BÄUME BALANCIERTE BÄUME. Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm. 10. Kapitel (Teil 2)

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1 10. Kapitel (Teil 2) BÄUME BALANCIERTE BÄUME Algorithmen & Datenstrukturen Prof. Dr. Wolfgang Schramm

2 Übersicht 1 1. Einführung 2. Algorithmen 3. EigenschaDen von Programmiersprachen 4. Algorithmenparadigmen 5. Suchen & SorMeren 6. Hashing 7. Komplexität von Algorithmen 8. Abstrakte Datentypen (ADT) 9. Listen 10. Bäume 11. Graphen

3 Lernziele des Kapitels 2 2 Verstehen, wie balancierter Baum aussieht? Kennenlernen verschiedener Arten balancierter Bäume. Kennenlernen der speziellen OperaMonen, um balancierte Bäume im Gleichgewicht zu halten.

4 Inhalt 3 1. Balancierte Bäume n AVL- Bäume n B- Bäume 2. Weitere Bäume

5 Ausgeglichene Bäume 4 Problem 4 insert (6) 4 6 insert (8)

6 Ausgeglichene Bäume 5 Man muss dafür sorgen, dass ein Baum bei einer ungünsmgen Einfügereihenfolge nicht entartet. Idee: bei jeder Einfüge- oder LöschoperaMon versucht man den Baum auszugleichen. Beispiel: insert A G F E J ausgleichen C I C F I A E G J A

7 Ausgeglichene Bäume 6 AVL- Bäume (nach G.M. Adelson- Velskii und E.M. Landis): sind höhenbalanciert. Halten den Aufwand beim Ausgleichen begrenzt. B- Bäume (B wie balanciert, breit, buschig oder Bayer) sind n- äre Bäume: sind höhenbalanciert mit unausgeglichenem Verzweigungsgrad. Es gibt noch weitere ausgeglichene Bäume.

8 AVL - Bäume 7 AVL- Kriterium: Für jeden inneren Knoten ist der absolute Betrag der Differenz der Höhen des linken und des rechten Teilbaums maximal 1. Beispiel: Welcher Baum erfüllt die AVL- EigenschaD und welcher nicht? G I D J D J C F I C F E E G AVL-Baum Kein AVL-Baum

9 AVL - Bäume 8 Balance eines Knotens k: b(k) = height(k.led) height(k.right) Mit AVL- Kriterium: b(k) { - 1, 0, +1 } Einfügen in AVL- Baum: Knoten wird wie in normalen binären Suchbaum als Blao eingefügt. Durch das Einfügen kann die AVL- EigenschaD verletzt werden, d.h. die Balance eines Knotens kann auch die Werte 2 oder +2 annehmen b(k) { - 2, - 1, 0, +1, +2 }. Der Knoten ist somit außer Balance. Die Verletzung der AVL- EigenschaD muss durch Ausgleichen behoben werden. Das Ausgleichen erfolgt durch die Vertauschung von Knoten und damit einem neuen Layout des Baums. Diese Vertauschungen nennt man RotaMonen.

10 AVL Bäume Ausgleichsregeln 9 Wie wird bei Verletzungen der AVL- EigenschaDen ausgeglichen? Fallunterscheidungen: 1) Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes à RotaMon mit dem linken Kind. 2) Einfügen im rechten Teilbaum des linken Kindes à DoppelrotaMon mit dem linken Kind. 3) Einfügen im rechten Teilbaum des rechten Kindes à RotaMon mit dem rechten Kind. 4) Einfügen im linken Teilbaum des rechten Kindes à DoppelrotaMon mit dem rechten Kind. Wegen der Symmetrie der Fälle 1. und 3. bzw. 2. und 4. à Beschränkung auf 1. und 2.

11 AVL- Bäume - Balancierung k 2 k 3 Einfache Rotation (R) nach rechts k k 1 k 3 k 1 Rotation von k 2 über k k 3 Doppelrotation (LR) erst nach links, dann nach rechts k k 2 0 Rotation von k 1 über k 2 und k 3 k 2 k 3 k 1

12 Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes 1/ Einfügen rot = Balance Einfügen

13 Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes 2/ Ausgleich durch RotaMon (einfache Darstellung) Einfache RotaQon Einfache Rotation 2 nach rechts rot = Balance

14 Einfügen im rechtenteilbaum des linken Kindes 1/ Einfügen rot = Balance Einfügen

15 Einfügen im rechtenteilbaum des linken Kindes 2/ Ausgleich durch RotaMon (einfache Darstellung) DoppelrotaQon (LR) = RotaMon nach links und dann nach rechts. rot = Balance Rotation (L) Rotation (R)

16 AVL Bäume Anwendung der Ausgleichsregeln 15 Ausgleichen für den Knoten k für den das AVL- Kriterium verletzt ist. Fälle: 1. Einfügen im linken Teilbaum des linken Kindes à RotaMon des Knotens mit linkem Kind 2. Einfügen im rechten Teilbaum des linken Kindes. à DoppelrotaMon à RotaMon linkes Kind mit seinem rechten Kind à RotaMon des Knotens mit linken Kind Die Fälle Einfügen des rechten Kindes sind symmetrisch à hier nicht betrachtet.

17 Einfügen Änderung der Struktur 1/2 16 RotaMon (genaue Darstellung): LinksrotaMon von k. vorher nachher Wurzel k k.led linkes Kind der Wurzel k.led k.led.led rechte Kind der Wurzel k.right k li. Ki. des li. Ki. der Wurzel k.led.led k.led.led.led re.ki. des li. Ki. der Wurzel k.led.right k.led.led.right li. Ki. des re. Ki. der Wurzel k.right.led k.led.right re.ki. des re. Ki. der Wurzel k.right.right k.right Die nachher -Position bezieht sich immer auf den den neuen Wurzelknoten, der Pfad zu dem entsprechenden Knoten beginnt immer beim alten Wurzelknoten k.

18 Einfügen Änderung der Struktur 2/2 17 RotaMonen (genaue Darstellung): Einfache RotaQon rot = Balance Nur die blau markierten Referenzen werden geändert

19 ImplemenMerung AVL- Baum 1/4 20 public class AVLTreeNode { Element value; TreeNode left; TreeNode right; int balance; // reicht aus boolean isbalanced; // redundant! } // Konstruktor public AVLTreeNode (Element value, AVLTreeNode left, AVLTreeNode right) { this.value = value; this.left = left; this.right = right; balance = 0; }

20 ImplemenMerung AVL- Baum 2/4 21 public class AVLTree { AVLTreeNode root; // Konstruktoren public AVLTree ( ) { } public AVLTree (Element v) { root = new AVLTreeNode (v, null, null); }...

21 ImplemenMerung AVL- Baum 3/4 22 RotaMon (Methode in AVLTree) private TreeNode rotateleft (TreeNode t) { TreeNode tmp = t.right; t.right = t.right.left; tmp.left = t; return tmp; } Analog rotateright

22 ImplemenMerung AVL- Baum 4/4 23 DoppelrotaMon (verwendet in AVLTree) 2 RotaMonen DoppelrotaMon links = Rot. Rechts + Rot. Links... r.right = rotateright (r.right); TreeNode tmp = rotateleft (r); // tmp ist neue Wurzel...

23 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 1/8 24 Idee Einfügen des neuen Knotens als Blao (wie Binärbaum). Anschließend ggf. Ausgleichen durch RotaMon. Es gilt n Es müssen höchstens Knoten auf dem Weg vom eingefügten Blao zur Wurzel ausgeglichen werden. n Es muss höchstens ein Knoten ausgeglichen werden (d.h. höchstens eine RotataMon oder DoppelrotaMon). Grundlage Rekursives insert (= insertr) für Binärbaum. Rekursiv, da dann Weg von Einfügeknoten zu Wurzel verfügbar ist.

24 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 2/8 25 (Methode in AVLTree) public void insert (Element p) { if (root == null) { root = new AVLTreeNode (p); } else { root = insertr (root, p); } }

25 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 3/8 26 private AVLTreeNode insertr ( AVLTreeNode t, Element p) {... } 1. Grundlage: rekursives Einfügen des Binärbaums. 2. Erweiterung: Rebalancieren a) Feststellen, ob rebalanciert werden soll: I. ein Knoten hat die Balance 1 (linker Unterbaum größer) UND es wurde im linken Unterbaum eingefügt II. Der Baum wurde noch nicht rebalanciert (nur ein Rebalancieren notwendig bei Einfügen!) b) Rebalancieren & Balance aktualisieren

26 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 4/8 27 private TreeNode insertr (TreeNode t, int i) { // t not equal null! } if (i < t.val) { // left subtree if (t.left == null) { // no subtree insert node t.left = new TreeNode (i); } else { // insert in right subtree t.left = insertr (t.left, i); } } else if (i == t.val) { // nothing to do } else { // i > t.val // right subtree analogue left subtree } Zu 1. Grundlage: rekursives Einfügen im Binärbaum

27 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 5/8 28 Zu 2 a I: linker Unterbaum größer (Balance 1) UND in linken Unterbaum wurde eingefügt Nach dem Einfügen (rekursiver insertr- Aufruf): t.balance == 1 && Math.abs (t.left.balance) == 1 Anmerkung: nach dem Einfügen kann die Balance auf 0 sein in dem Fall ist der Baum jedoch bereits balanciert

28 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 6/8 29 Zu 2 a II: Baum noch nicht rebalanciert Beim Absteigen durch die rekursiven Aufrufe: in jedem besuchten Knoten t: t.isbalanced = false Beim Aufsteigen : 1. t.isbalanced = t.left.isbalanced falls der Unterbaum bereits balanciert wurde, dann ist auch der übergeordnete balanciert 2. Setze t.isbalanced = true falls der Baum balanciert wird bzw. ist: n RotaMonen n Es gibt Knoten gleichen Niveaus mit eingefügtem Knoten in rechten Unterbaum Baum hat die Balance 0

29 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 7/8 30 Zu 2 b Balancieren (nur falls noch nicht balanciert wurde) Balance der Wurzel erhöht sich um 1 Falls Balance == 2 n Balancierregeln anwenden n RotaMon oder DoppelrotaMon n Balancen neu berechnen n Neue Wurzel: Balance = 0 n RechtsrotaMon right (ehemalige Wurzel): Balance = 0 n DoppelrotaMon: neue Balancen = alte Balance der neuen Wurzel 1-1 led 0 1 right - 1 0

30 ImplemenMerung AVL- Baum - Einfügen 8/8 31 Java Programm

31 AVL- Bäume Beispiel für Balancierung Tb 1 Tb 4 Tb 2 Tb 3 Welche Aussagen kann man über die Höhenverhältnisse der Teilbäume machen? In welche Teilbäume kann man noch Knoten einfügen, ohne dass einer der angegebenen Knoten aus der Balance gerät?

32 AVL- Bäume Beispiel für Balancierung 33-1 k 1 0 k2 k 1 0 k 2 0 Tb 1 Tb2 Tb3 Tb 1 Tb 2 Tb 3 Welche Aussagen kann man über die Höhenverhältnisse der Teilbäume machen? In welche Teilbäume kann man noch Knoten einfügen, ohne dass einer der angegebenen Knoten aus der Balance gerät?

33 ImplemenMerung AVL- Baum - Löschen Grundlage: rekursives Löschen im Binärbaum 2. Erweiterung: Rebalancieren a) Feststellen, ob rebalanciert werden soll n Betrachten des ganzen Pfades von der Wurzel bis zum gelöschten Element und zurück. n Balancieren mehrerer Knoten möglich. b) Rebalancieren & Balance aktualisieren

34 Mehrwegbäume: MoMvaMon 1/2 36 Mit AVL- Bäumen: Bäume sind ausgeglichen à Anzahl der OperaMonen ist begrenzt. Was ist, wenn der Baum zu groß für den Hauptspeicher ist? Externe Datenspeicherung Speicherhierarchie: Register (< 1kB) 1 ns Cache (L2) (0,5-2 MB) 3 ns Hauptspeicher (512 MB 8 GB) 20 ns Festplaoe ( GB) 7 ms Zugriffsverhältnis zwischen Hauptspeicher und Festplaoe: t(plaoe) / t(hauptspeicher) = (7 10-3) / ( ) =

35 Mehrwegbäume: MoMvaMon 2/2 37 è Zugriff auf (externe) Knoten sehr teuer. Beispiele: Dateibaum des Datei- Systems. Tabellen von Datenbanken (DB2 (IBM), Sybase, Oracle,...). à Man häoe gerne einen Baum, der noch geringere Tiefe hat als log 2 n. Idee: Erhöhe die Basis des Logarithmus (à Mehrweg- Baum). Speichere mehrere "aufeinanderfolgende" Baum- Knoten auf derselben Seite (Page) auf der Plaoe. à Reduziere damit die Anzahl der Seitenzugriffe.

36 m- Wege- Baum 38 Ein m- Wege- Suchbaum ist eine Verallgemeinerung eines binären Suchbaumes (d. h., ein binärer Suchbaum ist ein 2- Wege- Suchbaum). 1 Seite Wenn die Knoten des Baums jeweils wie eingerahmt auf einer Seite liegen, findet man einen Wert mit maximal 2 Zugriffen auf einem externen Speicher, stao mit max. 5 Zugriffen, wenn das nicht garanmert ist.

37 Mehrwegebaum: DefiniMon 39 In einem m- Wege- Baum haben alle Knoten den Grad m. Der Baum ist entweder leer oder besitzt folgende EigenschaDen: Jeder Knoten hat folgende Struktur: k 1 k 2 k 3 k 4 k i sind die Schlüssel, 1 i m- 1. t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 m- 1 ist die Anzahl der Schlüssel im Knoten. t i sind die Zeiger zu den Unterbäumen des Knotens. Schlüssel innerhalb eines Knotens sind aufsteigend geordnet: Beispiel: m = 5 k 1 k 2... k m- 1 Alle Schlüssel im Unterbaum t i sind kleiner als k i+1, für 0 i < m- 1. Alle Schlüssel im Unterbaum t m- 1 sind größer als k m- 1. Die Unterbäume t i, für 0 i m- 1, sind ebenfalls m- Wege- Bäume.

38 EigenschaDen von m- Wege- Bäumen 40 Baum ist nicht ausgeglichen. Bläoer sind auf verschiedenen Stufen Bei Veränderungen gibt es keinen Ausgleichsalgorithmus. Schlechte Speicherausnutzung, kann zu verkeoeten Listen degenerieren. Anzahl der Knoten im vollständigen m- Wege Baum mit Höhe h: Maximale Anzahl n von Schlüsseln: h 1 ANZ = i K m = i=0 n Anz K *(m- 1) = m h - 1 h m 1 m 1 Völlig degenerierter Baum: n = Anz K = h Grenze für die Höhe eines m- Wege- Baumes: log m (n+1) h n.

39 Prinzip des B- Baums 41 B- Baum- Kriterium Alle Pfade von der Wurzel bis zu den Bläoern sind gleich lang. Jeder Knoten außer der Wurzel enthält zwischen m und 2m Schlüsselwerte. Jeder Knoten (außer der Wurzel) hat zwischen m+1 und 2m+1 Kinder (Unterbäume). Die Wurzel ist entweder ein Blao oder hat mindestens 2 Kinder. B- Baum Ein B- Baum ist ein Baum, der das B- Baum- Kriterium erfüllt (für ein gegebenes m). m heißt Ordnung eines B- Baums.

40 B- Baum EigenschaDen der Knoten 1/2 42 e 1 e 2 e 3 e 4 geordnet: Knoten k aus b 2 : Elemente e aus k: e 1 < e < e 2 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5

41 B- Baum EigenschaDen der Knoten 2/2 43 Baum der Ordnung m: m < i < 2m e 1 e 2 e 3 e i Max. Anzahl von Elementen: 2m Max. Anzahl von Unterbäumen: 2m+1 b 1 b 2 b 3 b i b i+1

42 B- Baum - Beispiel

43 B- Baum: DefiniMon 46 Ein Baum heißt B- Baum der Ordnung m, wenn er folgende EigenschaDen erfüllt: 1. Jeder Knoten enthält höchstens 2 m Elemente. 2. Jeder Knoten außer dem Wurzelknoten enthält mindestens m Elemente. Der Wurzelknoten enthält mindestens ein Element. 3. Jeder Knoten ist entweder ein Blao ohne Nachfolger oder hat i+1 Nachfolger, falls i die Anzahl der Elemente ist. 4. Alle Bläoer liegen auf dem gleichen Niveau. 5. Ist e i ein Element, dann sind im linken Nachfolgeknoten (v i ) alle Schlüssel kleiner und im rechten (v i+1 ) alle größer (Ordnungskriterium). Bemerkung: Die Terminologie im Zusammenhang mit B-Bäumen ist in der Literatur nicht ganz einheitlich. Oft wird auch der maximale Verzweigungsgrad (in unserem Fall 2 m + 1) als Ordnung bezeichnet etwa von D. Knuth. Deshalb muss man die jeweilige Definition immer genau beachten!

44 B- Bäume: 2-3 Bäume 47 Ein B- Baum der Ordnung 1 hat pro Knoten mindestens 1 höchstens 2 Elemente. pro Knoten mindestens 2 höchstens 3 Kinder. Man nennt einen B- Baum der Ordnung 1 auch 2-3 Baum, wenn man damit die minimale und maximale Anzahl der Kinder eines Knotens angibt. Diese Art der KlassifikaMon von B- Bäumen wird insbesondere dann verwendet, wenn man den maximalen Verzweigungsgrad für die Ordnungsangabe heranzieht.

45 B- Bäume Aufnahmekapazität 48 Maximale Höhe eines B- Baums der Ordnung m bei minimaler Füllung: Sind dort n Knoten unterzubringen, gilt für die Höhe h = log m n. Die Höhe eines B- Baums ist logarithmisch in der Anzahl der gespeicherten Schlüssel beschränkt. Die Ordnung eines B- Baums liegt üblicher Weise bei B- Bäume sind auch bei einer sehr großen Zahl von gespeicherten Schlüsselwerten besonders niedrig. Frage: Wie viele Schlüssel kann ein B- Baum der Ordnung m = 50 bei einer Höhe von h = 4 maximal aufnehmen?

46 B- Bäume: Suchen 49 Suchen = KombinaMon des Verfolgens von Verweisen (wie im binären Suchbaum) und der Suche in einer sormerten Folge. Gesucht wird nach dem Wert w. Man beginnt im Wurzelknoten und besmmmt dort den Eintrag, für den gilt: e i w. Ist e i = w, dann ist man fermg (man hat w gefunden). Sonst geht man zum Knoten v i, d.h. man folgt dem Verweis, der vor e i liegt. Gibt es kein Element mit e i w, dann folgt man dem letzen Verweis des Knotens. Findet man den Wert w auch auf einer erreichten Blaoseite nicht, dann ist der Wert nicht im Baum enthalten.

47 Ein Beispiel B- Baum

48 B- Baum Einfügen 1/2 51 Ziel: Einfügen eines Wertes (Elements) w in den B- Baum. Die B- Baum EigenschaD (m Anzahl der Elemente pro Knoten 2m) darf nicht verletzt werden. 1. Suchen des Blaoknotens, in dem eingefügt werden muss (müsste). 2. PosiMon im gefundenen Knoten mit 3 Fallunterscheidungen: a) Es gibt 2 Elemente s und b mit s < w < b. b) Ein Element s als kleinstes Element des Knotens mit w < s; dabei ist s das am weitesten links stehende Element. c) Ein Element b als größtes Element des Knotens mit b < w; dabei ist b das am weitesten rechts stehende Element. 3. Einfügen des Elements mit 2 Fallunterscheidungen : a) Der Knoten enthält bisher < 2m Elemente: dann muss man nur noch an der richmgen PosiMon einfügen. b) Der Knoten enthält bereits 2m Elemente. Dann platzt der Knoten beim Einfügen eines weiteren Elements. D.h. es muss ein neuer Knoten eingeführt werden, dadurch ändert sich auch die Knotenstruktur des Baums.

49 B- Baum Einfügen 2/2 52 Erzeugen eines neuen Knotens: 1. Die ersten m Werte bleiben im Originalknoten. 2. Die letzten m Werte werden in den neuen Knoten verschoben. 3. Das miolere Element wandert in den Elternknoten nach oben. Da der Elternknoten ein Element mehr aufnimmt, kann er auch platzen (Anzahl der Elemente in Elternknoten > 2m) der Prozess des Erzeugens eines neuen Knotens beginnt von neuem und setzt sich rekursiv fort bis in den Wurzelknoten. Platzt auch der Wurzelknoten, dann wird auch er geteilt und ein neuer Elternknoten (ein neuer Wurzelknoten) erzeugt, d.h. wächst der Baum um eine Ebene. Feststellung: B- Bäume wachsen in Richtung Wurzel anders als die bisherigen Bäume. Es gibt eine Ausgleichsvariante è später

50 B- Baum Einfügen 1/2 53 insert Der Blattknoten platzt! Split in 2 Knoten (alten + einen neuen)

51 B- Baum Einfügen 2/

52 B- Baum Löschen 1/3 55 Im Prinzip ähnlich wie Einfügen nur mit umgekehrten Effekten. Ein Knoten kann defizitär werden, d.h. durch Entnahme kann die Anzahl der Elemente im Knoten < m werden. 1. Suchen des Knotens, aus dem das Element w en ernt werden soll. 2. En ernen im gefundenen Knoten mit 2 Fallunterscheidungen: a) Liegt w in einem Blaoknoten, dann kann das Element gelöscht werden. Bleiben auf dem Blaoknoten weniger als m Elemente übrig, dann ist ein Defizit (Unterlauf) zu behandeln. b) Liegt w in einem inneren Knoten, dann wird das Element gelöscht und durch das nächst kleinere Element von einem Blaoknoten ersetzt (ähnlich wie beim binärem Suchbaum, wo man das größte Element im linken Teilbaum einsetzte). Bleiben auf dem Blaoknoten weniger als m Elemente übrig, dann ist ein Defizit zu behandeln. Man ist am Ende immer in einem Blaoknoten angekommen.

53 B- Baum Löschen 2/ Behandlung des Defizits (Unterlaufs) mit 2 Fallunterscheidungen: a) Ausgleichen zweier benachbarter Knoten: wenn der Nachbarknoten n (n > m) Elemente enthält, dann kann sie einen Knoten abgeben. Dabei werden die Elemente der beiden beteiligten Knoten sowie das eingeschlossene Element auf dem Elternknoten neu verteilt, so dass beide Kinder(knoten) mindestens m Elemente enthalten. b) Vereinigen zweier benachbarter Knoten: wenn ein Ausgleich nicht möglich ist das ist dann der Fall, wenn der Nachbarknoten n = m Elemente enthält werden die beiden Knoten zusammengefasst. Zusätzlich wird noch das eingeschlossene Element aus dem Elternknoten herunter gezogen. Dieser neue Blaoknoten hat jetzt n = 2m Elemente (m- 1 von dem Knoten, wo ein Element en ernt wurde, m vom Nachbarknoten und 1 vom Elternknoten). c) Jetzt kann auch der Elternknoten defizitär werden (es wurde ja ein Element entnommen) der Prozess der Unterlau ehandlung eines Knotens beginnt von neuem und setzt sich rekursiv fort bis in den Wurzelknoten.

54 B- Baum Löschen 3/3 57 Wird auch das letzte und einzige Element im Wurzelknoten en ernt, dann werden die beiden darunter liegenden Knoten vereinigt. Der Baum schrumpd um eine Ebene von der Wurzel her. Feststellung: B- Bäume schrumpfen an der Wurzel anders als die bisherigen Bäume.

55 58 delete 22 B- Baum Löschen mit Ausgleichen

56 59 delete 43 B- Baum Löschen mit Vereinigen

57 60 insert 16 B- Baum Einfügen- Variante 1/ Der Blattknoten platzt! Ausgleich mit Nachbarknoten statt Split.

58 B- Baum Einfügen- Variante 2/ B*- Baum (nach Donald Knuth, 1973) Knoten müssen mindestens zu 2/3 gefüllt sein (anstao nur 1/2). Durch veränderte Split- Strategie: 2 volle Knoten auf 3 Knoten mit einem Füllgrad von 2/3 audeilen.

59 B- Bäume: Zusammenfassung 62 Vielleicht die Datenstruktur, die in der Praxis am meisten benutzt wird. B- Bäume sind ausgeglichene m- Wege- Bäume. Man wählt i.a. die Ordnung m gerade so groß, dass jeweils alle Schlüssel eines B- Knotens genau einer page ( = Übertra- gungseinheit, d.h. Blockgröße bei einem Lesezugriff typisch 4-16 kbyte) entsprechen: Typische Größen, z.b. m = 50 oder m = Sehr flache Bäume. Kurzer Weg von der Wurzel zu den Bläoern.

60 Weitere Bäume 63 Bruderbäume AVL- Bäume mit Bläoern gleichen Niveaus Innere Knoten dürfen nur ein Kind haben Treaps randomisierte Suchbäume Problem: Einfügen einer Folge geordneter Elemente erzeugt degenerierten Baum (Liste Abhilfe: Eingabefolgen zufällig vertauschen Digitale Bäume Tries Patriciabäume