Einführung in MATLAB MATLAB ist eine Anwendung, die die Aufgaben der numerischen Mathematik lösen kann.

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1 Einführung in MATLAB MATLAB ist eine Anwung, die die Aufgaben der numerischen Mathematik lösen kann. 1 Kommandozeile Das große Fenster in der Mitte enthält die Kommandozeile >> Dort tippen Sie (mathematische) Befehle ein und MATLAB führt sie sofort aus. 2 Variablen MATLAB bedient sich der gleichen Logik wie die Mathematik. Z.B. ein Befehl >> x=1 sagt Folges aus: sei x R und setze x = 1. MATLAB gibt die Variable auch direkt aus, etwa so x = 1 Wenn Sie keine Ausgabe brauchen, schließen Sie den Befehl mit einem Semikolon ab >> x=1; Jetzt gibt es keine Ausgabe, nur das kleine Fenster oben rechts informiert, dass Sie eine Variable mit dem Namen x eingeführt haben und ihr Wert 1 ist. Beachten Sie, dass x nun keine Konstante ist. MATLAB bewahrt sie zwar sorgfältig auf als die Zahl 1, aber wenn Sie den Befehl >> x=2; eingeben, vergisst MATLAB die 1 und kennt ab jetzt nur, dass x = 2 ist. Wenn Sie nachher wissen wollen, was der Wert von x ist, schreiben Sie nur >> x Natürlich kennt MATLAB alle üblichen Rechenoperationen sowie Elementarfunktionen. Geben Sie etwa >> x=-1; >> y=2*x; ein, so gilt x = 1 und y = 2. Wenn Sie mehr an dem Rechenergebnis interessiert sind, als an den Variablennamen, tippen Sie nur den zu berechnen Ausdruck ein, z.b. >> (4+2*3)/2 Die Ausgabe sieht dann folgermaßen aus ans = 5 MATLAB speichert das letzte Rechenergebnis in der Variable ans ( ans wie answer ) ab. Sie können diese Variable genauso behandeln, wie alle anderen, sie ist immer da. Wenn Sie jetzt >> ans*ans eingeben, wird ab sofort ans= 25 sein. Sollten Sie zu den MATLAB-Befehlen Hilfe brauchen, benutzen sie entweder die ausfürliche Hilfe-Abteilung in dem Menü oben, oder geben Sie help ein. Wenn Sie über etwas Bestimmtes lernen wollen, z.b. über die Variable ans, schreiben Sie so >> help ans Aufgabe: Geben Sie in die Kommandozeile folge Befehle ein >> x=2; >> y=3; >> x+y >> x-y >> x*y >> x/y

2 >> x^y >> x=pi >> sin(x) >> cos(x) >> acos(cos(x)) >> help pi >> help sin >> exp(y) >> log(y) >> log(exp(y)) >> help i >> 1+2*i 3 Matrizen MATLAB = MATrix LABoratory arbeitet sehr gern mit Matrizen, daher ist der Umgang mit Matrizen und Vektoren sehr intuitiv. Wollen Sie z.b. die Matrix ( ) A = einführen, so geben Sie >> A=[1,2,3;4,5,6] oder >> A=[1 2 3;4 5 6] ein. Die eckigen Klammern signalisieren, dass die Variable A eine Matrix sein soll, die Einträge werden dann zeilenweise in die Matrix gespeichert, wobei der Semikolon den Übergang zu der nächsten Zeile bedeutet. Eingabe der Vektoren geschieht nach dem ähnlichen Schema, wobei MATLAB netterweise sowohl die Zeilenvektoren >> v=[2 3 8] als auch die Spaltenvektoren >> v=[2;3;8] kennt, ohne sich auf eine der Konventionen zu beschränken, da Vektoren eigentlich nur 1 n- bzw. n 1-Matrizen sind. Sie können auch die Dimensionen von Matrizen und Vektoren ermitteln, genauer, >> [m n] = size(a) erstellt Variablen m und n, die die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix A enthalten. >> n = length(v) speichert in der Variable n die Länge des Vektors v. Wieder, Vektor ist Spezialfall von Matrix, daher werden Sie sich über die Resultate von Befehlen >> size([2 3 8]) >> size([2;3;8]) nicht wundern. Es gibt viele Standard-Matrizen (z.b. die Einheitsmatrix), die Sie nicht selbst eintragsweise eingeben müssen, sondern nur entspreche Befehle zu deren Erzeugung aufrufen können. So erzeugt z.b. >> 1:10 einen Vektor mit 10 Einträgen, und zwar, mit der 1 begonnen, addiert MATLAB eine 1 dazu, bis 10 erreicht ist. >> -10:3:5 erzeugt einen Vektor mit 6 Einträgen mit der -10 begonnen, addiert MATLAB eine 3 dazu, bis 5 erreicht ist. Seien nun m,n N. Dann >> zeros(m,n) erzeugt eine m n-matrix, die nur aus Nullen besteht. >> ones(m,n) erzeugt eine m n-matrix, die nur aus Einsen besteht. >> rand(m,n) erzeugt eine m n-matrix, die aus gleichverteilten in (0,1) Zufallszahlen besteht. >> eye(m,n)

3 erzeugt eine m n-matrix, die auf der Hauptdiagonale Einsen hat und sonst nur aus Nullen besteht. >> diag(v,k) erzeugt eine quadratische Matrix, die auf der k-ten Diagonale die Einträge des Vektors v hat. Hierbei bedeuten zum Beispiel k = 0 die Hauptdiagonale, k = 1 die erste obere Nebiagonale und k = 1 die erste untere Nebiagonale. >> diag(a,k) erzeugt einen Vektor, der aus den Einträgen der k-ten Diagonale der Matrix A besteht. MATLAB stellt eine Vielzahl an Methoden zur Verfügung, um Matrizen und Vektoren zu manipulieren. Um auf die einzelnen Einträge zuzugreifen, benutzen Sie die runden Klammern >> A(2,3) bzw. >> v(2) Wollen Sie auf ganze Blöcke zugreifen, geben Sie statt Indizes Vektoren an, die die benötigten Indizes enthalten, z.b. >> A(1:2,2:3) bedeutet den rechten 2 2-Block, >> A(1,:) die erste Zeile und >> A(:,2) die zweite Spalte der Matrix A. >> A([2 1],:) bedeutet eine Matrix, die die Zeilen von A in der vertauschten Reihenfolge enthält. Sie können einen Block der Matrix durch einen anderen passen Block ersetzen, z.b. >> A(1:2,2:3)=eye(2,2) oder ihn löschen (indem Sie ihn durch einen leeren Block ersetzen) >> A(1:2,2:3)=[] Sie können eine Matrix auf eine intuitive Weise aus Blöcken zusammenbauen, etwa so >> A=eye(3,3); >> B=ones(3,2); >> C=-ones(2,3); >> D=zeros(2,2); >> E=[A B;C D] Wie erwartet, kennt MATLAB alle Rechenoperationen mit Matrizen, z.b. >> A=[1 2;3 4]; >> A^2 berechnet A 2. Soll die Rechenoperation komponentweise ausgeführt werden, setzen Sie einen Punkt davor, z.b. >> A.^2 ergibt eine Matrix, wo jeder Eintrag von A quadriert ist. Genauso werden die Elementarfunktionen von Vektoren ausgewertet komponentweise, probieren Sie z.b. >> v=[0 pi/2 pi 3*pi/2 2*pi]; >> sin(v) Die beliebtesten Matrizenoperationen kann MATLAB auch: >> A. ergibt A T (Transponierte) und >> A ergibt A (Transponierte mit komplex konjugierten Einträgen). Aufgabe: Geben Sie in die Kommandozeile folge Befehle ein >> help sum >> help norm >> v=1:5 >> sum(v) >> v.^2 >> sum(v.^2) >> norm(v)^2 >> A=diag(-ones(1,4),-1)+diag(2*ones(1,5),0)+diag(ones(1,4),1) >> A(4:5,:)=[] >> A(:,4:5)=[] >> B=A+i*ones(3,3)

4 >> B >> B. 4 Logik MATLAB kann nicht nur rechnen, sondern auch logisch denken natürlich im Rahmen der einfachen mathematischen Logik das Wort true steht für wahr und das Wort false steht für falsch. Tippen Sie in der Kommandozeile ein >> true >> false so sehen Sie, dass MATLAB die Wörter als Zahlen 1 und 0 darstellt. Z.B. der Befehl >> 2>1 ergibt eine Eins, also es ist wahr, dass 2 größer als 1 ist. MATLAB kennt folge logische Operationen So bedeutet beispielsweise >> (~(1<2)) ((6>5)&(100<1)) in der mathematischen Schreibweise < kleiner <= kleiner oder gleich > größer >= größer oder gleich == gleich ~= ungleich ~ nicht ( ) & und ( ) oder ( ) ( (1 < 2)) ((6 > 5) (100 < 1)) und ist falsch. Probieren Sie auch andere logische Operationen aus. 5 Grafik Grafische Darstellung der Daten ist sehr einfach in MATLAB. Z.B. den Graph der Sinus-Funktion erstellen sie in nur drei Schritten >> x=0:0.01:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y, r ) Zuerst erzeugen Sie den Vektor der Stützpunkte, an denen die Funktion ausgewertet werden soll, dann wen Sie die Funktion auf den Vektor an, um den Vektor der Stützwerte zu bekommen und anschließ plotten Sie einen Vektor gegen den anderen. Parameter r steht für die rote Farbe. Wenn Sie nun das Fenster mit dem Graphen nicht schließen und einen weiteren Graph erstellen, etwa so >> z=cos(x); >> plot(x,z, b ) sehen Sie zwar, dass nun Kosinus-Funktion geplottet ist, aber der alte Graph ist nicht mehr zu sehen. Soll MATLAB alle gezeichneten Graphen im Fenster halten, sollen Sie es nach dem ersten plotten einstellen >> x=0:0.01:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y, r ) >> hold on >> z=cos(x); >> plot(x,z, b ) Mehr über die möglichen Einstellungen der plot-funktion erfahren Sie mittels >> help plot

5 6 Skripte Damit Sie nicht jedes Mal nach dem Neustart alle benötigten Befehle neu eintippen müssen, erlaubt es Ihnen MATLAB, ganze Listen von Befehlen (Skripte) zu erstellen. Das kleine Fenster oben links zeigt Ihnen den aktuellen Arbeitsordner von MATLAB. Sie können gern mit hilfe der Navigationstasten zu einem anderen Ordner wechseln, z.b. zu Ihrem Lieblingsordner, wo Sie Ihre restlichen Dokumente lagern. Nachdem Sie zu dem Ordner Ihrer Wahl gewechselt haben, tippen Sie in die Kommandozeile den Befehl >> edit ein. Es öffnet sich ein Editor, wo Sie die Befehle in der gewünschten Reihenfolge eintippen können, etwa so 1 m = 2; 2 n = 3; 3 A = eye(m,n); 4 B = ones(m,n); 5 C = B-A und Sie sollen diese Liste speichern, z.b. unter dem Namen myfirstscript.m Sie sehen in dem kleinen Fenster oben links, dass dort diese neue Datei liegt. Ab jetzt, ob nach Neustart von PC oder MATLAB, können Sie immer zu Ihrem Lieblingsordner wechseln, in der Kommandozeile Ihren selbstgeschriebenen Befehl >> myfirstscript eintippen und die Ergebnisse bekommen. Genauso können Sie diese Datei wieder bearbeiten, z.b. den Parameter m verändern dazu benutzen Sie das kleine Fenster oben links oder den Befehl >> edit myfirstscript.m 7 Programmierung Sie haben eine mathematische Rechenaufgabe, deren Lösung Sie zwar nicht kennen, aber über einen Algorithmus verfügen, den Sie nicht selbst ausführen wollen, weil es zu lange dauern würde. So einen Algorithmus in eine Programmiersprache zu übersetzen ist Programmierung. Die MATLAB-Befehle, die Sie bis jetzt gelernt haben, sind ein Teil der Programmiersprache von MATLAB. Man kann aber nicht jeden Algorithmus nur durch eine Reihe von Rechenoperationen darstellen, früher oder später braucht man, dass der Algorithmus eine Bedingung überprüfen oder einige seiner Schritte mit geänderten Parametern wiederholen kann. Bedingungen Angenommen, Sie wollen ein Skript schreiben, das Ihnen zu gegebenem x R sein Inverse ausrechnet. Es fällt Ihnen sofort auf, dass x = 0 eigentlich kein Inverse besitzt. Sie können also nicht einfach 1 x = 0; 2 1/x schreiben, denn MATLAB weiß nicht, was Sie wollen, und rechnet analytisch aus, dass 1 0 =. Sie können aber eine Bedingung einbauen, die das verhindert 1 x = 0; 2 if x~=0 3 1/x 4 Die Konstruktion if... bezeichnet man als bedingte Anweisung. Die einfachste Variante davon hat die Form if Logische Variable Befehle Ist die Logische Variable wahr, werden Befehle ausgeführt, die zwischen if und stehen. Ist die Logische Variable falsch, überspringt MATLAB die Anweisung if... und liest die Befehle, die danach kommen. In

6 dem Beispiel oben war x~=0 zwar eine Bedingung, aber diese liefert eine logische Variable, d.h. entweder true oder false. Die erweiterte Form der bedingten Anweisung ist if Logische Variable Befehle A else Befehle B Ist die Logische Variable wahr, werden Befehle A ausgeführt. Ist die Logische Variable falsch, werden Befehle B ausgeführt. Im trivialsten Fall, bei if true Befehle A else Befehle B werden immer nur Befehle A ausgeführt, und bei if false Befehle A else Befehle B nur Befehle B. Sie können eine beliebige Anzahl bedingter Anweisungen verwen und diese miteinander kombinieren. Beispiele: Sie wollen das Maximum von zwei Zahlen x,y R berechnen. Dazu erstellen Sie das folge Skript 1 x = 21; 2 y = 17; 3 if x<y 4 y 5 else 6 x 7 Wollen Sie nun das Maximum von drei Zahlen x,y,z R ausrechnen, wird ein Vergleich nicht ausreichen 3 if x<y 4 if y<z 5 z 6 else 7 y 8 9 else 10 if x<z 11 z 12 else 13 x Dieses Skript kann aber verbessert werden wie Sie sehen, hat das Skript 4 Fälle abgearbeitet, aber eigentlich waren nur 3 Fälle da das Maximum kann nur x,y oder z sein. So geht es besser 3 m = x; 4 if y>m 5 m = y; 6 7 if z>m 8 m = z; 9 10 m

7 Endlich viele Wiederholungen Angenommen, Sie wollen ein Skript schreiben, das die Enträge eines Vektors v R n aufaddiert, aber n ist entweder unbekannt, oder so groß, dass Sie nicht einfach >> v(1)+v(2)+(3) schreiben können, wie Sie das für n = 3 gemacht hätten. Dazu existiert in MATLAB eine weitere Konstruktion, die Befehle n-mal wiederholt ausführen kann. Im Beispiel funktioniert sie folgermaßen 1 v = [ ]; 2 n = length(v); 3 s = 0; 4 for i=1:n 5 s = s + v(i); 6 7 s Die Konstruktion for... bezeichnet man als Schleife. Sie hat die Form for Index=Vektor Befehle (die von Index abhängen) Der Index läuft alle Einträge vom Vektor durch und jedes Mal werden die Befehle (die von Index abhängen) ausgeführt. Sie können eine beliebige Anzahl von Schleifen verwen und diese miteinander kombinieren. Beispiel A: Sie wollen das Maximum unter allen Einträgen des Vektors v R n bestimmen. Dazu bedienen Sie sich der gleichen Logik wie im vorigen Beispiel mit Maxima, nur dass nun n 1 Vergleiche durchgeführt werden 1 v = [ ]; 2 n = length(v); 3 m = v(1); 4 for i=2:n 5 if v(i)>m 6 m = v(i); m Beispiel B: Sie wollen alle Einträge einer Matrix A R m n aufaddieren. Dazu werden Sie zwei Schleifen brauchen, denn Matrixeinträge haben zwei Indizes Bedingt viele Wiederholungen 1 A = [ ; ]; 2 [m n] = size(a); 3 s = 0; 4 for i=1:m 5 for j=1:n 6 s = s + A(i,j); s Angenommen, Sie wollen einige Befehle solange wiederholen, bis ein bestimmtes Ereignis eingetreten hat, aber Sie wissen nicht nach wie vielen Schritten es passiert. Dazu gibt es in MATLAB die Konstruktion while..., die man auch als Schleife bezeichnet. Sie hat die Form while Logische Variable Befehle Die Befehle werden immer wieder ausgeführt, solange die Logische Variable wahr ist. Ist die Logische Variable falsch, wird die Konstruktion while... übersprungen. Natürlich, können die Befehle die Logische Variable verändern. Betrachten Sie dazu das folge

8 Beispiel: Sie wollen Fibonacci-Zahlen f 0 = 0, f 1 = 1, f i = f i 1 +f i 2 ausgeben, die im Intervall [0,39] liegen. Dazu gehen sie wie folgt vor 1 f0 = 0 2 f1 = 1 3 fi = f1; 4 while fi<=39 5 fi = f1 + f0 6 f0 = f1; 7 f1 = fi; 8 Zuerst ist fi gleich 1, was kleiner als 39 ist, daher nimmt die logische Variable der Schleife den Wert true an und die Schleife fängt an, die Befehle immer zu wiederholen. Im Laufe der Wiederholungen wächst aber die Variable fi, also irgwann ist sie größer als 39, d.h. die logische Variable der Schleife wechselt auf den Wert false und die Schleife bricht die Wiederholungen ab. Funktionen Wenn Sie nun alle Skripte mitgeschrieben haben, haben Sie bemerkt, dass jedes Skript bestimmte Parameter hat, mit denen es die Berechnungen durchführt (Eingabeparameter), sowie einige Parameter, die den Ergebnissen der Berechnung entsprechen (Rückgabeparameter) und ausgegeben werden. Es wäre viel bequemer, wenn man die Skripte nicht jedes mal redaktieren müsste, um die Parameter zu ändern, oder wenn man die Ausgabe nicht nur auf dem Bildschirm hätte so wie die Befehle von MATLAB funktionieren. Z.B. die Funktion norm, die die p-norm eines Vektors v ausrechnet >> n=norm(v,p) Eingabeparameter sind v und p, Rückgabeparameter ist n. Die Funktion size, die die Dimensionen einer Matrix A ausrechnet >> [m n]=size(a) hat nur einen Eingabeparameter A, aber zwei Rückgabeparameter m und n. Beachten Sie, wie die Rückgabepaameter mit hilfe der eckigen Klammern in eine Art Vektor eingepackt werden. Das ist kein Vektor, denn im Allgemeinen können die Rückgabeparameter eine beliebige Sammlung von Matrizen und Vektoren verschiedener Dimensionen sein. MATLAB erlaubt es Ihnen, eigene Funktionen nach demselbsen Schema zu verfassen. Eine selbstgeschriebene Funktion ist nichts anderes als ein Skript, das bestimmte Regeln erfüllt. Z.B. das früher betrachtete Skript zum Ausrechnen des Maximums würde als Funktion folgermaßen aussehen 1 function m = mymax(v) 2 n = length(v); 3 m = v(1); 4 for i=2:n 5 if v(i)>m 6 m = v(i); Dieses Skript speichern Sie unter demselben Namen wie die Funktion, also mymax.m Zum Test tippen Sie in die Kommandozeile folge Befehle ein >> x=rand(1,5) >> a=mymax(x) >> b=max(x) Sie sehen, dass die Variablen, die in der Beschreibung der Funktion auftauchen, lokal sind, d.h. dei der Verwung der Funktion müssen Sie nicht dieselben Variablennamen verwen.