The Riemann problem for two-dimensional gas dynamics and new limiters for high-order schemes

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1 Research Collection Doctoral Thesis The Riemann problem for two-dimensional gas dynamics and new limiters for high-order schemes Author(s): Schulz-Rinne, Carsten Werner Publication Date: 1993 Permanent Link: Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted This page was generated automatically upon download from the ETH Zurich Research Collection. For more information please consult the Terms of use. ETH Library

2 ETH *< Diss. ETH No Marz Wk The Riemann problem for two-dimensional gas dynamics and new limiters for high-order schemes A dissertation submitted to the SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY ZURICH for the degree of Doktor der Mathematik presented by CARSTEN WERNER SCHULZ-RINNE Diplom- Technomathematiker born March 18, 1964 citizen of Germany accepted on the recommendation of Prof. Dr. Rolf Jeltsch, examiner Prof. Randall J. LeVeque, Ph.D., co-examiner 1993

3 Abstract In the first part of this thesis we consider the Riemann problem for two-dimensional gas dynamics with isentropic and polytropic gas. We restrict our study to the special case of four constant states, one in each quadrant. The initial data is chosen so that only a rarefaction wave, shock wave or slip line connects two neighboring constant initial states. With this restriction, the existence of sixteen (respectively, fifteen) genuinely different wave combinations for isentropic (respectively, poly tropic) gas is proved. For each configuration the relations for the initial data and the symmetry properties of the solution are given. In addition, the numerical solutions are analyzed and illustrated by contour plots. This paper corrects the conjectured classification presented by T. Zhang and Y. Zheng in SIAM J. Math. Anal. 21 (1990), Their ana lytical theory can be directly compared to our numerical results. In the second part of this thesis we study some high-order schemes for conservation laws. They are based on first-order upwind-difference methods which converge to the physically correct (entropy satisfying) solution. The high-order schemes should be at least second-order accu rate on smooth solutions and also resolve discontinuities well without producing spurious oscillations. We discuss two different classes of high-order schemes, namely fluxlimiter and slope-limiter methods. The common feature of these meth ods are the limiters. All limiters proposed and reviewed up to now are set to zero at extreme points so that schemes using these limiters must degenerate there to first-order accuracy. presented which are non-zero at extreme points. In this thesis new limiters are Interpreted as fluxvii

4 Vlll Abstract limiters, some of them satisfy the constraints to give a second-order TVD (total variation diminishing) scheme. We also prove a stability result for the second-order Godunov scheme with certain new limiters. Finally we compare our new limiters with well-known ones by means of various numerical computations. These examples show that the repre sentation of the solution at extreme points can be improved by the new limiters.

5 Kurzfassung Im ersten Teil dieser Arbeit wird das Riemannproblem fur die zweidimensionalen Eulergleichungen fur isentropes und polytropes Gas behandelt. Dabei beschranken wir uns auf den Spezialfall, fangszustande in jedem Quadranten konstant sind. dafi die An Die Werte werden so gewahlt, dafi nur eine Verdunnungswelle, Stofiwelle oder Kontaktunstetigkeit zwei benachbarte Anfangszustande verbindet. Unter diesen Voraussetzungen wird die Existenz von sechzehn (bzw. funfzehn) unterschiedlichen Wellenkombinationen fiir isentropes (bzw. polytropes) Gas bewiesen. Fiir jede Konfiguration werden die Bedingungen an die Anfangszustande und die Symmetrieeigenschaften der Losung angegeben. Aufierdem werden die numerischen Losungen analysiert und mit Hohenlinienbildern dargestellt. Diese Arbeit korrigiert die Klassifizierung von T. Zhang and Y. Zheng im SIAM J. Math. Anal. 21 (1990), Deren analytische Theorie kann unmittelbar mit unseren numerischen Ergebnissen verglichen werden. Im zweiten Teil dieser Arbeit befassen wir uns mit einigen nume rischen Verfahren hoherer Ordnung fur Erhaltungssatze. Sie bauen auf Vorwartsdifferenzenverfahren erster Ordnung auf, die gegen die physikalisch richtige (eine Entropiebedingung erfullende) Losung konvergieren. Die Verfahren hoherer Ordnung souten glatte Losungen mit zweiter Ordnung approximieren und aufierdem Unstetigkeiten gut auflosen, ohne kiinstliche Oszillationen zu erzeugen. Wir untersuchen zwei verschiedene Arten von Verfahren hoherer Ordnung, namlich Methoden mit Flufi- und mit Steigungslimitern. Ihnen gemeinsam ist die Einfuhrung von Limitern. Alle bisherigen Limiix

6 X Kurzfassung ter werden an Extremalstellen Null gesetzt, so dafi Verfahren mit ihnen dort zu Genauigkeit erster Ordnung reduziert werden. In dieser Ar beit werden neue Limiter vorgestellt, die an Extremalstellen von Null verschieden sind. Einige von ihnen erfullen als Flufilimiter die Bedingungen, um ein die totale Variation verminderndes (TVD) Verfahren zu liefern. Wir beweisen auch ein Stabilitatsergebnis fiir das Godunovmit bestimmten neuen Limitern. Schliefilich Verfahren zweiter Ordnung vergleichen wir unsere neuen mit bekannten Limitern mittels numerischer Berechnungen. Diese Beispiele zeigen, dafi die numerische Losung an Extremalstellen durch die neuen Limiter verbessert wird.