Kerne und Teilchen. Moderne Physik III

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1 Kerne und Teilchen Moderne Physik III Vorlesung #. Eigenschaften stabiler Kerne - Wirkungsquerschnitt: Definition, totaler Wq. σ tot - differentieller Wq. / - Mott-Streuung - Formfaktor F(q ) & Ladungsverteilung ρ(r) von Kernen

2 . Eigenschaften stabiler Kerne Radius & Form - Größe: Kernradius (R 1. fm A 1/3 ) - Form: sphärisch / Deformation (prolat/oblat) Dichte & Masse - Kernmaterie mit konstanter Dichte (ρ kg/m 3 ) - Kernmassen & Stabilitätstal Zustände - Quantenzahlen Spin S, Parität P, magnetisches Moment µ - Schalenstruktur: Leucht -Nukleonen, kollektive Anregung J Reaktionen - Bindungsenergien: Fusion & Spaltung, nukl. Astrophysik - spezielle Reaktionen: Austausch/Transfer

3 Einheiten Kern- & Teilchenphysik: spezielle Einheiten natürliche Einheiten ħ c 1 Masse Länge Zeit Atomphysik 1 GeV 1 GeV fm 1 GeV s α: Feinstrukturkonstante 1/137 m e : Elektronmasse MeV Masse: GeV/c r Atom ~ m ρ Atom ~ 10 3 kg/m 3 Impuls: GeV/c E p c + m c 4 klass. Wechselwirkung unbegrenzter Reichweite: elektromagnet. Feld Kernphysik α s : starke Kopplungskonstante 0. m N : Nukleonmasse 939 MeV r Kern (-8) m ρ Kern ~ kg/m 3 fm neue Wechselwirkungen begrenzter Reichweite: starke & schwache Ww.

4 Parameter eines Streuexperiments Typischer Aufbau eines Streuexperiments: (Bs. Rutherfordexperiment) ein Teilchenstrahl trifft senkrecht auf ein dünnes Target ( fixed target Aufbau) Einfallender Teilchenstrahl mit - Querschnitt F [cm ] - Geschwindigkeit v i [cm/s] - Anzahldichte n Strahl [cm -3 ] Fluss [cm - s -1 ] Φ n Strahl v i Intensität [s -1 ] I Φ F F n Strahl v i Fläche F Geschwindigkeit v i Targetmaterial Länge l Dichte ρ Fläche σ eines Targetkerns: totaler Wirkungsquerschnitt mit - Länge l [cm] -Dichte ρ [g/cm 3 ] - Atommasse M A [u] + Avogadrozahl N A Targetkerne pro Einheitsvolumen [cm -3 ] n Target ρ N A / M A Targetkerne im Strahl N Target n Target F l

5 Totaler Wirkungsquerschnitt Rate W r an Streuereignissen [s -1 ] ~ totalem Wirkungsquerschnitt σ tot W r Φ N Target σ tot I n Target l σ tot Strahl Fluss Target: Kerne im Strahl Strahl: Intensität Target: Targetkerne pro Einheitsvolumen (cm 3 ) Targetlänge [s -1 ] [cm - s -1 ] σ tot σ tot [cm ] [s -1 ] [s -1 cm -3 cm] σ tot der Wirkungsquerschnitt hat die Dimension einer Fläche σ tot ist ein Maß für Wahrscheinlichkeit einer (Streu-)Reaktion σ tot Zahl der Reaktionen pro Sekunde pro Streuzentrum (Targetkern) Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm (Fluss-/Stromdichte)

6 Wirkungsquerschnitt als Streufläche Einheit des Wirkungsquerschnitts σ tot : 1 barn 1 b 10-4 cm σ tot stellt eine effektive Fläche dar für Streuprozesse/Wechselwirkungen geometrischer Streuquerschnitt: σ geom π (R + r) Beispiel für Streuung eines 6 MeV α-teilchens an 197 Au: R ( 197 Au) 7 fm m A π r 154 fm m geometrischer Streuquerschnitt σ tot,geom 1.54 b [ 1 barn 100 fm ] G. Drexlin VL0 [ barn Scheunentor ] 1 mb 10-7 cm, Teilchenphysik: 1 pb cm, 1 fb cm R 0 1. fm A 1/3 cm ~10 ~ cm R Projektil d.h. ein α-teilchen mit Stoßparameter b 7 fm hat einen Wirkungsquerschnitt σ tot 1.54 b für elastische Streuung an 197 Au (Streuwinkel θ ~ 140 ) - für Neutronen-Reaktionen wird auch beobachtet: σ tot > σ geom - für Niederenergie-Neutrino-Reaktionen an Kernen σ tot ~ b (~10-6 pb) r

7 Wirkungsquerschnitt - Beispiele zur Messung von σ tot erforderlich: - Zahl einlaufender Teilchen / s - Messdauer t - Detektor-Raumwinkelelement - Streuwinkel θ - Zahl gestreuter Teilchen -Targetdicke - Targetdichte - Kernmasse der Targetatome - Avogadrozahl σ tot [µb] p(γ,π 0 )p d(γ,π 0 )X Δ-Resonanz Energieabhängigkeit von σ tot kann z.b. zum Nachweis neuer Teilchen (Resonanzen) führen, hier bei Reaktion γ + p π 0 + p Gamma-Energie [MeV]

8 Differentieller Wirkungsquerschnitt Differentieller Wirkungsquerschnitt / Detektor ein Detektor(-element) deckt oft nur einen sehr kleinen Teil des gesamten Raumwinkels ab (d.h. ein Raumwinkel- Element F / r ab): der Detektor misst dann den differentiellen Wirkungsquerschnitt /: einfallende Teilchen Target r θ F Zahl der nach gestreuten Teilchen pro Sekunde pro Streuzentrum Zahl einfallender Teilchen pro Sekunde pro cm (Fluss-/Stromdichte) Einheit des differentiellen Wirkungsquerschnitts: [cm / sr bzw. b / sr] gesamter Raumwinkel um Target: 4 π sr i.a. gilt / /(θ,φ), diff. Wq. ist abhängig von Polar- & Azimuthwinkel oft gilt azimutale Symmetrie, d.h. / /(θ)

9 ein paralleler Teilchenstrahl (z.b. α s) fliegt in einem dünnen Target durch Kreisring mit der Fläche π b db (mit Streuparametern [b, b + db] ) werde durch elastische Streuprozesse in den Raumwinkel gestreut (mit Streuwinkeln [θ, θ -dθ] ) wichtig: keine Mehrfachstreuungen, keine Abnahme des Flusses im Target π b ( θ ) db π sin θ dθ π sin θ dθ ( ) b sin θ db dθ θ nimmt zu, wenn b abnimmt db b Streupotential Element des Kreisrings Kern Element des Raumwinkels α [θ, θ -dθ ]

10 differentieller Wirkungsquerschnitt /: beschreibt die Winkelverteilung gestreuter Teilchen in den Raumwinkel dw r I n Target l dw r I n Target l Streurate ~ differentieller Wirkungsquerschnitt Streuzentrum Strahlintensität Targetkerne pro cm 3 Länge Rate R gestreuter Teilchen in einem Detektor mit Fläche F im Abstand d: R I n Target l F d Strahl: Intensität I diff. Wirkungsquerschnitt / für eine elastische Streuung am Coulombfeld in den Raumwinkel ergibt sich aus gemessener Winkelverteilung (dcosθ) der gestreuten Teilchen Abstand d Fläche F Target: n Target, l

11 Beispiel: Rutherford-Streuung Rutherford-Streuung: elastische Streuung eines α-teilchens am Coulomb-Feld eines schweren Au-Kerns (keine Rückstoß-Energie) Impulsänderung (-transfer) Δp θ 1 z Z 1 tan( ) 4 πε v b 0 Symmetrieebene Relation zwischen Streuwinkel θ und Streuparameter b v für feste Energie E des α-teilchens ist der Streu- Winkel θ nur abhängig vom Stoßparameter b v Θ p i b Δp p f Δp Θ b kleiner Stoßparameter: b 0 θ π großer Stoßparameter: b θ 0 Stoßparameter b [,0 ] asymptotischer Abstand des α s

12 ) / ( sin Θ Ω kin Rutherford E e Z z d d π ε σ mit den natürlichen Einheiten ħ c 1 erhält man: mit E kin ½ m v ) / ( sin Θ Ω kin Rutherford E Z z d d α σ mit Feinstrukturkonstante α 1/137 divergenter Verlauf / für θ 0: Stoßparameter b wird größer als Elektronenhülle (Screening des Potenzials), bei vollständig ionisiertem Kern: Divergenz ist Effekt der elektromagnet. Ww. mit langreichweitigem V(r) ~ 1/r Rutherford-Streuung: / ) / ( sin 1 ] [ ] [ θ σ Ω MeV E Z z b d d für die Rutherfordstreuung am konservativen Coulombfeld erhält man: mit dimensionsbehafteten Einheiten [E in MeV] erhält man:

13 Wirkungsquerschnitt σ tot & Luminosität der totale Wirkungsquerschnitt σ tot ergibt sich aus der Integration von /: σ tot tot π 1 ( θ, φ ) dφ d cos θ 0 1 Φ: Azimutwinkel, θ: Streuwinkel für Streuungen mit einer azimutalen Symmetrie gilt: σ π ( θ ) π dθ sin θ 0 Teilchenphysik: Zusammenfassung von Strahl- & Target-Eigenschaften: Luminosität L Φ N Target Einheit [cm - s -1 ] W r L σ tot Rate [s -1 ] N σ tot L dt integrierte Luminosität

14 . Kernradien und Formfaktoren Rutherfordstreuung elastische, nicht-relativistische Streuung von α-teilchen (S 0) am Coulombfeld des punktförmigen Kerns bei höheren Energien E kin bzw. anderen Teilchenarten mit Spin (e, µ, p, ν ) entstehen Abweichungen durch: - relativistische Effekte - Effekte der starken Wechselwirkung (anderes Potentialverhalten) - endliche Ausdehnung des Kerns: Ladungsverteilung ρ(r) - interner Spin des Projektils (Dirac-Gl.) Mott-Streuung + Formfaktoren de-broglie Wellenlänge nge λ π h π h p γ m v Nevill F. Mott ( ) de Broglie Wellenlänge λ des Projektils λ ~ Kernradius R ( 1 fm MeV/c )

15 Impulsübertrag q Definition für den Impulsübertrag q bei einer elastischen Streuung: r r r q q p i p f Betrag des Impulstransfers q q : pi + p f pi p f cos θ ohne Kernrückstoß gilt p i p f p p f θ p i q q p (1 cos θ ) 4 p sin θ q p sin (θ/) damit nochmals die nichtrelativistische Rutherfordstreuung: ( m e Z α ) 1 q 4 mit E kin p /m e / ~ 1 / q 4 ~ ( Photonpropagator 1/q )

16 Mottstreuung Mott-Streuquerschnitt für relativistische Projektile mit Spin (kein Rückstoß): θ 1 β sin cos Mott Rutherford θ Rutherford für ß 1 berücksichtigt Spin-Effekte Beispiel: Rückwärtsstreuung eines e - (s ½) bei zentralem Stoß (l 0) S p i longitudinal polarisiert p f diff. Wq. dn /dcos θ Rutherford- Streuung Mott- Streuung (s 0) S Elektronspin müsste umklappen (Spin-Flip) Rückwärtsstreuung stark unterdrückt Streuwinkel cos θ rückwärts vorwärts

17 Formfaktor F(q) Berücksichtigung der endlichen Kernausdehnung, d.h. der ausgedehnten Ladungsverteilung ρ(r) der Protonen im Kern, durch den Formfaktor F(q) Born sche Näherung: ρ(r) Beugung einer einfallenden ebene Welle an einer Scheibe Formfaktor F(q ) Fourier-Transformierte der Ladungsverteilung ρ(r) F ( q mit ) ρ ( r) e exp. ρ ( r) d 3 r r iq r Mott d 1 Modifikation des differentiellen Mott-Wirkungsquerschnitts 3 r F (q ) für Kerne ist F(q ) eine oszillierende Funktion different. Wq. / [cm /sr] Beugungsminimum (e,e ) Streuung bei 40 MeV 1 C homogene Kugel mit diffusem Rand Streuwinkel θ

18 Formfaktoren sind wichtig ab einem Impulstransfer q ~ 1/R, d.h. q ~ 00 MeV/c Beispiele für Ladungsverteilungen ρ(r) & zugehörige Formfaktoren F(q ) punktförmig δ(r) 1 r ρ ( r) δ ( ) F ( q 4π ) 1 weit entfernte Flugbahnen, Kern erscheint punktförmig, keine Beeinflussung homogene Kugel a Kernradius ( ρ r) ρ 0 F ( q ) [sin( aq) aq cos( aq)] 3 4π a ( aq) 3 oszillierender Formfaktor aus den Beugungsminima kann die Größe des Kerns bestimmt werden

19 Ladungsverteilung ρ [e/fm 3 ] Kernladungsverteilungen Anpassung von ρ(r) an experimentelle Streudaten (/) exp ergibt die Saxon-Woods Verteilung für ausgedehnte Kerne: ρ ρ e 0 ( r ) ( r a ) / d a He Ca Kernradius a Skin-Dicke d a (1.18 A 1/3 0.48) fm d (0.55 ± 0.07) fm konst. Ladungsdichte Ni Sm Pb Radius r [fm] differentieller Wq. / [cm /sr] Isotopeneffekt von a in der Elektronstreuung R( 48 Ca) > R( 40 Ca) Ca 48 Ca 0.1 Ca 40 Ca Streuwinkel θ

20 Ladungsverteilung & Formfaktor Ladungsverteilung ρ(r) Formfaktor F(q ) punktförmig ρ(r) δ(r)/4π konstant F(q ) 1 Elektron exponentiell ρ(r) ~ exp(-r/a) Dipol F(q ) 1/(1+a q ) Proton gaußförmig ρ(r) ~ a -3 exp(-r /a ) gaußförmig F(q ) exp(-½ a q ) Lithium-6 homogene Kugel ρ(r) const. r < R ρ(r) 0 r R oszillierend F(q ) ~ [ sin(rq) R q cos(rq) ] - Kugel mit diffusem Rand ρ(r) r 0 / (1+exp((r-R)/d)) Saxon- Woods Radius r Impuls q verwaschene Oszillation Kalzium-40