Stichworte zu Octave

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1 Stichworte zu Octave Markus Grasmair 21. Oktober Einleitung Was ist Octave Octave ist ein freier und quelloffener Klon der kommerziellen Software Matlab. Matlab = Matrix laboratory. Programmiersprache und -umgebung für technische Berechnungen. Verbreitet in numerischer Mathematik, wissenschaftlichem Rechnen, Simulation, Datenanalyse, Computergrafik. Wie bekommt man Octave? Sie finden das Programm unter Windowsnutzer finden eine Installationsanleitung unter Applenutzer unter Was kann Octave (nicht) Positiv: Berechnungen mit Matrizen und Vektoren. Einfache graphische Ausgabe. Einfach (intuitiv) zu programmieren. Negativ: Größere Berechnungen langsam (Programme werden nicht kompiliert). Schlechte Unterstützung für symbolisches Rechnen. 1

2 2 RECHNEN 2 2 Rechnen 2.1 Variablen Definition von Variablen Variable = Platzhalter für Daten, etwa: x, y, temp. Variablen werden durch Zuweisung eines Wertes erzeugt, Zuweisung erfolgt über ein Gleichheitszeichen verschiedene Datentypen sind möglich, etwa: Zahlen: x = 1; Matrizen: y = [ ; 1 2]; Texte (Strings): name = Ausgabetext ; Ist eine Variable bereits definiert, kann man ihr mit dem Gleichheitszeichen einen neuen Wert zuweisen. Nach der Definition x = 1; hat die Variable x den Wert 1. Definiert man nun x = x+1; wird der Wert der Variable um 1 erhöht; x hat also nun der Wert 2. Zusammenfassung mehrerer Befehle in einer Zeile möglich. Trennung mit, (Ausgabe) oder ; (keine Ausgabe). Vektoren Die Eingabe x=1, y=2 liefert die Bildschirmausgabe x = 1 y = 2 Die Eingabe x=1; y=2; liefert keine Bildschirmausgabe. Octave unterscheidet zwischen Zeilenvektoren und Spaltenvektoren, wobei beide Strukturen als spezielle Matrizen aufgefasst werden. Erzeugung von Zeilenvektoren beispielsweise über: x = [0.5-1] oder äquivalent: x = [0.5,-1] Erzeugung von Spaltenvektoren über: x = [0.5; -1] Regelmäßige Vektoren mittels Anfang:[Inkrement:]Ende Die Definition x = 1:4

3 2 RECHNEN 3 liefert den Zeilenvektor (1, 2, 3, 4), die Definition x = 1:0.3:2 liefert (1, 1.3, 1.6, 1.9). Es sind auch negative Inkremente möglich: x = 1:-1:-1 liefert den Vektor (1, 0, 1). Matrizen Eingabe wie Vektoren: A = [1 2;3 4] liefert die 2 2-Matrix A = Spezielle Matrizen: ( ) eye(m,n)... m n Matrix mit Einsen auf Hauptdiagonale, Nullen sonst (für m = n also die n-dimensionale Einheitsmatrix). Es ist eye(n) = eye(n,n). zeros(m,n)... m n dimensionale Nullmatrix. ones(m,n)... m n dimensionale Matrix, alle Einträge 1. rand(m,n)... m n dimensionale Matrix, Einträge zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallszahlen. Dimensionen von Variablen Länge von Vektoren mittels length bestimmbar: x = 1:3; length(x) Ergebnis: 3. Dimension von Matrizen mittels size: A = [1 2 3; 4 5 6]; s = size(a) Dann ist s der Zeilenvektor (2, 3). Wird length auf eine Matrix angewandt, erhält man die größte Dimension: A = [1 2 3; 4 5 6]; s = length(a) Hier ist s = 3. Zugriff auf Elemente Ist x ein Vektor, so bezeichnet: x(i)... den i-ten Eintrag von x, x(i:j)... den Vektor der Einträge von i bis j, x(i:end)... den Vektor der Einträge ab i, x([i j])... die Einträge i und j. Ist A eine Matrix, so bezeichnet:

4 2 RECHNEN 4 A(i,j)... den (i, j)-ten Eintrag von A, A(i,:)... die i-te Zeile von A, A(:,j)... die j-te Spalte von A. 2.2 Einfache Berechnungen Einfache Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation (auch skalare Multiplikation) mittels +,,, Transposition mit. (Transposition + komplexe Konjugation mit ), Potenzieren mit ^. Beispiel: Nach der Definition A=[1 2; 3 4]; B=[0 1; 3 2]; liefert: A+B A-B A*B A B^ A *A Komponentenweise Operationen Wird den Operationen *, ^ und / (für Division) ein. vorangestellt, so werden die entsprechenden Operationen elementweise statt auf die ganze Matrix angewendet: Beispielsweise erhalten wir nach der Definition A=[1 2; 3 4]; B=[0 1; 3 2];: A.*B

5 2 RECHNEN 5 A./B Inf A.^ A.^B Elementare Funktionen Elementare Funktionen wie Sinus, Cosinus, Exponentialfunktion und Logarithmus sind in Matlab bereits implementiert. Meist sind die Namen sprechend (exp für die Exponentialfunktion, sin für den Sinus,... ). Anwendung der Funktionen auf eine Zahl gibt das erwartete Ergebnis, Anwendung auf Matrizen ist immer komponentenweise, die Funktion expm liefert das Exponential einer quadratischen Matrix (also i Ai /i!): exp(1) exp([1 2; 3 4]) expm([1 2; 3 4]) Plots Beispielgrafik Als Beispiel plotten wir den Sinus im Intervall [0, 2π]. Diskretisierung der x-achse: x = 0:pi/100:2*pi; Definition der Funktionswerte: y = sin(x); Plot der Funktion: plot(x,y);

6 2 RECHNEN 6 Beispielgrafik erster Versuch Beispielgrafik Verfeinerung Diskretisierung der x-achse: x = 0:pi/100:2*pi; Definition der Funktionswerte: y = sin(x); Plot der Funktion: plot(x,y); Verbesserung des Plots mit Titel, Achsenbeschriftung, Achsenskalierung,... title( Sinusfunktion ) xlim([0 2*pi]);ylim([ ]); xlabel( x-achse );ylabel( sin(x) ); legend( sin(x), Location, NorthEast ); Beispielgrafik zweite Version

7 3 PROGRAMMIEREN 7 3 Programmieren 3.1 Allgemeines m-files Erstellung eigener Programme in (Text)Dateien mit der Endung.m. Beispiel: einfaches Programm, das die Summe zweier Variablen berechnet. Öffnen und Erstellen der Datei in einem Texteditor Ihrer Wahl, Speichern unter Funktionsname.m (in unserem Beispiel: mysum.m). In der Datei mysum.m wird die Funktion definiert, etwa: function result = mysum(x,y) % Dies ist ein Kommentar result = x+y; Aufruf der Funktion in Octave liefert: mysum(1,2) ans = 3 Damit eine Funktion von Octave aufgerufen werden kann, muss sie sich im aktuellen Arbeitsverzeichnis von Octave befinden. Die Grundeinstellung in Windows ist dabei das Homeverzeichnis des Benutzers. Mit cd können Sie das Arbeitsverzeichnis wechseln. Mit ls erhalten Sie eine Übersicht über das aktuelle Verzeichnis. Der Dateiname muss ident sein mit dem Namen der definierten Funktion. 3.2 Mittelwert Aufgabenstellung Die folgenden Beispiele zeigen, wie einfache Programme in Octave aussehen könnten. Als Beispiele wurden Mittelwert und Varianz eines Vektors gewählt, also für x = (x 1,..., x n ) mean(x) := 1 n x i, n var(x) := 1 n i=1 n ( xi mean(x) ) 2. i=1 Programmierung über Schleifen Beispielcode: function output = mymean loop(x) % mymean loop(x) berechnet den Mittelwert von x output = 0; for i = 1:length(x)

8 3 PROGRAMMIEREN 8 output = output+x(i); end output = output/length(x); Vektorisierung In Octave ist es fast immer zu empfehlen, Schleifen wenn möglich zu vermeiden. Im Beispiel des Mittelwertes ist dies etwa möglich mittels der Funktion sum: function output = mymean(x) % mymean(x) berechnet schneller den Mittelwert von x output = sum(x)/length(x); 3.3 Varianz Programmierung über Schleifen Berechnung der Varianz eines Vektors: function output = myvar1(x) % Varianz mit Schleife output = 0; m = mean(x); for i = 1:length(x) output = output+(x(i)-m)^2; end output = output/length(x); Zwei vektorisierte Programme Analog zum Mittelwert: function output = myvar2(x) % Varianz ohne Schleife m=mean(x); output = sum((x-m).^2)/length(x); Auch denkbar wäre: function output = myvar3(x) % Varianz voll vektorisiert m=mean(x); output = ((x-m)*(x-m) )/length(x); Sicherheitsabfragen Um dem Anwender es möglichst schwer zu machen, das Programm falsch zu verwenden, sollte man zusätzliche Sicherheitsabfragen einbauen: function output = myvar4(x) % Varianz ohne Schleife if(~isvector(x))

9 4 TROUBLESHOOTING 9 error( Eingabe muss ein Vektor sein ) end if(length(x) <= 1) error( Der Eingabevektor muss mindestens zwei Elemente beinhalten ) end m=mean(x); output = sum((x-m).^2)/length(x); 4 Troubleshooting Octave-Dokumentation In Octave erhält man Hilfe über: help +Befehl... Dokumentation des Befehls. doc... selbiges ausführlicher. In der Kommandozeile existiert eine Autovervollständigung mittels der Tabulatortaste. Dies kann auch das Finden von noch unbekannten Befehlen erleichtern. Für allgemeine Hilfe zu Problem mit diversen Programmen bietet sich das unter zu findende Flussdiagramm an. Typische Fehler error: mytest undefined near line 1 column 1 Die eigenen Funktionen werden nur dann gefunden, wenn sie im aktuellen Arbeitsverzeichnis stehen = Pfad wechseln. Variablen, die in einer Funktion definiert werden, sind lokal, die Kommandozeile weiß also nichts von ihrer Existenz. Umgekehrt kennen die Funktionen die Variablen, die in der Kommandozeile definiert wurden, nicht. error: operator *: nonconformant arguments Auch Octave kann Matrizen nur dann multiplizieren, wenn die Dimensionen kompatibel sind. Beachten Sie, dass Octave unter Umständen Additionen von Matrizen unterschiedlicher Dimension durchführt, indem es die kleinere Matrix vervielfältigt. Dies erzeugt keine Fehlermeldung (die Ausführung ihres Programmes wird also nicht abgebrochen), sondern nur eine Warnung, die in der Kommandozeile ausgegeben wird.

10 4 TROUBLESHOOTING 10 Tips Kommentieren Sie Ihre Programme! Das erleichtert die Fehlersuche und das spätere Editieren (durch Sie oder andere) deutlich. Testen Sie Ihre Programme zunächst anhand von einfachen Beispielen, bei denen Sie das Ergebnis bereits kennen. Vermeiden Sie unnötige Schleifen, die das Programm verlangsamen. Vermeiden Sie jedenfalls Endlosschleifen, die das Programmen sehr stark verlangsamen. Sollten Sie dennoch aus Versehen ein Programm der Art k=1;while k end; aufgerufen haben (dieses Programm tut so lange nichts, bis die Variable k Null wird), empfiehlt sich ein vorzeitiger Abbruch mit Ctrl+c. Sie können das Programm Octave auf der Kommandozeile mit den Befehlen quit oder exit beenden. Versuchen Sie, möglichst viele Benutzerfehler schon am Beginn des Programms abzufangen. Bedenken Sie immer die Existenz von Rundungsfehlern. Funkionen können in beliebigen Texteditoren erstellt werden. Es ist allerdings aufgrund größerer Übersichtlichkeit vorteilhaft, einen Editor mit syntax highlighting für Octave/Matlab zu verwenden, da dies das Arbeiten und die Fehlersuche extrem erleichtern kann. Beispiele sind Notepad++, emacs und vi.