Verwandte Begriffe Huygens-Prinzip, Interferenz, Fraunhofer- und Fresnel-Beugung, Kohärenz, Laser.

Transkript

1 Verwandte Begriffe Huygens-Prinzip, Interferenz, Fraunhofer- und Fresnel-Beugung, Kohärenz, Laser. Prinzip Ein Einfachspalt, Mehrfachspalte mit gleicher Breite und gleichem Abstand zueinander sowie Gitter mit unterschiedlichen Gitterkonstanten werden mit Laserlicht beleuchtet. Die entsprechenden Beugungsbilder werden nach ihrer Lage und Intensität mit einer verschiebbaren Photodiode gemessen. Material 1 Laser, Helium-Neon, 1,0 mw Si-Fotodetektor mit Verstärker Control-Unit für Si-Fotodetektor Adapter BNC-Stecker/4 mm Sicherheitsbuchsen Optische Profilbank, l = 1500 mm Fuß für optische Profilbank, justierbar Reiter für optische Profilbank, h = 30 mm Verschiebeeinrichtung, horizontal Linsenhalter Scheibenhalter, 50 mm x 50 mm Linse in Fassung, f = + 20 mm Linse in Fassung, f = mm Blende mit 3 Einfachspalten Blende mit 4 Mehrfachspalten Gitter, 4 Striche/mm Gitter, 8 Striche/mm Gitter, 10 Striche/mm Gitter, 50 Striche/mm Digitalmultimeter Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, rot Verbindungsleitung, 32 A, 750 mm, blau Abb. 1: Versuchsaufbau zur Untersuchung der Beugungsintensität am Mehrfachspalt (Lage der Komponenten auf der optischen Bank: Laser = 2,5 cm; Linse mit f/20 mm = 14,5 cm; Linse mit f/100 mm = 27,5 mm; Beugungsobjekte = 33 cm; seitliche Einstellung/Kalibrierung des Reiters = cm). P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 1

2 Aufgaben 1. Bestimmung der Position des ersten Intensitätsmaximums eines Einfachspalts und Nutzung des Wertes zur Berechnung der Spaltbreite. 2. Bestimmung der Intensitätsverteilung der Beugungsbilder am Dreifach-, Vierfachund Fünffachspalt (alle Spalte haben die gleiche Breite und den gleichen Abstand zueinander). Deutung der Intensitätsbeziehungen der Maxima. 3. Bestimmung der Lage der Maxima mehrerer Beugungsordnungen k für Transmissionsgitter mit unterschiedlichen Gitterkonstanten s. Nutzung des ermittelten Werts zur Berechnung der Wellenlänge des Laserlichts. Aufbau und Durchführung Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 dargestellt. Mit Hilfe der Linsen mit f = 20 mm und f = 100 mm wird ein Laserstrahl erzeugt, der mittig auf die Fotozelle mit der Spaltblende treffen muss. Der Fotodetektor wird dazu mit aufgeschraubter Schlitzblende ungefähr in der Mitte seines Verschiebebereichs positioniert. Die Beugungsobjekte werden in den Objekthalter eingesetzt. Dabei muss sichergestellt werden, dass die zu untersuchenden Beugungsobjekte vertikal in den Objekthalter eingesetzt und gleichmäßig angestrahlt werden. Vorsicht: Niemals direkt auf einen nicht abgeschwächten Laser blicken! Der Laser und der Messverstärker sollten sich vor dem Beginn der Messung ca. 15 Minuten lang aufwärmen, um unerwünschte Intensitätsschwankungen zu vermeiden. Schließen Sie den Fotodetektor an den Eingang der Control-Unit. Die Werte für die Beugungsintensität am Mehrfachspalt werden bestimmt, indem man die Fotozelle in Schritten von 0,1 mm bis 0,2 mm verschiebt. Im Fall des Transmissionsgitters müssen die Positionen der Beugungsmaxima bestimmt werden, um die Wellenlänge des Laserlichts berechnen zu können. Im Fall des Transmissionsgitters mit 50 Strichen/mm liegen die Maxima außerhalb des Verschiebebereichs der Fotozelle, sodass hier die Lage der Beugungsreflexionen auf einem Blatt Papier markiert und ihre Abstände mit einem Lineal gemessen werden müssen. Theorie und Auswertung Ein optisches Gitter ist eine periodische Struktur aus N parallelen Einfachspalten zur Beugung von Licht. Die Gitterkonstante s gibt den Abstand zwischen den Spalten (von Mitte zu Mitte gemessen) und b die Breite eines einzelnen Spaltes an. Einfallendes Licht wird an den Strukturen, die in der Größenordnung der Wellenlänge der Strahlung liegt, gebeugt: Es entstehen huygenssche Elementarwellen. Wird eine Spaltbreite b gegen die Wellenlänge als klein betrachtet, so wird je Spalt nur eine Elementarwelle ausgesandt. Da die Spaltbreiten der Gitter in diesem Versuch jedoch groß gegen die Wellenlänge sind, kann diese Näherung nicht getroffen werden. Das Interferenzmuster von monochromatischem Licht der Wellenlänge hinter einem Gitter kann als Überlagerung der huygensschen Elementarwellen der einzelnen Spalte beschrieben werden. Der Gangunterschied d 1 der Randstrahlen eines Spaltes der Breite b ist d 1 =b sin(ϕ) 2 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

3 Dieser ergibt eine Phasendifferenz von δ 1 = 2π d 1 = 2 π b sin(ϕ) (1) Die Strahlen zweier Spalte besitzen einen Gangunterschied von d 2 =s sin (ϕ) mit s als Spaltabstand (Gitterkonstante). Daraus ergibt sich eine Phasendifferenz von δ 2 = 2π d 2 2 π s sin (ϕ) = (2) Bei N Strahlenbündeln, die zu einem Beobachtungspunkt unter dem Beugungswinkel ϕ abgelenkt werden, ergibt sich mit der Amplitude E ϕ eines gebeugten Strahlenbündels und geometrischen Überlegungen folgende Abhängigkeit der Intensität (die Intensität ist dem Quadrat der Feldstärke proportional): Ē 2 I ϕ ϕ sin 2 (N δ 2 /2) (3) sin 2 (δ 2 /2) 2 Dabei entspricht E ϕ aber der Intensität des Strahls, der vor einem einzelnen Spalt in Richtung ϕ gebeugt wird. Aus Berechnungen zum Einzelspalt folgt:: Ē ϕ 2 sin2 (δ 1 /2) (δ 1 /2) 2 (4) Die Beugungsintensität des gesamten Gitters erhält man durch Einsetzen der Gleichung (4) in Gl. (3): sin I ϕ ( 2 π b sin ϕ ) sin ( 2 N π ( π b s sin ϕ ) 2( sin δ 1 2 ) 2( sin N δ 2 sin ϕ ) 2 sin 2 ( π s sin ϕ = ) ( δ 1 2 ) 2( 2 ) sin δ (5) 2 2 ) Der erste Teil des Produkts aus (5) ist also die Intensitätsverteilung des Einzelspalts, der zweite Teil das Resultat des Zusammenwirkens von N Spalten. Dadurch wird ersichtlich, dass die Minima des einzelnen Spaltes auch bei dem Gitter erhalten bleiben, denn wenn der erste Faktor Null wird, so wird das Produkt ebenfalls Null. Gemäß Fraunhofer bezeichnet man die Minima und Maxima eines Einfachspalts als Interferenzen erster Klasse, während die Interaktion mehrerer Spalte zu Interferenzen zweiter Klasse führt. Bei der Beobachtung eines Einfachspalts (1. Faktor) ergibt sich ein Intensitätsminimum, wenn der Zähler aus Gl. (5) null wird. In diesem Fall gilt: sin ϕ h = h b (h=1,2,3,...) (6) Die Winkelpositionen der Maxima erster Klasse ergeben sich näherungsweise durch: sin ϕ h = 2h+1 2 b ; (h=1,2,3,...) (7) P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 3

4 Wenn mehrere Spalte zusammenwirken, bleiben die Minima der Einfachspalte immer bestehen. Zusätzliche Minima zweiter Klasse erscheinen, wenn der 2. Faktor ebenfalls null wird. Für einen Doppelspalt (N = 2) können die Nullpunkte nach Anwendung eines Additionstheorems auf den 2. Faktor aus Gl. (5) problemlos aus folgender sich ergebender Bestimmungsgleichung berechnet werden: Dieser Ausdruck wird null für 4cos 2 ( π ssin ϕ ) =0 (8) sin ϕ k = 2k+1 2 s ; (k=0,1,2,3,...) (9) Wie man an Gleichung (5) leicht sieht, oszilliert der zweite Term schneller, da s>b und mithin δ 2 >δ 1 und außerdem N > 1 ist (siehe Abb. 2). Für die Intensität I der Hauptmaxima zweiter Ordnung gilt darüber hinaus am Gitter, wie am 2. Faktor aus Gl. (5) erkennbar ist: I N 2 (10) Die Hauptmaxima zweiter Klasse werden mit höherer Spaltzahl daher deutlicher. Es gibt nach wie vor (N - 2) Nebenmaxima zweiter Klasse zwischen den Hauptmaxima. Wenn Licht an einem Beugungsgitter mit der Gitterkonstanten s gebeugt wird, erfüllt der Beugungswinkel φ der Hauptmaxima zweiter Klasse die folgende Bedingung: sin ϕ k = k s (k=1,2,3,...) (11) 4 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

5 Abb. 2: Die Beugungsintensität I als Funktion der Position x im Fall eines Dreifachspalts, b 1 = 0,1 mm und s = 0,25 mm. In Abb. 3 ist die Beugungsintensität I im Fall eines Dreifachspalts in Abhängigkeit von der Position x des Fotodetektors dargestellt (Abstand zwischen dem Beugungsobjekt und der Fotozelle L = 107 cm). Zu sehen sind fünf Hauptmaxima (0., ± 1. und ± 2. Ordnung) zweiter Klasse mit den N-2=1 dazwischenliegenden Nebenmaxima. Die Spaltbreite b äußert sich in der Einhüllenden die in der Abbildung an die Ordinate angepasst ist: Diese stellt das Maximum 0. Ordnung der ersten Klasse dar. Gemäß Gleichung (5) ist erkennbar, dass die Einhüllende (also die Interferenz 1. Klasse) das Interferenzmuster durch die Gitterperiodizität zu ansteigenden Ordnungen umso stärker dämpft, je breiter die Einzelspalte b sind. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 5

6 Die Spaltbreite b 1 = 0,097 mm erhält man aus (6), mit dem Abstand 2 x=14 mm zwischen den beiden Minima erster Ordnung der ersten Klasse, also der Einhüllenden ( sin ϕ tan ϕ, L=107 cm, =632,8 nm ). In Abb. 3 ist das Beugungsbild eines Vierfachspalts dargestellt. In diesem Fall beträgt die Anzahl der Nebenmaxima zweiter Klasse (N - 2) = 2. Auf die gleiche Weise ergibt die Beugung am Fünffachspalt (nicht abgebildet) (N - 2) = 3 Nebenmaxima zweiter Klasse. Abb. 3: Die Beugungsintensität I als Funktion der Position x im Fall eines Vierfachspalts mit b 1 = 0,1 mm und s = 0,25 mm In Tabelle 1 sind die Intensitätswerte der zentralen Maxima der Beugungsobjekte mit N = 3 bis N = 5 sowie die empirisch und nach Gleichung (10) bestimmten relativen Werte Tabelle 1: 6 PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved P

7 angegeben. In Abb. 4 sind die Abstände x zwischen dem Transmissionsmaximum (k = 0) und den Beugungsmaxima für vier unterschiedliche Transmissionsgitter bis zur dritten Ordnung (k = 3) in Abhängigkeit von der Gitterkonstanten s dargestellt. In Kombination mit (11) ergibt Abb. 4 = 635 nm als Mittelwert für die Wellenlänge des verwendeten Laserlichts. Abb. 4: Reziproker Abstand der Beugungsmaxima bis zur Beugung dritter Ordnung (k = 3) in Abhängigkeit der Gitterkonstanten. Trägt man die Gitterkonstanten gegen den reziproken Abstand der Beugungsmaxima auf, dann ergeben sich Geraden. P PHYWE Systeme GmbH & Co. KG All rights reserved 7