BSB Externe Schulabschlüsse - ABITUR B 52-21

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1 gültig ab: Fassung: BSB Externe Schulabschlüsse - ABITUR B INFORMATIONEN ÜBER PRÜFUNGSBEDINGUNGEN UND -ANFORDERUNGEN MATHEMATIK Vorbemerkung Die im Folgenden dargelegten Inhalte, Anforderungen und Regelungen sind Grundlage der externen Abiturprüfung. Abweichend von diesen Vorgaben gelten für Schülerinnen und Schüler staatlich genehmigter Hamburger Schulen in freier Trägerschaft für die schriftlichen und mündlichen Prüfungen die geltende Abiturrichtlinie sinngemäß sowie die jährlich aktualisierten Regelungen für die zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Abitur der BSB mit den dort aufgeführten Schwerpunktthemen. Präsentationsprüfungen sind allerdings ausgeschlossen. 1. Schriftliche Prüfung 1.1. Anzahl und Art der Aufgaben, Bearbeitungszeit, Hilfsmittel Jeder Prüfling erhält vier Aufgaben: (1) hilfsmittelfreier Teil: eine Aufgabe bestehend aus insgesamt vier Teilaufgaben aus den Sachgebieten Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik, die ohne Taschenrechner und ohne Formelsammlung bearbeitet werden muss (2) eine Aufgabe aus dem Sachgebiet Analysis (3) eine Aufgabe aus dem Sachgebiet Analytische Geometrie (4) eine Aufgabe aus dem Sachgebiet Stochastik Die Aufgaben (1) und (2) müssen bearbeitet werden. Von den Aufgaben (3) und (4) wählen die Prüflinge eine Aufgabe zur Bearbeitung aus. Die Aufgabenstellungen zu (2), (3) und (4) orientieren sich in Art und Umfang an den Beispielaufgaben der BSB 1. Die Aufgabe (1) orientiert sich in Art und Umfang an den Muster-/Beispielaufgaben für einen hilfsmittelfreien Prüfungsteil der BSB. Die in der Aufgabenstellung verwendeten Operatoren werden im Anhang genannt und erläutert. Die gesamte Bearbeitungszeit beträgt für die Prüfung auf grundlegendem Anforderungsniveau 240 Minuten, für die Prüfung auf erhöhtem Anforderungsniveau 300 Minuten. Aufgabe (1) wird zu Beginn dieser Arbeitszeit bearbeitet, hier gilt eine maximale Arbeitszeit von 45 Minuten. Eine Lese- und Auswahlzeit von 30 Minuten ist der Arbeitszeit vorgeschaltet. In dieser Zeit darf noch nicht mit der Bearbeitung begonnen werden. Erlaubte Hilfsmittel für die schriftliche Prüfung (außer bei Aufgabe 1 der schriftlichen Prüfung): Rechtschreibwörterbuch, Taschenrechner (nicht grafikfähig, nicht programmierbar), Formelsammlung (Das große Tafelwerk interaktiv, Cornelsen Verlag) 1 Für Hinweise zur Erstellung einer Prüfungsaufgabe siehe Abiturrichtlinie, Fachteil Mathematik. Externes Abitur - MAT Seite 1 von 8

2 1.2 Anforderungen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen, Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind insbesondere in Anwendungskontexten nachzuweisen. Dabei zeigen die Prüflinge, dass sie ausgehend von einem Anwendungsproblem ein mathematisches Modell entwickeln oder ein vorgegebenes Modell beurteilen sowie ihre rechnerischen Ergebnisse im Sachkontext deuten können. Indem sie ihre Lösungswege und Argumentationen ausführlich darstellen, weisen sie ihre Argumentations- und Kommunikationskompetenz nach. Ihre Problemlösekompetenz ist in Aufgabenstellungen gefordert, in denen kein gängiges Routineverfahren zur Verfügung steht. Analysis ganzrationale Funktionen (auch solche ohne konstantes Glied sowie biquadratische) und Exponentialfunktionen (auch die Zahl e) sowie ihre Verkettungen, in geringem Umfang einfache Wurzelfunktionen sowie einfache gebrochen-rationale Funktionen, (nur erhöhtes Anforderungsniveau: einfache trigonometrische Funktionen), Logarithmus nur als Werkzeug zum Lösen von Exponentialgleichungen; anschauliche Vorstellung von Grenzwerten Ableitung und Ableitungsregeln, grafisches Ableiten, Interpretation der Ableitungsfunktion Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte bei den genannten Funktionenklassen Steckbriefaufgaben/Trassierungsaufgaben Aufstellen und Lösen linearer Gleichungssysteme Integral und Integrationsregeln Interpretation des Integrals als Flächeninhalt und als Bestandsänderung Integrale mit variablen Grenzen Zusammenhang Integral-Ableitung, Bestätigung von Stammfunktionen Deutung von Funktionenparametern in Bezug auf den Graphen (nur erhöhtes Anforderungsniveau: Umgang mit Parametern, Deutung von Parametervariationen) Analytische Geometrie im dreidimensionalen Raum Vektoren im dreidimensionalen Raum Geradengleichung aufstellen und nutzen Ebenengleichungen (Parameterform, Koordinatenform) aufstellen und nutzen Abstand Punkt-Punkt, Punkt-Ebene, Punkt-Gerade Skalarprodukt Winkel Vektor-Vektor, Gerade-Gerade, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene Lagebeziehungen: Gerade-Gerade, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene Schnittmengen bestimmen: Gerade-Gerade, Gerade-Ebene, Ebene-Ebene affine Abbildungen geometrischer Objekte in der Ebene (nur erhöhtes Anforderungsniveau: geometrische Deutung der Variation von Komponenten der Darstellungen von Geraden und Ebenen) Stochastik Baumdiagramm, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit/Satz von Bayes Bernoulliketten und Binomialverteilung Erwartungswert und Standardabweichung Einfache Hypothesentests, auch mit σ-regeln (nur erhöhtes Anforderungsniveau: Normalverteilung über σ-regeln hinaus) Externes Abitur - MAT Seite 2 von 8

3 1.2.2 Anforderungsbereiche und Anforderungsniveaus Die Anforderungen gliedern sich in drei Anforderungsbereiche und werden auf zwei Anforderungsniveaus geprüft. Alle Anforderungsbereiche kommen auf beiden Anforderungsniveaus (grundlegend und erhöht) zum Tragen, dabei liegt der Schwerpunkt auf beiden Anforderungsniveaus im Anforderungsbereich II. In der Prüfung auf grundlegendem Anforderungsniveau sind die Anforderungsbereiche I und II, in der Prüfung auf erhöhtem Anforderungsniveau die Anforderungsbereich II und III besonders zu akzentuieren. Die Abgrenzung zwischen beiden Anforderungsniveaus geschieht durch die Prinzipien Aufhebung von Vereinfachungen und inhaltliche Anreicherung. Eine Prüfung auf erhöhtem Anforderungsniveau unterscheidet sich von einer Prüfung auf grundlegendem Anforderungsniveau insbesondere durch den Grad der Vorstrukturierung, die Offenheit der Aufgabenstellung, den Umfang und die Art der bereitgestellten Hilfsmittel und Informationen sowie durch die intellektuellen Anforderungen. Der Anforderungsbereich I umfasst die Verfügbarkeit von Daten, Fakten, Regeln, Formeln, mathematischen Sätzen usw. aus einem abgegrenzten Gebiet im gelernten Zusammenhang, die Beschreibung und Verwendung gelernter und geübter Arbeitstechniken und Verfahrensweisen in einem begrenzten Gebiet und in einem wiederholenden Zusammenhang. Der Anforderungsbereich II umfasst selbstständiges Auswählen, Anordnen, Verarbeiten und Darstellen bekannter Sachverhalte unter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch Übung bekannten Zusammenhang, selbstständiges Übertragen des Gelernten auf vergleichbare neue Situationen, wobei es entweder um veränderte Fragestellungen oder um veränderte Sachzusammenhänge oder um abgewandelte Verfahrensweisen gehen kann. Der Anforderungsbereich III umfasst planmäßiges und kreatives Bearbeiten komplexerer Problemstellungen mit dem Ziel, selbstständig zu Lösungen, Deutungen, Wertungen und Folgerungen zu gelangen, bewusstes und selbstständiges Auswählen und Anpassen geeigneter gelernter Methoden und Verfahren in neuartigen Situationen. 1.3 Bewertung Der erste Prüfungsteil (hilfsmittelfreier Teil) wird mit 20 Bewertungseinheiten (BWE) bewertet, die beiden Aufgaben des zweiten Prüfungsteils mit jeweils 50 BWE. Die erbrachte Gesamtleistung ergibt sich aus der Summe der BWE in den beiden Prüfungsteilen. Dieser Gesamtleistung wird die in der unten stehenden Tabelle festgelegte Notenpunktzahl zugeordnet. Bei der Zuweisung der Bewertungseinheiten zu einem Lösungsschritt soll neben der Richtigkeit der Antworten die Darstellung sowie die Schlüssigkeit der Argumentation berücksichtigt werden. Vor allem erläuternde, kommentierende und begründende Texte sind unverzichtbare Bestandteile der Bearbeitung. Für die Bewertung kommt folgenden Aspekten besonderes Gewicht zu: Umfang und Differenziertheit der dargestellten Kenntnisse Qualität der Darstellung (Aufbau, Gedankenführung, gewählte Darstellungsformen) Schlüssigkeit der Argumentation, auch im Sachkontext der Aufgabe Komplexität des Urteilsvermögens und Differenziertheit der Reflexion Umfang der Selbstständigkeit fachliche Korrektheit Sicherheit im Umgang mit Fachsprache und Methoden des Faches Erfüllung standardsprachlicher Normen und formaler Aspekte Externes Abitur - MAT Seite 3 von 8

4 Die Note ausreichend (5 Punkte) wird erteilt, wenn annähernd die Hälfte (mindestens 45 %) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden sind. Dazu müssen auch Leistungen im Anforderungsbereich II erbracht werden und mindestens eine Teilaufgabe, die Anforderungen im Bereich II aufweist, vollständig und weitgehend richtig bearbeitet werden. Die Note gut (11 Punkte) wird erteilt, wenn annähernd vier Fünftel (mindestens 75 %) der erwarteten Gesamtleistung erbracht worden sind. Dabei muss die Prüfungsleistung in ihrer Gliederung, in der Gedankenführung, in der Anwendung fachmethodischer Verfahren sowie in der fachsprachlichen Artikulation den Anforderungen voll entsprechen. Ein mit gut beurteiltes Prüfungsergebnis setzt voraus, dass neben Leistungen in den Anforderungsbereichen I und II auch Leistungen im Anforderungsbereich III erbracht werden. Im Übrigen gilt bei der Festlegung von Notenpunkten die folgende Tabelle. Bewertungseinheiten erbrachte Leistung Notenpunkte % % % % % % % % % % % % % % % 1 < 22 < 19 % 0 Bei erheblichen Mängeln in der sprachlichen Richtigkeit sind bei der Bewertung der schriftlichen Prüfungsleistung zudem je nach Schwere und Häufigkeit der Verstöße bis zu zwei Notenpunkte abzuziehen. Dazu gehören auch Mängel in der Gliederung, Fehler in der Fachsprache, Ungenauigkeiten in Zeichnungen sowie falsche Bezüge zwischen Zeichnungen und Text. 2 Die zu erreichenden Bewertungseinheiten für erbrachte Leistungen von weniger als 40 % wurden auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet. Externes Abitur - MAT Seite 4 von 8

5 2. Mündliche Prüfung / mündliche Nachprüfung 2.1 Anzahl und Art der Aufgaben, Dauer, Hilfsmittel Die mündliche Prüfung hat jeweils zur Hälfte Inhalte und Anforderungen aus zwei der drei Sachgebiete Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik zum Gegenstand. Der Prüfling wählt die beiden Sachgebiete aus. Die mündliche Prüfung besteht aus zwei gleichwertigen Teilen, die einerseits die Fähigkeit zum Vortrag, andererseits die zum themengebundenen Gespräch verlangt. Sie dauert etwa 30 Minuten. Für die mündliche Prüfung wird eine in Orientierung an den beiden gewählten Sachgebieten zweiteilige schriftliche Aufgabe vorgelegt. Der Prüfling hat zur Bearbeitung der Aufgabenstellungen eine Vorbereitungszeit von 30 Minuten. Die Aufgabe wird dem Prüfling unmittelbar vor Beginn der Bearbeitungszeit vollständig vorgelegt. Erlaubte Hilfsmittel für die mündliche Prüfung: Rechtschreibwörterbuch, Taschenrechner (nicht grafikfähig, nicht programmierbar), Formelsammlung (Das große Tafelwerk interaktiv, Cornelsen Verlag). 2.2 Anforderungen und Bewertung Für die Anforderungen an die mündliche Prüfung und die Bewertung der Prüfungsleistung gelten dieselben Grundsätze wie für die schriftliche Prüfung. Spezifische Anforderungen an die mündliche Prüfung sind: sich klar und differenziert auszudrücken und die vorbereiteten Arbeitsergebnisse in gegliedertem Zusammenhang frei vorzutragen und adressatenbezogen darzustellen ein themengebundenes Gespräch zu führen, dabei auf Impulse einzugehen und gegebenenfalls eigene sach- und problemgerechte Beiträge zu weiteren Aspekten einzubringen eine Einordnung von Sachverhalten und Problemen in übergeordnete Zusammenhänge vorzunehmen sich mit den Sachverhalten und Problemen selbstständig auseinanderzusetzen und ggf. eine eigene Stellungnahme vorzunehmen Für die Bewertung gelten folgende zusätzliche Kriterien: Art und Strukturierung des Vortrags Fähigkeit zur verbalen und nonverbalen Kommunikation Eingehen auf Gesprächsimpulse situationsbezogene Argumentations- und Urteilsfähigkeit Wie bei der Bewertung einer Klausurleistung gilt auch für die mündliche Prüfung, dass eine Bewertung mit ausreichend Leistungen voraussetzt, die über den Anforderungsbereich I hinaus auch im Anforderungsbereich II oder III erbracht werden. Gute und bessere Bewertungen setzen Leistungen voraus, die deutlich über den Anforderungsbereich II hinausgehen und mit einem wesentlichen Anteil dem Anforderungsbereich III zuzuordnen sind. Externes Abitur - MAT Seite 5 von 8

6 Anhang: Liste der in der Aufgabenstellung zu verwendenden Arbeitsaufträge (Operatoren) Operatoren AB Definitionen Beispiele angeben, nennen I Ohne nähere Erläuterungen und Begründungen, ohne Lösungsweg aufzuzeigen. Geben Sie drei Punkte an, die in der Ebene liegen. Nennen Sie drei weitere Beispiele zu... anwenden begründen I II Einen bekannten Sachverhalt oder eine Handlungsanweisung, Formel, Vorschrift auf Elemente ihres jeweiligen Definitionsbereichs anwenden. II III Einen angegebenen Sachverhalt auf Gesetzmäßigkeiten bzw. kausale Zusammenhänge zurückführen. Hierbei sind Regeln und mathematische Beziehungen zu nutzen. Wenden Sie das in Matrix L gegebene Populationsmodell auch auf den Bestand B an. Wenden Sie die Funktionsgleichung auch auf die gegebenen Zahlen an. Begründen Sie, dass die Funktion nicht mehr als drei Wendestellen aufweisen kann. Begründen Sie die Zurückweisung der Hypothese. berechnen I Ergebnisse von einem Ansatz ausgehend durch Rechenoperationen gewinnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. beschreiben I II Sachverhalt oder Verfahren in Textform unter Verwendung der Fachsprache in vollständigen Sätzen darstellen (hier sind auch Einschränkungen möglich: Beschreiben Sie in Stichworten ). Beschreiben Sie den Bereich möglicher Ergebnisse. Beschreiben Sie, wie Sie dieses Problem lösen wollen, und führen Sie danach Ihre Lösung durch. bestätigen I II Eine Aussage oder einen Sachverhalt durch Anwendung einfacher Mittel (rechnerischer wie argumentativer) sichern. Der Anspruch liegt deswegen unterhalb von Zeigen oder Beweisen. Bestätigen Sie, dass die gegebene Funktion eine Stammfunktion zur Ursprungsfunktion ist. Bestätigen Sie die Parallelität der beiden Ebenen. Bestätigen Sie, dass in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit unter 0,1 liegt. bestimmen, ermitteln II III Einen Lösungsweg darstellen und das Ergebnis formulieren (die Wahl der Mittel kann unter Umständen eingeschränkt sein). Ermitteln Sie graphisch den Schnittpunkt. Bestimmen Sie aus diesen Werten die Koordinaten der beiden Punkte. Externes Abitur - MAT Seite 6 von 8

7 Operatoren AB Definitionen Beispiele beurteilen II-III Zu einem Sachverhalt oder zu einem Ergebnis ein selbstständiges mathematisch und/oder sachkontextual begründetes Urteil fällen. Beurteilen Sie, welche der beiden vorgeschlagenen Funktionen die Situation angemessener modelliert. Beurteilen Sie das Resultat Ihrer Modellrechnung vor dem Hintergrunde der geforderten Kosteneffizienz. Beurteilen Sie die Aussage: Jede ganzrationale Funktion dritten Grades hat mindestens ein lokales Maximum. beweisen, widerlegen III Beweisführung im mathematischen Sinne unter Verwendung von bekannten mathematischen Sätzen, logischer Schlüsse und Äquivalenzumformungen, ggf. unter Verwendung von Gegenbeispielen. Beweisen Sie, dass die Gerade auf sich selbst abgebildet wird. entscheiden II Bei Alternativen sich begründet und eindeutig auf eine Möglichkeit festlegen. Entscheiden Sie, für welchen der beiden Beobachter der Aufschlagpunkt näher ist. Entscheiden Sie, welche der Ihnen bekannten Verteilungen auf die Problemstellung passt. ergänzen, vervollständigen, eintragen I Tabellen, Ausdrücke, grafische Darstellungen oder Aussagen nach bereits vorliegenden Kriterien, Formeln oder Mustern füllen. Ergänzen Sie die Tabelle der Funktionswerte. Vervollständigen Sie die Zeichnung mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Punkten. Tragen Sie den Winkel in Ihrer Skizze ein. erläutern II-III Einen mathematischen Sachverhalt nachvollziehbar und verständlich näher erklären und durch Beispiele veranschaulichen; Einschränkungen wie z.b. Erläutern Sie im gegebenen Sachkontext sind möglich. erstellen I Einen Sachverhalt in übersichtlicher, meist fachlich üblicher oder vorgegebener Form darstellen. herleiten II-III Die Entstehung oder Entwicklung eines gegebenen oder beschriebenen Sachverhalts oder einer Gleichung aus anderen oder aus allgemeineren Sachverhalten darstellen. Erläutern Sie den Begriff exponentielles Wachstum. Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion. Leiten Sie die gegebene Formel für die Stammfunktion her. interpretieren II III Mathematische Objekte oder Ergebnisse aus einer bestimmten Perspektive deuten. Interpretieren Sie die Lösung des Gleichungssystems geometrisch. Interpretieren Sie die Bedeutung der Variable s vor dem Hintergrund des Sachkontextes. skizzieren I II Die wesentlichen Eigenschaften eines Objektes grafisch darstellen (auch Freihandskizze möglich). Skizzieren Sie die gegenseitige Lage der drei Körper. Externes Abitur - MAT Seite 7 von 8

8 Operatoren AB Definitionen Beispiele untersuchen II-III Sachverhalte nach bestimmten, fachlich üblichen bzw. sinnvollen Kriterien erkunden und darstellen. Untersuchen Sie die Funktion Untersuchen Sie, ob die Verbindungskurve ohne Knick in die Gerade einmündet. vergleichen II III Nach vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen. Vergleichen Sie die beiden Vorschläge nach der von den Kurven eingeschlossenen Fläche. zeichnen, grafisch darstellen I II Eine hinreichend exakte grafische Darstellung anfertigen. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Stellen Sie die Punkte und Geraden im Koordinatensystem mit den gegebenen Achsen dar. zeigen, nachweisen II III Eine Aussage, einen Sachverhalt nach gültigen Schlussregeln, Berechnungen, Herleitungen oder logischen Begründungen bestätigen. Zeigen Sie, dass das betrachtete Viereck ein Drachenviereck ist. zuordnen I II Ohne tiefer gehende Erläuterung eine Verbindung zwischen zwei Listen herstellen. AB=Anforderungsbereich Ordnen Sie die Graphen den gegebenen Gleichungen zu. Externes Abitur - MAT Seite 8 von 8