Beugung an Spalt und Gitter

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1 INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften Universität Hamburg, Jungiusstraße 11 Beugung an Spalt und Gitter 1 Grundlagen Licht ist eine elektromagnetische Welle, besteht aus elektrischen und magnetischen Feldern, die sich periodisch in Raum und Zeit ausbreiten (vergleichbar den Wellenbergen und tälern einer mechanischen Welle). Wir betrachten hier die elektrische Feldstärke E (vergleichbar der Auslenkung einer mechanischen Welle) x E E0 sin t (1) in Ausbreitungsrichtung x mit der Frequenz und der Wellenlänge zur Zeit t. Für das menschliche Auge ist nur die Intensität des Lichts bedeutsam, die proportional zum Quadrat der jeweiligen elektrischen Feldstärke der Lichtwelle ist: I E. () Licht Grundlegend unterscheidet man zwischen ebenen Wellen, bei denen die so genannten Wellenfronten (Flächen gleicher elektrischer Feldstärke) des Lichts als ebene Flächen im Raum fortschreiten, und Elementarwellen, bei denen sich die Lichtwelle von einem Punkt aus in Vorwärtsrichtung ausbreitet und die Wellenfronten Kugeloberflächen sind, siehe Abb. 1. E ebene Welle P (Photodiode) X x E Elementarwelle Wellenfronten r r 0 x x 1 d x x Abbildung 1: Wellenfronten einer ebenen Lichtwelle und einer Kugelwelle Abbildung : Strahlengeometrie beim Einzelspalt Wollen wir für eine bekannte Wellenfront berechnen, wie se zu einer späteren Zeit an einem anderen Ort aussieht, so müssen wir das Huygens sche Prinzip anwenden: 1. Jeder Punkt der bekannten Wellenfront sendet Elementarwellen aus.. Die Überlagerung (Addition der Feldstärken) aller dieser Elementarwellen am Ort der Betrachtung ergibt die Feldstärke der Lichtwelle dort. In diesem Versuch soll durch Beugung am Spalt, Doppelspalt und Gitter gezeigt werden, welche Auswirkungen die Wellennatur des Lichts mit sich bringt

2 Beugung am Einzelspalt Trifft eine Welle auf Öffnung geringerer Größe in einer sonst überall undurchlässigen Fläche (Spalt, Kreisblende), dann folgt die Intensitätsverteilung dahinter nicht mehr dem Schattenriss dieser Öffnung, sondern es entsteht dort eine so genannte Beugungsfigur. Relativ einfach lassen sich solche Beugungserscheinungen erklären, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind (man spricht dann von Fraunhoferscher Beugung): Eine ebene Welle fällt auf den Spalt. Die Betrachtung findet in einer Entfernung r 0» d (d = Spaltbreite) statt. Die Berechnung des Beugungsmusters lässt sich wie folgt verstehen (Abb. ): Elementarwellen mit unterschiedlichen Startpunkten x i im Spalt haben beim Beobachter P einen Gangunterschied = (x i x ) sin, wenn den Winkel von der optischen Achse zum Betrachter bezeichnet. Um das Wellenfeld beim Betrachter zu erhalten, müssen wir nun alle Elementarwellen aus dem Spalt am Betrachtungsort überlagern. Für die Intensität erhalten wir dann mathematisch d sin sin I S I 0, (3) d sin wenn I 0 die Intensität bei = 0 bezeichnet. Es ergibt sich ein dominierendes Maximum bei = 0. Für Winkel min mit sin min m, m 1,,... (4) d finden wir I S = 0, also Auslöschung. Die Elementarwellen von den beiden Spaltenden haben dann einen Gangunterschied = dsin = m. Man nennt m die Ordnung der Beugung. In Abb. 3 erkennt man am Beispiel des Minimums erster Ordnung, wie es zur Auslöschung kommt: für jede Welle aus dem Lichtbündel (a) findet sich eine Welle in dem Lichtbündel (b), so dass beide zusammen Null sind. Drei sich auslöschende Wellenpaare sind exemplarisch eingezeichnet. Dagegen finden wir Maxima der Intensität in guter Näherung für Winkel max mit 0 m 0 1 sin max ( m ) d m 1,, 3,... (5) 1 ( m ) / d m 1,, 3,... wenn die größtmögliche Anzahl Elementarwellen unausgelöscht auf dem Schirm bleibt. In Abb. 4 finden sich die Intensitätsverteilung bei Beugung und Spalt, die so genannte Beugungsfigur, in Abhängigkeit von. Sie besteht aus Streifen wechselnder Helligkeit parallel zum Spalt, wobei der zentrale Streifen bei = 0 bei weitem dominiert. In den Seitenstreifen nimmt die Intensität mit schnell ab. Die Intensität unter den Winkeln max beträgt I 0 I max. (6) m 1 - -

3 a 3 1 b 3 Abbildung 3: Interferenz der Wellenzüge am Spalt Intensität 10-fach vergrößert d sin Abbildung 4: Intensitätsverteilung I S bei Einzelspaltbeugung

4 3 Beugung am Gitter mit N Spalten Bei der Beugung am Gitter haben wir die Elementarwellen aus allen N beleuchteten Gitterspalten zur Überlagerung zu bringen (Abb. 5). Wir betrachten zunächst den Gangunterschied von Elementarwellen mit gleich gelegenem Ausgangspunkt in verschiedenen Spalten mit = Dsin, dabei ist D die Gitterkonstante. Die Intensität ergibt sich in diesem Fall zu N D sin sin I G I S. (7) D sin sin Auslöschung finden wir nun für Winkel min mit sin min, 1,,..., (8) N D außer wenn /N eine ganze Zahl ist (der Nenner von I G also ebenfalls Null wird). Dann finden wir dominierende Maxima (Hauptmaxima) mit sin max m, m 1,,.... (9) D Elementarwellen gleichen Ausgangspunktes in verschiedenen Spalten haben dann einen Gangunterschied = m und überlagern sich verstärkend (konstruktiv). Zwischen den Hauptmaxima von Gleichung (9) liegen nun jeweils (N ) so genannte Nebenmaxima, deren Höhe relativ zu den Hauptmaxima mit zunehmendem N rasch abnimmt. Das so erhaltene Beugungsmuster wird jedoch noch multipliziert mit dem Intensitätsmuster I S des Einzelspalts, da ein Gitter aus vielen einzelnen Spalten besteht. Wenn sich Elementarwellen aus einem Spalt bereits auslöschen, können viele Spalte daran nichts ändern. So ergibt sich das Beugungsmuster des Gitters wie in Abb. 6 mit I S, dem Intensitätsmuster aus Abb. 4, als Einhüllender. Intensität d I G I S D D sin Abbildung 5: Geometrie beim Beugungsgitter Abbildung 6: Intensitätsmuster bei Gitterbeugung. Hier N = 5 Spalte 4

5 4 Anwendungen Wegen der Abhängigkeit der Lage der Maxima von lässt sich Licht aus einem Gemisch verschiedener Wellenlängen mit Hilfe eines Gitters spektral zerlegen. Von dieser Eigenschaft wird in so genannten Gitterspektrometern Gebrauch gemacht. Dabei nimmt das Auflösungsvermögen (die Trennschärfe) eines Gitters proportional zur Anzahl der beleuchteten Spalte N zu. Zur Klärung weiterer Fragen zu der hier kurz umrissenden Wellenoptik lesen Sie bitte in Lehrbüchern der Physik bzw. Optik nach (z.b. Hering, Martin, Stohrer, Physik für Ingenieure; Gerthsen, Kneser, Vogel, Physik; Walcher, Praktikum der Physik). Einzelspalt d = 0, mm Einzelspalt d = 0,05 mm Mehrfachspalte d = 0,05 mm D = 0,1 mm 5 Versuchsdurchführung Abbildung 7: Maske mit den Beugungsspalten 5.1 Aufbau ACHTUNG! Niemals in den Laserstrahl hinein blicken! Zerstörung der Netzhaut! Keine metallischen Gegenstände in den Laserstrahl halten, die zu unkontrollierten, für das Auge gefährlichen Reflexen womöglich in das Auge des Nachbarn führen könnten. Nicht hinsetzen, da sonst der Laserstrahl in Augenhöhe liegt! Uhren und metallischen Handschmuck ablegen! Als Lichtquelle dient ein Helium-Neon-Laser mit mw Leistung (= 63,8 nm). Die Maske mit den verschiedenen Beugungsspalten wird so im Strahl justiert, dass der reflektierte Teil des Laserstrahls auf die Öffnung des Lasers zurückfällt (senkrechter Einfall). Die Beugungsbilder werden mit einer senkrecht zur optischen Achse verschiebbaren Photodiode ausgemessen. Sie liefert einen zur Lichtintensität I L proportionalen Photostrom I P, (Achtung: I L und I P haben nicht die gleiche Einheit!) der an einem 00 -Widerstand gemäß dem Ohmschen Gesetz U = RI P eine Spannung erzeugt. Die Spannung wird mit einem Digitalmultimeter abgelesen und ist damit ebenfalls proportional zu I L. Laser muss 0 Minuten vor der Messung warm laufen, um ein konstantes Verhalten zu liefern. 5

6 5. Aufgaben Notieren Sie den Abstand r 0 vom Spalt zum Beobachter (Pfeilmarkierung auf der Photodiode) bei = 0 für die spätere Berechnung der Ablenkung = arctan (X/r 0 ). X bezeichnet den Abstand der Photodiode von der optischen Achse (siehe Abb. ). a) Messen Sie für den Einzelspalt mit der Breite 0, mm die Lage einiger Minima sowie Lage und Intensität einiger Maxima. Achten Sie darauf, dass die Verschiebung der Photodiode senkrecht zur optischen Achse erfolgt. Stellen Sie sicher, dass Sie bei Ihrer Messung das Maximum 0. Ordnung mit aufnehmen sowie Minima und Maxima auf beiden Seiten der 0. Ordnung in Ihrer Intensitätsverteilung vorliegen! Zudem ist die Wahl einer kleinen Schrittweite sehr wichtig, um bei der Datenaufnahme Minima und Maxima nicht zu übersehen. b) Betrachten Sie nacheinander die Beugungsbilder des Doppel-, Dreifach- und Vierfachspalts auf einem weiter entfernten Schirm hinter der Photodiode. Notieren Sie die Abfolge von Haupt- und Nebenmaxima in einer Skizze. Beschreiben und vergleichen Sie die Bilder qualitativ. Für ein Gitter mit N Spalten werden (N ) Nebenmaxima erwartet. Zählen Sie die Nebenmaxima. c) Vermessen Sie mit der Fotodiode die Lage und Intensität der Haupt- und Nebenmaxima des Beugungsbildes des Vierfachspalts bis zum. sichtbaren Hauptmaximum, ferner die restlichen beobachtbaren Hauptmaxima. 5.3 Auswertung a) Notieren Sie für beide Einzelspalte die in 5. a) vermessenen Maxima und Minima in einer Tabelle. Berechnen Sie die Winkel min und max und daraus die Wellenlänge des Lasers. Bilden Sie den Mittelwert aller und geben sie, wenn möglich, den statistischen Fehler des Mittelwerts an. Vergleichen Sie mit dem richtigen Wert und suchen Sie Fehlerursachen. Vergleichen Sie die gemessenen Intensitätswerte der Maxima mit der Theorie, indem Sie in Gleichung (6) die passenden Werte für m einsetzen. Die Intensität im Hauptmaximum bei = 0 o entspricht dann I 0. Wie beurteilen Sie Ihre Meßwerte? Diskutieren Sie, wie das Beugungsbild für sehr breite (d > 1 mm) bzw. sehr schmale Spalte (d ) aussähe. Der letztere Fall dient bei kreisförmiger Blende (pinhole) der Aufweitung eines Laserstrahls zu einem breiten, einfarbigen (monochromatischen) Lichtfeld z.b. für die Holographie. b) Die Intensitätsverteilung des schmalen Spalts d = 0,05 mm soll zusammen mit der Intensitätsverteilung des Vierfachspalts d = 0,05 mm/ D = 0,1 mm in ein Diagramm eingetragen werden, ähnlich der Abbildung 6. Zeichnen Sie also das Beugungsbild des Einfachspalts und die Intensitätswerte des Vierfachspalts in einen (I/I 0 ) über (D/ sin)-graphen. c) Erklären Sie anhand des Graphen aus 5.3 b), wie sich der Umstand auswirkt, dass bei den verwendeten Masken die Gitterkonstante D genau doppelt so groß ist, wie die Spaltbreite d. Wie können Sie die beobachteten Beugungsbilder der Mehrfachspalte mit der Theorie in Einklang bringen, die (N ) Nebenmaxima vorhersagt? Markieren Sie in den skizzierten Beugungsfiguren, an welchen Stellen Nebenmaxima sichtbar wären, wenn die Spalte viel schmaler wären. Hilfestellung zu 5.3 b) und c): Das verlangte Diagramm der Beugungsfiguren kann unter Benutzung der Formeln (3) und (7) erzeugt werden: Indem man Dsin/ := x setzt, erhält man ein Diagramm wie in Abb. 6, indem man die Funktionen 1 sin( x) sin( N x) IG ( N,, x) (10) N x sin( x) und Normierung auf 1 Spaltanteil Gitteranteil der Beugung der Beugung Gesamtbeugungsbild des Gitters 6

7 sin( x) I(,x) S (11) x zusammen in einem Diagramm gegen die x-achse aufträgt, wobei x = (Dsin )/. Hierbei ist N die Anzahl der beleuchteten Spalte im Gitter und = d/d das Verhältnis von Spaltbreite zu Gitterkonstante. Sowohl I S als auch I G sind auf 1 normiert, d.h. I S (,0) = I G (N,,0) = 1. Durch Benutzung eines programmierbaren Taschenrechners lassen sich Wertetabellen für (10) und (11) erzeugen, mit denen man dann auf Millimeterpapier ein Diagramm wie Abb. 6 zeichnen kann;. x- Werte an den Stellen der Hauptmaxima und x = 0 führen bei numerischen Rechnern zu Fehlermeldungen (warum?), vermeiden sie diese Werte also. Bequemer geht dies mit Computerprogrammen wie Maple, MathLab, MathCAD, Mathematica, wo man die Funktionen (10) und (11) direkt definiert und sich deren Verlauf dann in einem frei wählbaren Wertebereich anzeigen läßt. Auch gilt zumindest bei Mathermatica keine Beschränkung bei der Wahl der x-werte. Tipp: 5.3 c) lässt sich relativ einfach bearbeiten, wenn man zusätzlich nur den Gitteranteil der Beugung in (10) zusammen mit der Normierung auf 1 in ein separates Diagramm einträgt und dann mit dem anderen Diagramm vergleicht. Beispiel: 5-fach Spalt mit = ¼, erzeugt mit dem Mathematica-Notebook (siehe unten) Gitteranteil der Beugung 7

8 Ein Breitenverhältnis von ¼ von Spaltbreite zu Gitterkonstante führt also dazu, dass im Beugungsbild jedes vierte Hauptmaximum von den Nullstellen des Spaltanteils der Beugung ausgelöscht wird. Hinweis: Man trägt das Beugungsbild gegen (D/)sin() und nicht gegen X selbst auf, weil dann die Hauptmaxima bei ganzen Zahlen auftreten, die der jeweiligen Beugungsordnung entsprechen. Mit Mathematica können die obigen Diagramme mit nur wenigen Befehlen erzeugt werden. Eine entsprechende Notebook-Datei (Dateiendung nb) mit den Befehlen können sie von der Praktikumsseite im Internet herunterladen. Sie lässt sich problemlos für den Vierfachspalt (N=4) mit = ½ abändern oder auch problemlos in MatLab oder Maple übersetzt werden. Zu beachten: Das Notebook in Mathematica einladen und evaluieren (Befehl evaluate Notebook ). Zur Erstellung des geforderten Diagramms ist im entsprechenden Plotbefehl nur noch für der korrekte Wert einzusetzen. In Mathematica wird eine Eingabe mit der Taste <Enter> auf dem Ziffernblock abgeschlossen. Ein <Return> erzeugt lediglich einen Zeilenumbruch in einer mehrzeiligen Eingabe. Spielen sie ruhig einmal etwas mit den Parametern im Befehl Plot herum, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie sich Änderungen der Parameter auswirken. Die Größe der Diagramme lässt sich leicht durch anfassen mit der Maus ändern. Sind sie schließlich mit den Diagrammen zufrieden, können sie diese exportieren indem sie mit einem Rechtsklick auf das Diagramm das Kontextmenü öffnen und dort den Befehl zum Speichern als Grafik auswählen. 6 Kontrollfragen Diese Fragen dienen einerseits zur Selbstkontrolle, können andererseits aber durchaus bei der Besprechung des Versuchs gestellt werden: (1) Woraus besteht eine Lichtwelle physikalisch gesehen? () Kann man mit dem Auge eine Lichtwelle sehen oder nimmt man etwas anderes wahr? (3) Benötigt Licht, ebenso wie mechanische Wellen (z.b. Wasserwellen, Schallwellen), immer ein Medium, um sich ausbreiten zu können? (4) Was versteht man unter einer Wellenfront und wie lässt sich hiermit der Unterschied zwischen einer ebenen und einer Elementarwelle erklären? (5) Erklären sie das Huygens sche Prinzip. Wie erklärt man hiermit das Phänomen der Lichtbeugung an einem schmalen Spalt? Was versteht man unter Gangunterschied? (6) Was muss erfüllt sein, damit der Grenzfall der Fraunhoferbeugung erfüllt ist? Zeichnen sie für diesen Fall qualitativ das Beugungsbild eines Einzelspaltes. Was versteht man unter Beugungsmaxima bzw. Beugungsminima? (7) Wie kann man sich aus der Formel (3) für das Beugungsbild eines Spalts die Bedingungen (4), (5) für das Auftreten von Beugungsmaxima und Beugungsminima herleiten? (8) Wie kann man sich anschaulich und ähnlich wie beim Einzelspalt die Lichtbeugung an mehreren parallel nebeneinander im Abstand D angeordneten und beleuchteten Spalten gleichen Breite d (:= Beugungsgitter) erklären? Hat hierbei die Beugung am einzelnen Spalt einen Einfluß auf das Beugungsbild des gesamten Gitters? (9) Bei der Gitterbeugung tauchen im Beugungsbild große Hauptmaxima und deutlich kleinere Nebenmaxima auf. Wie hängt die Anzahl der Nebenmaxima zwischen je zwei Hauptmaxima von der Zahl der beleuchteten Spalte im Gitter ab? 7 Versuchsvorbereitung Dies sind Vorschläge zu sinnvollen Vorarbeiten, die im Rahmen der Vorbereitung vor Versuchsbeginn erledigt werden können: Studieren sie die Versuchsanleitung gründlich, damit sie wissen, welche Messreihen sie durchführen sollen. 8

9 Entnehmen sie der Versuchsanleitung welche Diagramme anzufertigen sind und überlegen sie sich anhand des theoretischen Teils, welche Kurvenverläufe durch die im Diagramm eingetragenen Messwerte sinnvoll sind. Achten sie auf eine korrekte Fehleranalyse. Studieren sie hierzu das zusätzliche Skript Fehlerrechnung. Mit der Information, dass sich der Abstand r 0 zwischen Spalt und Photodiode in der Versuchsanordnung sinnvoll nur zwischen 50 cm und 6 cm variieren lässt kann man sich die Lage der Beugungsminima und Maxima und Abhängigkeit von r 0 und der Beugungsordnung m auch vorab berechnen, indem man in (4) und (5) die Wellenlänge = 63,8 nm als bekannt voraussetzt und nach X auflöst (Hinweis: = arctan (X/r 0 )). Die sich so ergebenden Funktionen X(r 0,m) kann man für verschiedene Beugungsordnungen (m = 1,,3) in einem Diagramm gegen r 0 auftragen. Dies kann sich später im Versuch als nützlich erweisen, wenn man unsicher ist, ob an einer bestimmten Stelle X ein Minimum oder Maximum vorliegt. 8 Versuchsdurchführung Dieser Versuch ist so angelegt, dass die Messungen bei zügiger, aber sorgfältiger Durchführung die volle Zeit in Anspruch nehmen: Aufgabenteilung spart Zeit. Ein Praktikant führt Messungen durch, der Zweite notiert die Ergebnisse, während der Dritte mittels Taschenrechner stichprobenartig aus den Messgrößen und den gegebenen Formeln die zu bestimmende Größe ausrechnet, um Fehlmessungen frühzeitig aufzudecken. Überlegen sie sich vor Versuchsbeginn eine sinnvolle, übersichtliche Dokumentation der Messergebnisse in entsprechend gestalteten Tabellen. Beachten sie unbedingt die besonderen Hinweise zur Versuchsdurchführung im Skript!!! 9 Bemerkungen Die einzelnen Aufgaben und Auswertungen in den Abschnitten 5. und 5.3 können nach Maßgabe des Betreuers leicht abgewandelt werden und sind dann in entsprechender Weise abzuarbeiten. 9