Synchrotronstrahlung. Strahlung beschleunigter Teilchen Winkelverteilung Zeitstruktur Spektrum

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Mina Günther
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1 Strahlung beschleunigter Teilchen Winkelverteilung Zeitstruktur Spektrum

2 Strahlung beschleunigter Teilchen Strahlung eines nichtrelativistischen, beschleunigten Teilchens e 2 ( ) dp 2 P = 6πɛ 0 m0 2c3 dt Winkelverteilung entspricht der eines Hertz schen Dipol dp dω = e 2 ( ) dp 2 16π 2 ɛ 0 m0 2 sin 2 Ψ. c3 dt ψ Elektron Die Energie wird dabei wie beim Herz schen Dipol senkrecht zur Richtung der Beschleunigung abgestrahlt. Röntgenphysik 88

3 Strahlung beschleunigter Teilchen relativistische Teilchen: Transformation der Zeit und des Viererimpulses dt dτ = 1 γ dt, γ = E m 0 c 2 = 1 1 β 2 ( ) 2 ( ) 2 dpµ d p 1 ( ) de 2 dτ dτ c 2 dτ Relativistische abgestrahlte Leistung [ (d p dτ P = e2 c 6πɛ 0 1 (m 0 c 2 ) 2 ) 2 1 c 2 ( ) ] de 2 dτ β = v c Lineare- Kreis- Beschleunigung dv dt v d v v dt Röntgenphysik 89

4 Lineare Beschleunigung relativistischer Energiesatz E 2 = (m 0 c 2 ) 2 + p 2 c 2 E de dτ = c2 p dp dτ mit E = γm 0 c 2 und p = γm 0 v de dτ = v dp dτ Relativistische Strahlungsformel P = e2 c 6πɛ 0 1 (m 0 c 2 ) 2 [ (d ) 2 p 1 dτ c 2 ( ) ] de 2 dτ (1) und einsetzen von (1) liefert (1 β) 2 ( d p dτ ) = ( ) d p = γdτ ( ) d p dt Röntgenphysik 90

5 Lineare Beschleunigung P = e2 c 6πɛ 0 1 (m 0 c 2 ) 2 ( ) 2 ( d p = e2 c 1 dt 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 2 de ) 2 (2) dx Beispiel: Energiegewinn Wirkungsgrad η = de/dx = 25MeV /m P = W P de/dt = P vde/dx = e2 6πɛ 0 Energieverlust kann vernachlässigt werden! 1 (m 0 c 2 ) 2 1 de β dx Röntgenphysik 91

6 Kreisbeschleunigung Auf einer Kreisbahn bleibt die Teilchenenergie konstant de = 0 P = e2 c γ 2 ( ) 2 d p dt 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 2 dt Impulsänderung auf der Kreisbahn dp dt = pω = p v R p c R = E R Wir betrachten nur extrem relativistische Geschwindigkeiten mit v c. Dann ist p c m 0 c 2 und somit E = p c. Weiter ist γ = E/m 0 c 2. P = e2 c 6πɛ 0 (E/m 0 c 2 ) 2 (m 0 c 2 ) 2 ( ) E 2 = e2 c 1 E 4 R 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 4 R 2 Röntgenphysik 92

7 Kreisbeschleunigung Auf einer Kreisbahn bleibt die Teilchenenergie konstant de = 0 P = e2 c γ 2 ( ) 2 d p dt 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 2 dt Impulsänderung auf der Kreisbahn dp dt = pω = p v R p c R = E R Wir betrachten nur extrem relativistische Geschwindigkeiten mit v c. Dann ist p c m 0 c 2 und somit E = p c. Weiter ist γ = E/m 0 c 2. P = e2 c 6πɛ 0 (E/m 0 c 2 ) 2 (m 0 c 2 ) 2 ( ) E 2 = e2 c 1 E 4 R 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 4 R 2 Röntgenphysik 92

8 Kreisbeschleunigung Abgestrahlte Leistung P = e2 c 6πɛ 0 1 (m 0 c 2 ) 4 E 4 R 2 (3) Die abgestrahlte Leistung steigt also mit der 4. Potenz der Teilchenenergie und des Reziprokwertes der Ruhemasse m 0! ( ) mproton = = ! m e Strahlung spielt nur bei Elektronen eine Rolle Röntgenphysik 93

9 Kreisbewegung: Energieverlust Gesamter Energieverlust während eines Umlaufes E = Pdt = PT = P 2πR c E[keV ] = 88.5 E 4 [GeV ] R[m] = e 2 E 4 3ɛ 0 (m 0 c 2 ) 4 R Röntgenphysik 94

10 Kreisbewegung: Energieverlust Verlustleistung einiger Speicherringe L E R B E η (m) (GeV) (m) (T) (kev) (%) BESSY I BESSY II DORIS II ESRF PETRA II LEP II Die Verlustleistung steigt stark mit der Ringenergie an und ist um Größenordnungen höher als bei einem LINAC Synchrotron Speicheringe können effektiv erzeugen Röntgenphysik 95

11 SR Winkelverteilung Wir wollen hier nur den Fall der Kreisbewegung betrachten, da nur dort nennenswert Strahlung emittiert wird. Skizze der Herleitung Im Schwerpunktsystem des Elektrons entspricht die Emission der des Herz schen Dipol Transformation dieser Verteilung in das Laborsystem Einfache Abschätzung Ein Photon möge in y -Richtung senkrecht zur Bewegungrichtung x und zur Beschleunigung in z -Richtung emittiert werden. Röntgenphysik 96

12 SR Winkelverteilung Ein Photon möge in y -Richtung senkrecht zur Bewegungrichtung z und zur Beschleunigung in x -Richtung emittiert werden. Viererimpuls P µ = p y = p 0 = E p t p x p y p z = c E /c 0 p 0 0 y hν e x z Röntgenphysik 97

13 SR Winkelverteilung Lorentztransformation ins Laborsystem P µ = γ 0 0 βγ βγ 0 0 γ β = v c E /c 0 p 0 0 = γe /c 0 p 0 γβe /c γ = (1 β 2) 1/2 = γe /c 0 p 0 γβp 0 Winkel zwischen der y-richtung und der z-richtung (Flugrichtung) tan θ = p y p z = p 0 βγp 0 1 γ Röntgenphysik 98

14 SR Winkelverteilung Emittierte Strahlungsleistung in den Raumwinkel dω ( ) dp(t) dω = e2 β 2 4πc (1 β cos θ) 3 1 sin2 θ cos 2 φ γ 2 (1 β cos θ) 2 (Jackson) Scharfe Bündelung der Strahlung in Vorwärtsrichtung β = 0 β = 0.1 β = 0.2 β = 0.5 β = 0.9 β = 0.99 v R Kreisbewegung (transversale Beschleunigung) Röntgenphysik 99

15 SR Winkelverteilung transversal dp(t) dω = e2 4πc longitudinal dp(t) dω = e2 4πc v ( ) (dβ/dt) 2 (1 β cos θ) 3 1 sin2 θ cos 2 φ γ 2 (1 β cos θ) 2 sin 2 θ (1 β sin θ) 5 ( ) dβ 2 dt β = 0 β = 0.1 β = 0.2 β = 0.5 β = 0.9 β = 0.99 R Röntgenphysik 100

16 SR Zeitstruktur Vorbeiflug eines Elektrons am Beobachter θ 1/γ Elektronen A θ Emittierte θ B Strahlung t = t e t γ = 2Rθ θ θ θ θ = 2R c 2R c 2R sin θ c cβ ( ) θ β θ + θ3 3! θ5 5! +... ( 1 βγ 1 γ + 1 ) 6γ 3 4R 3cγ 3 Typische Frequenz ω typ := 2π t = 3πcγ3 2R Kritische Frequenz ω c := ω typ π = 3cγ3 2R Röntgenphysik 101

17 SR Zeitstruktur Elektronen θ Emittierte A θ B Strahlung E γ R t E c θ θ θ θ (GeV) (m) (10 18 s) (ev ) Röntgenphysik 102

18 SR Spektrum Emittierte Strahlungsleistung in den Raumwinkel dω war ( ) dp(t) dω = e2 β 2 4πc (1 β cos θ) 3 1 sin2 θ cos 2 φ γ 2 (1 β cos θ) 2 Das abgestrahlte Spektrum kann durch eine Fouriertransformation des Zeitspektrum berechnet werden. Elementar, aber doch sehr aufwendig (siehe z.b. Jackson)! Röntgenphysik 103

19 SR Spektrum Emittierte Strahlungsleistung in den Raumwinkel dω war ( ) dp(t) dω = e2 β 2 4πc (1 β cos θ) 3 1 sin2 θ cos 2 φ γ 2 (1 β cos θ) 2 Röntgenphysik 104

20 SR Spektrum Spektrale Photonendichte, mit N Elektronen im Speicherring (Schwinger 1 ) mit dṅ dɛ/ɛ = P ( ) 0 E S s E c E c P 0 = e2 c 1 E 4 6πɛ 0 (m 0 c 2 ) 4 R 2 N = eγ4 3ɛ 0 R I Ring S s (ξ) = 9 3 8π ξ K 5/3 : modifizierte Besselfunktion 1 J. Schwinger, Phys. Rev (1949) ξ K 5/3 (ξ)dξ Röntgenphysik 105

21 SR Spektrum Fluß (Photonen / s mrad 1%BW 100mA) BESSY I ESRF BESSY II DORIS Photonen Energie (ev) E c Strahlungsquelle, die einen sehr weiten Bereich abdeckt. 1 0 S s (ξ)dξ = 1 2 E c teilt das Spektrum der in zwei Bereiche gleicher Strahlungsleistung Spektrum ist exakt berechenbar Primär Normal! Zählen einzelner Elektronen möglich (Anwendung in der Metrologie) Röntgenphysik 106

22 SR einzelner Elektronen Röntgenphysik 107

23 SR Polarisation ist in der Bahnebene linear polarisiert Ausserhalb der Bahnebene ist die Strahlung zirkular polarisiert, mit allerdings stark abnehmender Intensität, durch die starke Bündelung in Vorwärtsrichtung Kann als Projektion der Kreisbahn verstanden werden Eigenschaft hat eine ganze Gruppe von neuen Experimenten zum Magnetismus eröffnet Röntgenphysik 108

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