Algorithmen für Routenplanung 7. Sitzung, Sommersemester 2010 Thomas Pajor 28. Mai 2010

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1 Algorithmen für Routenplanung 7. Sitzung, Sommersemester 2010 Thomas Pajor 28. Mai 2010 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK ALGORITHMIK I PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Großforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Letztes Mal Many-to-Many Routing Alternativrouten

3 access node s t distances between transit nodes access node

4 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Kopenhagen

5 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Berlin

6 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Wien

7 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... München

8 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Rom

9 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Paris

10 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... London

11 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Brüssel

12 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Kopenhagen

13 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Berlin

14 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Wien

15 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... München

16 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Rom

17 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Paris

18 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... London

19 Beobachtung: wenn man weit weg fährt, fährt man immer an bestimmten Punkten vorbei hier: von Karlsruhe aus, an drei relevanten Stellen Karlsruhe nach... Brüssel

20 Ziel: reduziere Anfragen auf Table-Lookups Idee: identifiziere wichtigen Knoten vollständige Distanztabellen zwischen diesen Knoten Probleme: Speicherverbrauch nahe Anfragen?

21 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

22 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

23 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

24 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

25 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

26 Gegeben: L + 1 Mengen von transit nodes V =: T 0 T 1 T L Betrachte für jeden Level l mit 0 l L: access mapping A l : V 2 T l mapt Knoten auf access nodes locality filter L l : V V {true, false} gibt an, ob d(s, t) nicht mit Transit-Knoten der Level l berechnet werden kann Distanztabelle D l : T l T l R + o { } Abstände zwischen Transit-Knoten auf Level l bis auf solche, die mit höheren Leveln berechnet werden können d l : V V R + o { } gibt Abstand zwischen zwei Knoten auf einem Level an, also Abstand zu access nodes und zwischen Transit-Knoten auf Level l d l : V V R + o { } gibt Abstand an, der mit Hilfe aller Level l berechnet werden kann

27 Eigenschaften Bemerkungen: In der Distanztabelle werden nur relevante Informationen abgelegt { dl (s, t) wenn d D l (s, t) := l (s, t) < d l+1 (s, t) sonst d l gibt die Distanz in dem entsprechenden Level an d l (s, t) := min u A (s) v A (t) d l gibt die Distanz aller Level l an {d(s, u) + D l (u, v) + d(v, t)} d l (s, t) := min k l d k(s, t)

28 TNR Anfragen TNR-Query(s,t) 1 d = 2 for l = L down to 0 do 3 d := min{d, d l (s, t)} 4 if L l (s, t) then break 5 return d Bemerkungen: speichere in D l nur nicht- -Einträge (Hash-Tabelle) benutze CH für Level 0 Anfragen

29 Access-Nodes berechnen Vorgehen: lokale Suche, bis Transit-Knoten des Levels alle Zweige abdecken s Beschleunigung: benutze aggressives stalling (breche Zweig bei Transit-Knoten ab) dünne dann mit Hilfe der Transit-Tabelle aus

30 Access-Nodes berechnen Vorgehen: lokale Suche, bis Transit-Knoten des Levels alle Zweige abdecken s Beschleunigung: benutze aggressives stalling (breche Zweig bei Transit-Knoten ab) dünne dann mit Hilfe der Transit-Tabelle aus

31 Runterpropagieren von ANs: Idee: Access-Nodes können propagiert werden A l (u) := A l (v) v A l 1 (u) kann auf mehrere Level verallgemeinert werden können mit Distanztabellen wieder ausgedünnt werden u

32 Distanztabellen Vorgehen: benutze Many-to-Many Ansatz Problem: wir speichern d l (u, v) in D l (u, v) nur, wenn d l (u, v) < d l+1 (u, v) gilt Anzahl Transit Knoten auf niederigem Level hoch ineffizient Lösungen: gehe top-down vor, dann ist d l+1 (u, v) verfügbar breche Suchen an hochleveligen Transit-Knoten ab

33 Locality Filter Vorgehen: speicher für jeden Knoten den (euklidischen) Abstand zum am weitesten entfernten lokalen Knoten ab, also K (u) und K (u) für jeden Level, also K l (u), K l (u) geht während Vorberechnung locality filter schlägt zu, wenn s t < K k (s) + K k (t) k l u s t dadurch manchmal falscher Alarm

34 2 Varianten HNR level economical TNR level HNR level generous TNR level L L2 economical: speicher keine transit knoten für level 1, benutze HNR oberster locality filter auf level der transit Knoten L2 L1 generous: mehr transit nodes locality filter auf unterstem Level höherer Platzverbrauch, schneller 1 0

35 Pfadentpackung analog zu Contraction Hierarchies interpretiere jeden Eintrag als Shortcut speichere für jeden Eintrag den Pfad, den er repräsentiert rekursiv

36 Vergleich zu CH Gemeinsamkeiten: Level-Einteilung Pfadentpackung ähnlich TNR basiert auf CH Unterschiede: weniger level Suche durch Table-Lookups ersetzt Locality Filter nötig Shortcuts Tabellen-Einträgen

37 Experimente Eingaben: Straßennetzwerke Europa: 18 Mio. Knoten, 42 Mio. Kanten USA: 22 Mio. Knoten, 56 Mio. Kanten Evaluation: Vorberechnung in Minuten und zusätzliche Bytes pro Knoten durchschnittlicher Suchraum (#abgearbeitete Knoten) und Suchzeiten (in ms) von Zufallsanfragen

38 TNR: Vorberechnung level 3 level 2 overhead time variant T 3 A 3 T 2 D 2 A 2 [B/node] [h] Europe eco % :25 gen % :15 USA (Tiger) eco % :38 gen % :25

39 TNR: Anfragen level 2 [%] level 3 [%] (level 1 [%]) metric variant wrong cont d wrong cont d query time Europe eco µs time gen µs ( ) (0.0180) USA (Tiger) eco µs time gen µs ( ) (0.0124)

40 Übersicht: bisherige Techniken Vorberechnung Anfrage Zeit Platz Such Zeit [h:m] [byte/n] raum [ms] Beschl. Dijkstra 0: ALT-16 1: Arc-Flags (128) 17: RE 1: REAL-(64,16) 2: HNR 0: CH 0: eco TNR 0: N/A ca gen TNR 1: N/A ca

41 Dijkstra Rank Query Time [µs] economical generous Dijkstra Rank

42 Zusammenfassung Transit-Node Routing ersetzt Suche (fast) komplett durch Table-Lookups 3 Zutaten: Distanztabelle Access-Nodes Locality-Filter Suchzeit von unter 5 µs

43 Ende Literatur (Transit-Node Routing): Peter Sanders and Dominik Schultes: Robust, Almost Constant Time Shortest-Path Queries in Road Networks In: The Shortest Path Problem: Ninth DIMACS Implementation Challenge, 2009 Dominik Schultes: Route Planning in Road Networks Ph.D. Thesis, Universität Karlsruhe (TH), Username: routeplanning Passwort: ss10