Physikdepartment. Ferienkurs zur Experimentalphysik 4. Daniel Jost 07/09/15

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1 Physikdepartment Ferienkurs zur Experimentalphysik 4 Daniel Jost 07/09/15 Technische Universität München Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Quantenmechanik - Just gettin' started Wellencharakter und Elektronenwelle Wellenpakte Heisenberg sche Unschärferelation Grundlegende Begrie und Schrödinger-Gleichung Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung Drehimpulsquantisierung Spin Bohr'sches Atommodell 10

2 1 Einleitung Ziel dieses Ferienkurses ist es, die Studierenden auf die Nachholklausur im Fach Experimentalphysik 4 vorzubereiten. Das vorliegende Skript beschränkt sich in seiner Ausführung auf wesentliche Aspekte der Vorlesung. Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Ferienkurses auf eine Woche werden diese Aspekte oberflächlich wiederholt. Die zum Ferienkursskript korrespondierenden Aufgaben basieren teilweise auf den hier behandelten Themen, fordern an anderer Stelle jedoch Vorwissen der Studenten aus der Vorlesung. 2 Quantenmechanik - Just gettin' started Unter Quantenmechanik 1 versteht man den Teilbereich der Physik, der sich mit physikalischen Phänomenen im nanoskopischen Bereich beschäftigt. Die Quantenmechanik bietet ein mathematisches Gerüst, um den Dualismus zwischen Welle und Teilchen in diesem Größenordnungsregime zu beschreiben. Abbildung 1: Quelle: xkcd.com 1 Quantum von lat. quantus wie viel.

3 2 Quantenmechanik - Just gettin started 2.1 Wellencharakter und Elektronenwelle Hinweise auf den Welle-Teilchen-Dualismus von Licht liefern zum einen Beugungsund Interferenzexperimente, sowie Photo- oder Comptoneffekt. Für die Energie eines Photons sowie dessen Impulses gilt E = h ω (1) p = h k (2) Für subatomare Teilchen mit einer von Null verschiedenen Ruhemasse gilt, dass sich ihr Wellencharakter mithilfe der de-broglie-wellenlänge beschreiben lässt. Diese Beziehung ergibt sich aus Gleichung 2 mit λ = 2π/k zu λ = h p = h 2m0 E kin (3) Abbildung 2: Kristallbeugung am Gitter. Dies wurde beispielsweise mit der Beugung von Elektronenwellen an einem Kristallgitter verifiziert (vgl. Abbildung 2). Freie Elektronen durchlaufen die Beschleunigungsspannung U B und werden an einem Kristallgitter gestreut mit der Bragg-Bedingung 2 s = 2d sin θ = n λ (4) wobei λ der de-brioglie-wellenlänge entspricht, die nach Gleichung 3 von der Beschleunigungsspannung der Elektronen abhängt. Für 100 V liegt die Wellenlänge im Ângström-Bereich. 2

4 2 Quantenmechanik - Just gettin started 2.2 Wellenpakte Analog zu Lichtwellen können Materiewellen mit ebenen Wellen der Form [ ] i ψ(r, t) = ψ 0 exp [i(k.r ωt)] = ψ 0 exp (p.r Et) h (5) beschrieben werden. Diese Darstellung birgt jedoch Probleme. Die durch Gleichung 5 beschriebene Welle ist unendlich ausgedehnt und daher nicht normierbar. Die Teilchen sind nicht lokalisiert. Es wird daher das sogenannte Wellenpaket eingeführt, das aus einer Überlagerung vieler ebener Wellen besteht. ψ(x, t) = k0 + k k 0 k Für Gleichung 6 erhält man eine Lösung der Form c(k)ψ 0 exp [ik(x ω(k)t)] dk (6) ψ(x, t) = 2 π a(k 0) exp [i(k 0.x ω.t)] sin( k(ω 0.t x)) ω 0.t x (7) Abbildung 3: Darstellung eines Wellenpaketes; Überlagerung ebener Wellen. Für die Phasengeschwindigkeit eines solchen Wellenpakets gilt v Ph = ω k (8) und für die Gruppengeschwindigkeit v Gr = dω dk = v Ph λ dv Ph dλ (9) Aus Gleichung 9 geht hervor, dass für eine explizite Wellenlängenabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit diese nicht mehr identisch mit der Gruppengeschwindigkeit ist. Das bedeutet, dass die unterschiedlichen monochromatischen Wellen des Wellenpaketes voneinander unterscheidbare Ausbreitungsgeschwindigkeiten besitzen. Das 3

5 2 Quantenmechanik - Just gettin started Wellenpaket wird dadurch signifikant deformiert, d. h. das Paket wird breiter während sich die Amplitude reduziert. Man nennt diesen Vorgang Dispersion. Betrachte man hierzu ein nichtrelativistisches Teilchen der Energie E = p2 = m 0v 2 T 2m 0 2 mit der Teilchengeschwindigkeit v T. Die Gruppengeschwindigkeit entspricht v Gr = dω dk = d( hω) d( hk) = de dp = p m 0 = v T der Teilchengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit erhält man durch Einsetzen von ω = hk 2 /2m 0 in Gleichung 8: v Ph = 2.3 Heisenberg'sche Unschärferelation hk 2m 0 = 1 2 v T Abbildung 4: "We are done, when I say we re done." Für ein Wellenpaket mit der Standardabweichung x und der Breite k der Amplitudenverteilung gibt es eine untere Grenze für die Genauigkeit einer Messung der beiden Größen x k 1 (10) beziehungsweise x p h (11) Diese Unschärferelation besagt, dass man Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau oder scharf messen kann. Die zeitliche Entwicklung der Standardabweichung ist x(t) = v Gr t + x 0 = h m x 0 t + x 0 (12) 4

6 3 Grundlegende Begriffe und Schrödinger-Gleichung Ein weiterer Messprozess, der der Unschärferelation unterliegt, ist die Energieunschärfe mit E t h (13) Wann zwei Messgrößen gleichzeitig beliebig genau messbar sind, wird später besprochen werden. Frage 1. Wann gilt das Gleichheitszeichen in der Unschärferelation? 3 Grundlegende Begrie und Schrödinger-Gleichung 3.1 Observable, Operatoren, Erwartungswert und Eigenwert In der Quantenmechanik ersetzt man den Begriff der Messgröße durch den Begriff der Observablen. Man interpretiert die Wellenfunktion statistisch, d. h. ψ(x, t) = A(x, t) exp [i(k 0.x ω 0.t)] respektive die Überlagerung eben dieser ebenen Wellen zu einem Wellenpaket ist per se zunächst nutzlos und erst ihr Absolutquadrat ergibt physikalisch Sinn. Für die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen am Ort r zur Zeit t zu finden, gilt P(r, t) = ψ(r, t) 2 dv (14) Ein Attribut der Wellenfunktion, das bereits im vorigen Kapitel angedeutet worden ist, ist ihr Normierung auf 1. Es wird gefordert, dass ψ(r, t) 2 dv = 1 (15) R 3 gilt. Mit der Wellenfunktion wird der Erwartungswert einer Observablen A bestimmt. Im Allgemeinen gilt: A = ψ ÂψdV (16) wobei ψ die komplex-konjugierte Wellenfunktion von ψ ist. Die Repräsentation dieser Messgröße  nennt man Operator. Jeder Messgröße ist ein solcher Operator zugeordnet. Hierzu Tabelle 1 mit einigen Operatoren. 5

7 3 Grundlegende Begriffe und Schrödinger-Gleichung Tabelle 1: Häufig verwendete Operatoren in der Quantenmechanik. Größe r p L E pot E kin Operator ˆr = r ˆp = h ˆL = ˆr ˆp = i h(r ) ˆV(r) = V(r) Ê kin = ˆp2 2m = h2 2 2m E Ĥ = h2 2 2m + ˆV(r) Um herauszufinden, ob zwei physikalische Größen gleichzeitig beliebig genau messbar sind, verwendet man die Kommutatorrelation: Definition 3.1. Seien  und ˆB zwei Operatoren, so nennt man [Â, ˆB ] =  ˆB ˆB (17) die Kommutatorrelation und es gilt für [Â, ˆB ] = 0 dass  und ˆB vertauschbar sind. Ein weiterer wichtiger Begriff ist der Eigenwert eines Operators. Definition 3.2. Gegeben sei die Eigenfunktion ψ zu dem Operator Â. Dann ist a Eigenwert a von  und es gilt: Âψ = aψ (18) a Naives Beispiel hierfür / x exp[ax] = a exp[ax] Für den Eigenwert a gilt, dass er dem Erwartungswert der Messgröße A entspricht. 3.2 Eigenschaften und spezielle Lösungen der Schrödingergleichung Die zeitabhängige Schrödingergleichung ist Definition 3.3. i h Ψ = HΨ (19) t 6

8 3 Grundlegende Begriffe und Schrödinger-Gleichung mit dem Hamiltonoperator H, der eingesetzt ( ) h2 2 + V(r, t) ψ(r, t) = i h ψ(r, t) (20) 2m t liefert. Für ein zeitunabhängiges Potential V(r, t) = V(r) kann man Gleichung 20 mithilfe eines Seperationsansatzes in die stationäre Schrödingergleichung überführen: ( ) h2 2 2m + V(r) ψ(r) = Eψ(r) (21) Die Schrödingergleichung 20 ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung in der Zeit und 2. Ordnung im Ort. Damit ist die Schrödingergleichung nicht relativistisch invariant. Sie ist linear in ψ, womit das Superpositionsprinzip gilt. Wie zu erkennen ist, entspricht der Eigenwert des Hamiltonoperators Ĥ gerade der Energie. Um Lösungen für ein gegebenes Problem zu erhalten, müssen die Randbedingungen eben dieses Problems berücksichtigt werden. Einige spezielle Lösungen der Schrödingergleichung sind unter anderem: 1. Freies Teilchen (1-dimensional): Für das Potential im Hamiltonoperator gilt V(x) = 0; das ergibt eine Kontinuumslösung und alle Energien sind erlaubt. 2. Potentialstufe: Der Hamiltonoperator unterscheidet sich nun innerhalb und außerhalb der Potentialstufe, d. h. beispielsweise V(x) = 0 für x < 0 und V(x) = V 0 für x > 0; insbesondere erhält man eine nicht verschwindende Aufenthaltswahrscheinlichkeit das Teilchen in der Stufe vorzufinden. 3. Unendlicher Potentialtopf: Das Potential ist V(x) = 0 für 0 < x < a, und V(x) = sonst; die Energieeigenwerte sind quantisiert E n = h 2 k 2 n/2m = h 2 π 2 n 2 /(2ma 2 ) dimensionaler harmonischer Oszialltor: Das Potential ist V(x) = 1/2kx 2 = 1/2mω 2 x 2 ; die Energieeigenwerte sind quantisiert mit E n = hω(n + 1/2). 3.3 Drehimpulsquantisierung Der Drehimpulsoperator ist gegeben mit ˆL = ˆr ˆp = i h(r ) (22) In Kugelkoordinaten kann man schreiben: sin φ + cot θ cos φ φ ˆL = i h cos φ θ + cot θ sin φ φ (23) φ 7

9 3 Grundlegende Begriffe und Schrödinger-Gleichung Das Betragsquadrat des Drehimpulses ist proportional zum Winkelanteil des Laplace- Operators: ˆL 2 = h 2 [ 1 sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 2 ] φ 2 = h 2 2 θ,φ (24) Das bedeutet, dass die Kugelflächenfunktionen Y lm Eigenfunktionen von ˆL 2 sind. Liegt ein kugelsymmetrisches Potential V(r) = V(r) vor, so erhält man eine Lösung der Schrödingergleichung aus dem Produkt eines Radialanteils R(r) und eines Winkelanteils Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ) mit der Polarlösung Θ(θ) und der Azimuthallösung Φ(φ). Die Kugelflächenfunktionen sind außerdem Eigenfunktionen von ˆL z und es gelten folgende Eigenwertgleichungen: ˆL 2 Y lm (θ, φ) = h 2 l(l + 1)Y lm (θ, φ) (25) ˆL z Y lm (θ, φ) = hm l Y lm (θ, φ) (26) mit der Bahndrehimpulsquantenzahl l, l N und der Magnetquantenzahl m l, l m l l. Frage 2. Was bedeutet es für die gleichzeitige Messung von ˆL und ˆL z, dass die Kugelflächenfunktionen Y lm (θ, φ) zu beiden Operatoren Eigenfunktionen sind? Konventionell wählt man die z-achse des Drehimpulses als Quantisierungsachse. ˆL x und ˆL y sind nicht gleichzeitig messbar, aber durch ˆL und ˆL z eingeschränkt nach ˆL 2 x + ˆL 2 y = ˆL ˆL 2 z = h 2 ( l(l + 1) m 2 ) l (27) Abbildung 5: Mögliche Richtungen des Drehimpulses bei festen L und L z. Die Länge, sowie die Projektion auf die Quantisierungsachse des Drehimpulses ist wohldefiniert (vgl. Abbildung 5). 8

10 3 Grundlegende Begriffe und Schrödinger-Gleichung 3.4 Spin Abbildung 6: Schematischer Aufbau des Stern-Gerlach-Experiments: Ein Silberatomstrahl wird durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Die tatsächlich beobachtete Verteilung widerspricht der klassisch erwarteten; zwei Spots werden beobachtet, was ein Hinweis für einen weiteren Freiheitsgrad ist. Das Stern-Gerlach-Experiment lieferte erste Hinweise auf eine weitere Eigenschaft von Teilchen. Ein in einem Atomstrahlofen erzeugter Silberatomstrahl wird in diesem Versuch durch ein inhomogenes Magnetfeld gelenkt. Statt der klassisch erwarteten Verteilung eines längsgezogenen Spots beobachtet man zwei distinktive Spots. Die Beobachtung kann durch die Einführung eines weitere Freiheitsgrades von Teilchen erklärt werden, dem so genannten Spin Ŝ. Obgleich es sich beim Spin um eine vektorielle Größe handelt, existiert kein klassisches Analogon dazu und ist ein intrinsisch quantenphysikalisches Phänomen. Der Spin ist mit dem magnetischen Moment µ eines Teilchens verknüpft und besitzt die Erwartungswerte Ŝ 2 = h 2 s(s + 1) (28) Ŝ z = hm s (29) Hierbei ist s die Spinquantenzahl und m s die Orientierungsquantenzahl mit s m s s. Für Elektronen ist s = 1/2 und damit m s = ±1/2. Man nennt die beiden Zustände Spin-Up, respektive Spin-Down. Der Spin hat keinen Einfluss auf die übrigen Eigenschaften eines Zustandes, weswegen sich die Gesamtwellenfunktion aus der bereits bekannten Ortswellenfunktion ψ(r, t) und der Spinwellenfunktion χ(s) zusammensetzt. Ψ(r, t) = ψ(r, t) χ(s) (30) Teilchen mit ganzzahligem Spin nennt man Bosonen, solche mit halbzahligem Spin nennt man Fermionen. Bosonen und Fermionen verhalten sich unterschiedlich, was man beispielsweise mit Streuexperimenten zeigen kann. Dieser Unterschied liegt an der Austauschsymmetrie der beteiligten Wellenfunktionen. Für zwei identische, nichtwechselwirkende Teilchen an den Koordinaten r 1 und r 2 existiert eine Gesamtwellenfunktion, für die unter Vertauschung Ψ(r 2, r 1 ) der beiden Teilchen gelten muss, 9

11 4 Bohr sches Atommodell dass Ψ(r 1, r 2 2 = Ψ(r 2, r 1 ) 2 (31) Das bedeutet, dass es für die Gesamtwellenfunktion zwei Möglichkeiten gibt: Ψ(r 1, r 2 ) = Ψ(r 2, r 1 ) (32) d. h. symmetrisch unter Austausch (Bosonen) Ψ(r 1, r 2 ) = Ψ(r 2, r 1 ) (33) und antisymmetrisch unter Austausch (Fermionen). Man kann die Gesamtwellenfunktion also schreiben als Ψ(r 1, r 2 ) = C [ψ 1 (r 1 ) ψ 2 (r 2 ) ± ψ 1 (r 2 ) ψ 2 (r 1 )] (34) Liegen zwei Fermionen im gleichen Zustand vor, d. h. mit identischem Satz von Quantenzahlen, so ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude hierfür null. Zwei Fermionen können also nicht im exakt gleichen Zustand mit einem identischen Satz von Quantenzahlen existieren. Man nennt dieses Ausschlussprinzip auch Pauli-Prinzip. 4 Bohr'sches Atommodell Das Bohr sche Atommodell erweitert das Rutherford sche Atommodell um drei weitere Postulate. Rutherford war aufgrund vorausgegangener Experimente zunächst davon ausgegangen, dass das aus zwei Ladungsarten bestehende Atom seine gesamte positive Ladung im Kern vereinigte, ohne weitergehende Aussagen über den Aufenthaltsort der Elektronen zu machen. Bohr erweiterte dieses Modell wie folgt: 1. Elektronen bewegen sich auf stabilen Kreisbahnen strahlungsfrei um den Kern. 2. Diese stabilen Kreisbahnen sind ihrerseits quantisiert, d. h. dass nur verschiedene Radien für die Elektronenbahnen zulässig sind. Die Elektronenwellen bilden stehende Wellen aus. 3. Ferner ist der Bahndrehimpuls der Elektronen immer ein ganzzahliges Vielfaches des Planck schen Wirkungsquantums h. Ausformuliert geht man in diesem semiklassischen Modell zunächst davon aus, dass sich Elektron und Kern um einen gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Mithilfe der reduzierten Masse µ = m e m K /(m e + m K ) m e lässt sich das Kräftegleichgewicht aus Zentrifugal- und Coulombkraft bestimmen µv 2 r = 1 4πɛ 0 Ze 2 r 2 r = Ze2 4πɛ 0 µv 2 (35) 10

12 4 Bohr sches Atommodell Der Radius kann abhängig von der Geschwindigkeit des Elektrons zunächst jeden beliebigen Wert annehmen. Mit der Bedingung, dass es sich um stehende Wellen handelt, muss der Umfang U = 2πr des von den Elektronenbahnen eingeschlossenen Kreises ein Vielfaches der de-broglie-wellenlänge der Elektronen sein: 2πr = nλ (36) Diese Quantisierungsbedingung ist gleichbedeutend mit der Bedingung der Quantisierung des Bahndrehimpulses: L = µrv = n h (37) Für die erlaubten Geschwindigkeiten der Elektronen ergibt sich nun ebenfalls eine Quantelung nach v = Ze2 4πɛ 0 hn. (38) Diese Gleichung eingesetzt in Gleichung 35 ergibt die erlaubten Radien r n = 4πɛ 0 h 2 n 2 Ze 2 µ = h Zαµc n2 = a 0 Z n2 (39) mit dem Bohr schen Radius a 0 und der Feinstrukturkonstante α. Aus diesen Quantisierungsbedingungen lässt sich nun die Gesamtenergie eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit Quantenzahl n ermitteln. E n = 1 Ze 2 = 1 2 4πɛ 0 r n 2 µα2 c 2 Z2 n 2 = Ry Z2 n 2 (40) mit der Rydbergenergie Ry. Emission und Absorption kann nur gemäß Gleichung 40 erfolgen. Insbesondere gilt für die emittierte, bzw. absorbierte Energie eines Übergangs von n 2 nach n 1, dass ( hω = Ry 1 Z 2 n 2 1 ) 1 n 2 (41) 2 Mithilfe des Bohr schen Atommodells lassen sich Linienspektren sehr gut erklären. Jedoch versagt es bei der Erklärung, warum die Elektronen sich konterintuitiv überhaupt strahlungsfrei bewegen sollen. Außerdem widerspricht die Annahme, dass sich für den Zustand n = 1 ein nicht-verschwindender Drehimpuls ergibt experimentellen Beobachtungen. 11