Drehimpuls Allgemeine Behandlung

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Catharina Bachmeier
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1 Drehimpuls Allgemeine Behandlung Klassisch: = r p = r mv β m p Kreuprodukt weier Vektoren: = r p = r p sinβ

2 1 i Drehimpuls Allgemeine Behandlung 1 k j 1 Einheitsvektoren Vektordarstellung: = xi + yj+ k r = rxi + ryj + r k p = p i + p j + p k x y Vektorprodukt in Determinantenschreibweise: i j k ry r rx r r x ry = rx ry r = i -j + k = py p p p x p x py p p p x y = ( rp y rp y) i + ( rp x rp x ) j+ ( rp x y rp y x) k x y

3 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung Klassisch: Quantenmech.: x x = r p r p = yp p x y y y = r p r p = p xp y x x x = r p r p = xp yp x y y x y x p pˆ = i, etc. x ˆx = i y y ˆy = i x x ˆ = i x y y x Umrechnung in Polarkoordinaten: ˆx = i cotϑcosφ + sinφ φ ϑ ˆ y = i cotϑsinφ cosφ φ ϑ ˆ = i φ

4 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung Berechnung von: ˆ = ˆ + ˆ + ˆ x y = + Zurückführen des Drehimpulsproblems auf das Problem des Starren Rotators mit freier Achse: ˆ SG: 1 1 sinϑ sin sin ϑ ϑ ϑ ϑ φ entspricht dem Winkelanteil von = ϑ, φ μr ϑφ, ψ + Eψ = 0 ( ) ψ = μr Eψ ϑφ, ˆψ = ψ Eigenwertgleichung für ˆ ; = I E

5 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung Einseten der Energieeigenwerte des Starren Rotators: E = ( + 1) I ˆ = I ( + 1) = ( + 1); = 0,1,, I ψ Y,m( ϑφ, ) Eigenfunktionen von ˆ = Kugelflächenfunktionen Eigenwertgleichung für Quadrat des Drehimpulses: ˆ Y m (, ) ( 1)Y m ϑ φ = + ( ϑ, φ ) erlaubte Werte für Drehimpuls: = = ( + 1) ; = 0,1,, Wellenfunktion des H-Atoms ist auch eine Eigenfunktion von ˆ Eigenwerte von ˆ = scharfe Messwerte

6 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung assen sich die Komponenten des Drehimpulsvektors im Experiment simultan u ˆ bestimmen? Prüfen der Kommutatoren x y Es lässt sich im Experiment nur eine Komponente des Drehimpulsvektors exakt messen (Heisenbergsche Unschärfe-Relation!) Kommutatoren mit ˆ :, ˆ ˆ iˆ =, ˆ ˆ iˆ =, ˆ ˆ = iˆ y x x y, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x, y, = = = 0 ˆ kommutiert mit allen Komponenten-Operatoren Im Experiment lassen sich das Betragsquadrat des Drehimpulses und eine Komponente des Drehimpulsvektors simultan bestimmen.

7 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung Wahl von ˆ - Operator hat die einfachste Form ˆ = i φ Eigenwertgleichung: Ansat: ψ ˆ ψ = ψ ψ =?,x Eigenfunktionen Prüfen durch Einseten: ˆ ˆ = m Y ( ϑφ, ) kommutieren es existiert ein gemeinsamer Sat von ˆ Y (, ) i P (cos ) e P (cos ) e m ϑφ = ϑ = ϑ φ m m imφ m imφ m imφ m imφ m P (cos ϑ) ( i ) e = P (cos ϑ) e P (cos ϑ) φ Eigenwertgleichung: im im ˆ e = e = m m = 0, ± 1, ±, φ φ = Starrer Rotator mit raumfester Achse

8 Drehimpuls Quantenmechanische Behandlung Damit ergeben sich folgende Quantisierungsbedingungen für den Drehimpuls: = = ( + 1) ; = 0,1,, = m m =, + 1,,0,1, 1, +

9 Bahndrehimpuls des H-Atoms H x y = Bahndrehimpuls-Quantenahl Symmetrie der Orbitale Quantisierung des Drehimpulses des Elektrons = ( +1) s-orbital: =0 kein Bahndrehimpuls p,d,f,... 0 Bahndrehimpuls m = Magnetische Quantenahl Rotation um raumfeste Achse,.B. durch Magnetfeld definiert Aufhebung der Entartung der Zustände mit gleichem H

10 Magnetisches Moment des H-Atoms H v μ r H Rotierendes Elektron kleiner Stabmagnet Beschreibung durch magnetisches Moment μ = I A A = A A μ

Magnetisches Moment im externen Magnetfeld - amorpräession Klassisch: Drehmoment T = d dt μ Beispiel: B = T = μ μ0h = μ0h T H μ amorpräession von um Winkel d ωdt =

11 Magnetisches Moment im externen Magnetfeld - amorpräession Klassisch: Drehmoment T = d dt μ Beispiel: B = T = μ μ0h = μ0h T H μ amorpräession von um Winkel d ωdt = Quantenmechanisch: Richtungsquantelung = ( + 1) = m d amorfrequen μb ω = μ 0 H ˆ = 0 = ˆ x y Verteilung der magnetischen Momente auf Kegelmantel. H-Feld: Aufhebung der m-entartung

12 Stern-Gerlach-Experiment und der Elektronenspin 19 Stern&Gerlach: Messung des Magnet. Moments von Ag-Atomen Magnetfeldgradient Magnet. Kraft: H H = μ F 0 μl, Ag klassisch: alle Orientierungen erlaubt Abbildung des Spalts erwartet Ag quantenmech.: +1 erlaubte Orientierungen ungerade Bandenahl 197 Phipps&Taylor H-Atom im Grundustand = 0 μ = 0 aber: Banden im Expt.

13 Gesamtdrehimpuls Spin-Bahn-Kopplung > 0 Elektron besitt Bahndrehimpuls und S koppeln über die resultierenden Magnetfelder (Spin-Bahn-Kopplung) Vektoraddition um Gesamtdrehimpuls J = + S Für J gelten die folgendem Quantisierungsbedingungen J = j(j+ 1); j= + s, + s 1,, s J = m ; m = j, j+ 1,,0,1,j 1, + j j j

14 Gesamtdrehimpuls Spin-Bahn-Kopplung Beispiel: p-elektron j= 1+ 1 = 3 = 1, s = oder j= m j =,,, j= 1 1 = 1 Für m j gibt es dann folgende Möglichkeiten j= m j =, Spin-Bahn-Kopplung Zustände mit j = 3 und unterscheiden sich bereits ohne H j = 1 -Feld energetisch Mit H -Feld erfolgt eine weitere Aufspaltung der Energieniveaus

15 Zeemann-Effekt Aufspaltung der Energieniveaus durch Spin-Bahn-Kopplung E mag m j j = j = 1 ohne H -Feld mit H -Feld 1 1

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