An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung können Sie sich noch erinnern?

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1 An welche Stichwörter von der letten Vorlesung können Sie sich noch erinnern? Elektronmikroskopie Die Energie eines Elektrons in einer Elektronenfalle En π = ml n Photonenabsorption & Photonenemission hf = E = E E n 1

2 35.1 Das Bohrsche Modell des Wasserstoffatoms Das Wasserstoffatom besteht aus einem Elektron, das elektrisch an ein Proton gebunden ist, welches sich im Zentrum des Atoms befindet (Masse groß!). Das negativ geladene Elektron wird durch die Coulomb-Kraft von dem positiv geladenen Proton angeogen. Das Elektron ist am Proton gebunden. Dies bedeutet, dass die Elektronenenergie E quantisiert. Balmers Gleichung: ein Wasserstoffatom kann nicht alle, sondern nur bestimmte Wellenlängen aussenden und absorbieren Für sichtbares Licht: = R n 3,4,5... = λ n Niels Bohr: Balmers Gleichung kann man herleiten, wenn man wei Hypothesen annimmt: (1) Das Elektron in einem Wasserstoffatom umkreist den Kern über eine Umlaufbahn. () Die Größe des Drehimpulses L des Elektrons in seiner Umlaufbahn ist quantisiert: mv v r 1 1 e 1 K = = m U r = 4πε r = 0 1 e v F = m 4πε r = r 0 Physik II: L = rmv = n n = 1 ee e P 1 e U = = 4πε r 4πε r 0 0 n πε0 an r = 4 = me 1,,3... a pm e me ev E = K + U = = , 6 4πε0 r ( 4πε 0 ) n n

3 n eine gane Zahl ist, die als Hauptquantenahl beeichnet wird. Sie kann ganahlige Werte von 1 bis annehmen. Die Gesamtenergie eines Elektronenustands im Wasserstoffatom hängt von n ab. Energieveränderungen: c h hf E En Em λ = = = 4 me R = 13, 6 ev 3 3 4π ε ( ) me 1 1 = 3 3 ( 4 ) m n 0 λ π ε ist die Rydberg-Konstante Obwohl sich die Energien des Wasserstoffatoms durch eine einige Quantenahl n kenneichnen lassen, erfordern die Wellenfunktionen ur Charakterisierung der Zustände insgesamt drei Quantenahlen, entsprechend der drei Dimensionen, in denen sich das Elektron bewegen kann. N.B.: Obwohl n in der Bohr schen Theorie den Drehimpuls des Elektrons in seiner Umlaufbahn quantisiert, hat es tatsächlich mit der Quantisierung der Energie u tun. Die Coulomb-Wechselwirkung stellt keinen rechteckigen, sondern spärisch-symmetrischen Potenialtopf dar. Deshalb muss der Drehimpuls (als Vektor, d.h., seinen Betrag und seine Komponente) Quantisiert werden.

4 Die Bahndrehimpulsahl l hängt mit dem Wert des Bahndrehimpulses des Elektrons usammen l kann ganahlige Werte von 0 bis (n 1) annehmen. Im Grund-ustand, n = 1, kann l nur gleich null sein. Im Falle n = kann l aber beispielsweise 0, oder 1 sein. Der tatsächliche Wert des Bahndrehimpulses L hängt mit L= l l+ 1 der Quantenahl l folgendermaßen usammen: ( ) Der Wert von l beeinflußt die Gesamtenergie des Elektrons in einem Wasserstoffatom naheu nicht. Bei Atomen mit wei oder mehr Elektronen hängt die Energie hingegen gleichermaßen von l wie von n ab. Die magnetische Quantenahl m l hängt mit der Richtung des Bahndrehimpulses des Elektrons usammen, sie kann ganahlige Werte wischen l und +l annehmen. L = ml Die Energie eines Zustandes in Anwesenheit eines Magnetfeldes hängt auch von m l. Jeder Sat von Quantenahlen identifiiert die Wellenfunktion u einem bestimmten Quantenustand. ρ l l+ 1 e L Y n = 1, l = 0, m l = 0 n, l 0, m l 0 = = = n =, l = 1, m l = 0 ( ) ( ) ψ ρ ρ θϕ nlm,, n+ 1 lm,, l

5 36. Atomen 36.1 Einige Eigenschaften von Atomen Atome sind stabil. Naheu alle Atome in unserer Umgebung existieren in dieser Form seit Milliarden von Jahren. Atome können miteinander Verbindungen eingehen. Atome verbinden sich u stabilen Molekülen oder u Kristallgittern in Festkörpern. Periodischer Atomaufbau. Die Ionisierungsenergie der Elemente als Funktion ihrer Ordnungsahl ein Beispiel der Ähnlichkeiten in den chemischen und physikalischen Eigenschaften der Elemente ein deutlicher Hinweis darauf, dass der Aufbau der Atome einer Systematik folgt. In einem Periodensystem sind die Elemente in sechs horiontalen Perioden angeordnet. Abgesehen von der ersten, beginnt jede dieser Perioden mit einem sehr reaktionsfreudigen Alkalimetall (Lithium, Natrium, Kalium, usw.) und endet auf der rechten Seite mit einem chemisch trägen Edelgas (Neon, Argon, Krypton, usw.). Die Anahl der Elemente in den sechs Perioden sind:, 8, 8, 18, 18 und 3 (*1, *4,*4, *9, *9 und *16) Die Quantenmechanik kann auch diese Zahlen erklären.

6 Atome emittieren und absorbieren Licht. Diskrete Frequenen hf = E = En E Das Problem, die Frequenen u erklären, reduiert sich daher auf das Problem, die Energien der erlaubten Quantenustände in einem Atom u bestimmen. Atome haben einen Drehimpuls und eigen Magnetismus. Wenn ein negativ geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn sich bewegt, hat es neben dem Bahndrehimpuls L noch ein magnetisches Dipolmoment µ, da seine Bahn einer winigen Stromschleife entspricht. Jedem Quantenustand eines Elektrons in einem Atom im Allgemeinen können ein Bahndrehimpuls sowie ein magentisches Dipolmoment ugeschrieben werden, die in entgegengesette Richtungen eigen. Das Einstein-de Haas-Experiment (1915) Ohne Magnetfeld eigten die magnetischen Dipolmomente der Atome in dem Zylinder in unterschiedliche, ufällige Richtungen. Das Gesamtmoment ist Null. Im Magnetfeld richteten sich die Drehimpulse und die magnetischen Dipolmomente der Atome in dem Zylinder (anti-)parallel um Feld aus. Das Gesamtdrehimpuls des Zylinders muss konstant bleiben - der Zylinder beginnt um seine Mittelachse u rotieren Experiment mit dem Rad m

7 36. Der Spin des Elektrons Ein Elektron besitt einen intrinsischen Drehimpuls S, den man als Spin beeichnet. Der Betrag von S ist quantisiert und ist von einer Spinquantenahl s abhängt. Zusätlich ist Die Komponente von S beüglich jeder Achse ist auch quantisiert und hängt von einer magnetischen Spinquantenahl m s ab, die nur die Werte +1/ und 1/ annehmen kann. S = ms = ± Die Elektronenustände eines Atoms Quantenahl Symbol Erlaubte Werte Hat u tun mit Hauptquantenahl n 1,,3,... Abstand vom Kern Вahndrehimpulsquantenahl l 0,1,,...,(n-1) Bahndrehimpuls Magnetische Quantenahl m l 0, ±1,±,...,±l Bahndrehimpuls (-Komponente) Spin m s ±1/ Spin (-Komponente) Alle Zustände mit demselben Wert für n bilden eine Schale. Es gibt n Zustände in einer Schale. Alle Zustände mit denselben Werten für n und l bilden eine Unterschale. Alle Zustände in einer Unterschale haben dieselbe Energie. Es gibt (l + 1) Zustände in einer Unterschale.

8 36.3 Drehimpulse und magnetische Dipolmomente Jedem Quantenustand eines Elektrons in einem Atom entspricht ein Bahndrehimpuls und ein damit usammenhängendes magnetisches Dipolmoment. Der Betrag und die Komponente des Bahndrehimpulses sind quantisiert, d. h., sie können nur bestimmte diskrete Werte annehmen. Diese Werte sind: L ( 1) = m Zum Bahndrehimpuls L eines Elektrons in einem Atom gehört e auch ein magnetischer Dipol, der ein magnetisches µ Bahn = L Dipolmoment (auch quantisiertes!) besitt m µ e e Bahn, = L = ml = Bml m m µ e 4 µ B = = 9,3 10 J m T µ B ist das Bohrsche Magneton (magnetische Analog der Plank schen Konstante) Der Betrag S des Spins S kann für ein Elektron, ob frei oder gebunden, nur einen Wert annehmen: 1 1 S = s( s+ 1) = + 1 = 0,87 Zum Spin eines Elektrons gehört auch ein intrinsischer magnetischer Dipol bw. ein magnetisches Dipolmoment: L = l l+ l µ = S e S m e µ m µ m m S, = s = B s

9 36.4 Das Stern-Gerlach-Experiment Ein Strahl von Silberatomen wird wischen den Polen eines Elektromagneten hindurchgelenkt (Feldgradient) und dann wird mir einer räumlichen Auflösung detektiert (Schatten auf eine Glasplatte). Ohne Feld geht der Strahl geradlinig. Wird der Magnet eingeschaltet, wirkt an die Atomen eine Kraft, wenn sie magnetische Moment besiten. U Physik I F = Physik II U = µ B U B F = = ( µ B) = µ Durch die Kraft bekommen die Atomen eine Ablenkung nach oben oder unten, die man detektieren kann. Klassische Physik: µ = µ cos θ µ [ µµ, ]. Der Strahl sollte sich vertikal verbreiten. Experiment: der ursprüngliche Strahl spaltete sich in dem Magnetfeld in wei Teilstrahlen auf, der eine Teilstrahl wurde nach oben, der andere nach unten abgelenkt. Das bedeutet: µ kann nicht jeden beliebigen Wert wischen µ und + µ annehmen, sondern µ nimmt nur wei Werte an - es ist quantisiert!!! Und da der Drehimpuls eines Atoms mit µ usammenhängt, bedeutet dieses Ergebnis auch, dass der Drehimpuls ebenfalls quantisiert ist.

10 36.5 Mehrere Elektronen in kastenförmigen Potenialtöpfen. Das Pauli-Prinip Was passiert, wenn sich nicht nur ein Elektron in Potenial befindet? Das Pauli-Prinip (oder vollständiger Paulisches Ausschließungsprinip): Keine wei Elektronen in derselben Elektronenfalle können denselben Sat von Quantenahlen haben. N.B.-1. Das Prinip gilt auch für Atomen: keine wei Elektronen in einem Atom können dieselben Werte für die vier Quantenahlen n, l, m l und m s haben. N.B.-. Das Prinip gilt auch für jedes Teilchen, dessen Spinquantenahl S nicht null oder eine gane Zahl ist (Protonen, Neutronen ). Eindimensionale Elektronenfalle. In dem eindimensionalen genügt eine Quantenahl n, um die Wellenfunktion des Elektrons u beschreiben. Außerdem kann seine Quantenahl m s die Werte +1/ oder 1/ annehmen. Haben die beiden Elektronen verschiedene Werte für n, können die Werte für m s beliebig sein. Sind jedoch die beiden Werte für n gleich, muss eines der Elektronen Spin up und das andere Spin down haben. Der (drei-)weidimensionale kastenförmige Potenialtopf. Hier werden die Wellenfunktionen durch wei (drei) Quantenahlen n x, n y, (n,) charakterisiert. Dau kann die Quantenahl m s eines Elektrons noch die Werte +1/ und 1/ annehmen. Insgesamt gibt es daher vier Quantenahlen. Nach dem Pauli-Prinip müssen sich die Zustände weier Elektronen in diesem Potenial hinsichtlich mindestens einer dieser drei (vier) Quantenahlen unterscheiden.