5.9.4 Brechung von Schallwellen ****** 1 Motivation. 2 Experiment

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1 5.9.4 ****** 1 Motivation Ein mit Kohlendioxid gefüllter Luftballon wirkt für Schallwellen als Sammellinse, während ein mit Wasserstoff gefüllter Ballon eine Zerstreuungslinse ergibt. Experiment Abbildung 1: Versuchsaufbau. Ein Lautsprecher L erzeugt Schallwellen der Frequenz,5 khz bzw. 6 khz (Versuchsaufbau siehe siehe Abb. 1, Prinzipskizze Abb. ). Die Schallwellen werden mit einem Mikrofon M registriert. Dessen Ausgangssignal gelangt über einen Verstärker und Gleichrichter auf eine LED-Anzeige, bei der die Schallintensität durch die Anzahl leuchtender LEDs angezeigt wird. Man bringt nun wahlweise einen mit CO bzw. mit H gefüllten Gummiballon zwischen Lautsprecher und Mikrofon und stellt dabei fest, dass CO für Schallwellen eine Sammellinse und H eine Zerstreuungslinse ergibt (siehe Abschnitt 3.7). 1

2 L B M LED Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Abbildung : Prinzipskizze zum Versuch mit Lautsprecher L, gasgefülltem Gummiballon B, Mikrofon M und LED-Anzeige der Intensität. 3 Theorie 3.1 Das Prinzip von Huygens Jeder Punkt einer bestehenden Wellenfläche wird als Zentrum einer neuen kugelförmigen Elementarwelle aufgefasst. Die Umhüllende dieser Elementarwellen ergibt dann die Wellenfront zu einem späteren Zeitpunkt. Eine Wellenfläche wird folgendermassen definiert. Alle Punkte der Wellenfläche genügen der Beziehung: k r ωt = δ, (1) wobei δ eine beliebige, aber fest vorgegebene Phase ist. Abb. 3 und Abb. 4 zeigen diese Elementarwellen für eine ebene bzw. eine Kugelwelle. t = 6 t t = 4 t v t = t t = 0 Abbildung 6.1: 3: Huygenssches Prinzip bei bei einer ebenen Wellenfront.

3 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS v v Q v v Abbildung 6.1: 4: Huygenssches Prinzip bei bei einer Kugelwelle (Quelle Q). Q). Falls sich beim Übertritt einer Welle in ein anderes Medium die Phasengeschwindigkeit v = ω/k ändert, ändert sich entsprechend auch der Radius r = v t der sich in der Zeit t neu ausbreitenden Kugelwellen. Das Huygensche Prinzip ist über 300 Jahre alt. Heute wissen wir, dass die Atome der Materie die Quellen darstellen. Im Fall von Licht beispielsweise absorbieren die Photonen, schwingen eine gewisse Zeit als harmonische Oszillatoren und emittieren wieder Licht als Kugelwelle. Die Phasenbeziehung der einzelnen Punktquellen bewirkt, dass sich die Welle weiterhin in der ursprünglichen Richtung bewegt. Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum sind die Quellen abwechselnd die elektrischen und magnetischen Felder der Welle. Es seien Q 1,...,Q n in einer Reihe angeordnete Quellen kohärenter Kugelwellen gleicher Amplitude a und im Abstand δ voneinander (siehe Abb. 5). Die Phasendifferenz ϕ zweier benachbarter Quellen in Richtung α ist gleich ϕ = π λ s = kδ sin α für δ r () Ferner sei auch d (N 1)δ r, (3) wobei r der Abstand des Punktes P vom Mittelpunkt der Anordnung ist, an dem die Interferenz aller von den N Quellen ausgehenden Kugelwellen berechnet werden soll (siehe Abb. 6). Die Überlagerung dieser Wellen im Punkt P ergibt die Amplitude: ξ(α) = N n=1 a r ei(krn ωt) (4) Ohne Verlust der Allgemeinheit wählen wir N ungerade, also N = M + 1. Damit gilt 3

4 Ebene Welle y s = δ sin α Q 5 Q 4 Wellenfront Q 3 Q δ Q 1 α s α x Abbildung Abbildung 5: Überlagerung 6.1: Überlagerung der von Nder Quellen von Nauslaufenden Quellen auslaufenden Kugelwellen Kugelwellen in Richtung des in Winkels α. Richtung des Winkels α. r n = r + (M + 1 n) s (5) kr n = kr + (M + 1) ϕ n ϕ (6) { ξ(α) = a M+1 r ei(m+1) ϕ n=1 e in ϕ } e i(kr ωt) (7) Die Summe der Exponentialfunktionen können wir umformen, da sie eine endliche geometrische Reihe in x = e i ϕ darstellt. Aus der Identität folgt nämlich M+1 n=1 e in ϕ = e i ϕ(m+) e i ϕ e i ϕ 1 x + x x k = xk+1 x x 1 = e i ϕ/ e i ϕ(m+1) e i ϕ(m+1) e i ϕm e i ϕ/ e i ϕ/ (10) = e i ϕ(m+1) e in ϕ/ e in ϕ/ e i ϕ/ e i ϕ/ = e i ϕ(m+1) sin N ϕ/ sin ϕ/ (8) (9) (11) 4

5 y Q M+1 r M+1 P Q M 1 r Q M α r 1 Q 3 δ Q 1 x Abbildung 6.1: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. Abbildung 6: Zur Berechnung der Interferenz im Punkte P. Damit ergibt sich für die Amplitude: ξ(α) = a r sin N ϕ/ sin ϕ/ ei(kr ωt) (1) und für die Intensität I = a r sin N ϕ/ sin ϕ/ (13) Abb. 7 zeigt verschiedene Intensitätsverteilungen. Bei Abb. 7 a) und b) ist die gesamte Breite d gleich gross, aber die Zahl der Quellen unterscheidet sich um einen Faktor 10. Man beachte den unterschiedlichen Winkelmassstab! Bei Abb. 7 b) und c) ist dagegen die Zahl N der Quellen gleich gross, dafür ist der Abstand δ und damit die gesamte Breite d bei c) verdoppelt. Wir halten fest: a) Bei α = 0 liegt ein Maximum der Intensität, welche für grosse α stark abfällt. Die Breite des Maximums ist proportional zu 1/N. b) Für δ > λ gibt es mehrere Maxima, und zwar für die Winkel sin α n = n λ δ, n = 0, 1,,..., p < δ λ (14) 5

6 Entscheidend ist also das Verhältnis δ/λ! c) Man beachte: Es gilt stets: r d. Deshalb spielt der r 1 -Term der Kugelwelle keine Rolle, da er für alle Punktquellen gleich gross ist. Wenn man nun bei konstantem Abstand r die Breite d vergrössert, tragen zunehmend mehr Quellen zur Amplitude am, allerdings mit kleinerer Amplitude wegen des r 1 -Terms der Kugelwelle. Für d verschwindet die Interferenzerscheinung. 3. Beugung Was geschieht nun, wenn man die Zahl der Quellen gegen unendlich gehen lässt, aber gleichzeitig den Abstand δ zwischen ihnen derart verkleinert, dass die Breite d konstant bleibt? Es sei also N und δ 0 mit N δ = d = konst. (15) und (Na) := A = konst. a 0 (16) Wir untersuchen dazu das Ergebnis Gl. (13) und vernachlässigen dabei den Faktor 1/r : lim N δ 0 I = lim N δ 0 lim N δ 0 =d a sin 1 k {}}{ Nδ sin α sin 1 k d N sin α (17) a sin 1 kd sin α 1 k 4N d sin α (18) = (Na) sin 1 ϕ ( 1 ϕ) = A sin 1 ϕ ( 1 ϕ) (19) wobei wir dieses Mal ϕ nicht mehr auf den Abstand δ, der ja gegen null geht, sondern auf die Spaltbreite d beziehen: Wir halten das wichtige Ergebnis gesondert fest: ϕ := kd sin α = π d sin α (0) λ I = A sin 1 ϕ ( 1 ϕ) Beugung am Spalt (1) Wiederum sehen wir, dass die Beugungsfunktion vom Verhältnis d/λ abhängt! Wir können drei verschiedene Fälle unterscheiden (siehe Abb. 8): a) d < λ: Diese Bedingung ergibt ein breites Beugungsmaximum um den Winkel α = 0 herum. b) d < λ: Man erhält ein starkes Maximum bei α = 0, aber auch weiter Maxima bei grösseren Winkeln. Die Welle wird an der Blende gebeugt! Das ist auch der Grund, weshalb man um die Ecke hören, aber nicht sehen kann! Schallwellen haben eine typische Wellenlänge in der Grössenordnung von λ = 1 m (Denken Sie an die Grösse von Musikinstrumenten!); die Wellenlänge von Licht ist dagegen λ 500 nm. 6

7 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS V c) I (α) N = 10 δ = 5λ α/mrad I (α) N = 10 b) δ = 5λ a) I (α) α/mrad N = 100 δ = λ/4 α/mrad Abbildung Abbildung 7: Intensität 6.1: Intensität im PunkteimP Punkte als Funktion P alsdes Funktion Winkelsdes α. Eine Winkels ebeneα. Welle Einefällt ebene ein, und N kohärente Welle fällt Quellen ein, imund gleichmässigen N kohärenteabstand Quellenδ im voneinander gleichmässigen emittieren Abstand Kugelwellen, δ voneienander Abstand emittieren r interferieren. Kugelwellen, welche in grossem Abstand r welche in grossem interferieren. c) d λ: Diese Bedingung ergibt ein scharfes Maximum bei α = 0, was einem geometrischen Schattenwurf entspricht. Die in andere Richtungen laufenden Wellen löschen sich gegenseitig vollständig aus. 7

8 d λ = 1 4 I (α) α/mrad Abbildung 6.1: Beugung am Spalt. Abbildung 8: Beugung am Spalt. Sowohl Reflexion als auch Brechung von Wellen können mit dem Huygensschen Prinzip erklärt werden. 3.3 Reflexion Das Prinzip der Reflexion ist in Abb. 9 dargestellt. Wenn eine Wellenfront den Punkt A erreicht, geht von dort eine Kugelwelle aus. Wenn dieselbe Wellenfront den Punkt B erreicht, hat sich die 1. Elementarwelle bereits bis zum Punkt C ausgebreitet. Da sich dabei weder Wellenlänge noch - geschwindigkeit ändern, folgt aus Symmetriegründen das Reflexionsgesetz: Bei der Reflexion einer ebenen Welle an einer ebenen Grenzfläche ist der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel. 3.4 Brechung In entsprechender Weise kann man die Brechung von Wellen erklären (siehe Abb. 10). Im Unterschied zur Reflexion ändert sich im allgemeinen die Wellengeschwindigkeit v = λν beim Eindringen der Welle in ein anderes Medium. Da die Frequenz sich nicht ändert, ändert sich die Wellenlänge entsprechend. Bei einer Verlangsamung der Welle im neuen Medium dreht sich der Wellenzahlvektor zur Flächennormalen hin. Das Snelliussche Brechungsgesetz lautet damit sin α 1 sin α = v 1 v () bzw. sin α 1 sin α = λ 1 λ (3) 8

9 y λ Physik II, Prof. W. Fetscher, FS α α λ C A B Abbildung 6.1: Huygenssches Prinzip und Reflexionsgesetz. Abbildung 9: Huygenssches Prinzip und Reflexionsgesetz. y sin α 1 sin α = λ 1 λ λ1 α 1 A x α D C 1 B λ Abbildung 6.1: Huygenssches Prinzip und Brechungsgesetz. Abbildung 10: Huygenssches Prinzip und Brechungsgesetz. 9

10 r 1 Φ 1 y sin α 1 sin α = λ 1 λ s 1 α 1 r x α 1 s r Φ 3.5 Fermatsches Prinzip Abbildung 6.1: Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz. Abbildung 11: Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz. Die Reflexion und die Brechung kann man auf ein allgemeines Prinzip zurückführen, das sogenannte Fermatsche Prinzip. Demnach läuft eine Welle bei Reflexion und Brechung stets den Weg, bei der die Laufzeit einer Phasenfläche Φ zwischen zwei Punkten minimal wird (siehe Abb. 11). Die Zeit, welche eine Phasenfläche Φ 1 mit Mittelpunkt r 1 benötigt, um über den Punkt r = (0, y) auf der Trennfläche zum Mittelpunkt r einer Phasenfläche Φ zu gelangen, muss minimal sein. Für unser Beispiel bedeutet das: t = s 1 + s = 1 x 1 v 1 v v + (y y 1) + 1 x 1 v + (y y ) (4) Die Minimalbedingung bedeutet: Mit folgt wieder das Brechungsgesetz d t dy = 1 y y 1 v 1 x 1 + (y y 1 ) + 1 y y := 0 (5) v x + (y y ) sin α 1 = y 1 y s 1 und sin α = y y s (6) sin α 1 sin α = v 1 v (7) 10

11 y n 1 = 3 n = 1 α max 1 x Abbildung Abbildung 1: Brechung 6.1: Brechung und Totalreflexion und Totalreflexion beim Übergang beim Übergang vom optisch vom dichteren optischzum dichterenmedium. zum optisch Blaue Fläche: dünneren DasMedium. Licht trittblaue in dasfläche: optischdas dünnere LichtMedium tritt inein. dasgrüne Fläche: optisch Das Licht dünnere wird totalreflektiert! Medium ein. Grüne Fläche: Das Licht wird totalreflektiert! optisch dünneren 3.6 Totalreflexion Bei der Brechung von Licht wird der Brechungsindex n definiert: n = c > 1 (8) c i Dabei sind c und c i die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bzw. im Material i. Beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Medium (c > c 1, siehe Abb. 1) erhält man für sin α 1 > c 1 /c keine reelle Lösung mehr: In diesem Fall wird das Licht vollständig reflektiert. sin α = c c 1 sin α 1 > 1 (9) 3.7 Akustische Linsen Die Schallgeschwindigkeit in einem Gas ist gegeben durch: v = κ R T M (30) Dabei sind κ = C p /C V, R die allgemeine Gaskonstante und M die Molekularmasse des Gases. Es gilt demnach: v CO < v Luft < v H (31) Ein mit H gefüllter Gasballon wirkt somit defokussierend, ein mit CO gefüllter dagegen fokussierend (siehe Abb. 13 und Abb. 14). 11

12 Physik II, Prof. W. Fetscher, FS Luft H Abbildung 13: Defokussierende akustische Linse. Luft CO Abbildung6.1: 14: Fokussierende akustische Linse. 1