Stand: WS 2015/ Allgemeine Erläuterungen Module für die Blöcke Reine, Angewandte und Allgemeine Mathematik... 7

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1 Modulhandbuch für die Masterstudiengänge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Technomathematik und Mathematics International an der Technischen Universität Kaiserslautern Stand: WS 2015/16 1. Allgemeine Erläuterungen Module für die Blöcke Reine, Angewandte und Allgemeine Mathematik Module, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden... 7 Algebraic Geometry (Algebraische Geometrie)... 8 Commutative Algebra (Kommutative Algebra)... 9 Cryptography (Kryptographie) Foundations in Financial Mathematics (Grundlagen der Finanzmathematik) Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen Bildverarbeitung) Foundations in Number Theory (Grundlagen der Zahlentheorie) Foundations in Representation Theory (Grundlagen der Darstellungstheorie) Functional Analysis (Funktionalanalysis) Integer Programming: Polyhedral Theory and Algorithms (Ganzzahlige Optimierung: Polyedertheorie und Algorithmen) Introduction to Neural Networks (Einführung in neuronale Netze) Introduction to PDE (Einführung in partielle Differentialgleichungen) Introduction to Systems and Control Theory (Einführung in die System- und Kontrolltheorie) Monte Carlo Algorithms (Monte-Carlo-Algorithmen) Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung) Numerics of ODE (Numerik der gewöhnlichen Differentialgleichungen) Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie) Regression and Time Series Analysis (Regression und Zeitreihenanalyse) Module, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden Advanced Stochastic Algorithms (Fortgeschrittene Stochastische Algorithmen) Algebraic Topology (Algebraische Topologie) Categories (Kategorien) Coding Theory (Kodierungstheorie) Complex Analysis (Komplexe Analysis) Constructive Approximation (Konstruktive Approximation) Dynamical Systems (Dynamische Systeme) Elliptic Functions and Elliptic Curves (Elliptische Funktionen und elliptische Kurven) Elliptic Curves in Positive Characteristics (Elliptische Kurven in positiver Charakteristik) Manifolds (Mannigfaltigkeiten) Multilinear Algebra (Multilineare Algebra) Neural Networks (Neuronale Netze) Numerical Integration (Numerische Integration) Optimization in Fluid Mechanics (Optimierung in der Strömungsmechanik) Riemann Surfaces (Riemannsche Flächen) Spline Functions (Splinefunktionen) Systems and Control Theory (System- und Kontrolltheorie) Topology Optimization (Topologische Strukturoptimierung) Vector Bundles and K-Theory (Vektorraumbündel und K-Theorie) Module für alle mathematischen Blöcke (inklusive Studienschwerpunkt) Module, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden Computer Algebra (Computeralgebra) Financial Mathematics I (Finanzmathematik I)

2 Financial Mathematics II (Finanzmathematik II) Life Insurance (Klassische Lebensversicherungsmathematik) Mathematical Statistics (Mathematische Statistik) Non-Life Insurance (Schadensversicherungsmathematik) Numerical Methods for Elliptic and Parabolic PDE (Numerik Elliptischer und Parabolischer Partieller Differentialgleichungen) Numerical Methods for Hyperbolic PDE (Numerik Hyperbolischer Partieller Differentialgleichungen) Probability and Algorithms (Randomisierte Algorithmen) Stochastic Differential Equations (Stochastische Differentialgleichungen) Theory of Scheduling Problems (Theorie der Scheduling-Probleme) Module, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden Advanced Network Flows and Selfish Routing (Fortgeschrittene Netzwerkflüsse und Egoistisches Routing in Netzwerken) Advanced Topics in Algebraic Geometry (Fortgeschrittene Themen der Algebraischen Geometrie) Algebraic Geometry II: Sheaves, Cohomology and Applications (Algebraische Geometrie II: Garben, Kohomologie und Anwendungen) Algebraic Geometry in Applications (Algebraische Geometrie in Anwendungen) Algebraic Groups (Algebraische Gruppen) Algebraic Number Theory (Algebraische Zahlentheorie) Algorithmic Game Theory (Algorithmische Spieltheorie) Algorithmic Number Theory (Algorithmische Zahlentheorie) Algorithmic Toric Geometry (Algorithmische Torische Geometrie) Algorithms in Homological and Commutative Algebra (Algorithmen in Homologischer und Kommutativer Algebra) Analytic Number Theory Part 1 (Analytische Zahlentheorie Teil 1) Analytic Number Theory Part 2 (Analytische Zahlentheorie Teil 2) Analytic Number Theory (Analytische Zahlentheorie) Asymptotic Analysis (Asymptotische Analysis) Biomathematics (Biomathematik) Class Groups in Cryptography (Klassengruppen in der Kryptographie) Clifford Theory (Clifford-Theorie) Cohen-Macaulay and Gorenstein Rings (Cohen-Macaulay- und Gorenstein-Ringe) Computational Algebraic Geometry Computational Flexible Multibody Dynamics (Numerik flexibler Mehrkörpersysteme) Computational Finance Computational Fluid Dynamics (Strömungsdynamik) Continuous-time Portfolio Optimization (Zeitstetige Portfolio-Optimierung) Control of Mechanical Multibody Systems (Steuerung und Regelung von mechanischen Mehrkörpersystemen) Cryptographical Aspects of Elliptic Curves (Kryptographische Aspekte Elliptischer Kurven) Data Structures and Algorithms for Combinatorial Optimization (Datenstrukturen und Algorithmen für kombinatorische Optimierung) Differential-Algebraic Equations (Differential-Algebraische Gleichungen) Distributions and Wavelets (Distributionen und Wavelets) Dynamics of Mechanical Multibody Systems (Dynamik mechanischer Mehrkörpersystemen) Financial Statistics (Finanzstatistik) Finite Element Lab (Finite-Elemente-Methoden: Theorie und Praxis) Finite Groups of Lie Type (Endliche Gruppen von Lie-Typ) Fourier Analysis in Image Processing (Fourieranalysis in der Bildverarbeitung) Geomathematics (Geomathematik) Geometry of Schemes (Geometrie der Schemata) Graphs and Algorithms (Graphen und Algorithmen) Group Theory (Gruppentheorie) High-Dimensional Integration (Hochdimensionale Integration) H-infinity Control (H-unendlich Kontrolltheorie) Homogenization (Homogenisierung) Image Analysis for Stochastic Structures (Bildanalyse für stochastische Strukturen) Intersection Theory (Schnitttheorie) Introduction to Algorithmic Homological Algebra (Einführung in die algorithmische Homologische Algebra) 100 Introduction to Online Optimization (Einführung in die Online-Optimierung)

3 Introduction to Stochastic Partial Differential Equations (Einführung in Stochastische Partielle Differentialgleichungen) Introduction to the Theory of Dirichlet Forms (Einführung in die Theorie der Dirichlet-Formen) Introduction to the Theory of Sobolev Spaces (Einführung in die Theorie der Sobolev-Räume) Introduction to White Noise Analysis (Einführung in die White Noise Analysis) Inverse Problems (Inverse Probleme) Kinetic and Fluid Dynamik Equations (Kinetische und strömungsdynamische Gleichungen) Lie Algebras (Lie-Algebren) Malliavin Calculus and Applications (Malliavin-Kalkül und Anwendungen) Markov Switching Models and their Applications in Finance (Markov Switching Modelle und ihre Anwendungen in der Finanzwirtschaft) Mathematical Methods of Classical Mechanics (Mathematische Methoden der klassischen Mechanik) Mathematical Methods of Classical Mechanics II (Mathematische Methoden der klassischen Mechanik II) 112 Mathematical Models in Supply Chain Management (Mathematische Modelle in der Logistiknetzwerkoptimierung) Mathematical Theory of Fluid Dynamics (Mathematische Theorie der Strömungsdynamik) Mathematical Theory of Neural Networks: Advanced Topics (Mathematische Theorie neuronaler Netze: Fortgeschrittene Themen) Matroids - Theory and Applications (Matroide Theorie und Anwendungen) Methods of Convex Analysis in Image Processing (Methoden der Konvexen Analysis in der Bildverarbeitung) Modelling and Analysis of Nonlinear PDE with Applications to Biology and Medicine (Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen: Mathematische Modellierung und Analysis mit Anwendungen in Biologie und Medizin) Modular Representation Theory (Modulare Darstellungstheorie) Multicriteria Optimization (Multikriterielle Optimierung) Network and Discrete Location Theory (Netzwerk- und Diskrete Standorttheorie) Nonlinear Control Theory (Nichtlineare Kontrolltheorie) Nonlinear Functional Analysis with Applications to PDE (Nichtlineare Funktionalanalysis mit Anwendungen auf PDGL) Nonlinear Partial Differential Equations (Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen) Nonparametric Statistics (Nichtparametrische Statistik) Numerical Methods in Control Theory (Numerische Methoden der Kontrolltheorie) Numerical Methods in Finance (Numerische Methoden für die Finanzmathematik) Numerics of Stochastic Processes (Numerik stochastischer Prozesse) Online Optimization (Online-Optimierung) Operator Semigroups and Applications to PDE (Operator-Halbgruppen und Anwendungen auf Partielle Differentialgleichungen) Optimization with PDE (Optimierung mit Partiellen Differentialgleichungen) Particle Methods for Evolution Equations (Partikelmethoden für Evolutionsgleichungen) PDE based Multiscale Methods and Numerical Approaches for their Solution (Multiskalenmethoden basierend auf PDGL und Numerische Lösungsansätze) Planar Location Theory (Planare Standorttheorie) Potential Theory (Potentialtheorie) Practical Life Insurance (Praxis der Personenversicherung) Reaction-Diffusion Equations with Applications to Biology and Medicine (Reaktions-Diffusionsgleichungen mit Anwendungen in Biologie und Medizin) Representation Theory (Darstellungstheorie) Robust Optimization (Robuste Optimierung) Scientific Computing in Solid Mechanics (Wissenschaftliches Rechnen in der Festkörpermechanik) Singularities of Curves and Surfaces (Singularitäten von Kurven und Flächen) Singularity Theory (Singularitätentheorie) Singularity Theory Part 1 (Singularitätentheorie Teil 1) Sobolev Spaces (Sobolev-Räume) Spatial Statistics (Räumliche Statistik) Special Functions of Mathematical (Geo-)Physics (Spezielle Funktionen der Mathematischen (Geo-)Physik) Stability Theory (Stabilitätstheorie) Statistical Pattern Recognition (Statistische Mustererkennung) Stochastic Control and Financial Applications (Stochastische Kontrolltheorie und Anwendungen in der Finanzmathematik) Stochastic Differential Equations (Stochastische Differentialgleichungen)

4 Stochastic Geometry (Stochastische Geometrie) Stochastic Models in Biomathematics (Stochastische Modelle in der Biomathematik) Stochastic Processes with Applications for Insurances / Financial Statistics - Part 2 (Stochastische Prozesse mit Anwendungen für Versicherungen / Finanzstatistik - Teil 2) Switched Systems (Geschaltete Systeme) Systems and Control Theory: Advanced Topics (System- und Kontrolltheorie: Fortgeschrittene Themen). 155 The Mathematics of Arbitrage (Mathematische Arbitrage-Theorie) Theory of Hyperbolic Conservation Laws (Theorie hyperbolischer Erhaltungsgleichungen) Traveling Waves (Wandernde Wellen) Tropical Geometry (Tropische Geometrie) White Noise Analysis Seminare Seminar <Thema des Seminars> Modellierungsseminar <Thema des Seminars/Projekts> Kurse zum selbstständigen wissenschaftlichen Arbeiten unter Anleitung Reading Course: <Thema des Kurses> Masterarbeit Master Thesis (Masterarbeit)

5 1. Allgemeine Erläuterungen In den Masterstudiengängen Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik und Mathematics International sind Leistungen in einem vorgegebenen Umfang in folgenden Blöcken zu erbringen (siehe 14, Abs. 1 der Ordnung für die Masterprüfung in den Studiengängen Mathematik, Technomathematik, Wirtschaftsmathematik und Mathematics International vom ): 1. im Masterstudiengang Mathematik: Reine Mathematik, Angewandte Mathematik, Studienschwerpunkt, Seminare, Anwendungsfach; 2. im Masterstudiengang Technomathematik: Allgemeine Mathematik, Informatik und rechnergestützte Methoden, Studienschwerpunkt, Seminare, Anwendungsfach; 3. im Masterstudiengang Wirtschaftsmathematik: Allgemeine Mathematik, Informatik und rechnergestützte Methoden, Studienschwerpunkt, Seminare, Wirtschaftswissenschaften; 4. im Masterstudiengang Mathematics International: Reine Mathematik, Angewandte Mathematik, Studienschwerpunkt, Seminare, nichtmathematisches Wahlfach. Die Wahl des Studienschwerpunktes kann dabei aus folgender Liste erfolgen: Schwerpunktbereich Studienschwerpunkt Mathematik, Mathematics International Technomathematik Wirtschaftsmathematik Algebra, Geometrie und Computeralgebra Algebra und Zahlentheorie Algebraische Geometrie und Computeralgebra X X Stochastische Analysis X Analysis und Stochastik Bildverarbeitung und Datenanalyse X X Geomathematik X X Modellierung und Wissenschaftliches Rechnen Modellierung und wissenschaftliches Rechnen (Partielle DGL, System- und Kontrolltheorie) Partielle Differentialgleichungen X X X X System- und Kontrolltheorie X X Wirtschaftsmathematik (Optimierung und Stochastik) Finanzmathematik X X Optimierung X X Statistik X X Der Prüfungsausschuss kann andere Studienschwerpunkte im Einzelfall genehmigen. In den folgenden Abschnitten werden die laut Beschluss des Fachbereichsrats Mathematik an der TU Kaiserslautern angebotenen Module für die mathematischen Blöcke aufgelistet. Die Verwendbarkeit der Module für die Blöcke ist jeweils abhängig von dem gewählten Studienschwerpunkt. Zusätzlich zu den in den jeweiligen Modulen aufgelisteten Bedingungen sind folgende Einschränkungen zu beachten (siehe Studienplan): In den Masterstudiengängen Mathematik und Mathematics International sind in den Blöcken Reine Mathematik und Angewandte Mathematik insgesamt Module im Umfang von mindestens 18 n außerhalb des Schwerpunktbereichs, dem der Studienschwerpunkt laut obiger Tabelle zuzurechnen ist, zu erbringen. Bei Wahl eines Studienschwerpunktes, der ganz oder teilweise dem Bereich der Stochastik zuzurechnen ist, (z.b. Stochastische Analysis, Finanzmathematik oder Statistik) sind in den Masterstudiengängen Ma

6 thematik und Mathematics International mindestens 24 in den Blöcken Reine Mathematik, Angewandte Mathematik und Studienschwerpunkt außerhalb der Stochastik zu erbringen. Bei Wahl eines der Studienschwerpunkte Finanzmathematik oder Statistik im Masterstudiengang Wirtschaftsmathematik sind mindestens 12 im Block Allgemeine Mathematik außerhalb der Stochastik zu erbringen. Ausnahmen kann der Prüfungsausschuss im Einzelfall genehmigen. Insgesamt sind in jedem der Masterstudiengänge zu erbringen. Davon gehen in die Berechnung der Gesamtnote ein: in den Masterstudiengängen Mathematik, Technomathematik und Wirtschaftsmathematik: ; im Masterstudiengang Mathematics International: Bei der Berechnung der Gesamtnote unberücksichtigt bleiben die Kurse zum selbstständigen wissenschaftlichen Arbeiten unter Anleitung, die Seminare sowie im Masterstudiengang Mathematics International die Leistungen im nichtmathematischen Wahlfach. Der Stellenwert der Note eines Moduls für die Gesamtnote ergibt sich durch die Division der für das Modul vergebenen durch die Anzahl der in die Berechnung der Gesamtnote eingehenden. Sämtliche in diesem Handbuch aufgeführten Module setzen die Inhalte des Moduls Grundlagen der Mathematik des Bachelorstudiengangs Mathematik voraus

7 2. Module für die Blöcke Reine, Angewandte und Allgemeine Mathematik Die folgenden Module können in den Blöcken Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, jeweils in Abhängigkeit von der Wahl des Studienschwerpunkts eingebracht werden. Sie umfassen teilweise Lehrveranstaltungen aus dem Lehrveranstaltungskatalog des Vertiefungsblocks des Bachelorstudiengangs. Die Verwendbarkeit ist jeweils in der Modulbeschreibung näher geregelt. 2.1 Module, die in regelmäßigem Turnus angeboten werden - 7 -

8 Algebraic Geometry (Algebraische Geometrie) 180 h 270 h 9 LP 1 Algebraic Geometry (Algebraische Geometrie) 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Affine und projektive Varietäten (insbes.: Dimension, Morphismen, glatte und singuläre Punkte, Punkt- Aufblasungen), Spezialfall: Ebene Kurven (insbes.: Satz von Bézout und Anwendungen, Divisoren auf glatten Kurven, elliptische Kurven). Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt auf den geometrischen Aspekten der Algebraischen Geometrie; die Details der algebraischen Aspekte werden in der Vorlesung Commutative Algebra vermittelt. Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Algebraischen Geometrie. Sie verstehen den Zusammenhang zwischen geometrischen und algebraischen Fragestellungen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen und Einführung: Algebra des Bachelorstudiengangs Mathematik; grundlegende Begriffe aus der Vorlesung Commutative Algebra, die eine gute, aber nicht notwendige Ergänzung der Lehrveranstaltung darstellt, werden vorausgesetzt. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Algebraische Geometrie und Computeralgebra (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. W. Decker, Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. M. Schulze - 8 -

9 Commutative Algebra (Kommutative Algebra) 180 h 270 h 9 LP 1 Commutative Algebra 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Ringe, Moduln, Lokalisierung, Lemma von Nakayama Noethersche / Artinsche Ringe und Moduln Primärzerlegung Krulls Hauptidealsatz, Dimension Ganze Ringerweiterungen, Going-up, Going-down, Normalisierung Noethernormalisierung, Hilbertscher Nullstellensatz Dedekindringe, invertierbare Ideale Die Studierenden kennen und verstehen die Sprache und die Methoden der kommutativen Algebra, welche zum Studium der Bereiche Algebraische Geometrie, Computeralgebra sowie Zahlentheorie notwendig sind. Sie erkennen, wie das Einnehmen eines höheren Standpunktes, sprich die Abstraktion der Problemstellung, es erlaubt, auf den ersten Blick vollkommen verschiedene Fragestellungen gleichzeitig zu behandeln und zu lösen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen und Einführung: Algebra des Bachelorstudiengangs Mathematik verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht in den Bereichen Algebra und Zahlentheorie oder Algebraische Geometrie und Computeralgebra (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Wintersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. W. Decker, Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. G. Malle, apl. Prof. Dr. T. Markwig, Prof. Dr. M. Schulze - 9 -

10 Cryptography (Kryptographie) 180 h 270 h 9 LP 1 Cryptography 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Symmetrische Kryptosysteme (SKC): Strom- und Blockchiffren Häufigkeitsanalyse Moderne Chiffren Asymmetrische Kryptosysteme (PKC): Faktorisierungsproblem großer Zahlen, RSA Primzahltests Diskreter Logarithmus, Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, El-Gamal Verschlüsselung, Hashfunktionen, Signatur Kryptographie auf elliptischen Kurven (ECC) Attacken auf das diskrete Logarithmus-Problem Faktorisierungsalgorithmen (z.b. Quadratisches Sieb, Pollard ρ, Lenstra) Die Studierenden verstehen, wie grundlegende Resultate der Algebra und Zahlentheorie in der modernen Kryptographie Anwendung finden. Sie wissen, wie diese Resultate in Algorithmen umgesetzt werden können, und sie sind in der Lage, die Möglichkeiten und Grenzen der Algorithmen kritisch zu beurteilen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen und Elementare Zahlentheorie des Bachelorstudiengangs Mathematik verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. W. Decker, Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle

11 Foundations in Financial Mathematics (Grundlagen der Finanzmathematik) 30 h 60 h 3 LP 1 Grundlagen der Finanzmathematik 2 SWS Vorlesung mit integrierten Übungen In dieser Veranstaltung werden die grundlegenden Konzepte der Finanzmathematik in diskreter Zeit behandelt: Ein-Perioden-Modell Stochastische Modellierung von Finanzmärkten Risikoneutrale Bewertung Fundamentalsätze der Preistheorie Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Finanzmathematik. Sie verstehen insbesondere, wie Preisprozesse und Handelsstrategien in diskreter Zeit stochastisch modelliert werden. Sie kennen die fundamentalen Konzepte der risikoneutralen Bewertung und sind in der Lage, diese auf konkrete Finanzprodukte anzuwenden. Lehrveranstaltung Stochastische Methoden aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Finanzmathematik oder Statistik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Jedes Jahr (im Sommersemester) Studierende Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. J. Saß 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann nicht gemeinsam mit dem Modul Financial Mathematics I in die Masterprüfung eingebracht werden

12 Foundations in Mathematical Image Processing (Grundlagen der mathematischen Bildverarbeitung) 180 h 270 h 9 LP 1 Grundlagen der mathematischen Bildverarbeitung 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Digitale Bilder (Formate, Farbräume, Abtastung, Quantisierung, Grundaufgaben der Bildverarbeitung) Intensitätstransformationen (Gamma-Korrektur, Histogrammspezifizierung) Filter (Lineare Filter, Bilaterale Filter, M-Glätter, insbesondere: Medianfilter) Fourieranalysis Waveletanalysis Diffusionsfilter Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe und Methoden der mathematischen Bildverarbeitung. Anhand von Beispielen haben Sie eine anschauliche Vorstellung für die Begriffe und den Einsatz der Methoden gewonnen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Einführung in die Numerik, Einführung: Funktionalanalysis, Stochastische Methoden aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Bildverarbeitung und Datenanalyse (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes zweite Sommersemester In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. G. Steidl

13 Foundations in Number Theory (Grundlagen der Zahlentheorie) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Foundations in Number Theory (Grundlagen der Zahlentheorie) 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Konstruktion der p-adischen Zahlen ganze p-adische Zahlen, Einheiten p-adische Topologie Henselsches Lemma algebraischer Abschluss Newtonpolygon Trägheits- und Verzweigungsgruppen Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Theorie der p-adischen Zahlen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen, Elementare Zahlentheorie und Einführung: Algebra des Bachelorstudiengangs Mathematik. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Algebra und Zahlentheorie (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Foundations in Representation Theory kombiniert werden zu einem Modul Foundations in Number Theory and Representation Theory (9 )

14 Foundations in Representation Theory (Grundlagen der Darstellungstheorie) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Foundations in Representation Theory (Grundlagen der Darstellungstheorie) 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Satz von Maschke Charaktertafeln Orthogonalitätsrelationen Rationalitätsfragen Satz von Burnside induzierte Charaktere Frobeniusgruppen Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Darstellungstheorie. Sie können mit gewöhnlichen Charakteren und Charaktertafeln von Gruppen umgehen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen, Elementare Zahlentheorie und Einführung: Algebra des Bachelorstudiengangs Mathematik. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Algebra und Zahlentheorie (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. C. Fieker, Prof. Dr. G. Malle 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Foundations in Number Theory kombiniert werden zu einem Modul Foundations in Number Theory and Representation Theory (9 )

15 Functional Analysis (Funktionalanalysis) 180 h 270 h 9 LP 1 Functional Analysis 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Satz von Hahn-Banach und Anwendungen Baire'scher Kategoriensatz und Anwendungen (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit, Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz von der inversen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen) Schwache Konvergenz (Satz von Banach-Alaoglu, reflexive Banach-Räume, Lemma von Mazur und Anwendungen) Projektionen (Satz vom abgeschlossenen Komplement) Beschränkte Operatoren (adjungierter Operator, Spektrum, Resolvente, normale Operatoren) Kompakte Operatoren (Fredholm-Operatoren, Fredholm-Alternative und Anwendungen, Spektralsatz (Riesz-Schauder) und Anwendung auf normale Operatoren) Unbeschränkte Operatoren (Graph, symmetrische und selbstadjungierte Operatoren) Die Studierenden kennen und verstehen mathematische Konzepte in unendlich-dimensionalen Räumen unter besonderer Betonung des analytischen Aspekts. Sie beherrschen grundlegende analytische Werkzeuge zum Lösen von Differential- und Integralgleichungen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Einführung: Funktionalanalysis und Maß- und Integrationstheorie aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Stochastische Analysis (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. M. Grothaus, Prof. Dr. K. Ritter

16 Integer Programming: Polyhedral Theory and Algorithms (Ganzzahlige Optimierung: Polyedertheorie und Algorithmen) 180 h 270 h 9 LP 1 Integer Programming: Polyhedral Theory and Algorithms 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Modellierung mit ganzzahliger Optimierung Polyeder und Polytope Komplexität Formulierungen Verbindungen zwischen ganzzahliger Programmierung und Polyedertheorie Ganzzahligkeit von Polyedern: Unimodularität, totale duale Integralität Matchings Dynamische Programmierung Relaxierungen Branch-and-Bound Methoden Schnittebenen Spaltengenerierung Davon beinhalten die Lehrveranstaltungen Integer Programming: Polyhedral Theory: Modellierung mit ganzzahliger Optimierung; Polyeder und Polytope; Komplexität; Formulierungen; Verbindungen zwischen ganzzahliger Programmierung und Polyedertheorie; Ganzzahligkeit von Polyedern; Matchings Integer Programming: Algorithms: Dynamische Programmierung; Relaxierungen; Branch-and-Bound Methoden; Schnittebenen; Spaltengenerierung Die Studierenden kennen und verstehen verschiedene Methoden und Algorithmen zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme. Sie haben gelernt, reale Probleme aus wirtschaftswissenschaftlichen, technischen und physikalischen Bereichen mittels mathematischer Methoden als ganzzahlige Optimierungsprobleme zu modellieren und zu lösen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Lineare und Netzwerkoptimierung aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Optimierung (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans)

17 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Wintersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. H. Hamacher, Prof. Dr. S. Krumke, Jun. Prof. Dr. C. Thielen 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann auch aufgeteilt werden in die Module Integer Programming: Polyhedral Theory und Integer Programming: Algorithms (jeweils 4,5 )

18 Introduction to Neural Networks (Einführung in neuronale Netze) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Introduction to Neural Networks 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Es werden grundlegende Begriffe und Ideen der Theorie neuronaler Netze sowie deren Anwendungen behandelt. Speziell werden folgenden Inhalte vermittelt: einfache Perzeptrone, Multi-(hidden-)Layer-Perzeptrone Separations- und Klassifikationsaussagen Grundlagen des überwachten und unüberwachten Lernens Die Studierenden kennen und verstehen grundlegende Konzepte zur Beschreibung von neuronalen Netzen sowie mathematische Techniken zur Analyse dieser Netze. Des Weiteren kennen sie die Anwendungsmöglichkeiten für die verschiedenen Netztypen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Einführung in die Numerik und Lehrveranstaltung Einführung: gewöhnliche Differentialgleichungen aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich System- und Kontrolltheorie oder Modellierung und wissenschaftliches Rechnen (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. D. Prätzel-Wolters, Jun. Prof. Dr. S. Trenn 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Introduction to Systems and Control Theory kombiniert werden zu einem Modul Systems Theory: Systems and Control Theory & Neural Networks (9 ). Das Modul ist Teil des Moduls Neural Networks

19 Introduction to PDE (Einführung in partielle Differentialgleichungen) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Introduction to Partial Differential Equations 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Es wird eine Einführung in die klassische Theorie der partiellen Differentialgleichungen gegeben. Speziell werden folgende Inhalte vermittelt: Klassifikation und Wohlgestelltheit Quasilineare Gleichungen: Cauchy-Problem Wellengleichung: Existenz, Eindeutigkeit, Stabilität, Maximumprinzip Poissongleichung: Separationsansatz, Fundamentallösungen, Greensche Funktionen, Maximumprinzip, Existenz und Eindeutigkeit Wärmeleitungsgleichung: Separationsansatz, Fouriertransformation, Halbgruppen, Maximumprinzip, Existenz und Eindeutigkeit Die Studierenden kennen und verstehen die Erweiterung der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen auf partielle Differentialgleichungen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Einführung: gewöhnliche Differentialgleichungen aus dem Bachelorstudiengang Mathematik; wünschenswert sind ebenfalls Kenntnisse aus der Lehrveranstaltung Vektoranalysis" aus dem Bachelorstudiengang Mathematik. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Modellierung und wissenschaftl. Rechnen, Partielle Differentialgleichungen oder System- und Kontrolltheorie (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Wintersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. C. Surulescu 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Numerics of ODE kombiniert werden zu einem Modul Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE

20 Introduction to Systems and Control Theory (Einführung in die System- und Kontrolltheorie) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Introduction to Systems and Control Theory 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Es werden grundlegende Begriffe und Ideen der Kontrolltheorie sowie deren Anwendungen behandelt. Speziell werden folgenden Inhalte vermittelt: Darstellung zeitdiskreter sowie zeitkontinuierlicher linearer und nichtlinearer dynamischer Systeme Stabilität dynamischer Systeme Erreichbarkeit, Steuerbarkeit, Beobachtbarkeit Feedback-Regelung Die Studierenden kennen und verstehen grundlegende Konzepte zur Beschreibung von dynamischen Systemen sowie mathematische Techniken zur Analyse dieser Systeme und zum Entwurf von Reglern. Des Weiteren kennen sie die Anwendungsmöglichkeiten, die sich aus der Verwendung der mathematischen Kontrolltheorie ergeben. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Einführung in die Numerik und Lehrveranstaltung Einführung: gewöhnliche Differentialgleichungen aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich System- und Kontrolltheorie oder Modellierung und wissenschaftliches Rechnen (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. D. Prätzel-Wolters, Jun. Prof. Dr. S. Trenn 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Introduction to Neural Networks kombiniert werden zu einem Modul Modul Systems Theory: Systems and Control Theory & Neural Networks (9 ). Das Modul ist Teil des Moduls Systems and Control Theory

21 Monte Carlo Algorithms (Monte-Carlo-Algorithmen) 180 h 270 h 9 LP 1 Monte-Carlo-Algorithmen 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Monte-Carlo-Algorithmen sind Algorithmen, die den Zufall benutzen. Die Vorlesung gibt eine Einführung in diese wichtige algorithmische Grundtechnik der Mathematik und Informatik. Behandelt werden die Themen: Direkte Simulation Simulation von Verteilungen Varianzreduktion Markov Chain Monte Carlo-Algorithmen Hochdimensionale Integration Was sind Zufallszahlen? sowie Anwendungen in der Physik und der Finanz- und Versicherungsmathematik. Die Studierenden haben ein Grundverständnis für die Konstruktion, Analyse und Einsatzmöglichkeiten von Monte-Carlo-Algorithmen entwickelt. Sie haben praktische Erfahrung beim Einsatz solcher Algorithmen und Einblicke in unterschiedliche Anwendungsfelder gewonnen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Stochastische Methoden aus dem Bachelorstudiengang Mathematik und Grundkenntnisse in der Numerik. verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Finanzmathematik oder Statistik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. K. Ritter

22 Nonlinear Optimization (Nichtlineare Optimierung) 180 h 270 h 9 LP 1 Nonlinear Optimization 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Optimalitätsbedingungen für unrestringierte und restringierte Optimierungsprobleme Eindimensionale Minimierung; direkte Suchmethoden Abstiegsverfahren in höheren Dimensionen CG-Verfahren Trust-Region-Algorithmen Penaltymethoden Erweiterte Lagrangefunktionen SQP-Verfahren Barrieremethoden und Primal-Duale Verfahren Die Studierenden kennen und verstehen verschiedene Methoden und Algorithmen zur Lösung nichtlinearer Optimierungsprobleme. Sie haben gelernt, reale Probleme aus wirtschaftswissenschaftlichen, technischen und physikalischen Bereichen mittels mathematischer Methoden als nichtlineare Optimierungsprobleme zu modellieren und zu lösen. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Lineare und Netzwerkoptimierung aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Optimierung (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans).. 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. H. Hamacher, Prof. Dr. S. Krumke, Jun. Prof. Dr. C. Thielen

23 Numerics of ODE (Numerik der gewöhnlichen Differentialgleichungen) 45 h 135 h 4,5 LP 1 Numerics of Ordinary Differential Equations 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Es werden numerische Methoden zur Behandlung von Anfangswertproblemen behandelt. Speziell werden folgende Inhalte vermittelt: Einschrittverfahren (explizit/implizit): Konsistenz, Konvergenz, Stabilität Runge-Kutta-Verfahren Schrittweitensteuerung Verfahren für steife Probleme: Gauß-Verfahren, Kollokationsverfahren Die Studierenden kennen und verstehen die grundlegenden Konzepte zur numerischen Behandlung von Anfangswertproblemen sowie die mathematischen Techniken zur Analyse der Verfahren. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Einführung in die Numerik und Lehrveranstaltung Einführung: gewöhnliche Differentialgleichungen aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Modellierung und wissenschaftliches Rechnen, Partielle Differentialgleichungen oder System- und Kontrolltheorie (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 3 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Wintersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. T. Damm, Prof. Dr. A. Klar, Prof. Dr. R. Pinnau, Prof. Dr. B. Simeon, Prof. Dr. C. Surulescu 10 Sonstige Informationen: Das Modul kann mit dem Modul Introduction to PDE kombiniert werden zu einem Modul Differential Equations: Numerics of ODE & Introduction to PDE

24 Probability Theory (Wahrscheinlichkeitstheorie) 180 h 270 h 9 LP 1 Probability Theory 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Konvergenzbegriffe (stochastische, fast sichere, schwache, L p -Konvergenz, Konvergenz in Verteilung) Charakteristische Funktion Summen unabhängiger Zufallsvariablen Starke Gesetze der großen Zahl, Varianten des zentralen Grenzwertsatzes Bedingte Erwartung Martingale in diskreter Zeit Brownsche Bewegung Die Studierenden haben vertiefende Kenntnisse in der Stochastik und Grundlagen für die Forschung im Bereich der Stochastischen Prozesse erworben. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Stochastische Methoden und Maß- und Integrationstheorie aus dem Bachelorstudiengang Mathematik. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Stochastische Analysis, Finanzmathematik oder Statistik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. Jedes Jahr (im Wintersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. J. Franke, Prof. Dr. M. Grothaus, Prof. Dr. R. Korn, Prof. Dr. K. Ritter, Prof. Dr. J. Saß

25 Regression and Time Series Analysis (Regression und Zeitreihenanalyse) 180 h 270 h 9 LP 1 Regression and Time Series Analysis 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Lineare Regressionsmodelle Kleinste-Quadrate- und Maximum-Likelihood-Schätzer Konfidenzbänder für Regressionskurven Tests für Regressionsparameter (t- und F-Tests), Likelihood-Quotienten-Tests Modellvalidierung mit Residuenanalyse datenadaptive Modellwahl (stepwise regression, R² und Mallows C p ) Varianzanalyse (ANOVA) stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit Autokovarianzen, Spektralmaß und Spektraldichte lineare Prozesse, insbesondere ARMA-Modelle Schätzer für ARMA-Parameter (Yule-Walker, Kleinste Quadrate, CML) datenadaptive Modellwahl mit AIC, BIC und FPE Zeitreihen mit Trend oder Saisonalität (SARIMA) Vorhersage von Zeitreihen Die Studierenden kennen und verstehen Standardmodelle sowie Schätz-, Test- und Prognoseverfahren der Regressions-, Varianz- und Zeitreihenanalyse. Sie haben exemplarisch mathematische Methoden zur datengesteuerten Auswahl und Validierung von Modellen in komplexen Anwendungssituationen kennengelernt. In den Übungen haben die Studierenden sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet; sie haben dort Statistiksoftware kennengelernt und sind in der Lage, selbstständig die Modelle und Methoden aus der Vorlesung auf reale und simulierte Daten anzuwenden. Lehrveranstaltung Stochastische Methoden aus dem Bachelorstudiengang Mathematik verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Finanzmathematik oder Statistik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben

26 Jedes Jahr (im Sommersemester) In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. J. Franke, Prof. Dr. R. Korn, Jun. Prof. Dr. C. Redenbach, Prof. Dr. J. Saß

27 2.2 Module, die in unregelmäßigem Turnus angeboten werden Advanced Stochastic Algorithms (Fortgeschrittene Stochastische Algorithmen) 45 h 75 h 120 h 4 LP 1 Fortgeschrittene Stochastische Algorithmen 2 SWS Vorlesung, 1 SWS Übungen Behandelt werden die Themen: Fortgeschrittene Techniken der Monte-Carlo-Methode, Varianzreduktion, Markovketten und ihre Anwendungen zur Lösung linearer Systeme und Differentialgleichungen, Metropolis-Algorithmus, Simulated Annealing, Generierung von uniformen Zufallsvariablen mittels zahlentheoretischer Algorithmen, statistische und theoretische Gütetests. Die Studierenden haben vertiefte Kenntnisse zur Entwicklung und Analyse von stochastischen Algorithmen erworben. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltung Stochastische Methoden aus dem Bachelorstudiengang Mathematik und Grundkenntnisse in der Numerik. verwendbar für die Blöcke Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik. 6 Vergabe von n, Prüfungen: Bearbeitung von Übungsaufgaben (Prüfungsvorleistung),. einmalig im SS 2012 ca Studierende Prof. Dr. S. Heinrich (FB Informatik), Prof. Dr. K. Ritter 10 Sonstige Informationen: Dieses Modul kann wegen großer inhaltlicher Überschneidungen nicht gemeinsam mit dem Modul Monte Carlo Algorithms in die Masterprüfung eingebracht werden

28 Algebraic Topology (Algebraische Topologie) 180 h 270 h 9 LP 1 Algebraic Topology (Algebraische Topologie ) 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Singuläre und simpliziale Homologie Berechnung von Homologiegruppen Kohomologie Cup- und Cap-Product Künneth-Formel Poincaré-Dualität Die Studierenden kennen die grundlegenden Begriffe, Aussagen und Methoden der Algebraischen Topologie. Sie wissen und verstehen, wie topologische Räume und ihre Eigenschaften mit algebraischen Methoden beschrieben und klassifiziert werden können, und wie diese Strukturen (Homologie, Kohomologie) in konkreten Fällen berechnet werden können. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen und Einführung: Topologie des Bachelorstudiengangs Mathematik verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben.. Prof. Dr. W. Decker, Prof. Dr. A. Gathmann, Prof. Dr. G. Malle, Prof. Dr. M. Schulze

29 Categories (Kategorien) 30 h 60 h 3 LP 1 Kategorien 2 SWS Vorlesung Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen Dualität, Yoneda Lemma Universelle Konstruktionen, Produkte, Limiten Adjungierte Funktoren Abelsche Kategorien, Kerne, Kokerne, exakte Sequenzen Die Studierenden lernen die fundamentalen formalen Strukturen kennen, die weiten Teilen der Mathematik zu Grunde liegen. Sie vertiefen dabei ihre Befähigung zur methodischen Abstraktion. Anhand von Beispielen aus unterschiedlichen Gebieten der Mathematik schulen sie ihre Fähigkeit, äquivalente Strukturen in verschiedenen Kontexten zu identifizieren. Lehrveranstaltung Algebraische Strukturen des Bachelorstudiengangs Mathematik. verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik oder Allgemeine Mathematik. 6 Vergabe von n, Prüfungen: 9 Modulbeauftragte und Lehrende: Prof. Dr. W. Decker, Priv.-Doz. Dr. J. Zintl (Lehrbeauftragter)

30 Coding Theory (Kodierungstheorie) 180 h 270 h 9 LP 1 Kodierungstheorie 4 SWS Vorlesung, 2 SWS Übungen Lineare Codes, insbesondere zyklische und Reed-Solomon-Codes Konvolutive Codes, Turbocodes Quantencodes Informationstheoretische Aspekte Schranken für Codes, Gewichtsverteilungen Kodierungs- und Dekodierungsalgorithmen Die Studierenden kennen und verstehen die Zielsetzung und die Methoden der Theorie der fehlerkorrigierenden Codes bis hin zu in der Praxis eingesetzten Verfahren. Sie haben am Beispiel dieser Codes gelernt, wie ein gegebenes Problem durch Algebraisierung einer Lösung zugänglich gemacht werden kann. In den Übungen haben sie sich einen sicheren, präzisen und selbstständigen Umgang mit den Begriffen, Aussagen und Methoden aus der Vorlesung erarbeitet. Lehrveranstaltungen Algebraische Strukturen und Einführung: Algebra des Bachelorstudiengangs Mathematik verwendbar für die Blöcke Reine Mathematik, Angewandte Mathematik oder Allgemeine Mathematik, falls Studienschwerpunkt nicht im Bereich Algebra und Zahlentheorie oder Computeralgebra (unter Berücksichtigung der ggf. einschränkenden Regelungen des Studienplans). 6 Vergabe von n, Prüfungen: Übungsschein, Ohne Nachweis der erfolgreichen Teilnahme an den Übungen (kein Übungsschein) werden nur 6 für das Modul vergeben. In Vorlesungen: ca Studierende, in Übungen: ca Studierende Prof. Dr. C. Fieker, Dr. K. Wirthmüller