Frage: Gibt es Dinge die wir nur in anderen Sprachen berechnen können? Was kann man wirklich mit dem λ-kalkül ausdrücken?

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1 3 Der λ-kalkül Ausdruckskraft des λ-kalküls Ausdruckskraft des λ-kalküls Frage: Gibt es Dinge die wir nur in anderen Sprachen berechnen können? Was kann man wirklich mit dem λ-kalkül ausdrücken? Antwort: Alles was man überhaupt mit irgendeiner Programmiersprache ausdrücken kann, kann man auch im λ-kalkül ausdrücken. Solche formalen Systeme (und damit den λ-kalkül) nennt man Turing-vollständig. cf. Seite 190, Exkurs zum Thema Berechenbarkeit. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

2 3 Der λ-kalkül Ausdruckskraft des λ-kalküls 3.7 Datenstrukturen vs. Operationen Wir haben schon betont, dass der (reine) λ-kalkül keine primitiven Datentypen (z.b. Integer, Boolean) kennt und auch keine eingebauten Operationen darauf. Dennoch kann man diese mit dem λ-kalkül nachbilden. Ebenso wie man konstruierte Datentypen mit Funktionen nachbauen kann. Beispiel Darstellung von Paaren im λ-kalkül: Wir beschreiben zunächst die Schnittstelle des abstrakten Typs Pair. pair :: α β Pair α β fst :: Pair α β α snd :: Pair α β β und seine Eigenschaften (Konstruktor) (Accessor) (Accessor) fst (pair a b) a snd (pair a b) b Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

3 3 Der λ-kalkül Ausdruckskraft des λ-kalküls 3.7 (nochmal die Eigenschaften) fst (pair a b) a snd (pair a b) b... bis hierhin sieht das aus wie eine algebraische Spezifikation eines abstrakten Datentyps. Jetzt realisieren wir das im λ-kalkül: pair = λx y s. s x y fst = λp. p (λx y. x) snd = λp. p (λx y. y)...bleibt nur noch zu beweisen, dass die geforderten Eigenschaften erfüllt sind. Beweis für fst (pair a b) a: fst (pair a b) = (λp. p (λx y. x)) (pair a b) β pair a b (λx y. x) = (λx y s. s x y) a b (λx y. x) β (λy s. s a y) b (λx y. x) β (λs. s a b) (λx y. x) β β β (λx y. x) a b (λy. a) b a Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

4 3 Der λ-kalkül Ausdruckskraft des λ-kalküls 3.7 Ähnlich kann man das auch mit primitiven (z.b. Boolean und Integer) oder anderen konstruierten Datentypen (z.b. Listen) machen. Diese Technik der Repräsentation von Daten und Operatoren im λ-kalkül nennt man Church Codierung (siehe dazu auch später: Algebraische Datentypen sowie einige Übungsaufgaben). Dualität von Daten und Operationen... ein Beispiel dafür, dass die Unterscheidung zwischen Daten und Operationen keine scharfe, zwingende ist. Man kann auch umgekehrt ein Programm (z.b. einen λ-ausdruck) als Datenobjekt betrachten und mit einem (anderen oder gar dem gleichen) Programm bearbeiten... Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

5 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen

6 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Typen Typen Intuitiv unterteilt man die Objekte, die man mit einer Programmiersprache manipulieren will, in disjunkte Mengen, etwa: Zeichen, ganze Zahlen, Listen, Bäume und Funktionen: Objekte verschiedener Mengen haben unterschiedliche Eigenschaften, (Zeichen und auch ganze Zahlen sind bspw. anzuordnen, Funktionen nicht) für die Objekte verschiedener Mengen sind unterschiedliche Operationen sinnvoll. (eine Funktion kann angewandt werden, eine ganze Zahl kann mit 0 verglichen werden, aber auf einen Wahrheitswert kann man nicht addieren, etc.) Viele Programmiersprachen (wie auch Haskell) formalisieren diese Intuition mittels eines Typsystems. Typen im λ-kalkül? Weder der einfache, noch der erweiterte λ-kalkül haben ein Typsystem. Später werden wir Typsystem für den λ-kalkül betrachten. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

7 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Typen 4.1 Ein Typ definiert 1. eine Menge von gleichartigen Objekten (Wertevorrat, Domain ) und 2. Operationen, die auf diese Objekte anwendbar sind (Interface). Einige Basis-Typen: Objektmenge Typname Operationen (Auswahl) Ganze Zahlen Integer +, max, <, >, == Zeichen Char max, <, >, == Wahrheitswerte Bool &&, ==, not Fließkommazahlen Double *, /, round Typkonstruktoren konstruieren aus beliebigen Typen α, β neue Typen: Objektmenge Typkonstruktor Operationen (Auswahl) Funktionen von α nach β α β $, map Listen von α-objekten [α] head, reverse, length Paare von α, β-objekten (α,β) fst, snd Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

8 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Typen 4.1 Die Notation x :: α (x hat den Typ α) wird vom Haskell-Compiler eingesetzt, um anzuzeigen, dass das Objekt x den Typ α besitzt. Umgekehrt können wir so dem Compiler anzeigen, dass x eine Instanz des Typs α sein soll. Beispiel 2 :: Integer X :: Char 0.05 :: Double round :: Double -> Integer [2,3] :: [Integer] head :: [α] -> α ( a,(2,true)) :: (Char,(Integer,Bool)) snd :: (α,β) -> β Manche Typen (z.b. von snd) enthalten Typvariablen α, β,... Das entspricht der Beobachtung, dass snd das zweite Element eines Paares bestimmen kann, ohne Details der gepaarten Objekte zu kennen oder Operationen auf diese anzuwenden. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

9 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Interpretation komplexer Typen Interpretation komplexer Typen Beispiel Typ der Prelude-Funktion unzip :: [(α, β)] ([α], [β]) unzip :: unzip ist eine Funktion... unzip :: [...]......die eine Liste... unzip :: [(α,β)]......von Paaren als Argument hat,... unzip :: [(α, β)] (...,...)...und ein Paar... unzip :: [(α, β)] ([α], [β])...von Listen als Ergebnis liefert,......und dabei ist der Elementtyp α der ersten Liste der gleiche wie der Typ der ersten Komponente der Argumentlistenpaare und derjenige der zweiten Liste (also β) der gleiche wie der der zweiten Komponente der Argumentlistenpaare. unzip [(x 1, y 1 ),..., (x n, y n )] ([x 1,..., x n ], [y 1,..., y n ]) Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

10 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Currying und der Typkonstruktor Currying und der Typkonstruktor Erinnerung Mittels Currying kann eine Funktion mehrerer Argumente sukzessive auf ihre Argumente angewandt werden (cf. Seite 87). Auch haskell verwendet Currying, und damit spielt Currying auch bei der Typisierung von Funktionen eine Rolle. Beispiel Typ der Funktion (des Operators) +, bei Anwendung auf zwei Argumente vom Typ Integer, also x :: Integer, y :: Integer: x + y ((+ x) y) 1. Der Teilausdruck (+ x) besitzt den Typ Integer Integer, 2. damit hat + also den Typ Integer (Integer Integer). Vereinbarung: ist rechts-assoziativ. Schreibe daher kürzer (+) :: Integer Integer Integer Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

11 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Currying und der Typkonstruktor 4.3 Haskell besitzt einen Mechanismus zur Typinferenz, der für (fast) jedes Objekt x den zugehörigen Typ α automatisch bestimmt. Haskell ist streng typisiert, d.h. eine Operation kann niemals auf Objekte angewandt werden, für die sie nicht definiert wurde. statisch typisiert, d.h. schon zur Übersetzungszeit und nicht erst während des Programmlaufs wird sichergestellt, dass Programme keine Typfehler enthalten. Der Interpreter oder Compiler weist inkorrekt typisierte Ausdrücke sofort zurück. Beispiel Typische Typfehlermeldung: 1 Prelude> fst [2,3] 2 <interactive>:2:5: 3 Couldn t match expected type (α, β) with actual type [Integer] 4... Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

12 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Deklaration & Definition Deklaration & Definition Haskell-Programm (Skript) = Deklarationen + Definitionen Beispiel Fakultätsfunktion fact 1 fact :: Integer -> Integer 2 fact n = if n == 0 3 then 1 4 else n * fact (n-1) Deklaration fact :: Integer -> Integer fact ist eine Funktion, die einen Wert des Typs Integer (ganze Zahl) auf einen Wert des Typs Integer abbildet. Definition fact n =... (Rekursive) Regeln für die Berechnung der Fakultätsfunktion. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

13 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Basis-Typen Basis-Typen Haskell stellt diverse Basis-Typen zur Verfügung. Die Notation für Konstanten dieser Typen ähnelt anderen Programmiersprachen. Ganze Zahlen: Integer Der Typ Integer enthält die ganzen Zahlen, der Wertebereich ist unbeschränkt. Haskell kennt auch den Typ Int, fixed precision integers, mit Wertebereich [ 2 29, ] Eine nichtleere Sequenz von Ziffern stellt ein Integer-Literal dar. (kann aber auch als anderer numerischer Typ aufgefasst werden, cf. PK2, oder später) Allgemein werden negative Zahlen durch die Anwendung der Funktion negate oder des Prefix-Operators - gebildet. Achtung: Operator - wird auch zur Subtraktion benutzt, wie etwa in f -123 f (-123) Beispiele: 0, 42, Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

14 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Basis-Typen 4.5 Konstanten des Typs Char (Zeichen) Zeichenkonstanten werden durch Apostrophe (ASCII 39) eingefasst. Nichtdruckbare und Sonderzeichen werden mit Hilfe des bspw. auch in C verwendeten \ (escape, backslash) eingegeben. Nach \ kann ein ASCII-Mnemonic (etwa NUL, BEL, FF,...) oder ein dezimaler (oder hexadezimaler nach \x bzw. oktaler nach \o) Wert stehen, der den ASCII-Code des Zeichens festlegt. Zusätzlich werden die folgenden Abkürzungen erkannt: \a (alarm) \b (backspace) \f (formfeed) \n (newline) \r (carriage return) \t (Tab) \v (vertical feed) \\ (backslash) \" (dbl quote) \ (apostroph) \& (NULL) Beispiele: P, s, \n, \BEL, \x7f, \, \\ Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

15 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Basis-Typen 4.5 Konstanten des Typs Float (Fließkommazahlen) Fließkommakonstanten enthalten stets einen Dezimalpunkt. Vor und hinter diesem steht mindestens eine Ziffer Die Konstante kann optional von e bzw. E und einem ganzzahligen Exponenten (zur Basis 10) gefolgt werden. Beispiele: , 10.0e-4, 0.001, E6 Konstanten des Typs Bool (Wahrheitswerte) Bool ist ein Summentyp (Aufzählungstyp, enumerated type) und besitzt lediglich die beiden Konstanten 21 True und False. 21Später: Konstruktoren. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

16 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen Funktionen Funktionen in funktionalen Programmiersprachen sind tatsächlich im mathematischen Sinne zu verstehen. Ein Wert f mit f :: α -> β bildet bei Anwendung Objekte des Typs α auf Objekte des Typs β ab und es gilt 22 x = y f x = f y Diese einfache aber fundamentale mathematische Eigenschaft von Funktionen zu bewahren, ist die Charakteristik funktionaler Programmiersprachen. 22Referenzielle Transparenz, cf. später Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

17 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Variablennamen, und damit auch die Namen von Funktionen 23 beginnen mit Kleinbuchstaben a...z gefolgt von a...z, A...Z, 0...9, _ und. Als RegEx: [a z][a z A Z 0 9 _ ] Beispiele: foo, c_3_p_o, f Haskell ist case-sensitive, i.e., foobar foobar. Die Funktionsapplikation ist der einzige Weg in Haskell komplexere Ausdrücke zu bilden. Applikation wird syntaktisch durch Juxtaposition (Nebeneinanderschreiben) ausgedrückt: Beispiel: Anwendung von Funktion f auf die Argumente x und y: f x y Die Juxtaposition hat höhere Priorität als Infix-Operatoren: f x + y (f x) + y Klammern ( ) können zur Gruppierung eingesetzt werden. 23bis auf Operatoren, cf. Seite 133 Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

18 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Operatoren Operatoren sind nichts anderes als Funktionen mit besonderen syntaktischen Eigenschaften (andere Zeichen, meist infix notiert). Haskell erlaubt die Einführung neuer Infix-Operatoren. Operatoren erfüllen den RegEx ~:. ] + Übliche Infix-Operatoren (+, *, ==, <,...) sind bereits vordefiniert. Operatoren, die mit : beginnen, spielen eine Sonderrolle (cf. Seite 267, Algebraische Datentypen). Die Token.., :, ::, =, \,, <-, ~, =>, -- sind reserviert, ebenso der einzige unäre Präfix-Operator - (Minus). Beispiel Definition von ~~ als fast gleich : 1 epsilon :: Float 2 epsilon = 1.0e (~~) :: Float -> Float -> Bool 5 x ~~ y = abs (x-y) < epsilon 1 > pi ~~ False 3 > pi ~~ True 5 > Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

19 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Operatoren sind Funktionen Infix-Operator Prefix-Applikation. Jeder Infix-Operator kann in der Notation ( ) auch als Prefix-Operator geschrieben werden (cf. Seite 139): (+) 1 3 True && False (&&) True False Funktion Infix-Applikation. Umgekehrt kann man jede binäre Funktion f (Funktion zweier Argumente) mittels der Schreibweise f (ASCII 96) als Infix-Operator verwenden: max max 5 Die so notierten Infix-Operatoren werden durch die Sprache als links-assoziativ und mit höchster Operatorpriorität (Level 9) interpretiert: 5 max Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

20 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Bemerkung: Information über die Assoziativität und Priorität eines Operators durch den Interpreter: 1 > :i + 2 class (Eq a, Show a) => Num a where 3 (+) :: a -> a -> a Defined in GHC.Num 6 infixl 6 + Die letzte Zeile verrät uns: + ist linksassoziativ, und hat priorität 6. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

21 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Currying Prinzipiell hat jede in Haskell definierte Funktion nur einen Parameter. Funktionen mehrerer Parameter werden durch Currying realisiert (cf. oben). Der Typ einer Funktion mehrerer Parameter, etwa max : N N N wird dargestellt als max :: Integer -> Integer -> Integer Damit max eine Funktion eines Integer-Parameters, die bei Anwendung einen Wert (hier: wieder eine Funktion) des Typs Integer -> Integer liefert. Dieser kann dann auf ein weiteres Integer-Argument angewandt werden, um letzlich das Ergebnis des Typs Integer zu bestimmen. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

22 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Currying im λ-kalkül: Haskell-Funktionsdefinitionen sind tatsächlich lediglich syntaktischer Zucker für die schon bekannten λ-abstraktionen: f x = e f = λx. e g x y = e g = λx y. e Damit lässt sich Currying durch mehrfache β-reduktion erklären. Beispiel Maximumsfunktion: 1 max :: Integer -> Integer -> Integer 2 max x y = if x<y then y else x max = λx y. if (x < y) y x max 2 5 Definition von max (λx y. if (x < y) y x) 2 5 β (λy. if (2 < y) y 2) 5 β if (2 < 5) 5 2 δ 5 Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

23 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Partielle Anwendung Currying erlaubt die partielle Anwendung von Funktionen. Der Wert des Ausdrucks (+) 1 hat den Typ Integer -> Integer und ist die Funktion, die 1 zu ihrem Argument addiert. Beispiel Nachfolgerfunktion inc: 1 inc :: Integer -> Integer 2 inc = (+) 1 Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

24 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 Sections Currying ist auch auf binäre Operatoren anwendbar, da Operatoren ja lediglich binäre Funktionen in Infix-Schreibweise (mit festgelegter Assoziativität) sind. Man erhält dann die sogenannten Sections. Für jeden Infix-Operator gilt (die Klammern ( ) gehören zur Syntax!): (x ) λy. x y ( y) λx. x y ( ) λx y. x y Beispiel 1 inc = (1+) 2 halve = (/2) 3 add = (+) 4 positive = ( max 0) Sections erlauben viele elegante Notationen: Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

25 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Funktionen 4.6 λ-abstraktionen (anonyme Funktionen) Haskell erlaubt λ-abstraktionen als Ausdrücke und somit anonyme Funktionen, i.e., Funktionen ohne Namen. Die Notation ähnelt dem λ-kalkül: λx. e \x -> e λx. λy. e \x -> \y -> e λx y. e \x y -> e Damit wird der Ausdruck (\x -> 2*x) 3 zu 6 ausgewertet und die vorige Definition von max kann alternativ wie folgt geschrieben werden: 1 max :: Integer -> Integer -> Integer 2 max = \x y -> if x<y then y else x Auch hier erstreckt sich der Wirkungsbereich des λ bis zum Ende des längsten gültigen Terms (cf. Seite 94), d.h., \x -> (f x) \x -> f x (\x -> f) x Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

26 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Listen Listen Listen sind die primäre Datenstruktur in funktionalen Programmiersprachen. Haskell unterstützt die Konstruktion und Verarbeitung homogener Listen beliebigen Typs: Listen von Integer, Listen von Listen, Listen von Funktionen,... Der Typ von Listen, die Elemente des Typs α enthalten, wird mit [α] bezeichnet (gesprochen list of α). Listen sind also immer homogen, d.h. alle Elemente sind vom gleichen Typ. Die Struktur von Listen ist rekursiv: Eine Liste ist entweder leer, notiert als [], genannt nil, oder ein konstruierter Wert aus Listenkopf x (head) und Restliste xs (tail), notiert als x:xs. Der Operator (:) heißt cons 24 24Für list construction. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

27 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Listen 4.7 Listen-Konstruktion [] und (:) sind Beispiele für data constructors, Funktionen, die Werte eines bestimmten Typs konstruieren. Wir werden dafür noch zahlreiche Beispiele kennenlernen. Jede Liste kann mittels [] und (:) konstruiert werden: Liste, die 1 bis 3 enthält: 1:(2:(3:[])) Der cons-operator ist rechts-assoziativ, also äquivalent: 1:2:3:[] Syntaktische Abkürzung: [e 1,e 2,...,e n ] e 1 :e 2 :...:e n :[] Beispiele [] :: [α] z :[] :: [Char] [[1],[2,3],[]] :: [[Integer]] (False:[]):[] :: [[Bool]] [(<),(<=),(>),(>=)] :: [α -> α -> Bool] [[]] :: [[α]] Natürlich hat auch cons einen Typ: (:) :: α [α] [α]. Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

28 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Listen 4.7 Arithmetische Sequenzen [x..y] wenn x<=y dann [x,x+1,x+2,...,y] sonst [] [x 1,x 2..y] Liste der Werte x 1 bis y mit Schrittweite x 2 -x 1 Für Sequenzen vom Typ [Float] und [Double] ist die Abbruchbedingung y + x 2 x 1 2. Beispiel Der Ausdruck [2.. 6] wird zu [2, 3, 4, 5, 6] ausgewertet, [9, 7.. 2] ergibt [9, 7, 5, 3]. Aber: [0.1, ] [0.1, 0.3, 0.5, 0.7], weil Die Abbruchbedingung kann weggelassen werden, um unendliche Listen zu erzeugen: [1, 5..] [1,5,9,13,17,21,... Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

29 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Listen 4.7 Listen-Dekomposition Mittels der vordef. Funktionen head und tail kann eine nicht-leere Liste x:xs wieder in ihren Kopf und Restliste zerlegt werden: head (x:xs) x tail (x:xs) xs head [] *** Exception: Prelude.head: empty list tail [] *** Exception: Prelude.tail: empty list Die Funktion null :: [α] -> Bool bestimmt ob eine Liste leer ist. null [] True null [1,2,3] False Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer

30 4 Haskell Typen, Werte und einfache Definitionen Listen 4.7 Konstanten des Typs String (Zeichenketten) Zeichenketten werden in Haskell durch den Typ [Char] repräsentiert, eine Zeichenkette ist also eine Liste von Zeichen. Funktionen auf Listen können damit auch auf Strings operieren. Haskell kennt String als Synonym für den Typ [Char] (realisiert durch die Deklaration type String = [Char] ( später)). Strings werden in doppelten Anführungszeichen " " notiert. Beispiel "" "AbC" z :[] "z" [ C, u, r, r, y ] "Curry" head "Curry" C tail "Curry" "urry" tail (tail "OK\n") "\n" Stefan Klinger DBIS Informatik 2 Sommer