Beugung und Interferenz

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1 Beugung und Interferenz Christopher Bronner, Frank Essenberger Freie Universität Berlin 15. September 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Grundlagen 1 2 Aufgaben 3 3 Messprotokoll Geräte Allgemeine Parameter und Bemerkungen Messung Aufgabe 1: Kalibrierung Aufgabe 2: Einfachspalt Aufgabe 3: Doppelspalt Aufgabe 4: Gitter Aufgabe 5: Blenden Auswertung Aufgabe 1: Kalibrierung Aufgabe 2: Einfachspalt Aufgabe 3: Doppelspalt Aufgabe 4: Gitter Aufgabe 5: Blenden Ergebnis Diskussion 14 1 Physikalische Grundlagen Wir haben uns für Versuch A (Na-Lampe) entschieden. 1

2 Grundlage für die folgenden Versuche ist das Huygenssche Prinzip, nach dem jeder Punkt einer Welle wieder Ausgangspunkt einer neuen Welle mit gleicher Phase und Amplitude ist. Objekte, die sich im Strahlengang einer Lichtquelle befinden, erzeugen charakteristische Beugungsdiagramme. Mathematisch ist das Beugungsbild die Fourier-Transformation der Öffnung am Objekt. Die Fraunhofersche Beugung geht von ebenen einfallenden Wellen und einem unendlich entfernten Schirm aus, was eine starke Vereinfachung der mathematischen Behandlung darstellt. Da letzteres in der Praxis nicht realisierbar ist, verwendet man entweder Laserlicht, bei dem der Schirm einige Meter entfernt sein kann, was hier schon eine gute Nährung für Unendlich darstellt, oder man verwendet Sammellinsen, mit denen man Quelle und Aufpunkt ins Endliche holt. Einfachspalt. Nach dem Huygensschen Prinzip kann der Einfachspalt gedanklich in viele kleine Quellen zerlegt werden, die alle eine Elementarwelle aussenden, und deren Überlagerung für große Anzahl der Quellen das Beugungsbild ergibt. Das Beugungsbild, also die Intensitätsverteilung in Abhängigkeit des Winkels zur optischen Achse beträgt hier (b ist die Spaltbreite) ( I Sp (sinα) b 2 sin2 πb λ sin α) ( πb λ sin α) 2 (1) Die Funktion hat ihre Nullstellen bei sin α = λ b n, wobei n Z. Die Nebenmaxima liegen bei sin α = λ b (n ). Doppelspalt. Zunächst betrachtet man den idealen Doppelspalt, bei dem die Ausdehnung der Spalte gegenüber ihrem Abstand vernachlässigbar ist. ( ) πd I D = cos 2 λ sin α (2) Diese Funktion hat ihre Maxima bei sin α = λ d n und ihre Nullstellen bei sin α = λ d (n ) Darin ist d der Spaltabstand. Nun kombiniert man den idealen Doppelspalt mit der Formel für den Einfachspalt multiplikativ. I = I Sp I D ( (3) I b 2 sin2 πb ( ) λ sin α) πd ( πb λ sin α) 2 cos 2 λ sin α (4) Gitter. Da der Doppelspalt eigentlich nur ein Spezialfall eines Gitters ist, ist die Intensitätsverteilung und also das Beugungsbild dem des Doppelspaltes sehr ähnlich mit dem Unterschied, dass für ein Gitter Nter Ordnung die Breite der 2

3 Maxima proportional zu 1 N ist. Reflexion am Gitter. Abhängig vom Einfallswinkel reflektiert eine Oberfläche einen gewissen Anteil der Intensität und der Teil der transmittierten Lichtmenge verringert sich entsprechend. Für große Einfallswinkel (zum Lot gemessen) ist die reflektierte Intensität besonders hoch. Reflexion am Gitter mit Gitterkonstante d führt zu einem Beugungsbild, das dem eines Gitters mit der Gitterkonstante d sin ɛ entspricht (ɛ zur Oberfläche hin gemessen). Aus einer geometrischen Analyse erhält man die Bedingung für Maxima d[cos ɛ cos(ɛ + α)] = nλ (5) Helium-Neon-Laser. Im Wesentlichen geht es beim Laser darum, durch induzierte Emission beim Übergang zwischen zwei elektronischen Zuständen Lichtquanten möglichst hoher Kohärenz und enger Frequenzverteilung zu erhalten. In einer Gasentladungsröhre werden beim 4-Niveau-He-Ne-Laser He-Atome in ein 3s-Niveau angeregt, von wo sie mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit durch Stöße in energieähnliche Orbitale des Neon übergehen, von wo sie unter induzierter Emission von 632,8 nm Photonen ins 2p-Niveau des Neon fallen, von dort durch spontane Emission ins 1s übergehen und durch Stöße mit Wänden schließlich in den Grundzustand relaxieren. Die Gasentladungsröhre ist an einem Ende mit einem möglichst nicht durchlässigen Spiegel und am anderen Ende mit einem teildurchlässigen Spiegel versehen, sodass ein optischer Resonator zur Intensitätsverstärkung entsteht. 2 Aufgaben 1. Aufbau des Strahlenganges und Bestimmung des Abbildungsmaßstabes der mikroskopischen Abbildung. 2. Bestimmung der Spaltbreite des Einfachspaltes aus dem Bild des Spaltes und aus dem Fraunhoferschen Beugungsdiagramm. Vergleich und Diskussion der Ergebnisse. 3. Bestimmung der Spaltbreiten und des Spaltabstandes eines Doppelspaltes wie unter Aufgabe Bestimmung der Gitterkonstanten eines Beugungsgitters wie unter Aufgabe Untersuchung des Bildes des Gitters bei Ausblendung verschiedener Beugungsordnungen aus dem Beugungsdiagramm des Gitters (Bildfilterung). 3

4 3 Messprotokoll Tutor: Borucki Datum: 15. September 2006 Beginn: 15.00, Ende: Geräte Dreikanschiene 500 mm Lampennetzteil Na-Lampe Spalt, Spiegel, Objektskala, Doppelspalt, Gitter Vor-Spalt, verstellbar Kollimatorlinse f = 120 mm Objektivlinse f = 100 mm Blendenschieber Okular 3.2 Allgemeine Parameter und Bemerkungen Teilung der Objektskala: (10, 000 ± 0, 001) mm in 100 Teile Apparatur Nr. 5 Wellenlängen von Na-Licht: λ 1 = 589, 0 nm, λ 2 = 589, 6 nm 3.3 Messung Aufgabe 1: Kalibrierung Bestimmung des Vergrößerungsfaktors des Mikroskops bestehend aus der Objektivlinse und dem Okular im Bildpunkt der Objektivlinse. Dazu werden zwei Millimeterskalen, am Objekt und im Okular, miteinander verglichen und daraus ein Umrechnungsfaktor bestimmt. Objektskala / mm Okularskala / mm Anfang Ende Anfang Ende 4 6 3,25 8, ,22 8, ,24 8, ,26 8, ,26 8,92 Tabelle 1: Messung des Vergrößerungsfaktor 4

5 Bestimmung des Bildpunktes (Entfernung Objektivlinse - Okular) mit Maßband: l B = (54, 8 ± 0, 2) cm Aufgabe 2: Einfachspalt Ausmessen des Einfachspalts anhand seines Bildes mit Objektivlinse (l = l B ). Okularskala / mm (4,14) (4,90) (Spalt war schief) 5,36 6,16 5,36 6,17 5,37 6,20 5,36 6,19 Tabelle 2: Abmessen des Einzelspaltes Ausmessen des Einfachspaltes anhand des Beugungsmusters ohne Objektivlinse (l = l B ). Maximum Minimum Skalawert 0 5,77 0 5,72 0 6,09 1 7,41 1 7,31 1 7,27 2 8,46 2 8,36 2 8,45 3 9,56 3 9,46 3 9,46 1 7,82 1 7,83 1 7,81 2 8,92 2 9,00 2 8,97 Tabelle 3: Beugungsbild des Einzelspaltes Aufgabe 3: Doppelspalt Ausmessen des Doppelspalts anhand seines Bildes mit Objektivlinse (l = l B ). Spaltabstand d: 5

6 Okularskala / mm 5,37 6,12 5,43 6,20 5,44 6,20 Tabelle 4: Spaltabstand d Spaltbreite b: Okularskala / mm Spalt Anfang Ende 5,21 5,29 rechts 5,18 5,28 rechts 5,39 5,49 rechts 5,97 6,06 links 6,16 6,26 links 5,17 5,24 links Tabelle 5: Spaltbreite b Ausmessen des Doppelspaltes anhand seines Beugungsbildes. Einhüllende zur Bestimmung der Spaltbreite b (l = (9, 6 ± 0, 2) cm): Okularskala / mm Maximum 5,21 0 5,13 0 7,73 1 l 7,71 1 l 9,16 2 l 9,24 2 l 2,70 1 r 2,74 1 r 1,01 2 r 1,06 2 r Tabelle 6: Einhüllende des Doppelsplates Feinstruktur zu Bestimmung des Spaltabstandes d (l = l B ): 6

7 Okularskala / mm Maximum 1,64 0 2,89 1 4,12 2 5,33 3 6,62 4 7,90 5 9,19 6 Tabelle 7: Feinstruktur des Doppelspaltes Aufgabe 4: Gitter Messung der Gitterkonstanten aus dem Bild des Gitters mit Objektivlinse (l = l B ). Okularskala / mm Anzahl Spalte 1,18 12, ,37 11,35 28 Tabelle 8: Gitterkonstante Messung der Gitterkonstanten aus dem Beugungsbild ohne Objektivlinse (l = (51, 0 ± 0, 2) cm). Maximum Okularskala / mm 0 1,34 1 3,68 2 6,19 3 8, ,72 Tabelle 9: Beugungsbild des Gitters 7

8 3.3.5 Aufgabe 5: Blenden Blende# 4 Auswertung Beobachtung 1 Keine Änderung 2 Fehlen des Hauptmaximums 3 Nur das Hauptmaximum sichtbar 4 Keine Änderung 5 Maximaabstände halbiert 6 Maximaabstände geviertelt Tabelle 10: Blenden 4.1 Aufgabe 1: Kalibrierung Aus dem Vergleich der abgelesenen Längen an der Objektskala und der Okularskala wird der Vergrößerungsfaktor γ bestimmt: s Okular = γ s Objekt (6) Der Fehler der Objektskala (s. S. 4) ist gegenüber dem Ablesefehler an der Okularskala zu vernachlässigen, welcher sich hauptsächlich aus der unscharfen Linie im Okular ergibt und evtl. aus dem Spiel der Mikrometerschraube. Der Ablesefehler wird als statistisch angenommen und durch Varianz abgeschätzt. s Okular = (si s) 2 n = 0, 006 mm (7) a Objekt /mm b Objekt /mm s Objekt /mm a Okular /mm b Okular /mm s Okular /mm ,25 8,92 5, ,22 8,90 5, ,24 8,91 5, ,26 8,93 5, ,26 8,92 5,66 Mittelwert: 2 5, 67 ± 0, 01 Tabelle 11: Vergrößerungsfaktor Daraus ergibt sich als Vergrößerungsfaktor: γ = 2, 835 ± 0, 005 (8) 8

9 4.2 Aufgabe 2: Einfachspalt Zur direkten Bestimmung mit der Objektivlinse werden einfach die Differenzen der Anfangs- und Endwerte genommen, der Fehler wieder aus der Varianz abgeschätzt und anschließend durch γ geteilt. a Okular /mm b Okular /mm s Okular /mm 5,36 6,16 0,80 5,36 6,17 0,81 5,37 6,20 0,83 5,36 6,19 0,83 Mittelwert: 0, 82 ± 0, 02 Tabelle 12: Einzelspaltbreite direkt gemessen Es ergibt sich also als Spaltbreite b E = (0, 29 ± 0, 01) mm. Um die Einzelspaltbreite aus dem Beugungsmuster zu bestimmen, benutzen wir die Gleichungen aus Abs. 1, aus denen sich folgende Zusammenhänge für die zwei Fälle von Maxima und Minima ergeben. b E,Maxima = b E,Minima = λ x x 2 +l 2 (n ) (9) λ x x2 +l 2 n (10) Das darin vorkommende x bezeichnet die Differenz der Skalenwerte vom n- ten Maximum oder Minimum zum 0. Maximum, also der optischen Achse. Die Position der optischen Achse x 0 ergibt sich einfach aus dem Mittelwert der drei gemessenen Werte zu x 0 = 5, 86 mm. Für die Wellenlänge wird ebenfalls über die beiden sehr nahe beieinander liegenden Linien gemittelt: λ = 589, 3 nm. Wie im Messprotokoll vermerkt, war bei diesem konkreten Versuchsteil l = 54, 8 cm. Der Fehler für b E ergibt sich aus der Varianz der 15 Messwerte nach einer zu Gl. (7) analogen Formel. 9

10 Art n s/mm x = s x 0 /mm b E /mm Minimum 1 7,41 1,55 0,21 1 7,31 1,45 0,22 1 7,27 1,41 0,23 2 8,46 2,60 0,25 2 8,36 2,50 0,26 2 8,45 2,59 0,25 3 9,56 3,70 0,26 3 9,46 3,60 0,27 3 9,46 3,60 0,27 Maximum 1 7,82 1,96 0,25 1 7,83 1,97 0,25 1 7,81 1,95 0,25 2 8,92 3,06 0,26 2 9,00 3,14 0,26 2 8,97 3,11 0,26 Tabelle 13: Einzelspaltbreite aus Beugungsbild Aus Mittelwertbildung und Varianz ergibt sich die Spaltbreite b E = (0, 26 ± 0, 02) mm. Die beiden ermittelten Werte für den Spaltabstand sind im Rahmen der Fehlerintervalle als gleich zu bezeichnen. 4.3 Aufgabe 3: Doppelspalt Zunächst wurde der Doppelspalt wieder anhand seines Bildes direkt vermessen. Die im Okular abgelesenen Abstände sind wieder durch den Vergrößerungsfaktor γ zu teilen, da eine Objektivlinse im Strahlengang war. a Okular /mm b Okular /mm d/mm 5,37 6,12 0,75 5,43 6,20 0,77 5,44 6,20 0,76 Mittelwert: 0, 76 ± 0, 01 Tabelle 14: Doppelspalt direkt vermessen Der Spaltabstand d ergibt sich einfach aus der Mittelung (Fehler: Varianz) über die drei Differenzen der entsprechenden Messwerte: d = (0, 27 ± 0, 01) mm. Die Bestimmung der Spaltbreiten verläuft analog. Auch hier muss durch den Faktor γ geteilt werden. Für den rechten Spalt ergibt sich b r = (0, 03 ± 0, 01) mm, für den linken b l = (0, 03 ± 0, 02) mm. Unter der Annahme, daß beide Spalten gleich weit sind, ergibt sich aus den sechs Messwertepaaren b D = (0, 03 ± 0, 01) mm. 10

11 a/mm b/mm d/mm 5,21 5,29 0,08 5,18 5,28 0,10 5,39 5,49 0,10 Tabelle 15: links a/mm b/mm d/mm 5,97 6,06 0,09 6,16 6,26 0,10 5,17 5,24 0,07 Tabelle 16: rechts Zum Vermessen des Doppelspaltes aus dem Beugungsbild wurde zur Bestimmung des Spaltabstandes die Feinstruktur vermessen und zur Bestimmung der Spaltbreite (als gleich für beide Spalte angenommen) die Einhüllende. Dazu wurde das Okular an zwei verschiedenen Positionen aufgesteckt. Die Einhüllende wurde aus einer Distanz von l = (9, 6 ± 0, 2) cm vom Objekt gemessen. Zur Auswertung gehen wir analog zu Aufg. 2 vor. Die optische Achse wird zunächst auf den Mittelwert der beiden Werte für das 0. Maximum festgelegt: x 0 = 5, 17 mm. Den Wert für die Spaltbreite erhält man analog Gl. (11), den Fehler aus Varianz analog Gl. (7). Minimum s/mm x = s x o /mm b D /mm 1 links 7,73 2,56 0,03 1 links 7,71 2,54 0,03 2 links 9,16 3,99 0,04 2 links 9,34 4,17 0,03 1 rechts 2,70 2,47 0,03 1 rechts 2,74 2,43 0,03 2 rechts 1,01 4,16 0,03 2 rechts 1,06 4,11 0,03 Tabelle 17: Spaltbreite Doppelspalt Aus Mittelwert und Varianz ergibt sich ein Wert von b D = (0, 03±0, 01) mm. Die Feinstruktur wurde wegen der besseren Vergrößerung wieder im ursprünglichen Abstand l = (54, 8±0, 2) cm auf ähnliche Art gemessen. Bei der für die Feinstruktur verantwortlichen Funktion sind allerdings die Bedingungen für Maxima und Minima im Vergleich mit Gln. (11,12) vertauscht, also berechnet sie der Spaltabstand zu: d Maxima = λ x x2 +l 2 n (11) 11

12 Leider konnten wir hier wegen der fortgeschrittenen Zeit nur noch jeweils einen Messwert aufnehmen und so ergibt sich auch der Nullpunkt x 0 = 1, 64 mm aus nur einer Messung. Maximum s/mm x = s x 0 /mm d/mm 1 2,89 1,25 0,26 2 4,12 2,48 0,26 3 5,33 3,69 0,26 4 6,62 4,98 0,26 5 7,90 6,26 0,26 6 9,19 7,55 0,26 Tabelle 18: Spaltabstand Doppelsplat Aus Mittelwertbildung und Varianz ergibt sich für den Spaltabstand d = (0, 26 ± 0, 01) mm. Die Werte für den Spaltabstand und die Spaltbreite aus den beiden Messungen stimmen im Rahmen der Fehler jeweils überein. 4.4 Aufgabe 4: Gitter Zur Bestimmung der Gitterkonstanten aus dem Bild des Gitters mit Objektivlinse muss nur die gemessene Differenz von Anfangs- und Endpunkt im Okular durch die Zahl der überstrichenen Spalte geteilt werden. Um mehrere Messungen auszuwerten, bildet man den Mittelwert und die Varianz (als Fehler) der verschiedenen Gitterkonstanten. Leider hatten wir nur noch genug Zeit für zwei Messungen, die aber glücklicherweise fast völlig übereinstimmen. a/mm b/mm n d Okular /mm 1,18 12, ,39 0,37 11, ,39 Tabelle 19: Gitterkonstante Teilt man nun noch durch den Faktor γ, erhält man die Gitterkonstante d = (0, 14 ± 0, 01) mm. Zur Bestimmung der Gitterkonstanten aus dem Beugungsbild geht man Ähnlich wie bei der Bestimmung des Spaltabstandes beim Doppelspalt vor. Der Zusammenhang zwischen Gitterkonstante d und den Messergebnissen ist genau wie Gl. (13). Bei dieser Messung war l = (51, 0 ± 0, 2) cm und die Position der optischen Achse ergibt sich direkt aus der Messung zu x 0 = 1, 34 mm. Leider hatten wir auch hier nicht mehr genug Zeit, mehr Messungen aufzunehmen, wodurch das Ergebnis sicherlich verlässlicher wäre. 12

13 Maximum s/mm x = s x 0 /mm d/mm 1 3,68 2,34 0,13 2 6,19 4,85 0,12 3 8,64 7,30 0, ,72 9,38 0,13 Tabelle 20: Gitterkonstante aus dem Beugungsbild Gemittelt und mit Varianz ergibt sich die Gitterkonstante zu d = (0, 13 ± 0, 01) mm, was mit der obigen Bestimmung im Rahmen der Fehler als gleich anzusehen ist. 4.5 Aufgabe 5: Blenden Blende 1. Da dort eigentlich garnichts im Strahlengang ist, ist die Tatsache, dass sich das Bild nicht verändert, nicht weiter erstaunlich und bedarf keiner Erläuterung. Blende 2. Diese Blende verdeckt das Hauptmaximum, ansonsten ist das Bild jedoch unverändert, da die anderen Lichtstrahlen ungehindert an dem Steg in der Blende vorbeilaufen können. Blende 3. Hier wird nur das Maximum 0. Ordnung durch die Blende gelassen, was zu einer homogenen Intensitätsverteilung führt, da der Ort in der Ebene des Gitters der durchtretenden Photonen durch den Spalt eindeutig bestimmt ist und somit wegen der Komplementarität von Interferenz und Welcher-Weg- Information keine Interferenz mehr auftauchen kann. Blende 4. Bei dieser Blende werden nur das 0. und das 1. Maximum durchgelassen. Das Bild im Okular ist das gleiche wie das bei der ersten Blende. Blende 5. Hier werden die Maxima der Ordnung 0, +1 und -1 hindurchgelassen, das Bild entspricht dem der ersten Blende, wobei die Maximaabstände etwa halbiert sind. Blende 6. Diese Blende lässt die Maxima der Ordnung 0, 2 und 4 durch und zeigt ebenfalls das Bild der allerersten Blende, jedoch diesmal mit etwa geviertelten Maximaabständen. 4.6 Ergebnis Als Vergrößerungsfaktor für den Schirm abstand l = (54, 8±0, 2) cm ergibt sich γ = 2, 835 ± 0, 005. Für zwei Ergebnisse für die gleiche Größe mit unterschiedlichen Fehlern erhält man durch gewichtete Mittelung einen aussagekräftigen Mittelwert: x = xi x 2 i 1 x 2 i (12) 13

14 x = 1 1 x 2 i (13) Spaltbreite des Einzelspaltes: b E = (0, 28 ± 0, 01) mm Spaltbreite des Doppelspaltes: b D = (0, 03 ± 0, 01) mm Spaltabstand des Doppelspaltes: d = (0, 27 ± 0, 01) mm Gitterkonstante: d G = (0, 14 ± 0, 01) mm 5 Diskussion Bei dem Versuch war es schwierig, die Linie im Okular präzise auf ein Maximum, ein Minimum oder auf Ränder im direkten Bild zu setzen, da dieser Cursor wie auch die Maxima und Minima eine gewisse Ausdehnung besaßen. Man konnte also nicht mit letzter Sicherheit immer die Mitte eines Objekts einstellen. Außerem kann davon ausgegangen werden, daß die Mikrometerschraube ein wenig Spiel hat, was wir dadurch auszugleich versuchten, dass wir den Cursor immer von der gleichen Seite heranfuhren. Der Fehler, den man beim Einstellen dadurch macht, dass man nicht direkt die Mitte der Intensitätsverteilung trifft, kann als statistisch angesehen werden, weshalb bei ausreichender Zahl von Messwerten der Fehler durch eine Mittelung und anschließende Varianzrechnung verringert werden kann. Leider konnten wir wegen unseres Zeitverzuges nicht bei allen Messungen ausreichend viele Messwerte aufnehmen, sodass manchmal nur über zwei Werte gemittelt werden konnte. Ein ebenfalls störender Faktor war, dass der Abstand vom Objekt zum Okular nur bedingt genau gemessen werden konnte, da beide in Rahmen eingespannt waren und wir das Maßband aussen anlegen mussten, weshalb wir für diese Messung immer pauschal einen Ablesefehler von 0,2 mm einkalkuliert haben. Alles in Allem scheint die Messung jedoch gute Ergebnisse geliefert zu haben, da wir aus den jeweils unterschiedlichen Messmethoden immer konsistente und vernünftige Ergebnisse erhalten haben. 14