogramme) und zur Entlastung von händischem Rechnen verwendet. Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Generieren von Zufallszahlen ( Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen) 26

27 Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) 27

28 Thema IV.2: Wahrscheinlichkeit IITestergebnisse richtig interpretieren Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten (Lambacher Schweizer Kapitel V3 und V4) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vieroder Mehrfeldertafeln bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten prüfen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten. Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Als Einstiegskontext zur Erarbeitung des fachlichen Inhaltes könnte das HIV-Testverfahren dienen, eine Möglichkeit zur Vertiefung böte dann die Betrachtung eines Diagnosetests zu einer häufiger auftretenden Erkrankung (z. B. Grippe). Um die Übertragbarkeit des Verfahrens zu sichern, sollten insgesamt mindestens zwei Beispiele aus unterschiedlichen Kontexten betrachtet werden. Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen werden parallel Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet. sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können. Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A B) von bedingten Wahrscheinlichkeiten auch sprachlich von besonderer Bedeutung. Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten [ ] (Rezipieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) 28

29 Einführungsphase Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Thema V: Dreidimensionale Koordinatensysteme (Lambacher Schweizer: Kapitel IV) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: wählen geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum stellen geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem dar Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte): Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) Kommunizieren (Produzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Ausgangspunkt ist eine Vergewisserung (z. B. in Form einer Mindmap) hinsichtlich der den Schülerinnen und Schülern bereits bekannten Koordinatisierungen (GPS, geographische Koordinaten, kartesische Koordinaten). Für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhaltes in der Ebene und im Raum wird eine geeignete kartesische Koordinatisierung gewählt. Es können Polarkoordinaten (evtl. in Form eines Schülervortrages) Erwähnung finden. An geeigneten, nicht zu komplexen geometrischen Modellen lernen die Schülerinnen und Schüler, ohne Verwendung einer DGS zwischen (verschiedenen) Schrägbildern einerseits und der Kombination aus Grund-, Auf- und Seitenriss andererseits zu wechseln, um ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu entwickeln. Mithilfe einer DGS können unterschiedliche Möglichkeiten, ein Schrägbild zu zeichnen, untersucht und hinsichtlich ihrer Wirkung beurteilt werden. 29

30 Thema VI: Vektoren (Lambacher Schweizer: Kapitel IV) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen und kennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren stellen gerichtete Größen (z. B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektoren dar berechnen Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mit Hilfe des Satzes von Pythagoras addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und untersuchen Vektoren auf Kollinearität weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nach Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Durch das Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Problemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakterisierung von Viereckstypen), Untersuchung auf Parallelität. Einfache Linearkombinationen werden zeichnerisch dargestellt und rechnerisch nachgewiesen. Geeignet ist z.b. das Auffinden eines Mittelpunkts 1 [ m AB a b a ] oder Schnittpunkts der Seitenhalbierenden eines 2 1 s m c ] AB m 3 AB Dreiecks [ Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkt): Problemlösen entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus (Lösen) 30

31 Q-Phase Grundkurs Funktionen und Analysis (A) Thema Q1 VI: Extremwertprobleme (Q-GK-A1) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: führen Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurück und lösen diese verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien [ ] zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor.(strukturieren) übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Woher kommen die Funktionsgleichungen? Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Es wird deshalb empfohlen, den Lernenden hinreichend Zeit zu geben, u. a. mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen. An Problemen, die auf quadratische Zielfunktionen führen, sollten auch unterschiedliche Lösungswege aufgezeigt und verglichen werden. Hier bietet es sich außerdem an, Lösungsverfahren auch ohne digitale Hilfsmittel einzuüben. An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten. Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Modellvalidierung/Modellkritik untersucht. Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (Besucherströme in einen Freizeitpark und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der

32 Problemlösen finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation (Erkunden) wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle ) aus, um die Situation zu erfassen (Erkunden) nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. systematisches Probieren, Darstellungswechsel, Zurückführen auf Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Verallgemeinern ) (Lösen) setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein (Lösen) berücksichtigen einschränkende Bedingungen (Lösen) vergleichen verschiedene Lösungswege bezüglich Unterschieden und Gemeinsamkeiten (Reflektieren) Funktion verliehen. Die Bestimmung der extremalen Steigung erfolgt zunächst über das Vorzeichenwechselkriterium (an den Nullstellen der zweiten Ableitung). 32

33 Thema Q1 V: Modellieren von Sachsituationen mit ganzrationalen Funktionen (Q-GK-A2) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben ( Steckbriefaufgaben ) beschreiben das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten beschreiben den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringem Rechenaufwand lösbar sind Prozessbezogene Kompetenzen: Modellieren erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren) treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Leitfrage: Woher kommen die Funktionsgleichungen? Anknüpfend an die Einführungsphase werden an einem Beispiel in einem geeigneten Kontext (z. B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform aufgestellt. Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion als Krümmung des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Wachstumsprozesse aus der Biologie gewählt werden. Die simultane Betrachtung beider Ableitungen führt zur Entdeckung eines weiteren hinreichenden Kriteriums für Extrempunkte. Anhand einer Funktion mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden abschließend von den Lernenden kritisch bewertet. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen 33

34 übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren) erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren) beziehen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren) beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren) verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren) reflektieren die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen (Validieren) der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen. Werkzeuge nutzen verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden [ ], Berechnen und Darstellen 34

35 Thema Q1 VII: Rekonstruieren einer Größe Einführung in die Integralrechnung (Q-GK-A3) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe deuten die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion Prozessbezogene Kompetenzen: Kommunizieren erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus [ ] mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen (Rezipieren) formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren) wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren) wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren) dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren) erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren) Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit Weg, Zuflussrate von Wasser Wassermenge). Neben der Schachtelung durch Ober- und Untersummen könnendie Schülerinnen und Schüler eigenständig weitere unterschiedliche Strategien zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln und vergleichen. Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert. Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als Bilanzgraphen zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren. Falls die Lernenden entdecken, welche Auswirkungen dieser Umkehrprozess auf die Funktionsgleichung der Bilanzfunktion hat, kann dies zur Überleitung in das folgende Unterrichtsvorhaben genutzt werden. 35

36 Thema Q1 VIII: Hauptsatz der Integralrechnung und seine Anwendung (Q-GK-A4) Zu entwickelnde Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen: erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) nutzen die Intervalladditivität und Linearität von Integralen bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen und numerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate bestimmen Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen Prozessbezogene Kompetenzen: Argumentieren stellen Vermutungen auf (Vermuten) unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten) präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berück- 36 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Schülerinnen und Schüler sollen hier (wieder-)entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist. Dazu kann das im vorhergehenden Unterrichtsvorhaben (vgl. Thema Q-GK-A3) entwickelte numerische Näherungsverfahren auf den Fall angewendet werden, dass für die Änderungsrate ein Funktionsterm gegeben ist. Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und eines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen diesen herstellen. Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen. Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integralfunktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integralfunktion im Hauptsatz formuliert. Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerinnen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln selbstständig erarbeitet. In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbeständen zur Verfügung.

37 sichtigung der logischen Struktur (Vermuten) stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen) Werkzeuge nutzen nutzen [ ] digitale Werkzeuge [Erg. Fachkonferenz: Tabellenkalkulation und Funktionenplotter] zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen auch numerisch mit dem GTR bestimmt. Komplexere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabens bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisherigen Unterrichtsvorhaben (Funktionsuntersuchungen, Aufstellen von Funktionen aus Bedingungen) herzustellen. 37