MATLAB Kurs SS Boris von Loesch. Technische Universität München Center for Mathematical Sciences, Chair of Mathematical Optimization

Transkript

1 MATLAB Kurs SS 2010 Boris von Loesch Technische Universität München Center for Mathematical Sciences, Chair of Mathematical Optimization 17. April 2010

2 Ablauf Theorie 1 Do, 9:30 Uhr - 10:45 Uhr HS 1 Übung 1 Do, 10:45-12:30 Uhr große Rechnerhalle Theorie 2 Do, 13:30 Uhr - 14:15 Uhr HS 1 Übung 2 Do, 14:15-16:00 Uhr große Rechnerhalle Theorie 3 Fr, 10:00 Uhr - 10:45 Uhr HS 2 und Übung 3 Fr, 10:45-12:30 Uhr große Rechnerhalle Theorie 4 Fr, 13:30 Uhr - 14:15 Uhr HS 1 Übung 4 Fr, 14:15-16:00 Uhr große Rechnerhalle Theorie 5 Sa, 10:00 Uhr - 10:45 Uhr HS 1 Übung 5 Sa, 10:45-12:30 Uhr große Rechnerhalle Theorie 6 Sa, 13:15 Uhr - 13:45 Uhr HS 1 Übung 6 Sa, 13:45-15:00 Uhr große Rechnerhalle Kurswebseite mit Skript:

3 Plotten I Verwende plot zum Plotten von Punkten im R 2 und Kurven ω : R R 2. Syntax plot(x, y) mit x und y Vektoren gleicher Länge: Plottet die Punkte (x(i),y(i)) und verbindet sie mit Strecken. plot(x, Y) mit X und Y Matrizen gleicher Dimension: Plottet jeweils die Spalten von X und Y in verschiedenen Farben, also jeweils für ein j die Punkte (X(i,j),Y(i,j)) für alle i.

4 Plotten I Verwende plot zum Plotten von Punkten im R 2 und Kurven ω : R R 2. Syntax plot(x, y) mit x und y Vektoren gleicher Länge: Plottet die Punkte (x(i),y(i)) und verbindet sie mit Strecken. plot(x, Y) mit X und Y Matrizen gleicher Dimension: Plottet jeweils die Spalten von X und Y in verschiedenen Farben, also jeweils für ein j die Punkte (X(i,j),Y(i,j)) für alle i. plot(x1, y1, x2, y2,...) == plot([x1, x2,...], [y1, y2,...]) falls xi und yi Spaltenvektoren sind. plot(x, Y) == plot([x, x, x,...], Y), wenn x Spaltenvektor und Y Matrix ist.

5 Plotten II >> x = -1:0.1:1; >> y = x.*sin(x.^2); >> plot(x,y)

6 Plotten II >> x = -1:0.1:1; >> y = x.*sin(x.^2); >> plot(x,y) >> y2 = x.^2; >> plot(x, y, x, y2)

7 Plotten II >> x = -1:0.1:1; >> y = x.*sin(x.^2); >> plot(x,y) >> y2 = x.^2; >> plot([x, x ], [y, y2 ])

8 Plotten II >> x = -1:0.1:1; >> y = x.*sin(x.^2); >> plot(x,y) >> y2 = x.^2; >> plot(x, [y, y2 ])

9 Plotten III Plots können nicht nur über Befehle, sondern auch über die Matlab-Oberfläche verändert werden.

10 Plotten III Das Aussehen der Plots kann durch mannigfaltige Optionen verändert werden. Marker o Kreis Farbe Stern r Red. Punkt g Green Linienart + Plus b Blue - durchgezogene Linie x Kreuz c Cyan -- gestrichelte Linie s Quadrat m Magenta : gepunktete Linie d Diamant y Yellow -. gepunktet und gestrichelt ^ Dreieck nach oben k Black v Dreieck nach unten w White > Dreieck nach rechts < Dreieck nach links

11 Plotten III Das Aussehen der Plots kann durch mannigfaltige Optionen verändert werden. Marker o Kreis Farbe Stern r Red. Punkt g Green Linienart + Plus b Blue - durchgezogene Linie x Kreuz c Cyan -- gestrichelte Linie s Quadrat m Magenta : gepunktete Linie d Diamant y Yellow -. gepunktet und gestrichelt ^ Dreieck nach oben k Black v Dreieck nach unten w White > Dreieck nach rechts < Dreieck nach links Die Parameter werden als String hinter die zu plottenden Daten geschrieben, z. B. plot(x,y, r,x2,y2, b ).

12 Plotten III Das Aussehen der Plots kann durch mannigfaltige Optionen verändert werden. Marker o Kreis Farbe Stern r Red. Punkt g Green Linienart + Plus b Blue - durchgezogene Linie x Kreuz c Cyan -- gestrichelte Linie s Quadrat m Magenta : gepunktete Linie d Diamant y Yellow -. gepunktet und gestrichelt ^ Dreieck nach oben k Black v Dreieck nach unten w White > Dreieck nach rechts < Dreieck nach links Die Parameter werden als String hinter die zu plottenden Daten geschrieben, z. B. plot(x,y, r,x2,y2, b ). Standard ist die Option -k.

13 Plotten IV >> plot(x,y, r, x,y2, --b, x,y2, om )

14 Plotten IV >> plot(x,y, r, x,y2, --b, x,y2, om )

15 Plotten IV >> plot(x,y, r, x,y2, --b, x,y2, om ) >> t=0:0.1:2*pi; >> x=cos(t); >> y=sin(t); >> plot(x,y, *, x,y, : )

16 Plotten IV >> plot(x,y, r, x,y2, --b, x,y2, om ) >> t=0:0.1:2*pi; >> x=cos(t); >> y=sin(t); >> plot(x,y, *, x,y, : )

17 Plotten V Um die Skalierung der Achsen manuell anzupassen verwende die Befehle axis, xlim oder ylim. Syntax axis([xmin, xmax, ymin, ymax]) skaliert den Bereich, so dass [xmin, ymin] [xmax, ymax] sichtbar ist. ylim([ymin ymax]) bzw. xlim([xmin xmax]) skaliert nur die x- bzw. y-achse. Hinweis: Für 3-D Plots gibt es auch zlim.

18 Plotten VI Wir betrachten die Funktion x 1 (x 1) (x 2) 2. >> x = linspace(0,3,500); >> plot(x, 1./(x-1).^2 + 3./(x-2).^2) >> grid on

19 Plotten VI Wir betrachten die Funktion x 1 (x 1) (x 2) 2. >> x = linspace(0,3,500); >> plot(x, 1./(x-1).^2 + 3./(x-2).^2) >> grid on >> ylim([0 50])

20 Plotten VII Normalerweise überschreibt Matlab das aktuelle Fenster bei einem neuen Plot-Befehl. Um einen neuen Plot in dem aktuellen zusätzlich zu erzeugen, verwende den Befehl hold on. >> x = 0:0.01:0.5; >> plot(x, x.*sin(1./x))

21 Plotten VII Normalerweise überschreibt Matlab das aktuelle Fenster bei einem neuen Plot-Befehl. Um einen neuen Plot in dem aktuellen zusätzlich zu erzeugen, verwende den Befehl hold on. >> x = 0:0.01:0.5; >> plot(x, x.*sin(1./x)) >> x = 0:0.001:0.5; >> hold on; >> plot(x, x.*cos(1./x))

22 Plotten VII Normalerweise überschreibt Matlab das aktuelle Fenster bei einem neuen Plot-Befehl. Um einen neuen Plot in dem aktuellen zusätzlich zu erzeugen, verwende den Befehl hold on. >> x = 0:0.01:0.5; >> plot(x, x.*sin(1./x)) >> x = 0:0.001:0.5; >> hold on; >> plot(x, x.*cos(1./x)) Verwende figure um ein neues Plot-Fenster zu öffnen.

23 Logarithmische Achsen Mit semilogx, semilogy und loglog werden Plots mit logarithmischer Achsenskalierung erstellt. Diese werden häufig verwendet um Konvergenzgeschwindigkeiten von Algorithmen besser abzulesen zu können. >> n = 1:1000; >> y = exp(1) - (1+1./n).^n; >> plot(n,y)

24 Logarithmische Achsen Mit semilogx, semilogy und loglog werden Plots mit logarithmischer Achsenskalierung erstellt. Diese werden häufig verwendet um Konvergenzgeschwindigkeiten von Algorithmen besser abzulesen zu können. >> n = 1:1000; >> y = exp(1) - (1+1./n).^n; >> plot(n,y) >> n = 1:1000; >> y = exp(1) - (1+1./n).^n; >> semilogy(n,y)

25 fplot Mit fplot können schnell algebraische Funktionen geplottet werden. Der User muss sich im Gegensatz zum plot-befehl nicht um die Diskretisierung kümmern. Syntax fplot(f, [xmin, xmax]) mit f Funktionshandle oder Funktionsstring: Plottet die Funktion f im Intervall [xmin, xmax]. >> f [200*sin(x(:))./x(:),... x(:).^2]; >> fplot(f, [-20, 20])

26 fplot Mit fplot können schnell algebraische Funktionen geplottet werden. Der User muss sich im Gegensatz zum plot-befehl nicht um die Diskretisierung kümmern. Syntax fplot(f, [xmin, xmax]) mit f Funktionshandle oder Funktionsstring: Plottet die Funktion f im Intervall [xmin, xmax]. >> f [200*sin(x(:))./x(:),... x(:).^2]; >> fplot(f, [-20, 20]) >> fplot( w.*sin(w.^2),... [0, 10], o );

27 subplot I Mit dem Befehl subplot können mehrere Plots in ein Fenster in verschiedene Koordinatensysteme gezeichnet werden. Syntax subplot(n,m,p): Erzeugt beim ersten Aufruf ein Fenster mit n m Koordinatensystemen in n Zeilen und m Spalten. Setzt das p-te Koordinatensystem aktiv. Der nächste plot-befehl zeichnet in dieses Koordinatensystem. >> subplot(2,2,1), fplot( exp(sqrt(x)*sin(12*x)),[0 2*pi]) >> subplot(2,2,2), plot(0:0.1:10, sin(round(0:0.1:10)), -- ) >> subplot(2,2,3), fplot( cos(30*x)/x,[ ], -. ) >> subplot(2,2,4), fplot( [sin(x), cos(2*x), 1/(1+x)],[0 5*pi ])

28 subplot II

29 plot3 I Mit dem Befehl plot3 können Kurven ω : R R 3 geplottet werden. Syntax plot3(x,y,z) mit Vektoren x, y, z: Plottet die Punkte (x(i), y(i), z(i)) für alle i 1,..., length(x) und verbindet sie gegebenenfalls. Wichtig: length(x) == length(y) == length(z).

30 plot3 I Mit dem Befehl plot3 können Kurven ω : R R 3 geplottet werden. Syntax plot3(x,y,z) mit Vektoren x, y, z: Plottet die Punkte (x(i), y(i), z(i)) für alle i 1,..., length(x) und verbindet sie gegebenenfalls. Wichtig: length(x) == length(y) == length(z). plot3(x,y,z) mit Matrizen X, Y, Z: Wie plot3(x(:,i), Y(:,i), Z(:,i)) für alle Spalten i der Matrizen in verschiedenen Farben.

31 plot3 II >> t = 0:0.01:10*pi; >> plot3(sin(t),cos(t),t)

32 plot3 II >> t = 0:0.01:10*pi; >> plot3(sin(t),cos(t),t) >> t = (0:0.01:10*pi) ; >> plot3([sin(t), t./(10*pi).*sin(t)],... [cos(t), cos(t)], [t,t]) Das ganze geht auch animiert mit dem Befehl comet3 (vgl. Übung)

33 Beispiel: Lorenz Attraktor I Das gewöhnliche Differentialgleichungssystems ẋ 1 (t) = σ(x 2 (t) x 1 (t)) ẋ 2 (t) = ρx 1 (t) x 2 (t) x 1 (t)x 3 (t) ẋ 3 (t) = x 1 (t)x 2 (t) βx 3 (t) mit Parametern σ = 10, ρ = 28 und β = 8/3 nennt man Lorenz-System und ist ein Beispiel für Systeme mit chaotischen Lösungen (Schmetterlingseffekt).

34 Beispiel: Lorenz Attraktor I Das gewöhnliche Differentialgleichungssystems ẋ 1 (t) = σ(x 2 (t) x 1 (t)) ẋ 2 (t) = ρx 1 (t) x 2 (t) x 1 (t)x 3 (t) ẋ 3 (t) = x 1 (t)x 2 (t) βx 3 (t) mit Parametern σ = 10, ρ = 28 und β = 8/3 nennt man Lorenz-System und ist ein Beispiel für Systeme mit chaotischen Lösungen (Schmetterlingseffekt). Solche Systeme kann man in Matlab z. B. mit dem Befehl ode45 numerisch lösen. >> dotx [10*(x(2)-x(1)); 28*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);... x(1)*x(2)-8/3*x(3)] dotx >> tend = 50; >> [T,X] = ode45(dotx, [0 tend], [1 2 3]); >> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))

35 Beispiel: Lorenz Attraktor II Warum chaotisch?

36 Ende Teil 5 Ende Teil 5

37 meshgrid Um Funktionen f : R 2 R zu plotten, müssen wir den zu plottenden Bereich erst diskretisieren. >> x = 0:1:4; >> y = [4, 3.6, 2.4, 1, 0]; (0, 4) (0, 3.6) (0, 2.4) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0)

38 meshgrid Um Funktionen f : R 2 R zu plotten, müssen wir den zu plottenden Bereich erst diskretisieren. >> x = 0:1:4; >> y = [4, 3.6, 2.4, 1, 0]; (0, 4) (0, 3.6) (0, 2.4) (2, 2.4) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0)

39 meshgrid Um Funktionen f : R 2 R zu plotten, müssen wir den zu plottenden Bereich erst diskretisieren. >> x = 0:1:4; >> y = [4, 3.6, 2.4, 1, 0]; (0, 4) (0, 3.6) (0, 2.4) (2, 2.4) >> [X, Y] = meshgrid(x,y) X = (0, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) Y =

40 meshgrid Um Funktionen f : R 2 R zu plotten, müssen wir den zu plottenden Bereich erst diskretisieren. >> x = 0:1:4; >> y = [4, 3.6, 2.4, 1, 0]; (0, 4) (0, 3.6) (0, 2.4) (2, 2.4) >> [X, Y] = meshgrid(x,y) X = (1, 1) (0, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) Y =

41 3D - Plots I Haben wir alle Punkte mit meshgrid erzeugt, kann die Funktion anschließend f : R 2 R an jedem Gitterpunkt ausgewertet werden. >> x = -5.5:0.3:5.5; y = -5.5:0.3:5.5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> f sin(sqrt(x.^2+y.^2)); >> Z = f(x,y);

42 3D - Plots I Haben wir alle Punkte mit meshgrid erzeugt, kann die Funktion anschließend f : R 2 R an jedem Gitterpunkt ausgewertet werden. >> x = -5.5:0.3:5.5; y = -5.5:0.3:5.5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> f sin(sqrt(x.^2+y.^2)); >> Z = f(x,y); Die Funktion kann dann z. B. mittels des mesh Befehls als Funktionengebirge geplottet werden: >> mesh(x,y,z);

43 3D - Plots II Neben mesh gibt es noch viele weitere Befehle die ein ähnliches Funktionengebirge liefern, z.b. surf, waterfall,... Auch Beleuchtung und Schattenwurf kann eingestellt werden, um die Oberflächen realistischer erscheinen zu lassen:

44 3D - Plots II Neben mesh gibt es noch viele weitere Befehle die ein ähnliches Funktionengebirge liefern, z.b. surf, waterfall,... Auch Beleuchtung und Schattenwurf kann eingestellt werden, um die Oberflächen realistischer erscheinen zu lassen: >> x = -5.5:0.05:5.5; >> y = -5.5:0.05:5.5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> Z = f(x,y); >> surfl(x,y,z, light ) >> shading interp

45 3D - Plots II Neben mesh gibt es noch viele weitere Befehle die ein ähnliches Funktionengebirge liefern, z.b. surf, waterfall,... Auch Beleuchtung und Schattenwurf kann eingestellt werden, um die Oberflächen realistischer erscheinen zu lassen: >> x = -5.5:0.05:5.5; >> y = -5.5:0.05:5.5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> Z = f(x,y); >> surfl(x,y,z, light ) >> shading interp

46 Höhenlinien I Häufig aussagekräftiger als Funktionengebirge sind Höhenlinienplots (Wanderkarten). Die Niveaumenge einer Funktion f : R d R zu einem Niveau c ist die Menge N f (c) := {x R d f (x) = c} R d Aus dem Satz über implizite Funktionen kann man folgern, dass unter gewissen Voraussetzungen diese Mengen (lokal) Kurven im R d sind. Für Höhenlinienplot einer Funktion f : R d R verwende contour. Bei Aufruf contour(x,y,z) wählt Matlab Niveaus automatisch.

47 Höhenlinien II >> x=-5:0.1:5; >> y = -5:0.1:5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> contour(x, Y,... cos(2.^sin(x).*sqrt(x.^2 + Y.^2)));

48 Höhenlinien II >> x=-5:0.1:5; >> y = -5:0.1:5; >> [X, Y] = meshgrid(x,y); >> contour(x, Y,... cos(2.^sin(x).*sqrt(x.^2 + Y.^2))); >> [C,h] = contour(x, Y,... cos(2.^sin(x).*sqrt(x.^2 + Y.^2))); >> clabel(c,h);

49 Filme I Mit Matlab können auch Animationen bzw. Filme erstellt werden. Dafür muss der Plot mit der Methode getframe gespeichert werden. [X,Y] = meshgrid(-4*pi:0.05:4*pi, -4*pi:0.05:4*pi); for i=1:70 surfl(x,y, 1./(10+X.^2+Y.^2).*sin(-i./25*pi+sqrt(X.^2+Y.^2)), light ) shading interp axis([-15,15,-15,15,-0.1,0.1]); M(i)=getframe; end

50 Filme I Mit Matlab können auch Animationen bzw. Filme erstellt werden. Dafür muss der Plot mit der Methode getframe gespeichert werden. [X,Y] = meshgrid(-4*pi:0.05:4*pi, -4*pi:0.05:4*pi); for i=1:70 surfl(x,y, 1./(10+X.^2+Y.^2).*sin(-i./25*pi+sqrt(X.^2+Y.^2)), light ) shading interp axis([-15,15,-15,15,-0.1,0.1]); M(i)=getframe; end Der Film kann dann mit dem Befehl movi2avi als avi-video gespeichert werden: movie2avi(mov, example1.avi, fps, 24);

51 Filme II Alternativ kann auch direkt ein.avi-file erzeugt werden mit den Befehlen avifile und addframe: [X,Y] = meshgrid(-4*pi:0.05:4*pi, -4*pi:0.05:4*pi); aviobj = avifile( example.avi, fps, 24) for i=1:70 surfl(x,y, 1./(10+X.^2+Y.^2).*sin(-i./25*pi+sqrt(X.^2+Y.^2)), light ) shading interp axis([-15,15,-15,15,-0.1,0.1]); aviobj = addframe(aviobj, getframe); end close(aviobj);

52 Fast Kursende Noch Fragen? an

53 Fast Kursende Noch Fragen? an Evaluierung

54 Fast Kursende Noch Fragen? an Evaluierung Ende Teil 6