Wolfgang Grundmann, Bernd Luderer. Formelsammlung. Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse

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1 Wolfgang Grundmann, Bernd Luderer Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse

2 Wolfgang Grundmann, Bernd Luderer Formelsammlung Finanzmathematik, Versicherungsmathematik, Wertpapieranalyse Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich. Prof. Dr. rer. nato Dr. oec. habil. Wolfgang Grundmann Westsächsische Hochschule Zwickau (FH) Internet: wolfgang.grundmann@fh-zwickau.de Prof. Dr. rer. nato habil. Bernd Luderer Technische Universität Chemnitz Internet: b.luderer@mathematik.tu-chemnitz.de 1. Auflage August 2001 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner GmbH, StuttgartiLeipzig/Wiesbaden, 2001 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort Bei der vorliegenden Formelsammlung handelt es sich um ein Kompendium der Finanz- und Versicherungsmathematik sowie der Wertpapieranalyse. Sie enthält die wichtigsten Begriffe, Formeln, Aussagen und Algorithmen zu diesem bedeutenden Teilgebiet der modernen Mathematik und wendet sich vor allem an Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien in den Studiengängen bzw. Vertiefungsrichtungen Versicherungswesen, Versicherungsbetriebslehre und Versicherungswissenschaft, Finanzwirtschaft und Bankbetriebslehre, Investmentbanking u. ä. Ferner ist sie sicherlich auch für Studenten der Wirtschaftsmathematik und der Wirtschaftsinformatik sowie für Praktiker aus dem Bank- und Versicherungswesen von Nutzen. Die Formelsammlung stellt in übersichtlicher Weise grundlegende Formeln aus den Gebieten Finanzmathematik (Zins- und Zinseszinsrechung, Renten-, Tilgungs- und Kursrechnung, Methoden der Renditeberechnung, Abschreibungen, Investitionsrechnung, Bausparmodelle ), Versicherungsmathematik (Grundbegriffe, bevölkerungsstatistische Grundlagen, Personen- und insbesondere Lebensversicherungen, Schadenversicherungen) sowie der Wertpapieranalyse (festverzinsliche Wertpapiere, Aktien, Optionen und andere Derivate, Risikoanalyse, Portfoliomanagement und Portfoliooptimierung) bereit. Die Darlegungen werden ergänzt durch die notwendigen mathematischen Grundlagen (Rechengesetze, Zahlenfolgen und -reihen, numerische Näherungsverfahren, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik) sowie durch Tafeln zur Normalverteilung und Sterbetafeln. Diese Teubner-Formelsammlung eignet sich auch für Ansätze zu weiteren Modifizierungen der betrachteten Modellfälle und zur Anpassung an weitergehende Anwendungsfälle der finanz- und versicherungswirtschaftlichen Praxis. Sie entstand im Ergebnis langjähriger Lehrtätigkeit an der Westsächsischen Hochschule Zwickau und der Technischen Universität Chemnitz. Außerdem konnten wir dankenswerterweise auch auf Erfahrungen und Hinweise zahlreicher Kollegen zurückgreifen. Dem Teubner-Verlag und Herrn J. Weiß, Leipzig, danken wir für die Anregung zu dieser Formelsammlung sowie eine überaus angenehme und konstruktive Zusammenarbeit. Schließlich sei betont, dass uns Hinweise, Bemerkungen und Anregungen stets willkommen sind. Zwickau / Chemnitz, im März 2001 Wolfgang Grundmann Bernd Luderer

5 Inhalt Symbole und Bezeichnungen Mathematische Grundlagen Rechnen mit reellen Zahlen. Fakultät und Binomialkoeffizienten Gleichungen Potenzen und Wurzeln Logarithmen... Zahlenfolgen und Zahlenreihen Numerische Methoden der Nullstellenberechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik (Überblick) Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Stochastische Prozesse. Mathematische Statistik Klassische Finanzmathematik Einfache Zinsrechnung Zinsusancen.... Zinseszinsrechnung Rentenrechnung.. Dynamische Renten Unterjährliche Renten Tilgungsrechnung. Kursrechnung... Renditeberechnung Investitionsrechnung Abschreibungen... Finanzmathematische Faktoren Bausparen Das mathematische Modell des Bausparens Das statische Modell Modell mit unregelmäßigen Zahlungen Nichtstatische Modelle

6 Inhalt 7 Lebensversicherung Versicherungsmathematik Personenversicherung... Sterbegesetze und Sterbetafeln Lebenserwartung... Kommutationszahlen. Kenngrößen von Versicherungen. Arten von Lebensversicherungen Todesfallversicherung Erlebensfallversicherung und gemischte Versicherung Leibrenten Lebensversicherungen mit mehreren Ausscheidegründen Witwen- und Waisenrente.... Berufsunfähigkeitsversicherungen Pensionsversicherungen Bruttokosten Lebensversicherung auf mehrere Leben Allgemeine diskontinuierliche Modelle Allgemeine stetige Modelle Krankenversicherung Schadenversicherung Risikomodelle.... Einzelschadenverteilung Gesamtschadenverteilung Credibility Prämienberechnung Risikoteilung und Rückversicherung Selbstbeteiligung Bewertung von Wertpapieren und Finanzinstrumenten Bewertung von Geldmarktpapieren Serienanleihen Anleihen mit endfälliger Tilgung 110 Serienanleihen und endfällige Anleihen mit jährlicher Verzinsung 111 Jährliche Verzinsung bei Bewertung zu Kupontermin, Vergleich von Renditen 112 Kostenbestandteile nach PAngV 113 Bewertung von Aktien

7 8 Inhalt Risikokennzahlen Die Duration Zinsstrukturkurve, Spotrates und Forwardrates Risikokennzahlen bei nichtflacher Zinskurve (Key-Rate-Kennzahlen) Preise und Risikokennzahlen ausgewählter Produkte Strukturierte Produkte. Termingeschäfte Volatilitäten... Options bewertung Aktienoptionen.. Risikokennzahlen. Optionen auf Aktien mit Dividendenzahlung Devisenoptionen... Optionen auf Futures. Zinsoptionen..... PortfoliOInanagernent Portfolio festverzinslicher Wertpapiere Zinsrisikomanagement für Portfolios Aktienportfolios.... Tabellen Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung. Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilung DAV-Sterbetafel1994 T - Männer DAV-Sterbetafel 1994 T - Frauen. DAV-Sterbetafel 1994 R: Männer und Frauen - Basistafel 2000 Trendfaktor zur DAV-Sterbetafel 1994 R: Männer und Frauen. Altersverschiebung zur DAV-Sterbetafel 1994 R.... Allgemeine Deutsche Sterbetafeln für Männer 1871/80 bis 1994 (Auszug) Allgemeine Deutsche Sterbetafeln für Frauen 1871/80 bis 1994 (Auszug) Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

8 Symbole und Bezeichnungen 9 Symbole und Bezeichnungen Symbole und Bezeichnungen ln lno 'll <Q lr min{a, b} max{a,b} p q v d {) an] än] sn] sn] x qx Px Lx, dx D x, Cx, N x, Mx ex w ax, axiil' äx, äxiil - - Menge der natürlichen Zahlen - Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null - Menge der ganzen Zahlen - Menge der rationalen Zahlen - Menge der reellen Zahlen - kleinere der Zahlen a und b: a für a ::; b, b für a > b - größere der Zahlen a und b: a für a 2: b, b für a < b - Zinssatz, Zinsfuß pro Zinsperiode (in Prozent) Zinsrate: i = Wo - Aufzinsungsfaktor: q = 1 + i - Abzinsungsfaktor: v = 1 = -11. q +. - Diskontrate, Diskontfaktor: d = 1 - v - Zinsintensität; Zinsrate bei stetiger Verzinsung - Teil (Vielfaches) einer Zinsperiode, Zeitpunkt, Laufzeit - Anfangskapital, Barwert, Gegenwartswert - Kapital zum Zeitpunkt t, Zeitwert - Zinsen für den Zeitraum t - Rate, Rente - nachschüssiger Rentenbarwertfaktor - vorschüssiger Rentenbarwertfaktor - nachschüssiger Rentenendwertfaktor - vorschüssiger Rentenendwertfaktor - Eintrittsalter bei Versicherungen - einjährige Sterbe- bzw. Ausscheidewahrscheinlichkeit - einjährige Überlebens- bzw. Verbleibewahrscheinlichkeit - Überlebende/Verbleibende und Verstorbene/Ausscheidende - Kommutationszahlen - Lebenserwartung - Höchstalter in der Sterbetafel nach- und vorschüssige Rentenbarwertfaktoren bei Lebensversicherungen, lebenslänglich und befristet sx, sxiil' sx, sxn] - nach- und vorschüssige Rentenendwertfaktoren bei Lebensversicherungen, lebenslänglich und befristet a,ß" - Bruttokostenanteile in Versicherungen