Wolfgang Grundmann, Bernd Luderer. Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse

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1 Wolfgang Grundmann, Bernd Luderer Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse

2 Wolfang Grundmann, Bernd Luderer Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse 2., uberarbeitete und erweiterte Auflage 1m Teubner Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

3 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <httpj/dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Dr. oec. habil. Wolfgang Grundmann Westsachsische Hochschule Zwickau (FH) Internet: Prof. Dr. rer. nat. habil. Bernd Luderer Technische Universitat Chemnitz Internet: Auflage Auflage November 2003 Aile Rechte vorbehalten Springer Fachmedien Wiesbaden 2003 Urspriinglich erschienen bei B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere for Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dorften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort Bei der vorliegenden Formelsammlung handelt es sich urn ein Kompendium der Finanz- und Versicherungsmathematik sowie der Wertpapieranalyse. Sie enthiilt die wichtigsten Begriffe, Formeln, Aussagen und Algorithmen zu diesem bedeutenden Teilgebiet der modernen Mathematik und wendet sich vor allem an Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitaten, Fachhochschulen und Berufsakademien in den Studiengangen bzw. Vertiefungsrichtungen Versicherungswesen, Versicherungsbetriebslehre und Versicherungswissenschaft, Finanzwirtschaft und Bankbetriebslehre, Investmentbanking u. a. Ferner ist sie sicherlich auch fur Studenten der Wirtschaftsmathematik und der Wirtschaftsinformatik sowie fur Praktiker aus dem Bank- und Versicherungswesen von Nutzen. Die Formelsammlung stellt in iibersichtlicher Weise grundlegende Formeln aus den Gebieten Finanzmathematik (Zins- und Zinseszinsrechung, Renten-, Tilgungs- und Kursrechnung, Methoden der Renditeberechnung, Abschreibungen, Investitionsrechnung, Bausparmodelle), Versicherungsmathematik (Grundbegriffe, bevolkerungsstatistische Grundlagen, Personen- und insbesondere Lebensversicherungen, Schadenversicherungen) sowie der Wertpapieranalyse (festverzinsliche Wertpapiere, Aktien, Optionen und andere Derivate, Risikoanalyse, Portfoliomanagement und Portfoliooptimierung) bereit. Die Darlegungen werden erganzt durch die notwendigen mathematischen Grundlagen (Rechengesetze, Zahlenfolgen und -reihen, numerische Nii.herungsverfahren, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik) sowie durch Tafeln zur Normalverteilung und Sterbetafeln. Diese Teubner-Formelsammlung eignet sich auch fur Ansatze zu weiteren Modifizierungen der betrachteten Modellfiille und zur Anpassung an weitergehende Anwendungsfiille der finanz- und versicherungswirtschaftlichen Praxis. Sie entstand im Ergebnis langjii.hriger Lehrtatigkeit an der Westsachsischen Hochschule Zwickau und der Technischen Universitat Chemnitz. AuBerdem konnten wir dankenswerterweise auch auf Erfahrungen und Hinweise zahlreicher Kollegen zuriickgreifen. Dem Teubner-Verlag und Herrn J. Weill, Leipzig, danken wir fur die Anregung zu dieser Formelsammlung sowie eine iiberaus angenehme und konstruktive Zusammenarbeit. Erfreulicherweise ist die Formelsammlung auf grofies Interesse gestoben, so dass sich bereits kurze Zeit nach ihrem Erscheinen eine 2. Auflage erforderlich macht. Wir haben die Gelegenheit genutzt, urn das Buch einer griindlichen Durchsicht zu unterziehen. Ferner haben wir die Effektivzinsberechnung gemii.fi der Neufassung der Preisangabenverordnung aufgenommen, die seit Juli 2000 gesetzlich vorgeschrieben ist. Fiir Hinweise und Anregungen danken wir zahlreichen Lesern und Kollegen. Wir mochten betonen, dass uns Hinweise und Bemerkungen auch in Zukunft stets willkommen sind. Zwickau / Chemnitz, im Januar 2003 Wolfgang Grundmann Bernd Luderer

5 Inhalt Symbole und Bezeichnungen Mathematische Grundlagen Rechnen mit reellen Zahlen. Fakultiit und Binomialkoeffizienten. Gleichungen Potenzen und Wurzeln. Logarithmen.... Zahlenfolgen und Zahlenreihen Numerische Methoden der Nullstellenberechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (Uberblick) Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Stochastische Prozesse. Mathematische Statistik Klassische Finanzmathematik Einfache Zinsrechnung Zinsusancen.... Zinseszinsrechnung Rentenrechnung.. Dynamische Renten Unterjahrliche Renten Tilgungsrechnung. Kursrechnung... Renditeberechnung. Investitionsrechnung Abschreibungen... Finanzmathematische Faktoren Bausparen Das mathematische Modell des Bausparens Das statische Modell Modell mit unregelmabigen Zahlungen Nichtstatische Modelle

6 Inhalt 7 Lebensversicherung 55 Versicherungsmathematik 55 Personenversicherung Sterbegesetze und Sterbetafeln 59 Lebenserwartung Kommutationszahlen KenngroBen von Versicherungen. 65 Arten von Lebensversicherungen 67 Todesfallversicherung Erlebensfallversicherung und gemischte Versicherung 72 Leibrenten Lebensversicherungen mit mehreren Ausscheidegriinden 79 Witwen- und Waisenrente Berufsunfiihigkeitsversicherungen 81 Pensionsversicherungen Bruttokosten Lebensversicherung auf mehrere Leben. 86 Allgemeine diskontinuierliche Modelle 90 Allgemeine stetige Modelle 92 Krankenversicherung. 94 Schadenversicherung 96 Risikomodelle Einzelschadenverteilung 98 Gesamtschadenverteilung 99 Credibility Pramienberechnung Rlsikoteilung und Riickversicherung 104 Selbstbeteiligung Bewertung von Wertpapieren und Finanzinstrumenten 107 Bewertung von Geldmarktpapieren 107 Serienanleihen Anleihen mit endfa.lliger Tilgung 110 Serienanleihen und endfa.llige Anleihen mit jahrlicher Verzinsung 111 Jahrliche Verzinsung bei Bewertung zu Kupontermin, Vergleich von Renditen 112 Kostenbestandteile nach PAngV Effektivzinsberechnung nach neuer PAngV. 114

7 8 Inhalt Bewertung von Aktien Risikokennzahlen Die Duration.. Zinsstrukturkurve, Spotrates und Forwardrates Risikokennzahlen bei nichtflacher Zinskurve (Key-Rate-Kennzahlen) Preise und Risikokennzahlen ausgewahlter Produkte Strukturierte Produkte. Termingeschiifte Volatilitaten... Optionsbewertung Aktienoptionen.. Risikokennzahlen. Optionen auf Aktien mit Dividendenzahlung Devisenoptionen... Optionen auf Futures. Zinsoptionen... Portfoliomanagement Portfolio festverzinslicher Wertpapiere Zinsrisikomanagement fur Portfolios Aktienportfolios.... Tabellen Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung. Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung DAV-Sterbetafel1994 T - Manner DAV-Sterbetafel1994 T - Frauen. DAV-Sterbetafel1994 R: Manner und Frauen - Basistafel 2000 Trendfaktor zur DAV-Sterbetafel1994 R: Manner und Frauen. Altersverschiebung zur DAV-Sterbetafel1994 R.... Allgemeine Deutsche Sterbetafeln fur Manner 1871/80 bis 1994 (Auszug) Allgemeine Deutsche Sterbetafeln fur Frauen 1871/80 bis 1994 (Auszug) Literaturverzeicbnis Sacbwortverzeicbnis