Vorlesung: Rechnergestützte Physik (Comp. Physics)

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1 Vorlesung: Rechnergestützte Physik (Comp. Physics) (PHY-IMAPH-033) Jun.-Prof. Dr. I. Eremin Termine: Mo 15:00-16:30, 16:45-18:15 (MS 3.2), Di 15:00-16:30 (MS 3.2) Vorbesprechung: (Mo, 14:00 MS 3.1) Ersatz-termin: Do: 14:00-15:30 (MS 3.1) Themen: - Schwingungsbewegung und Chaos - Das Sonnensystem: das drei Körperproblem - Zufällige Systeme: Perkolation - Erdbeben - Proteinfaltung - Phasen-Übergänge und das Ising-Modell Kontakt: Ilya Eremin ieremin@mpipks-dresden.mpg.de oder i.eremin@tu-bs.de Tel

2 Literatur: 1) J.M. Thijssen, Computational Physics, Cambridge niversity Press, ) A. MacKinnon, Computational physics, ) Tao Pang, An Introduction to Computational Physics, ) Franz J. Vesely, Computational Physics: an introduction, ) R.H. Landau and M.J. Páez, Computational Physics (problem solving with computers), Wiley & Sons, ). J. Giordano, Computational Physics, ) this script

3 1.1 Ein erstes numerisches Problem: radioaktiver Zerfall Viele Atomkerne sind nicht stabil: Ein typisches Beispiel ist das Kernisotop 235 (143 eutronen und 92 Protonen), das eine kleine, aber ziemlich bedeutende Wahrscheinlichkeit hat, um in zwei Kerne mit ungefähr der Hälfte seiner Größe zu zerfallen. Dieser Prozess des radioaktiven Zerfalls ist zufällig. Das Einzige, das Sie tun können, ist eine Wahrscheinlichkeit für den Zerfall anzugeben Stellen Sie sich vor, dass wir eine Probe haben, die eine große Zahl 235 Kerne enthält (t) ist die Zahl von ran-kernen, die zu der Zeit t existieren Differenzialgleichung d dt = τ τ ist die "Zeit-Konstante" für den Zerfall (Halbwertszeit eines Kerns) Die Lösung = (0) e t /τ (0) ist die Zahl von Kernen bei t = 0

4 1.2 Eine numerische äherung Während wir die genaue Lösung wissen, ist dieses Problem nützlich, um mehrere numerische Methoden einzuführen. Einfache Methode als eine Funktion von t zu erhalten ehmen Sie an, dass wir bei t = 0 wissen Wir wollen diesen Wert zu einer späteren Zeit schätzen Das ist ein so genanntes "Anfangswert-Problem" Taylor-Entwicklung für ( Δt) = (0) + d dt Δt d dt 2 ( Δt) Wenn wir annehmen, dass Δt klein ist, ist es eine gute äherung, die quadratischen und höheren Terme von Δt zu ignorieren (Euler-Methode) d ( Δt) (0) + Δt. dt

5 oder 1.2 Eine numerische äherung d ( t + Δt) ( t) + Δt. dt die Fehler sind von der Ordnung (Δt) 2 Wenn wir Δt klein machen, erwarten wir, dass die Fehler unwesentlich werden Es gibt Situationen, in denen die Fehler das Leben noch kompliziert machen können Wir wissen d dt = τ ( t + Δt) ( t) Δt. τ Diese äherung bildet die Basis für eine numerische Lösung!

6 Design und Konstruktion eines Computerprogramms: Code und Pseudocode Erster Schritt Programmiersprache wählen C++, FORTRA, Matlab Es ist möglich, die Struktur auf eine allgemeine Weise zu beschreiben Pseudocode! Das ist nicht eine genaue Computersprache, aber eher eine Beschreibung der wesentlichen Teile eines Algorithmus leicht, jedes Stück des Pseudocodes in die spezifischen Instruktionen Ihrer Lieblingssprache zu übersetzen ( t + Δt) ( t) Δt. (1) τ zu der Zeit 0, Δt, 2Δt,... 1) Die numerische äherung schließt ein 2) Wir werden an gerade diesen Werten von t wirklich berechnen 3) Wir werden ein Array (Feld) verwenden, um die Werte von zu speichern 4) nser allgemeiner Plan ist dann, (1) wiederholend zu benutzen, um die Werte von zu berechnen.

7 Pseudocode: Die gesamte Struktur des Programms Deklarieren Sie notwendige Variablen und Arrays Initialisierung der Variablen Durchführung der eigentlichen Berechnung Speichern Sie die Ergebnisse FORTRA-Sprache:! Simulation of radioactive decay program decay dim n_uranium(100), t(100)! declare the arrays we will need call initialize(n_uranium,t,tau,dt)! use subroutines to do the work call calculate(n_uranium,t,tau,dt) call display(n_uranium,t,tau,dt) end Der Rest der Arbeit wird in drei nterprogrammen getan: initialize, calculate, display Speicherplatz zuweisen (allocate):, Δt, τ Setze Anfangswert der Zeit, t(0) Setze Anzahl von Zeitschritten für die Berechnungen

8 Pseudocode: Die gesamte Struktur des Programms! initialize variables sub initialize(nuclei(),t(),time_constant,dt) input prompt "initial number of nuclei -> ": nuclei(1) t(1) = 0 input prompt "time constant -> ": time_constant input prompt "time step -> ": dt end sub calculate Für jeden Zeitschritt i (mit i=1 beginnend) berechnen Sie und t am Schritt i+1 t i+ ( ti ) ( ti+ 1) = ( ti ) Δt. τ 1 = ti + Δt. Wiederholen für -1-Schritte

9 sub calculate(n_uranium(),t(),tau,dt) for i = 1 to size(t)-1! now use the Euler method n_uranium(i+1) = n_uranium(i) - (n_uranium(i) / tau) * dt t(i+1) = t(i) + dt next i end sub Store oder Display sub display(n_uranium(),t(),tau,dt)! first set up title and label axes for graph call settitle("radioactive Decay umber of nuclei versus time") call sethlabel("time(s)") call setvlabel("umber of uclei") call datagraph(t,n_uranium,4,0,"black")! the graph is produced here set cursor 5,30! reposition cursor print "time constant = ";tau set cursor 6,30 print "time step = ";dt end sub Ein anderes Beispiel-Program mit MATLAB Die Fähigkeit, die Ergebnisse grafisch darzustellen, ist für die Computerphysik absolut notwendig.

10 Radioactive decay program in C /* decay.c * Simulation of radioactive decay */ #include <math.h> #include <stdio.h> #define MAX 100 double n_uranium[maxi ; /* number of uranium atoms */ double t [MAXI ; /* store time values here */ double dt; /* time step */ double tau; /* decay time constant */ double t-max; /* time to end simulation */ Main() { initialize(n_uranium,t,&tau,&dt); calculate(n_uranium,t,tau,dt); store(n_uranium,t); } /* initialize the variables */ initialize(nuclei,t,tc,dt) double *nuclei,*t,*tc,*dt; { printf ("initial number of nuclei -> ); scanf( %lf', &(nuclei[0])); /* begin using arrays at index 0 */ printf( time constant -> ); scanf ("%lf,tc) ; printf ("time step -> "); scanf ("%lf, dt); t[0] = 0.0; return; }

11 /* calculate the results and store them in the arrays t() and n_u() */ calculate(nuclei,t,tc,dt) double *nuclei,*t,tc,dt; { int i; for(i = 0; i < MAX-1; i++) { nuclei[i+1] = nuclei[i] - (nuclei[i] / tc) * dt; t[i+1] = t[i] + dt; } return; } /* save the results to a file */ store(nuclei,t) double *nuclei,*t { FILE *fp_out; int i; fp_out=fopen( decay.dat, w ); for(i=0;i<max; i++) { fprintf(fp_out, %g \ t%g \n, t[i], nuclei[i]); } fclose(fp_out); return; }

12 Prüfung Ihres Computerprogramms ehmen Sie an Ihr Programm kompiliert und läuft. Das ist noch nicht notwendigerweise das richtige Computerprogramm! Wir müssen überzeugt sein, dass die Ergebnisse richtig sind: Sehen die Ergebnisse angemessen aus? Wenn Sie die Ergebnisse jemand anderem zeigen, sollten Sie im Stande sein, ihn zu überzeugen, dass diese sinnvoll sind. Stimmt Ihr Programm mit irgendwelchen exakten Ergebnissen überein, die verfügbar sind? Genaue Ergebnisse sind für bestimmte Grenzfälle bekannt. Überprüfen Sie immer, ob Ihr Programm dieselbe Antwort für verschiedene Schritt-Größen gibt! Endantwort sollte nicht vom Δt Parameter abhängen Investieren Sie Zeit, um Ihre Ergebnisse zu überprüfen!

13 umerische Aspekte umerische Fehler: 1. Fehler werden durch die Annäherung (Euler Methode) eingeführt 2. Fehler werden durch die begrenzte numerische Präzision in jeder Computersprache (round-ff Präzision) eingeführt für C++ und Fortran doppelte Präzision verwenden Im radioaktiven Zerfall-Problem wurden wir dazu gebracht, Zeit als eine diskrete Variable zu behandeln Folgende Fragen: 1) Woher wissen wir, dass die durch diese Diskretisierung eingeführten Fehler klein sind? 2) Wie wählen wir den Wert der Schritt-Größe für eine Berechnung? Der globale Fehler ist das Produkt der Anzahl Zeitschritte (t/δt) und des Fehlers pro Schritt ([Δt] 2 ) und ist proportional zu Δt

14 Richtlinien und Philosophie Programm-Struktur 1) Benutzen Sie subroutines, um die Hauptaufgaben zu organisieren und das Programm besser lesbar und verständlich zu machen; 2) Schreiben Sie nterprogramme und Funktionen, um jeden Job durchzuführen, der länger ist als einige Zeilen Code oder der wiederholt erforderlich ist. Beschreibende amen 1) Wählen Sie die amen von Variablen und nterprogrammen gemäß dem Problem. 2) Das macht das Programm leichter zu verstehen, weil sie wie eingebaute Kommentare wirken. Kommentare 1) Schreiben Sie Kommentare, um die Programm-Logik zu erklären und Variablen zu beschreiben. Opfern Sie fast alles für die Klarheit 1) Computer-Leistungsfähigkeit schließt auch Kosten für das Lesen und Verstehen von Programmen mit ein. 2) Ein moderner Compiler optimiert häufig Ihren Code sehr stark. ehmen Sie sich Zeit, um grafische Darstellungen ebenfalls so klar wie möglich zu gestalten 1) Achsen sollten klar beschriftet sein und Parameter-Werte im Graphen angegeben werden