Ladungsverteilung von Kern und Nukleon (Formfaktoren)

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1 Seminar zum physikalischen Praktikum für Fortgeschrittene an der Johannes Gutenberg-Universtität Mainz Ladungsverteilung von Kern und Nukleon (Formfaktoren Melanie Müller Diese Zusammenfassung soll einen Überblick über die Theorien und Begriffe geben, die zur Beschreibung der Ladungsverteilung von subatomaren Teilchen notwendig sind. Es wird eine Einführung in die theoretischen Grundlagen der Wirkungsquerschnitte und Formfaktoren gegeben. Im Anschluss werden einige ausgewählte Messungen vorgestellt. 1 Motivation Eine grundlegende Frage in der Kernphysik ist die Frage nach der Struktur von subatomaren Teilchen. Einen Zugang zu diesen Strukturen von Kernen und Nukleonen erhält man durch Streuexperimente. Die Messgröße solcher Streuexperimente ist der Wirkungsquerschnitt. Schon 1911 gelang es Rutherford durch die Streuung von α-teilchen an einer Goldfolie den Aufbau der Atome zu erklären, in welchem sich die Kernmasse stark konzentriert im Inneren des Atoms befindet. Die Streuung mit ausgedehnten Projektilen wie z.b. α-teilchen bereitet allerdings einige Probleme, weshalb man in heutigen Experimenten Elektronen zur Streuung verwendet. Diese sind punktförmige Teilchen und besitzen keine innere Struktur. Da die Elektronen lediglich der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen, erhält man eine Aussage über die elektromagnetischen Eigenschaften der Teilchen. Bei einem Streuprozess können verschiedene Arten der Streuung auftreten. Im Folgenden wird lediglich die elastische Streuung betrachtet, bei welcher die invarianten Massen der Stoßpartner unverändert bleiben. Weiterhin gibt es noch die inelastische Streuung, bei der z.b. angeregte Zustände entstehen können, und die quasielastische Streuung. 2 Elektron-Streuung In Abb. 1 ist die Streuung eines Elektrons mit Impuls p gezeigt. Nach dem Stoß besitzt es den Impuls p, wobei sich dessen Betrag und somit die Energie des Elektrons nicht ändern soll, d.h. wir vernachlässigen den Rückstoß des Targets. Abbildung 1: elastische Elektron-Streuung Der Betrag des Impulsübertrags q = p p lässt sich über Trigonometrie wie folgt ausrechnen: q = 2E c sin Θ 2 (1 Dabei wurde die Näherung E p c für schnelle Elektronen verwendet. 3 Wirkungsquerschnitte Die eigentliche Messgröße in einem Streuexperiment ist der Wirkungsquerschnitt. Allgemein kann er als Maß für die Wahrscheinlich angesehen werden, dass ein Stoß stattfindet. Diese Wahrscheinlichkeit lässt folgendermaßen ausrechnen: W = N σ tot F (2 wobei F die gesamte Targetfläche und N die Anzahl der Targetteilchen ist. Die Größe σ tot heißt totaler Wirkungsquerschnitt und kann als effektive Streufläche eines einzelnen Targetteilchens interpretiert werden. Weiterhin kann man den differentiellen Wirkungsquerschnitt berechnen: σ diff = dσ tot (3 Seminar Kernphysik WS 07/08 1

2 Da es in einem Experiment nicht möglich ist, den gesamten Raumwinkel von 4π zu detektieren, wird der Wirkungsquerschnitt nur in einem bestimmten Raumwinkelelement gemessen. Daher werden im Folgenden hauptsächlich differentielle Wirkungsquerschnitte betrachtet. Rutherford WQ Der Rutherfordsche Wirkungsquerschnitt wird durch folgende Formel beschrieben: = Z2 α 2 ( c 2 R 4 E 2 sin 4 Θ (4 2 Diese Rutherfordsche Streuformel gilt unter den Annahmen, dass das Target keinen Rückstoß erfährt und dass beide Stoßpartner keinen Spin besitzen und punktförmig sind. Man erwartet also einen Abfall des Wirkungsquerschnitts mit sin 4 und E 2. Weiterhin wird man für größere Kerne mit einer höheren Kernladungszahl Z einen größeren Wirkungsquerschnitt messen. Der Rutherfordsche Wirkungsquerschnitt kann sowohl klassisch als auch quantenmechanisch hergeleitet werden. Ausgangspunkt der quantenmechanischen Herleitung ist Fermis Goldene Regel W = 2π M fi 2 ρ(e = σv e V (5 Man erhält daraus den Wirungsquerschnitt in der Form = 4Z2 α 2 2 E 2 R q 4 c 2 F (q 2 2 (6 Der Term F (q 2 2 wird Formfaktor genannt und errechnet sich gemäß F (q 2 = e i q x f( x d 3 x (7 wobei f( x die räumliche Verteilung der Ladung angibt. Da wir für den Rutherford Wirkungsquerschnitt punktförmige Teilchen annehmen, entspricht diese Funktion einer δ-funktion und der Formfakor wird konstant eins. Dann erhält man die übliche Rutherfordsche Streuformel gemäß Gleichung (4. Mott WQ Der Mott Wirkungsquerschnitt stellt eine Erweiterung des Rutherfordschen Wirkungsquerschnitts dar und berücksichtigt nun den Spin des Elektrons, welches ein Spin- 1 2 Teilchen ist. Es muss nun also die Helizitätserhaltung gelten. Die Helizität ist definiert als die Projektion des Spins auf den Impuls des Teilchens: H = s p s p (8 Als Folge der Helizitätserhaltung wird eine Rückstreuung um 180 unterdrückt, da weder das Targetteilchen, welches weiterhin als spinlos angenommen wird, noch der Drehimpuls, welcher senkrecht auf der Streuebene steht, eine Änderung der Richtung der Helizität bewirken kann. Zur Veranschaulichung dient die folgende Abbildung. Um nun den Mott Wirkungsquerschnitt zu berechnen muss der Rutherfordsche Wirkungsquerschnitt mit einem zusätzlich Spin-Term multipliziert werden, welcher aus der Dirac-Gleichung folgt: Mott = R In dieser Formel ist β = v c. 4 Formfaktoren ( 1 β sin 2 Θ 2 (9 Die Rutherfordsche Streuformel sagte aus, dass der Wirkungsquerschnitt mit der vierten Potenz des Sinus abfallen soll. In Experimenten sind nun allerdings Strukturen in den Wirkungsquerschnitten zu sehen, welche nicht diesem Verlauf entsprechen. Eine Korrektur dieses Verlaufs kann durch Formfaktoren erreicht werden. Im Folgenden werden zunächst der Formfaktor der Kerne und im Anschluß daran die Formfaktoren der Nukleonen behandelt. Seminar Kernphysik WS 07/08 2

3 Kerne Wie schon in Gleichung (7 zu sehen, ist der Formfaktor als die Fouriertransformierte der Ladungsverteilung definiert: F (q 2 = e i q x f( x d 3 x (10 Betrachtet man große Kerne, so entspricht der Verlauf des Formfaktors einer oszillierenden abfallenden Kurve. Für die Kerne 40 Ca und 48 Ca ist in Abb. 2 der Wirkungsquerschnitt gezeigt. Hier treten für charakteristische Impulsüberträge bzw. Winkel Minima auf, mit deren Hilfe man Informationen über den Kernradius erhalten kann. Er kann gemessen werden, indem man den gemessenen Wirkungsquerschnitt durch den errechneten Mott Wirkungsquerschnitt teilt und stellt somit einen empirischen Korrekturfaktor zwischen Theorie und Experiment dar: Messung = Mott F (q 2 2 (11 Um aus dem gemessenen Formfaktor Informationen über die Ladungsverteilung zu bekommen müssen verschiedene Modelle für die Ladungsverteilung erstellt werden, aus denen dann ein theoretischer Wert für den Formfaktor berechnet wird. Dieser wird mit dem experimentelle Formfaktor verglichen und solange die Parameter des Modells variiert, bis beide übereinstimmen. Eine Umkehrung der Fouriertransformation zur Berechnung der Ladungsverteilung führt nicht zu dem gewünschten Ergebnis, da der Impulsübertrag nur über einen begrenzten Bereich gemessen werden kann und der Wirkungsquerschnitt sehr schnell mit großen Impulsüberträgen abnimmt. Zudem kann nur das Betragsquadrat des Formfaktors gemessen werden. In der folgenden Abbildung sind einige Beispiele einer Ladungsverteilung mit dem dazugehörigen Formfaktor gezeigt: Abbildung 2: Wirkungsquerschnitte von 40 Ca und 48 Ca. Zur besseren Darstellung wurde der Wirkungsquerschnitt von 40 Ca mit 10 und der von 48 Ca mit 10 1 multipliziert Da die Minima der beiden Isotope 40 Ca und 48 Ca liegen bei etwas unterschiedlichen Streuwinkeln, woraus man auf einen unterschieldichen Kernradius schließen kann. Für das erste Minimum gilt beispielsweise R 4,5 q (12 Da das Mimimum von 48 Ca bei etwas kleineren Winkeln und somit Impulsüberträgen liegt, hat dieses Isotop also einen etwas größeren Radius als 40 Ca. In den 50er Jahren fand man nun folgende Verläufe für die Ladungsverteilung von Kernen: Seminar Kernphysik WS 07/08 3

4 Quotient aus gemessenem und Mott Wirkungsquerschnitt. Dieser hat die Form einer Geraden = A + B tan 2 Θ red 2 (15 Dieses Verhalten kann durch eine Fermi- Verteilung beschrieben werden: ρ(r = ρ( e r c a (13 mit der Steigung B und dem Achsenabschnitt A. Trägt man diesen gegen tan 2 Θ 2 auf, so kann man mittels diesen beiden die beiden Formfaktoren G M und G E bestimmen. In Abb. 3 ist eine solche Separation gezeigt. Der Parameter c = 1,07 fm A 1/3 ist dabei der Radius, bei dem die Ladungsverteilung auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes abgefallen ist und der Parameter a hängt mit der Breite des diffusen Randes zusammen. Nukleonen Bei Streuexperimenten mit Nukleonen darf der Rückstoß nun nicht mehr vernachlässigt werden. Daher wird nun mit dem Viererimpulsübertrag Q = 4EE /c 2 sin 2 Θ 2 gerechnet und im Mott Wirkungsquerschnitt erscheint ein zusätzlicher Term E/E. Weiterhin muss die Wechselwirkung zwischen dem Strom des Elektrons und dem magnetsichen Moment des Nukleons beachtet werden. Als Folge erhält man zwei Formfaktoren: Abbildung 3: Rosenbluth-Separation Um einen festen Impulsübertrag Q 2 zu gewährleisten müssen mehrere Strahlenergien für eine Rosenbluth-Separation eingestellt werden. Im folgenden Diagramm ist nun die Abhängigkeit der Formfaktoren von Proton und Neutron von dem Impulsübertrag Q gezeigt: elektrischer Formfaktor G E (Q 2 magnetischer Formfaktor G M (Q 2 welche die Ladungs- bzw die Stromverteilung beschreiben. Der Wirkungsquerschnitt einer Streuung am Nukleon wird durch die Rosenbluth-Formel beschrieben: ( dσ = ( dσ Mott ( G 2 E + τg 2 M 1 + τ + 2τG 2 M tan 2 Θ 2 (14 wobei hier nun der neue Mott Wirkungsquerschnitt verwendet werden muss, in dem der Rückstoß enthalten ist. τ ist der reduzierte Impulsübertrag τ = Q 2 /(am 2 c 2 mit der Targetmasse M. Die Bestimmung der Formfaktoren erfolgt über die so genannte Rosenbluth-Separation. Dazu berechnet man den reduzierten Wirkungsquerschnitt als Abbildung 4: Dipolverhalten der Formfaktoren Dieses Verhalten der beiden Formfaktren des Protons und des magnetischen Formfaktors des Neu- Seminar Kernphysik WS 07/08 4

5 trons kann durch einen Dipolfit beschrieben werden: 2 G Dipol = (1 + Q2, Q 0 = 0,71 GeV (16 c Q 2 0 Für Q 2 0 gilt dabei für die Formfaktoren von Proton bzw. Neutron: G E (Q 2 = 0 G M (Q 2 = 0 p 1 2,79 n 0-1,91 Wie in Abb. zu erkennen entspricht ein dipolförmiger Formfaktor einer exponentiell abfallenden Ladungsverteilung. Man findet also, dass Nukleonen nicht punktförmig sind, sondern eine ausgedehnte Ladungs- und Stromverteilung besitzen. Weiterhin besitzen sie keine wohldefinerte Oberfläche. Betrachtet man den Verlauf eines Formfaktors für Q 2 0 und entwickelt den Formfaktor in eine Taylorreihe an der Stelle Q 2 = 0, so kann man den Ladungsradius des Nukleons wie folgt ausrechnen: r 2 = 6 2 ( dg(q 2 dq 2 Q 2 =0 (17 Der beste bisher gemessene Wert für den Ladungsradius des Protons wurde 1979 von Simon et al. in Mainz gemessen und beträgt r = 0,862 fm (18 Die Daten wurden weltweit von unterschiedlichen Arbeitsgruppen aufgenommen und in diesem Diagramm zusammengetragen. Die rot gefärbten Messwerte entstammen den Messungen von Simon et al. in Mainz. Man erkennt hier, dass das Verhältnis aus Dipolfit und gemessenem Formfaktor für große Impulsüberträge stark von 1 abweicht und zu kleineren Werten abfällt. Bei solchen Impulsüberträgen kann also der Dipolfit nicht mehr zur Beschreibung der Formfaktoren verwendet werden. Ebenso zeigt sich eine Abweichung des Dipolfits im Bereich zwischen 0 und 1 Gev/c. Dieser Bereich entspricht dem Messbereich am MAMI. Im folgenden Diagramm ist die Abweichung des Dipolfits für Impulsüberträge zwischen 0 und 1 GeV/c noch einmal genauer dargestellt. Hier ist nun die Differenz der Messdaten von dem glatten Verlauf des Dipolfits gezeigt und gegen den Logarithmus des Quadrats des Impulsübertrags aufgetragen. 5 Experimente Betrachtet man neuere Messungen der Formfaktoren, so stellt man fest, dass die Messwerte vom Dipolfit abweichen. In Abb. 5 ist diese Abweichung für den Formfaktor des Protons dargestellt. Abbildung 6: Abweichung des Dipolfits im Bereich zwischen 0 und 1 Gev/c Auch hier ist nun deutlich die Abweichung des Dipolfits zu sehen. Diese Abweichung hat auch für die magnetischen Formfaktoren des Protons und des Neutrons die gleiche charakeristische Form. Die Messungen zum Formfaktor des Protons werden am MAMI in der Spektrometerhalle A1 durchgeführt. Dazu wird ein Wasserstoff-Target mit einem Elektronenstrahl beschossen. Die Enerige des Elektronenstrahls wird dabei in Schritten von 135 MeV im Bereich zwischen 0,18 GeV und 1,53 GeV erhöht. Bei konstanter Strahlenergie fährt einer der drei Spektrometer in 5 Schritten im Bereich zwischen 18 und 160 die Winkel ab. Abbildung 5: Abweichung des Dipolfits von den Weltdaten Seminar Kernphysik WS 07/08 5

6 Quellen: Povh, Rith, Scholz, Zetsche: Teilchen und Kerne Frauenfelder, Henley: Teilchen und Kerne MAMI-aktuell: Research programme by projekt group and project Seminar Kernphysik WS 07/08 6