Physik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 4. Michael Mittermair, Daniel Jost 02/09/14

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1 Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 4 Michael Mittermair, Daniel Jost 0/09/14 Inhaltsverzeichnis Technische Universität München 1 Streuexperimente Klassische Streutheorie Rutherford-Streuung Bohr'sches Atommodell 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoatom Lösung der Schrödingergleichung Aufenthaltswahrscheinlichkeit Relativistische Korrektur Darwin-Term Spin-Bahn-Kopplung Zeeman-Effekt

2 1 Streuexperimente 1.1 Klassische Streutheorie Betrachtet man einen Teilchenstrahl der Sorte A mit einem Teilchenfluss Ṅ A, der auf Target der Sorte B und Dichte n B trifft, so wird man feststellen, dass ein Teil dṅ s der einfallenden Teilchen mit den Targetteilchen wechselwirkt und gestreut wird. Ohne Mehrfachstreueffekte zu berücksichtigen, kann man den integralen Wirkungsquerschnitt σ = πr definieren, der allgemein σ = Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit Zahl der ein f allenden Teilchen pro Sekunde und Flaeche = dṅ s Ṅ A /F mit der bestrahlten Targetfläche F = N B /(n B dx), wobei N B der Streuzentrenanzahl entspricht. Die Änderung des Teilchenflusses dṅ A entlang der Strecke dx ergibt sich zu dṅ A = dṅ s = ṄAσ F N B = Ṅ A σn B dx () Für den differentiellen Wirkungsquerschnitt gilt dσ Zahl der gestreuten Teilchen pro Zeiteinheit und Raumwinkel = dω Zahl der ein f allenden Teilchen pro Zeiteinheit und Flche = dṅ s / Ω Ṅ A /F Die Zahl dṅ s der entlang der Strecke dx im Target pro Zeiteinheit in den Raumwinkel dω um den Winkel θ gestreuten Teilchen ist dṅ s = ṄA F N dσ B dω dω = Ṅ A n B dx dσ dω (4) dω Man kann den differentiellen Wirkungsquerschnitt aus Gleichung 3, indem man den Fluss, der im kleinsten Abstand b vom Streuzentrum ist, mit dem Raumwinkel dω in Beziehung setzt: dσ dω = b db 1 (5) dθ sin θ mit dem Stoßparameter b. In den Detektor mit der Raumwinkelabdeckung dω gelangt der Bruchteil der Teilchen d N s Ṅ A = n b dx dσ dω dω = N B dσ dω (6) F dω Eine weitere wichtige Größe in diesem Zusammenhang ist die Luminosität L: L = n A v A n B dx F (7) Die Anzahl der pro Zeiteinheit in das Raumwinkelelement dω gestreuten Teilchen ist dann dṅ s = L dσ dω = L σ (8) dω (1) (3)

3 Bohr sches Atommodell 1. Rutherford-Streuung Abbildung 1: Streuung eines Teilchens A an einem rotationssymmetrischen Potential V(r) mit B als Mittelpunkt. Grundlage der Rutherford-Streuung ist die Betrachtung des Stoßes zweier Teilchen im Schwerpunktsystem. Für ein kugelsymmetrisches Potential der Form V(r) = k/r kann man dann eine Gleichung für den Stoßparameter finden b(θ) = k µv cot θ (9) wobei µ der reduzierten Masse, v der Geschwindigkeit des Schwerpunktes und θ dem Streuwinkel entspricht. Für ein Potential mit einem punktförmig geladenen Kern, kann die Konstante k durch den bekannten Vorfaktor des Coulombpotentials ersetzt werden. Differentiation nach dθ ergibt db dθ = 1 Z A Z B e 1 4πɛ 0 µv sin θ/ (10) Damit erhält man die Rutherford sche Streuformel aus obigen Gleichungen dσ dθ = 1 ( ZA Z B e ) 1 4πɛ 0 µv sin 4 θ/ (11) Bohr'sches Atommodell Das Bohr sche Atommodell erweitert das Rutherford sche Atommodell um drei weitere Postulate. Rutherford war aufgrund seines Streuexperiments zunächst davon ausgegangen, dass das aus zwei Ladungsarten bestehende Atom seine gesamte positive Ladung im Kern vereinigte, ohne weitergehende Aussagen über den Aufenthaltsort der Elektronen. Bohr erweiterte dieses Modell wie folgt:

4 Bohr sches Atommodell 1. Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen strahlungsfrei um den Kern.. Diese stabilen Kreisbahnen sind ihrerseits quantisiert, d. h. dass nur verschiedene Radien für die Elektronenbahnen zulässig sind. Die Elektronenwellen bilden stehende Wellen aus. 3. Ferner ist der Bahndrehimpuls der Elektronen immer ein ganzzahliges Vielfaches des Planck schen Wirkungsquantums h. Ausformuliert geht man in diesem semiklassischen Modell zunächst davon aus, dass sich Elektron und Kern um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Mithilfe der reduzierten Masse µ = m e m K /(m e + m K ) m e lässt sich das Kräftegleichgewicht aus Zentrifugal- und Coulombkraft bestimmen µv r = 1 4πɛ 0 Ze r r = Ze 4πɛ 0 µv (1) Der Radius kann abhängig von der Geschwindigkeit des Elektrons zunächst jeden beliebigen Wert annehmen. Mit der Bedingung, dass es sich um stehende Wellen handelt, muss der Umfang U = πr des von den Elektronenbahnen eingeschlossenen Kreises ein Vielfaches der de-broglie-wellenlänge der Elektronen sein: πr = nλ (13) Diese Quantisierungsbedingung ist gleichbedeutend mit der Bedingung der Quantisierung des Bahndrehimpulses: L = µrv = n h (14) Für die erlaubten Geschwindigkeiten der Elektronen ergibt sich nun ebenfalls eine Quantelung nach v = Ze 4πɛ 0 hn Diese Gleichung eingesetzt in Gleichung 1 ergibt die erlaubten Radien (15) r n = 4πɛ 0 h n Ze µ = h Zαµc n = a 0 Z n (16) mit dem Bohr schen Radius a 0 und der Feinstrukturkonstante α. Aus diesen Quantisierungsbedingungen lässt sich nun die Gesamtenergie eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit Quantenzahl n ermitteln. E n = 1 Ze = 1 4πɛ 0 r n µα c Z n = Ry Z n (17) 3

5 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoffatom mit der Rydbergenergie Ry. Emission und Absorption kann nur via Gleichung 17 erfolgen. Insbesondere gilt für die emittierte, bzw. absorbierte Energie eines Übergangs von n nach n 1, dass ( hω = Ry 1 Z n 1 1 n ) (18) Mithilfe des Bohr schen Atommodells lassen sich Linienspektren sehr gut erklären. Jedoch versagt es bei der Erklärung, warum die Elektronen sich konterintuitiv überhaupt strahlungsfrei bewegen sollen. Außerdem widerspricht die Annahme, dass sich für den Zustand n = 1 ein nicht-verschwindender Drehimpuls ergibt experimentellen Beobachtungen. 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoatom 3.1 Lösung der Schrödingergleichung Ausschließlich für das Wasserstoffatom kann eine analytische Lösung der Schrödingergleichung gefunden werden. Gleichzeitig liefert diese Lösung für einige andere Einelektronsysteme eine valide Approximation innerhalb gewisser Toleranzen. Zunächst betrachtet man das System relativ zu seinem Schwerpunkt, sodass sich für die Schrödingergleichung ( h r m + V(r) ) Ψ(r) = E r Ψ(r) (19) Unter der Annahme, dass das Elektron ein quasi ortsfestes Proton umkreist, entspricht das Potential dem Coulombpotential V(r) = Ze 4πɛ 0 r (0) Dies entspricht einem radialsymmetrischen Potential. Es bietet sich an den Laplace- Operator in Kugelkoordinaten zu transformieren: r = 1 r r + 1 r sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ sin θ φ (1) Da der Winkelanteil wie gestern besprochen dem Quadrat des Drehimpulsoperators entspricht, kann man Gleichung 19 umschreiben: ( h m 1 ( r r ) Ze r r 4πɛ 0 r + ˆL ) mr Ψ(r) = E r Ψ() () 4

6 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoffatom Als Ansatz für die Gesamtwellenfunktion wählt man aufgrund der Radial- und Winkelabhängigkeiten Ψ(r, θ, φ) = R(r) Y lm (θ, φ) (3) Die Herleitung der Radialfunktion ist im Skript nachlesbar. Setzt man den Drehimpulsoperator sowie den Seperationsansatz ein, so erhält man d R(r) dr + r dr(r) dr ( ) m + (E h + Ze 4πɛ 0 r ) l(l + 1) r R(r) = 0 (4) Für R(r) wird nun der Ansatz R(r) = u(r) exp[ κr] mit κ = me/ h gewählt, womit sich Gleichung 4 zu d ( ) ( u(r) 1 du(r) c κ dr + r κ + dr r ) l(l + 1) r u(r) = 0 (5) mit der Abkürzung c = mze /(4πɛ 0 h ). Für u(r) wählt man nun einen Potenzreihenasnatz mit u(r) = i a i r i, deren Koeffizienten durch die Rekursionsformel κ i c a i = a i 1 i(i + 1) l(l + 1) (6) beschrieben werden. Die Reihe muss für endliche viele Glieder ab einem n abbrechen, damit R(r) für r normierbar bleibt, ergo a n = 0 und der n 1-Koeffizient von null verschieden sein. Eingesetzt in Gleichung 6 liefert das κ i c me a n = 0 = a n 1 n(n + 1) l(l + 1) c = n κ = n h (7) Rücktransformation der substituierten Konstanten liefert schließlich die Energieeigenwerte me E n = 4 Z (4πɛ 0 ) h n (8) die den Eigenwerten des Bohr schen Atommodelles entsprechen. Aus der Rekursionsformel kann man nun eine obere Grenze für die Drehimpulsquantenzahl herauslesen. Der Nenner explodiert genau für i = l, das bedeutet, dass l n 1 sein muss. Ein Einschub an dieser Stelle: Wie gestern bereits besprochen, korrespondiert zur Drehimpulsquantenzahl l die Magnetquantenzahl m l, für die gilt, dass l m l +l. Die Energieeigenwerte hängen jedoch nur von n, also der Hauptquantenzahl, ab. Jedoch gibt es zu jedem n aufgrund der Quantenzahl m insgesamt l + 1 Zustände gleicher Energie. Man nennt E n daher ein l + 1-fach entartetes Energieniveau. 5

7 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoffatom 3. Aufenthaltswahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Abstand zwischen r und r + dr zu finden, wird wie folgt berechnet: W(r)dr = p 0 π i 0 Ψ r dr sin θdφdθ = r R nl (r)dr (9) Das Maximum dieser radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeit für den 1s-Zustand entspricht der Bohr sche Radius a B. Berechnet man jedoch die eigentlich dem Bohr schen Radius entsprechende Messgröße r, so findet man r = 0 dr Ψ = 3 a B (30) Die Abweichung lässt sich durch die Ortsunschärfe der Quantenteilchen erklären. 3.3 Relativistische Korrektur Darwin-Term Das Elektron erfährt bei seiner Bewegung um den Kern eine relativistische Massenzunahme. Zur Bestimmung der relativistischen Korrektur wird der relativistische Energieansatz verwendet: E = p c + m 0 c4 m 0 c + E pot = m 0 c p m 0 c m 0c + E pot (31) Reihenentwicklung der Wurzel liefert ( ) p E = + E pot p4 m 0 8m = E 0 c nrel E rel (3) Das bedeutet Ĥ = ˆp4 8m 3 0 c entspricht der relativistischen Korrektur des Hamiltonoperators und hat den Erwartungswert E rel = Ĥ rel = h4 8m 3 0 c Ψ nlm 4 Ψ nlm dv (33) Mitsamt der Gesamtwellenfunktion des Wasserstoffatoms ergibt sich insgesamt der relativistische Korrekturterm E rel = E n [ Z α Die Gesamtenergie des Zustandes liest sich nun [ E nl = E n 1 Z α n n ( ) ] 3 4n l + O(α 3 ) l + 1/ ( 3 4n l l + 1/ ) ] + O(α 3 ) (34) (35) 6

8 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoffatom 3.3. Spin-Bahn-Kopplung Eine weiter Korrektur ist auf den Spin des Elektrons zurückzuführen. Dazu eine semiklassische Erklärung: Aus dem Ruhesystem des Elektrons erzeugt der um das Elektron kreisende Kern ein Magnetfeld, das mit Biot-Savart berechnet werden kann: B l = µ 0Ze (v ( r)) = µ 4πr3 In einem solchen Magnetfeld erfährt der Spin eine Zusatzenergie E LS = µ s B l = g sµ B h 0Ze 4πr 3 m e L (36) (S B l ) (37) Einsetzen von B l ergibt dann wieder die Korrektur das Hamiltonoperators. µ 0 Ze (Ŝ Ĥ LS = g s µ B ˆL ) 4πr 3 µ 0Ze m e h 4πr 3 m e sowie die Korrektur des Energieeigenwertes: (Ŝ ˆL ) (38) E LS = Ĥ LS µ 0Ze 4πr 3 m e (Ŝ ˆL ) (39) Der zusätzliche Kopplungsterm ( Ŝ ˆL ) muss nun noch verarztet werden, da der Hamiltonoperator nicht mehr mit der z-komponente des Bahndrehimpulsoperators kommutiert. m l und m s sind keine guten Quantenzahlen. Spin und Bahndrehimpuls können durch ihre Kopplung jedoch zum Gesamtdrehimpuls J zusammengefasst werden. J = L + S (40) Für J gilt wieder J = h j(j + 1) (41) Insgesamt erhält man also für den Energieeigenwert mit der Spin-Bahn-Kopplungskonstante J z = hm j (4) E nlj = E n + E LS = E n + λ LS S L (43) λ L S = µ 0Ze h 8πm er 3 (44) Unter Berücksichtigung des Darwin-Terms kann man nun schreiben: [ E nj = E n 1 Z α ( j n j + 1/ 3 )] 4n Die Energie ist unabhängig von l, das bedeutet immer noch entartet. (45) 7

9 3 Einelektronsysteme - Das Wasserstoffatom 3.4 Zeeman-Eekt Abbildung : Anomaler Zeeman-Effekt (links) und normaler Zeeman-Effekt (rechts). Der Gesamtdrehimpuls der Elektronen eines Atoms setzt sich aus Bahndrehimpuls und Spin zusammen. J = L + S (46) Unter Zeeman-Effekt versteht man das Aufspalten der Energieniveaus der Elektronen in einem externen Magnetfeld. Dieses Magnetfeld ist dabei nicht stark genug, um die Spin-Bahndrehimpuls-Kopplung aufzuheben. Das bedeutet insbesondere, dass die Energieniveaus nach wie vor von der L-S-Kopplung bestimmt sind. Das Magnetfeld führt lediglich zu einer kleinen Störung. Für das magnetische Moment des Gesamtdrehimpulses gilt µ J = µ L + µ S = µ B h (g LL + g s S) µ B h (L + S) = µ B (J + S) (47) h Als Quantisierungsachse für µ J wird J gewählt. Um die Energieaufspaltung, die durch das externe Magnetfeld entsteht, zu bestimmen, benötigt man den Erwartungswert des magnetischen Moments, respektive dessen Projektion auf die Quantisierungsachse: µ JJ = µ JJ = (µ L + µ S ) J = µ ( ) B L S + S J (48) J J h J 8

10 Literatur Für die Berechnung von L J wird der Zusammenhang zwischen S, L und J ausgenutzt und man erhält schließlich 1 [ J L = J + L S ] = h [J(J + 1) + L(L + 1) S(S + 1)] (49) J S = 1 [ J L + S ] = h [J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1)] (50) Eingesetzt in Gleichung?? ergibt sich insgesamt µ J J = µ B 3J(J + 1) L(L + 1) + S(S + 1) J(J + 1) (51) Trotz des externen Feldes, ist J die dominierende Richtung des inneren Magnetfelds. Damit präzediert µ J wesentlich schneller um J als um B. Für den Zeeman-Effekt zählt also ausschließlich das zeitliche Mittel von µ J, also dessen Projektion auf J. Also gilt: µ J = µ J J J mit dem Landé-Faktor des Gesamtdrehimpulses J J = g µ B J h J (5) g J = 1 + J(J + 1) + S(S + 1) L(L + 1) J(J + 1) (53) Für ein Magnetfeld längs der z-achse ergibt sich also folgende Aufspaltung: E = µ J B = µ J z B = m J g J µ B B (54) Zu berücksichtigen ist, dass die Energieniveaus in diesem Fall aufgrund der indirekten Abhängigkeit von L und S nicht äquidistant aufspalten. Bei diesem Allgemeinfall handelt es sich um anormalen Zeeman-Effekt. Falls die Elektronenschalen abgeschlossen sind, addiert S zu null und somit gilt immer J = L, also insbesondere g J = 1 und m J = m L. Die Energieniveaus spalten dann äquidistant auf. Diesen Effekt nennt man den normalen Zeeman-Effekt. Literatur [1] Gross Skript IV - R. Gross [] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands [3] Experimentalphysik 3 - Wolfgang Demtröder 9