Physik IV - Formelsammlung

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1 Atome, Kern- und Elektronenradius Bezeichnung: A Z X Z: Anzahl Protonen A = N + Z: Massenzahl Kernladung: q K = Z e Kovolumen: b = 4 N A 4π 3 r3 Physik IV - Formelsammlung von Julian Merkert, Sommersemester 006, Prof. Dormann Grundlagen und frühe Atommodelle Elektronenradius: r e = e 4 π ε 0 m e0 c =, m aus W Coulomb = m e0 c Kernradius: Tröpfchenmodell: r k = r 0 A 1 3 r 0 = (1,...1, 5) m A: Massenzahl Aus Rutherford-Streuung: r min = Z e π ε 0 W kin Rutherford-Streuformel Rutherford-Streuung b-abhängig: cot ϑ = 4 π ε0 Z e W kin b ϑ: Streuwinkel b: Streuparameter (Abstand des eingeschossenen Teilchens vom Kern) Z: Kernladungszahl ( ) Rutherford-Streuformel mit Zählrate: n ϑ 0 n 0 = N V d π Z e 4 π ε 0 W kin cot ϑ 0 n ϑ0 : Zahl derer, die mehr als ϑ 0 gestreut werden d: Dicke des Metalls, an dem gestreut wird N V : Kerne pro Volumeneinheit Rutherford-Streuformel: ż(ϑ) = ṅ 0 N V d (Z e ) (8πε 0) W kin r D sin4 ( ϑ ) A D ż(ϑ): Zählrate (Teilchen pro Sekunde, die unter dem Winkel ϑ detektiert werden) A D : Detektoräche N V, d wie oben r D : Detektor-Radius, also Abstand der durchstrahlten Goldfolie zum Detektor ṅ 0 : Intensität des ursprünglichen Strahls in Teilchen pro Sekunde W kin : Kinetische Energie der α-teilchen 1

2 Bohr'sches Atommodell Serienspektren des H-Atoms: ν = R H ( 1 m 1 n ) R H = R 1+ me mp mit R = 1, m 1 Rydberg-Konstante ν = 1 λ : Wellenzahl m = 5: Pfund-Serie, m = 4: Brackett-Serie, m = 3: Paschen-Serie, m = : Balmer-Serie, m = 1: Lyman-Serie Radius der n-ten Bahn im Bohr'schen Atommodell: r n = n n heiÿt Hauptquantenzahl a 0 = 0, m: Bohr'scher Radius ε 0 h π m e e = n a 0 Energie auf der n-ten Bahn im Bohr'schen Atommodell: W n = me e4 8 ε 0 h 1 n = h c R 1 n h c R = 1 Ry 13, 6 ev: 1 Rydberg De Broglie-Wellenlänge: λ = h p Wasserstoähnliche Zentren: ν = R 1+ me m k Z ( 1 n 1 m ) Heisenberg'sche Unschärfe-Relation: p x x h π Schrödinger'sche Wellenmechanik (allgemein) Atom = System stehender Materiewellen Wellengleichung: Ψ = 1 c Ψ p Wellenfunktion: Ψ = Ψ(x, y, z, t) Schrödinger-Gleichung und Wasserstoatom i.d.r. komplex komplex konjugierte Ψ Stationäre Zustände: Ψ = Ψ(x, y, z) e iωt = Ψ(x, y, z) e i/ Ent Statistische Deutung: Ψ = Ψ Ψ Ψ Ψ dτ Ψ Ψ dτ = Ψ Ψ dx dy dz = 1 Ψ n Ψ m dτ = δ nm Wahrscheinlichkeitsdichte Aufenthaltswahrscheinlichkeit in dτ = dx dy dz (in Kugelkoordinaten: dτ = dv = r sin ϑ dr dϕ dϑ) Normierung Orthonormiertheit F ( r) = Ψ F ( r)ψ dτ Erwartungswert von F ( r) z.b. r = Ψ rψ dτ

3 Übersetzungsschema: Physikalische Gröÿe Dierential-Operatoren p p x, p z p m + V (r) L = r p L z W ges, H i grad = i i x, i z m + V (r) r i grad i ϕ i t Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: m Ψ + (V ( r) E) Ψ = 0 Lösen der Wellengleichung in Kugelkoordinaten: Magnetische Quantenzahl m folgt aus Eindeutigkeitsforderung Drehimpuls-Quantenzahl l folgt aus Stetigkeitsforderung Wir erhalten folgende Lösung: Wellenfunktion: Ψ n,l,m = R n,l (r) Y l,m (ϑ, ϕ) R n,l (r): radiale Wellenfunktion, R 0 n,l (r) r dr = 1, n (l + 1) nichttriviale Nullstellen Y l,m (ϑ, ϕ): Kugelächenfunktion, π π ϑ=0 ϕ=0 Y l,m (ϑ, ϕ)y l,m(ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = 1 π π Ψ n,l,m Ψ n,l,m r dr sin ϑ dϑ dϕ = δ nn δ ll δ mm Allgemeine und konkrete Formeln von R und Y siehe Vorlesungs-Skript Bestimmung von l, m, n aus der Wellenfunktion durch Vergleich: e i m ϕ, e Z r n a 0 Quantenzahlen Hauptquantenzahl n = 1,, 3,... Schale: Gesamtheit alle Elektronen mit gleicher Hauptquantenzahl, bez. K, L, M,... Orbital: 1. Stelle wie Hauptquantenzahl, also 1?,?, 3?,... Drehimpulsquantenzahl l: 0, 1,..., n 1 Orbital:. Stelle entsprechend Drehimpulsquantenzahl, bez. mit folgenden Buchstaben:?s,?p,?d,?f,... Magnetische Quantenzahl / Richtungsquantenzahl m l : 0, ±1,..., ±l Parität: Y l,m (π ϑ, ϕ + π) = ( 1) l Y l,m (ϑ, ϕ) l = 0,, 4,...: gerade Parität l = 1, 3, 5,...: ungerade Parität 3

4 Magnetisches Moment, Drehimpulse und Termaufspaltungen beim Einelektronenatom Bahndrehimpuls L Eigendrehimpuls / Spin S Gesamtdrehimpuls J = L + S Quantenzahl l = 0, 1,,..., n 1 s = 1 j = l ± s = l ± 1 Richtungsquantenzahl m l = 0, ±1, ±,..., ±l m s = ± 1 m j = j, j 1,..., j EW des Betrags L = l(l + 1) S = s(s + 1) J = j(j + 1) EW in z-richtung L z = m l S z = m s J z = m j EW magn. Moment µ L = l(l + 1) µ B µ S = s(s + 1) µ B µ J = g J j(j + 1) µ B EW in z-richtung µ Lz = m l µ B µ Sz = m s µ B µ Jz = g J m j µ B Magnetisches Moment µ L = 1 µb L µ S = µb S µ J = g J µb J EW = Erwartungswert Bohr'sches Magneton: µ B = e m e = 9, J T = 5, ev T µ B ist das Verhältnis Magnetisches Moment µ zu Drehimpuls Magnetische Moment und Drehimpuls sind antiparallel ausgerichtet µ L = l(l + 1) µ B e µ Lz = m e L z = m µ B Zeeman-Eekt (bei äuÿerem Magnetfeld): ω L = e m e B: Larmor-Frequenz, Präzessions-Frequenz eines Kreisels (Normaler Zeeman-Eekt) W magn = E Zeeman = µ z B z = +g J m j µ B B Anomaler Zeeman-Eekt: Auswahlregeln: m j = 0, ±1, Elektronen-Spin-Resonanz für W = g µ B B 0 = h ν L Emittierte Frequenz: ν = W h Landé- oder g-faktor: g J = 1 + j(j+1)+s(s+1) l(l+1) j(j+1) Zusätzlicher Faktor, um magnetisches Moment µ und Drehimpuls J zu verknüpfen g-faktor = Verhältnis von magnetischem Moment (in Bohr'schen Magnetonen) zum Drehimpuls Spin-Bahn-Kopplung Wechselwirkung von Drehimpuls L und Spin S Kopplungsenergie: W LS = λ( L S) λ: Spin-Bahn-Kopplungskonstante L S ( = 1 J L S ) Spin-Bahn-Aufspaltung: E LS = λ ( ) j(j + 1) l(l + 1) 3 4 4

5 Paschen-Back-Eekt: µ z = (m l + m s ) µ B Auswahlregeln: m l = 0, ±1 m s = 0 Paschen-Back-Eekt: Starkes Magnetfeld (Spin-Bahn-)Kopplung zwischen L und S aufgebrochen Hyperfeinstruktur Kernspin I Gesamt-Drehimpuls F = I + J Quantenzahl I (tabelliert) F = I + J, I + J 1,..., I J Richtungsquantenzahl M I = I, I 1,..., I M F = F, F 1,..., F EW des Betrags I = I(I + 1) F = F (F + 1) EW in z-richtung I z = M I F z = M F EW magn. Moment in z-richtung µ Iz = +g I M I µ K Kernmagnetisches Moment / Kern-Magneton: µ K = me m p µ B = e m p g I (Tabelle): Kern-g-Faktor ( ) Hyperfein-Wechselwirkung: W IJ = W HF = A I J Mehrelektronenprobleme und Systematik des Atombaus Pauli-Prinzip: In einem Atom dürfen keine zwei Elektronen im selben Quantenzustand existieren zu jeder Hauptquantenzahl n existieren n mögliche Energiezustände mindestens 1 Quantenzahl unterschiedlich Nomenklatur: Klassische Gröÿen: L S J Einzel-Elektronen: Drehimpulse li s i j i Quantenzahlen l i s i = 1 j i Richtungs-Quantenzahlen m li m si m ji Gesamt-Atom: Quantenzahlen L S J Richtungs-Quantenzahlen M L M S M J 5

6 L-S-Kopplung / Russel-Sounders-Kopplung Für das Gesamt-Atom gilt bei L-S-Kopplung: Bahndrehimpuls L = i l i Spin S = i s i Gesamtdrehimpuls J = L + S Quantenzahl L = N i=1 l i, N i=1 l i 1,..., S = N i=1 s i, s i 1,..., 0 J = L + S, L + S 1,..., l 1 l... l N 0 L S ; 0 bei l 1 l l 3... L max = m li S max = m si Richtungsquantenzahl M L = L, L 1,..., L M S = S, S 1,..., S M J = J, J 1,..., J EW des Betrags - - J = J(J + 1) EW in z-richtung - - J z = M J EW magn. Moment - - µ J = g J J(J + 1) µ B EW in z-richtung - - µ Jz = g J M J µ B L-S-Kopplung J = L + S Termsymbole: S+1 L J S + 1: Multiplizität = Anzahl der J-Werte eines Multipletts S + 1 = 1 Singulett, S + 1 = Duplett, S + 1 = 3 Triplett,... L = 0, 1,, 3, 4, 5, 6,... L = S, P, D, F, G, H, I, K,... Landé-Faktor: g J = 1 + J(J+1)+S(S+1) L(L+1) J(J+1) Hund'sche Regeln (0) Voll aufgefüllte s,p,d,f-unterschalen liefern stets L = 0 und S = 0 ( J = 0) (1) In einer abgeschlossenen s,p,d,f-unterschale liegen die Terme mit maximalem S (d.h. höchste Multiplizität) am tiefsten ( S gr = S max ) () Von den Termen mit maximalem S liegen die Terme mit maximalem (damit verträglichem) L am tiefsten ( L gr = L max (S max )) (3) Ist die s,p,d,f-unterschale weniger als halb gefüllt, bildet der Term J = L S den Grundzustand, ist sie mehr als halb gefüllt, der Term J = L + S Grundzustand: S+1 L J entscheidend für alle Anregungsprozesse bestimmt magnetisches Verhalten, auch für Ionen im Festkörper Larmorpräzession: ω L = g J µ B B 6

7 Elektrische / Magnetische Dipolstrahlung Strahlungsprozesse Typ Parität Auswahlregel J Auswahlregel M J Elektrische Dipolstrahlung (E1) u / -1 0, ±1, nicht 0 0 0, ±1, El. Dip., B Magnetische Dipolstrahlung (M1) g / +1 0, ±1, nicht 0 0 0, ±1, Magn. Dip., B Elektrische Quadropolstrahlung (E) g / +1 0, ±1, ±, nicht 0 0 0, ±1, ± Einelektronenatome: j = ±1, 0 l = ±1 s = 0 Mehrelektronenatome: J = ±1, 0, nicht J = 0 J = 0 L = ±1, 0 S = 0 Interkombinationsverbot j-j-kopplung: J = ±1, 0, nicht J = 0 J = 0 j = ±1, 0 Hyperfeinstruktur: F = ±1, 0 auÿer 0 0 J = ±1, 0 auÿer 0 0 I = 0 Atome im äuÿeren Magnetfeld: { 0 π Zeeman-Eekt: M J = ±1 σ Paschen-Back-Eekt: M L = M S = 0 strahlungslos } Komponente { 0 π ±1 σ π: parallel zum Magnetfeld (linear) polarisiert } Komponente σ: senkrecht zum Magnetfeld polarisiert zirkular polarisiert 7

8 Atome im elektrischen Feld linearer Stark-Eekt: W el = p el E p el : elektrisches Dipolmoment nur H-Atom verhält sich so nichtlinearer Stark-Eekt: p ind,z = ε 0 α E α: Polarisierbarkeit Alle anderen Atome: p el = r Ψ dτ Quadratischer Stark-Eekt Auswahlregeln: M J = { 0 π ±1 σ } Komponente Absorption, Emission und thermisches Gleichgewicht Mittlere Lebensdauer / Abklingzeit τ: 1 τ = A n = n 1 m=1 A nm A nm = 1 dn (m) n N n dt : Übergangswahrscheinlichkeit von n zu m Natürliche Linienbreite: W 1 = π ν 1 = Γ = 1 τ Unschärfe-Relation: E t N Boltzmann-Statistik für Besetzungszahlen des atomaren Niveaus: n N m = fn f m e h νnm k B T Planck'sches Strahlungsgesetz: u(ν nm ) = 8 π ν nm c 3 c: Anzahl h νnm k B T : Besetzungszahl der Eigenschwingung h ν nm (Zähler): Energie der Eigenschwingung h ν nm h νnm e k B T 1 { ( )} Doppler-Verbreiterung / Gauÿ-Prol: I(ν) = I 0 exp m c ν ν 0 k B T ν 0 Röntgenstrahlung Bremsstrahlspektrum: λ min U 0 = h c e = const Duane-Huntsches Verschiebungsgesetz: ν 0 = e h U 0 Absorption und Emission: Kontinuum: h ν Abs = h ν Kante + W kin Linien, Feinstruktur: h ν Kα = E K E L Auswahlregeln: l = ±1, j = 0, ±1 Abschirmung / Moseleysches Gesetz: E (1) n = ( )h c R (Z σ) n σ: Abschirmkonstante, σ K = 1, σ L = 9 (K- und L-Kante) Anger-Elektronen-Emission: W Kin = (E K E L ) Compton-Eekt ν = ν ν = h m e,0 c ν ν (1 cos ϑ) λ = λ λ = λ c (1 cos ϑ) λ c = h m e,0 c =, m: Compton-Wellenlänge 8

9 Moleküle Bindungstyp ionisch kovalent van der Waals Name Ionen-Moleküle Atom-Moleküle van der Waals-Moleküle Beispiele NaCl, CsBr CO, NO, H, N Hg, HgAr Allgemein A W + B W, A B homonuklear AA AA heteronuklear AB AB Dielektrisches Verhalten stark polar, p A+ B 0 p AB 0 polar unpolar p AA = 0 unpolar Dissoziation aus Ionen neutrale Atome neutrale Atome Grundzustand Charakteristik fest, üssig, wässrige Lösung: gasförmig und üssig sehr schwach gebunden weitgehend in Ionen dissoziiert gleiche Struktur Bindungsmechanismus elektrostatische Anziehung Platzwechsel (Austausch) Multipolkräfte (el. Dipolzwischen Ionen von Elektronenpaaren Dipol-, el. Dipol-Quadrup.) Potentialkurven: W Molekl ges = W Kerne kin + W Elektronen kin + W Molekuele pot (W ) e ionisch: erweitertes Born-Mayer-Potential Wges(r) el = 4 π ε + β r 0 r e ϱ kovalent: Morse-Potential W el ges(r) = D ( 1 e a(r r0)) van-der-waals-bindung: Wges(r) el = CDD r + β e r 6 ϱ Federkonstante: k e = ( ) d W dr r=re Gleichgewichtsabstand = Potenzialminimum r e : ( ) dw dr r=re = 0 Disooziationsenergie: D e = W (r ) W (r e ) Schwingungsfrequenz: ω 0 = k e m d r 6 9