Programm für das Seminar. Algebraische Kurven. Sommersemester 2009

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1 Programm für das Seminar Algebraische Kurven Sommersemester 2009 In diesem Seminar sollen parallel zur Vorlesung Algebraische Geometrie II die Grundlagen der Theorie der algebraischen Kurven erarbeitet werden. Literaturquellen werden [GW] und das zweite Kapitel aus [Si] sein. Zum Teil richtet sich das Seminar nach noch nicht zugänglichen Teilen von [GW]. Diese sind einfach durch Copy and Paste in dieses Programm eingefügt worden. Leider ist dadurch eine Mischung von deutscher und englischer Sprache entstanden. Notation: k ist immer ein algebraisch abgeschlossener Körper. 1. Vortrag: 1-dimensionale Schemata A. Absolute Kurven, Kurven über Körpern Definition absoluter Kurven. A noetherian integral separated scheme X with dim X = 1 is called an absolute curve. Remark. Let X be an absolute curve. Then: (1) If x X is a closed point, then dim O X,x = 1 (i.e., codim X ({x}) = 1). (2) The closed irreducible subsets of X are either X or the closed points of X. Definition von Kurven. Eine Kurve über k ist ein eigentliches integres k-schema von endlichem Typ mit dim X = 1. Bemerkung: Jede Kurve über k ist eine absolute Kurve. Beispiel: P 1 k ist Kurve über k. A1 k ist keine Kurve (da nicht eigentlich), aber eine absolute Kurve. Allgemeiner ist Spec A mit A Hauptidealring eine absolute Kurve. B. Morphismen in 1-dimensionale Schemata und Kurven Proposition. Let X be an absolute curve. (1) The constructible sets in X are the finite sets of closed points and the complements of finite sets of closed points. In particular, every constructible set is open or closed. (2) Let Y be an irreducible scheme and let f : Y X be a morphism of finite type. Then f(y ) is either an open dense subset of X or a closed point of X. (3) If f in (2) is closed, then f is either surjective or f(y ) consists of a single closed point. 1

2 Proof. As X is noetherian, any closed subspace of X has only finitely many irreducible components. Therefore the closed subsets are X itself and finite sets of closed points. If we intersect an open subset U with such a closed subset it is either U itself or a finite set of closed points. Therefore any locally closed subset is open or closed. Moreover the union of a nonempty open subset and a closed subset must be open again. Therefore all constructible sets are open or closed. Now (2) follows from Chevalley s theorem that the image of a morphism of finite type is constructible, and (3) is implies by (2). Corollary. Let X and Y be curves over k and let f : X Y be a k-morphism that is not constant. Then f is finite and surjective. Proof. [PC]. C. Kurven und Körper vom Transzendenzgrad 1 [Si] II, 2 bis 2.5 (ohne Theorem 2.3) 2. Vortrag: Divisoren und Geradenbündel auf Dedekindschemata A. Dedekindschemata Wiederholung: Dedekind ring ([PC]) An absolute curve X is called a Dedekind scheme if O X,x is a discrete valuation ring for every closed point x X. In other words, a Dedekind scheme is a regular (or equivalently normal) absolute curve. If X is a separated integral scheme which has a finite open covering X = n i=1 U i of Dedekind schemes U i, then X is a Dedekind scheme. Examples for Dedekind schemes are of course affine schemes X = Spec A where A is a Dedekind ring. A curve X over k is a Dedekind scheme if and only if X is regular. B. Divisoren auf Dedekindschemata; Geradenbündel assoziiert zu Divisoren For a Dedekind scheme X denote by X 0 its set of closed points. Let K = K(X) = O X,η be the function field. We may consider O X,x (for x X) and Γ(U, O X ) (for U X nonempty open) as subrings of K(X). If U is affine, K is the field of fractions of Γ(U, O X ). For every x X 0 the local ring O X,x is a discrete valuation ring and we denote by v x : K Z the normalized 2

3 valuation and by π x a uniformizing element of O X,x (i.e. an element π x O X,x with v x (π x ) = 1). We also set v x (0) :=. Then O X,x = { a K v x (a) 0 }. For every open set U X we have Γ(U, O X ) = O X,x = { a K v x (a) 0 for all x X 0 U }. x X 0 U Definition. A divisor D on X is a tuple D = (n x ) x X0 Div(X) := Z (X 0) of integers n x (for x X 0 ) such that n x = 0 for almost all x X 0. We also write D = P X 0 n P (P ). We attach to D an O X -module O X (D) as follows: If U X is open, we set Γ(U, O X (D)) := { s K v x (s) n x for all x X 0 U } For V U we define the restriction maps to be the inclusions Γ(U, O X (D)) Γ(V, O X (D)) and this defines a sheaf O X (D) of abelian groups on X. Multiplication within K defines a scalar multiplication Γ(U, O X ) Γ(U, O X (D)) Γ(U, O X (D)) that makes O X (D) into an O X -module. If D := (n x) x X0 Div(X) is a second divisor with n x n x for all x X, we have a natural inclusion O X (D ) O X (D). Definition. Let D = (n x ) x X0 be a divisor on a Dedekind scheme X. Let Supp(D) be the set of x X 0 such that n x 0. We call Supp(D) the support of D. Supp(D) is a finite and closed subset of X. Proposition. Let X be a Dedekind scheme and let D be a divisor on X. Then O X (D) is locally free of rank 1, i.e. an invertible O X -module. In fact, every invertible O X -module is of this form; but we will not need this fact here. Proof. For each x Supp(D) let U x be an open affine neighborhood of x which does not contain any other point of Supp(D) and such that there exists a section s x Γ(U x, O X ) whose germ in x is the chosen uniformizing element π x O X,x. By shrinking U x we can further assume that v y (s x ) = 0 for all y U x X 0. We also set V := X \ Supp(D). Then V and the U x for x Supp(D) form an open covering of X. By definition we have O X (D) V = OX V and over U x multiplication by s nx x K defines an isomorphism O X Ux L Ux. 3

4 For two divisors D, D Div(X) we have O X (D) OX O X (D ) = O X (D + D ). For every f K set div(f) = (v x (f)) x X0 Div(X) (such divisors are called principal divisors). The multiplication by f defines an isomorphism O X (D) O X (D div(f)). (Remark: one can show that, conversely, if two invertible sheaves O X (D) and O X (D ) are isomorphic, there exists an f K such that D + div(f) = D.) Let X be a regular proper curve over k. For a divisor D = (n x ) x X0 Div(X) we call deg D := x n x the degree of X. C. Geradenbündel und Divisoren auf P 1 k Let X = P 1 k be the projective line over k. Its function field is k(t ), the field of fractions of the polynomial ring k[t ]. (1) For each element a k let v a be the (T a)-adic valuation on k(t ). Define also the discrete valuation v on k(t ) by v (f/g) = deg(g) deg(f), if f, g k[t ] are nonzero polynomials. These valuations are the normalized discrete valuations corresponding to the closed points X 0 of X. (2) Every principal divisor on X has degree 0. (3) For two divisors D, D Div(X) the invertible sheaves O X (D) and O X (D ) are isomorphic if and only if deg(d) = deg(d ). For all n Z we denote by O X (n) the isomorphism class of an invertible sheaf attached to a divisor of degree n. (4) Show that Γ(P 1 k, O X(n)) is a k-vector space of dimension n + 1, if n 0, and of dimension 0, if n < 0. D. Direktes Bild von Divisoren Sei f : X Y ein nicht konstanter Morphismus von regulären Kurven. Definiere einen Gruppen-Homomorphismus f : Div(X) Div(Y ) durch f (P ) = (f(p )) for P X 0. Für D Div(X) heißt f (D) das direkte Bild von D unter f. 3. Vortrag: Überlagerungen von Dedekindschemata A. Definition und Eigenschaften von Überlagerungen von Dedekindschemata Wiederholung: Zusammenhang für endlich erzeugte Moduln über einem noetherschen Ring zwischen lokal frei, projektiv und flach (Algebra-Vorlesung oder [PC]). Seien X and Y zwei Dedekindschemata. Eine Überlagerung π : X Y ist ein endlicher Schemamorphismus. 4

5 Proposition. Jede Überlagerung ist flach und surjektiv. Proof. [PC] Sei π : X Y eine Überlagerung von Dedekindschemata. Dann liefert π eine endliche Körper-Erweiterung K(Y ) K(X). Die Überlagerung f heißt generisch étale oder separabel, wenn K(X) eine separable Körper-Erweiterung von K(Y ) ist (automatisch erfüllt, wenn char(k(y )) = 0). Beispiel: Sei A ein Dedekindring, K = Quot A, L K eine endliche separable Körpererweiterung, und sei B der ganze Abschluss von A in L. Dann ist Spec B Spec A eine generisch étale Überlagerung von Dedekindschemata. B. Verzweigungs- und Trägheitsindices Sei π : X Y eine Überlagerung von Dedekindschemata, sei x X ein abgeschlossener Punkt und sei y := π(x). Dann heißt f x/y := [κ(x) : κ(y)] der Trägheitsindex von x über y. Bemerkung: Sind X und Y reguläre Kurven über k (k wie immer algebraisch abgeschlossen!), so gilt f x/y = 1 for alle x X, y = f(x). We will now define the ramification index e x/y. For this we choose an open affine neighborhood V of x such that V = Spec A for a Dedekind ring A. Then U := π 1 (V ) = Spec B, and B is a Dedekind ring. Let p A be the maximal ideal corresponding to y. As B is a Dedekind ring, we have pb = q e qer r, where the q i B are maximal ideals of B corresponding to the finitely many points x i U with π(x i ) = y (i.e. the q i are those prime ideal such that q i A = p) and where e i = e qi /p are positive integers. Moreover this decomposition is unique up to order. We set e xi /y := e i. Theorem. (Fundamental Equation) Let π : X Y be a covering of Dedekind schemes and let y Y be a closed point. Then e x/y f x/y = [K(X) : K(Y )]. x π 1 (y) Proof. We may replace Y by Spec A, where A = O Y,y. Then X = Spec B, where B is a free A-module of rank d := [K(X) : K(Y )]. Moreover, A is a discrete valuation ring with residue field κ(y). Let m A be its maximal ideal. We have B A A/m = B/mB = B/( p e x/y x ) = B/p e x/y x x π 1 (y) x π 1 (y) As we have d = dim κ(y) B/mB, it suffices to show that dim κ(y) B/p e x/y x = e x/y f x/y. This is easy (see also [PC]). 5

6 C. Inverses Bild von Divisoren Sei nun π : X Y eine Überlagerung von regulären Kurven (insbesondere f x/π(x) = 1 für alle abgeschlossenen Punkte x X). Für Q Y 0 definiere π (Q) := P π 1 (Q) e P/Q (P ) Div(X). Dies liefert einen Gruppenhomomorphismus π : Div(Y ) Div(X). Example 3.5 und Proposition 3.6 aus [Si] II. 4. Vortrag: Satz von Riemann-Roch A. Die Garbe der Differentiale Sei R ein Ring und A eine R-Algebra. Definiere den A-Modul Ω A/R ([PC]). Sei X nun ein R-Schema. Definiere einen quasi-coherenten O X -Modul Ω X/R durch Γ(U, Ω X/R ) := Ω A/R, wenn U = Spec A eine offene affine Teilmenge von X ist (hier ist etwas zu zeigen!). Der O X -Modul heißt die Garbe der Differentiale von X über R. Theorem. Sei X eine reguläre Kurve über k. Dann ist Ω X/k ein Geradenbündel. Proof. [PC] Sei X eine eigentliche reguläre Kurve. Ein Divisor D auf X heißt kanonisch, wenn O X (D) = Ω X/k. B. Satz von Riemann-Roch und das Geschlecht einer Kurve Formulierung des Satzes von Riemann-Roch ([Si] II, (5.4) und (5.5)). C. Anwendungen und Beispiele [Si] II, Example (5.6) und (5.7). Das Geschlecht einer ebenen Kurve ([PC]). 6

7 5. Vortrag: Elliptische Kurven A. Kubische Kurven und Kurven vom Geschlecht 1 Eine kubische Kurve ist eine ebene Kurve vom Grad 3 über k. Ist X ein reguläre kubische Kurve, so ist ihr Geschlecht = 1. Umgekehrt ist jede reguläre Kurve vom Geschlecht 1 eine kubische Kurve ([PC] und Vortrag 4). Weierstraß-Gleichungen ([Si] III, ) B. Glattheit von kubischen Kurven: Diskriminante [Si] III, 1.4. C. Elliptische Kurven: Das Gruppengesetz Definition einer elliptischen Kurve (E, 0) ([Si] III, 3) und das Gruppengesetz via der Bijektion E Pic 0 (E) ([Si] III, 3.4 und [PC]) Referenzen [GW] U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry, Skript. [PC] T. Wedhorn, Personal communication. [Si] J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, GTM 106,